第10講最值問題之三角形三邊關(guān)系模型講解問題：在直線l上找一點(diǎn)P，使得SKIPIF1<0的值最大解析：連接AB，并延長與1交點(diǎn)即為點(diǎn)P.證明：如圖，根據(jù)△ABPSKIPIF1<0三邊關(guān)系，BPSKIPIF1<0-APSKIPIF1<0<AB，即PSKIPIF1<0B-PSKIPIF1<0A<PB-PA【例題講解】例題1、如圖，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為____________.【解答】解：如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接OD、OE、DE，SKIPIF1<0∠MON=90°，AB=2SKIPIF1<0OE=AE=SKIPIF1<0AB=1，SKIPIF1<0BC=1，四邊形ABCD是矩形，SKIPIF1<0AD=BC=1，SKIPIF1<0DE=SKIPIF1<0，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OD<OE+DE，SKIPIF1<0當(dāng)OD過點(diǎn)E時(shí)最大，最大值為SKIPIF1<0+1.故答案為：SKIPIF1<0+1.【總結(jié)】1、我們?nèi)绾沃朗悄膫€(gè)三角形呢？我們利用三角形三邊關(guān)系來解題，但這個(gè)構(gòu)造出來的三角形是有條件的，即“這個(gè)三角形有兩條邊為定值，另外一邊為需要我們求的那條邊”?！眷柟叹毩?xí)】1、如圖，∠MON=90°，邊長為2的等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM、ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，等邊三角形的形狀保持不變，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)C到點(diǎn)O的最大距離為____________.2、在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是___________________.3、如右圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，兩頂點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上運(yùn)動(dòng)，則頂點(diǎn)D到原點(diǎn)O的距離的最大值和最小值的乘積為___________________.4、如圖，平面直角坐標(biāo)系中，將含30°的三角尺的直角頂點(diǎn)C落在第二象限.其斜邊兩端點(diǎn)A、B分別落在x軸、y軸上，且AB=12cm（1）若OB=6cm.①求點(diǎn)C的坐標(biāo)；②若點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離與點(diǎn)B向上滑動(dòng)的距離相等，求滑動(dòng)的距離；（2）點(diǎn)C與點(diǎn)O的距離的最大值=_____________cm.5、如圖，拋物線SKIPIF1<0經(jīng)過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，已知BC//x軸，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，OA=SKIPIF1<0BC，且AC=BC.（1）求拋物線的解析式；（2）若Q為直線AB上一點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，求|QC-QD|的取值范圍.

模型講解如圖，在⊙O外有一點(diǎn)P，在圓上找一點(diǎn)Q，使得PQ最短在⊙O上任取一點(diǎn)Q，連接QO和OP，在△OQP中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，0Q+QP>OPSKIPIF1<0OP=0QSKIPIF1<0+QSKIPIF1<0P，且OQ=0QSKIPIF1<0SKIPIF1<00Q+QP>0QSKIPIF1<0+QSKIPIF1<0PSKIPIF1<0QP>QSKIPIF1<0P所以連接OP，與圓的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)Q，此時(shí)PQ最短.【另外三種情況】點(diǎn)P在圓外，PQ最長點(diǎn)P在圓內(nèi)，PQ最長點(diǎn)P在圓內(nèi)，PQ最短【總結(jié)】可見，點(diǎn)與圓的最值問題在本質(zhì)上仍然是利用了三角形三邊關(guān)系?！纠}講解】例題1、如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，將△EBF沿EF所在直線折疊得到△EBSKIPIF1<0F，連接BSKIPIF1<0D，則BSKIPIF1<0D的最小值是___________.【解析】如圖，根據(jù)已知條件，在△EBSKIPIF1<0D中，我們發(fā)現(xiàn)，EBSKIPIF1<0為定值2，ED根據(jù)勾股定理計(jì)算可得也為定值SKIPIF1<0，而BSKIPIF1<0D即為要我們求的那條邊，所以我們就知道，△EB'D就是我們要找的三角形，SKIPIF1<0BSKIPIF1<0D≤ED-EBSKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)BSKIPIF1<0在ED上時(shí)，BSKIPIF1<0D最小SKIPIF1<0BSKIPIF1<0D的最小值為SKIPIF1<0-2【鞏固練習(xí)】1、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于D，P是弧CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，則AP的最小值是_______________.2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0），B（1-a，0），C（1+a，0）（a>0），點(diǎn)P在以D（4，4）為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，且始終滿足∠BPC=90°，則a的最大值_______________.3、如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以邊AB的中點(diǎn)O為圓心，作半圓與AC相切，點(diǎn)P，Q分別是邊BC和半圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接PQ，則PQ長的最大值與最小值的和是_____________.4、如圖，已知直線y=SKIPIF1<0x-3與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，P是以C（0，1）為圓心，1為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA、PB.則△PAB面積的最大值是________________.5、如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），將△BCP沿CP所在的直線翻折，得到△BSKIPIF1<0CP，連接BSKIPIF1<0A，則BSKIPIF1<0A長度的最小值是________________.6、如圖，在平行四邊形ABCD中，∠BCD=30°，BC=4，CD=3SKIPIF1<0，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在直線翻折得到△ASKIPIF1<0MN，連接ASKIPIF1<0C，則ASKIPIF1<0C長度的最小值是____________.7、如圖，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、⊙A和⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，則PE+PF的最小值是____________.8、如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，點(diǎn)E、F分別為AD、DC邊上的點(diǎn)，且EF=2，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PG的最小值為______________.9、如圖，邊長為1的正方形ABCD中，以A為圓心，1為半徑作SKIPIF1<0，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)P放置在SKIPIF1<0（不包括端點(diǎn)B、D）上滑動(dòng)，一條直角邊通過頂點(diǎn)A，另一條直角邊與邊BC相交于點(diǎn)Q，連接PC，則△CPQ周長的最小值為____________.10、問題情境：如圖1，P是⊙0外的一點(diǎn)，直線PO分別交⊙0于點(diǎn)A、B，則PA是點(diǎn)P到⊙0上的點(diǎn)的最短距離.（1）探究：如圖2，在⊙0上任取一點(diǎn)C（不為點(diǎn)A、B重合），連接PC、OC.試證明：PA<PC.（2）直接運(yùn)用：如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC為直徑的半圓交AB于D，P是SKIPIF1<0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，則AP的最小值是______________.（3）構(gòu)造運(yùn)用：如圖4，在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△ASKIPIF1<0MN，連接ASKIPIF1<0C，請(qǐng)求出ASKIPIF1<0B長度的最小值.解：由折疊知ASKIPIF1<0M=AM，又M是AD的中點(diǎn)，可得MA=MASKIPIF1<0=MD，故點(diǎn)ASKIPIF1<0在以AD為直徑的圓上.（請(qǐng)繼續(xù)完成解題過程）（4）綜合應(yīng)用：①如圖5，E，F(xiàn)是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF.連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H.若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是__________.②如圖6，平面直角坐標(biāo)系中，分別以點(diǎn)A（-2，3），B（3，4）為圓心，以1、2為半徑作⊙A、⊙B，M、N分別是⊙A、⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則PM+PN的最小值等于________________.

1.解：如圖，取AB的中點(diǎn)D，連接OD、CD，∵△ABC是等邊三角形，∴CD＝×2＝，∵∠MON＝90°，∴OD＝AB＝×2＝1，由圖可知，當(dāng)點(diǎn)O、C、D三點(diǎn)共線時(shí)點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離最大，最大值為+1．故答案為：+1．2.解：如圖，取CA的中點(diǎn)D，連接OD、BD，則OD＝CD＝AC＝×4＝2，由勾股定理得，BD＝＝2，當(dāng)O、D、B三點(diǎn)共線時(shí)點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離最大，所以，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是2+2．故答案為：2+2．3.解：當(dāng)O、D、AB中點(diǎn)共線時(shí)，OD有最大值和最小值，如圖，BD＝2，BK＝1，∴DK＝＝，OK＝BK＝1，∴OD的最大值為：1+，同理，把圖象沿AB邊翻折180°得最小值為：1+﹣1×2＝﹣1，∴頂點(diǎn)D到原點(diǎn)O的距離的最大值和最小值的乘積為：（+1）（﹣1）＝12．故答案為：12．4.解：（1）①過點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為D，如圖1：在Rt△AOB中，AB＝12，OB＝6，則BC＝6，∴∠BAO＝30°，∠ABO＝60°，又∵∠CBA＝60°，∴∠CBD＝60°，∠BCD＝30°，∴BD＝3，CD＝3，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣3，9）；②設(shè)點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離為x，根據(jù)題意得點(diǎn)B向上滑動(dòng)的距離也為x，如圖2：AO＝12×cos∠BAO＝12×cos30°＝6．∴A'O＝6﹣x，B'O＝6+x，A'B'＝AB＝12在△A'OB'中，由勾股定理得，（6﹣x）2+（6+x）2＝122，解得：x＝6（﹣1），∴滑動(dòng)的距離為6（﹣1）；（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），過C作CE⊥x軸，CD⊥y軸，垂足分別為E，D，如圖3：則OE＝﹣x，OD＝y(tǒng)，∵∠ACE+∠BCE＝90°，∠DCB+∠BCE＝90°，∴∠ACE＝∠DCB，又∵∠AEC＝∠BDC＝90°，∴△ACE∽△BCD，∴，即，∴y＝﹣x，OC2＝x2+y2＝x2+（﹣x）2＝4x2，∴取AB中點(diǎn)D，連接CD，OD，則CD與OD之和大于或等于CO，當(dāng)且僅當(dāng)C，D，O三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)CO＝CD+OD＝6+6＝12，故答案為：12．5.解：（1）∵OA＝BC，AC＝BC∴設(shè)OA＝3k，AC＝BC＝5k（k＞0）∴OC＝∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝ax2﹣10ax+c＝c∴C（0，c），即OC＝c＝4k∴k＝∴A（﹣，0）B（，c）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B∴解得：∴拋物線解析式為：y＝﹣x2+x+8（2）如圖2，在x軸上截取AE＝AC，連接QE∵AC＝BC∴∠CAB＝∠CBA∵CB∥x軸∴∠CBA＝∠BAD∴∠CAB＝∠BAD在△ACQ與△AEQ中∴△ACQ≌△AEQ（SAS）∴QC＝QE∴|QC﹣QD|＝|QE﹣QD|≤DE∵y＝0時(shí)，﹣x2+x+8＝0，解得：x1＝﹣6，x2＝16∴A（﹣6，0），D（16，0）∴AE＝AC＝＝10∴DE＝AD﹣AE＝AD﹣AC＝16﹣（﹣6）﹣10＝12∴0≤|QC﹣QD|≤121.解：如圖1，取BC的中點(diǎn)E，連接AE，交半圓于P'，在半圓上取一點(diǎn)P，連接AP，EP，在△AEP中，AP+EP＞AE，即：AP'是AP的最小值，∵AE＝，P'E＝1，∴AP'＝﹣1；故答案為：﹣1；2.解：∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），∴AB＝1﹣（1﹣a）＝a，CA＝a+1﹣1＝a，∴AB＝AC，∵∠BPC＝90°，∴PA＝AB＝AC＝a，如圖延長AD交⊙D于P′，此時(shí)AP′最大，∵A（1，0），D（4，4），∴AD＝5，∴AP′＝5+1＝6，∴a的最大值為6．故答案為6．3.解：如圖，設(shè)⊙O與AC相切于點(diǎn)E，連接OE，作OP1⊥BC垂足為P1交⊙O于Q1，此時(shí)垂線段OP1最短，P1Q1最小值為OP1﹣OQ1，∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠C＝90°，∵∠OP1B＝90°，∴OP1∥AC∵AO＝OB，∴P1C＝P1B，∴OP1＝AC＝4，∴P1Q1最小值為OP1﹣OQ1＝1，如圖，當(dāng)Q2在AB邊上時(shí)，P2與B重合時(shí)，P2Q2經(jīng)過圓心，經(jīng)過圓心的弦最長，P2Q2最大值＝5+3＝8，∴PQ長的最大值與最小值的和是9．故答案為：9．4.解：過C作CM⊥AB于M，連接AC，MC的延長線交⊙C于N，則由三角形面積公式得，×AB×CM＝×OA×BC，∴5×CM＝16，∴CM＝，∴圓C上點(diǎn)到直線y＝x﹣3的最小距離是﹣1＝，∴△PAB面積的最小值是×5×＝，故答案是：．5.解：在Rt△ABC中，由勾股定理可知：AC＝＝＝4，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：BC＝CB′＝3，當(dāng)A、B′、C三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，B′A有最小值，∴B′Amin＝AC﹣B′C＝4﹣3＝1．故答案為：1．6.解：如圖，連接MC；過點(diǎn)M作ME⊥CD，交CD的延長線于點(diǎn)E；∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC＝4，∵點(diǎn)M為AD的中點(diǎn)，∠BCD＝30°，∴DM＝MA＝2，∠MDE＝∠BCD＝30°，∴ME＝DM＝1，DE＝，∴CE＝CD+DE＝4，由勾股定理得：CM2＝ME2+CE2，∴CM＝7；由翻折變換的性質(zhì)得：MA′＝MA＝2，顯然，當(dāng)折線MA′C與線段MC重合時(shí)，線段A′C的長度最短，此時(shí)A′C＝7﹣2＝5，故答案為5．7.解：作A點(diǎn)關(guān)于直線DC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BD，DA′，可得A′A⊥DC，則∠BAA′＝90°，故∠A′＝30°，則∠ABA′＝60°，∠ADN＝∠A′DN＝60°，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴∠ADB＝60°，∴∠ADB+∠ADA′＝180°，∴A′，D，B在一條直線上，由題意可得出：此時(shí)P與D重合，E點(diǎn)在AD上，F(xiàn)在BD上，此時(shí)PE+PF最小，∵菱形ABCD中，∠A＝60°，∴AB＝AD，則△ABD是等邊三角形，∴BD＝AB＝AD＝3，∵⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，∴PE＝1，DF＝2，∴PE+PF的最小值是3．故答案為：3．8.解：∵EF＝2，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，∴DG＝1，∴G是以D為圓心，以1為半徑的圓弧上的點(diǎn)，作A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′D，交BC于P，交以D為圓心，以1為半徑的圓于G，此時(shí)PA+PG的值最小，最小值為A′G的長；∵AB＝2，AD＝3，∴AA′＝4，∴A′D＝5，∴A′G＝A′D﹣DG＝5﹣1＝4；∴PA+PG的最小值為4；故答案為4．9.解：△CPQ的周長＝PQ+QC+CP＝BQ+QC+CP＝BC+PC＝1+PC；又∵PC≥AC﹣PA＝﹣1，∴△CPQ