第十九章一次函數(shù)19．1函數(shù)19．變量與函數(shù)教學(xué)目標(biāo)【知識與技能】運用豐富的實例，使學(xué)生了解常量與變量的含義，理解函數(shù)的概念，能根據(jù)所給條件寫出簡單的函數(shù)關(guān)系式．【過程與方法】通過豐富的實例，分析變化過程中的常量與變量，經(jīng)歷從實際問題中得到函數(shù)關(guān)系式的過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力．【情感態(tài)度】引導(dǎo)學(xué)生探索實際問題中的數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極參與數(shù)學(xué)活動的熱情．在解決問題的過程中體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值并感受成功的喜悅，建立自信心．【教學(xué)重點】理解常量、變量和函數(shù)的概念，并能根據(jù)具體問題得出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．【教學(xué)難點】確定函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍．教學(xué)過程一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識【教學(xué)說明】選取學(xué)生熟悉的生活情境，讓學(xué)生感受其中的變化，從這些感受中逐漸領(lǐng)悟知識．【情境1】汽車以60km/h的速度勻速行駛，行駛里程為skm，行駛時間為th．填寫下列表格，再試著用含t的式子表示s.t/h12345s/km【情境2】已知每張電影票的售價為10元，如果早場售出150張，午場售出205張，晚場售出310張，那么三場電影的票房收入各為多少元？設(shè)一場電影售出x張票，票房收入為y元，怎樣用含x的式子表示y?【情境3】要畫一個面積為10cm2的圓，圓的半徑應(yīng)取多少？畫面積為20cm2的圓呢？怎樣用含圓面積S的式子表示圓半徑r?二、思考探究，獲取新知【問題1】在一根彈簧的下端懸掛重物，改變并記錄重物的質(zhì)量，觀察并記錄彈簧長度的變化，填入下表：懸掛重物的質(zhì)量/kg彈簧長度/cm如果彈簧原長10cm，每1kg重物使彈簧伸長cm，怎樣用含重物質(zhì)量m(kg)的式子表示受力后的彈簧長度l(cm)?【問題2】用10cm長的繩子圍成長方形．試改變長方形的長度，觀察長方形的面積怎樣變化．記錄不同的長方形的長度值，計算相應(yīng)的長方形面積的值，探索它們的變化規(guī)律(用表格表示)．設(shè)長方形的長為xcm，面積為Scm2，怎樣用含x的式子表示S?將學(xué)生分成若干小組，分別探究兩個問題，再匯總交流．【教學(xué)說明】在小組實踐探究時，教師應(yīng)參與小組活動，然后再作出總結(jié)．上面的問題和探究都反映了不同事物的變化過程，其中有些量(時間t，里程s；出售票數(shù)x，票房收入y；……)的值是按照某種規(guī)律變化的．在一個變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量，我們稱為變量．也有些量是始終不變的，如上面問題中的速度60(km/h)，票價10(元)等，即為常量．一般來說，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)．如果當(dāng)x＝a時y＝b，那么b叫做當(dāng)自變量的值為a時的函數(shù)值．提出自變量取值范圍的概念，總結(jié)求自變量取值范圍的規(guī)律：(1)自變量以整式形式出現(xiàn)，取值范圍是全體實數(shù)．(2)自變量以分式形式出現(xiàn)，取值范圍是使分母不為0的數(shù)．(3)自變量以偶次方根形式出現(xiàn)，取值范圍為使被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)的實數(shù)；自變量以立方根形式出現(xiàn)，取值范圍為全體實數(shù)．(4)自變量以零次冪形式出現(xiàn)，取值范圍為使底數(shù)不為0的數(shù)．(5)自變量取值范圍還應(yīng)考慮實際意義．三、典例精析，掌握新知【例1】根據(jù)下列題意寫出適當(dāng)?shù)年P(guān)系式，并指出其中的變量和常量．(1)多邊形的內(nèi)角和W與邊數(shù)n的關(guān)系．(2)甲、乙兩地相距ykm，一自行車以10km/h的速度從甲地駛向乙地，試用行駛時間t(h)表示自行車離乙地的距離s(km)．【分析】弄清題意，找準(zhǔn)其中的等量關(guān)系，并注意字母表示的量不一定是變量，如(2)中的y.解：根據(jù)題意列表為：題號關(guān)系式變量常量(1)W＝(n－2)×180°W，n2，180°(2)s＝y(tǒng)－10ts，ty，10【例2】求下列函數(shù)中自變量的取值范圍．(1)y＝x2－2x－1；(2)y＝eq\f(2,x－4)；(3)y＝eq\r(2x－4)；(4)y＝eq\f(x,\r(x＋3))；(5)y＝eq\r(x－1)＋3eq\r(6－2x)；(6)y＝(x－1)0.解：(1)一切實數(shù)；(2)x≠4；(3)x≥2；(4)x>－3；(5)1≤x≤3；(6)x≠1.【教學(xué)說明】觀察含自變量的式子，進行歸類，再依各自特征求范圍．【歸納總結(jié)】含自變量的式子有時包含多種特征(如有分母，有被開方數(shù)等)，這時要綜合考慮各種要求，準(zhǔn)確界定范圍．【例3】小強在勞動技術(shù)課中要制作一個周長為80cm的等腰三角形，請你寫出底邊長y(cm)與一腰長x(cm)的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍．【分析】(1)周長等于三邊的長度和，由此求得函數(shù)關(guān)系式；(2)自變量x要使腰、底為正數(shù)，即x>0，y>0.同時還要滿足任意兩邊的和大于第三邊，得到不等式組求解．解：由題意，得2x＋y＝80，所以y＝80－2x.由解析式本身有意義，得x為全體實數(shù)．又由使實際問題有意義，則要考慮到邊長為正數(shù)，且要滿足三邊關(guān)系定理，故有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞0，,y＞0，,2x＞y，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞0，,－2x＋80＞0，,2x＞－2x＋80，))解得20<x<40.故y＝80－2x(20<x<40)．四、運用新知，深化理解1．分別指出下列關(guān)系式中的變量與常量：(1)一個物體從高處自由下落，該物體下落的距離h(m)與它下落的時間t(s)的關(guān)系式為h＝eq\f(1,2)gt2(其中g(shù)≈m/s2)；(2)等腰三角形的頂角y與底角x存在關(guān)系y＝180°－2x；(3)長方體的體積V(cm3)與長a(cm)，寬b(cm)，高h(yuǎn)(cm)之間的關(guān)系式為V＝abh.1．(1)時間t可以取不同值，隨t的變化，h值也改變，因此時間t、距離h是變量，eq\f(1,2)、g的值始終不變，是常量．(2)底角x可以取不同值，y隨x的改變而改變，因此x、y是變量，而180°與2是常量．(3)長a，寬b，高h(yuǎn)都可以取不同的值，V的對應(yīng)值也是變化的，故a、b、h、V都是變量．2．人心跳速度通常和人的年齡有關(guān)，如果a表示一個人的年齡，b表示正常情況下每分鐘心跳的最高次數(shù)．經(jīng)過大量試驗，有如下的關(guān)系：b＝(220－a)．(1)上述關(guān)系式中的常量和變量各是什么？(2)一個15歲的學(xué)生正常情況下每分鐘心跳的最高次數(shù)是多少？解：(1)變量是b、a，常量是、220.(2)把a＝15代入b＝(220－a)，得b＝×(220－15)＝164.3．(1)齒輪每分鐘轉(zhuǎn)120轉(zhuǎn)，如果用n表示總轉(zhuǎn)數(shù)，t(分)表示時間，那么n關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式是__n＝120t__.(2)火車離開A站10km后，以55km/h的平均速度前進了t(h)小時，那么火車離開A站的距離s(km)與時間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系式是__s＝10＋55t__.4．某水果店賣蘋果，其售出質(zhì)量x(kg)與售價y(元)之間的關(guān)系如表：x(kg)12…y(元)＋＋＋＋…(1)試寫出售價y(元)與售出質(zhì)量x(kg)之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)計算當(dāng)x＝6時，y的值；(3)求售價為元時，售出蘋果的質(zhì)量．解：(1)從表中提供的信息看，質(zhì)量每增加1千克，售價增加元，所以y＝＋.(2)當(dāng)x＝6時，y＝×6＋＝.(3)當(dāng)y＝時，＋＝，解得x＝8.即售價為元時售出蘋果的質(zhì)量為8kg.【教學(xué)說明】用字母表示的量不一定是變量，如π、g等表示的是常量，要從變與不變的實質(zhì)出發(fā)來分辨變量和常量．五、師生互動，課堂小結(jié)由學(xué)生談本節(jié)課的收獲及仍存在的疑問等．教師根據(jù)學(xué)生的發(fā)言，予以點評總結(jié)．課后作業(yè)1．布置作業(yè)：從教材“習(xí)題”中選?。?．完成練習(xí)冊中本課時練習(xí)．教學(xué)反思本課時內(nèi)容是學(xué)生的認(rèn)識由常量到變量的一個飛躍，教學(xué)時應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，創(chuàng)設(shè)豐富的現(xiàn)實情境，使學(xué)生感知變量存在的意義，體會變量間的相互依存關(guān)系和變化規(guī)律，掌握函數(shù)的知識．教學(xué)重在引導(dǎo)學(xué)生探究新知，在觀察、分析后歸納、概括，注重學(xué)生的過程經(jīng)歷和體驗，讓學(xué)生領(lǐng)悟到現(xiàn)實生活中存在著多姿多彩的數(shù)學(xué)問題，提高研究與應(yīng)用能力．

19．函數(shù)的圖象第1課時函數(shù)圖象的意義及畫法教學(xué)目標(biāo)【知識與技能】學(xué)會觀察圖象，畫圖象及理解圖象所表示的含義．了解圖象的意義及其與實際生活的聯(lián)系和區(qū)別．【過程與方法】從熟悉的情境出發(fā)，經(jīng)歷從圖中分析變量之間關(guān)系的過程，理解函數(shù)圖象的意義．會對實際生活中的例子用兩變量之間關(guān)系的圖象進行描述表達，初步認(rèn)識函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系．【情感態(tài)度】滲透數(shù)形結(jié)合思想，體會到數(shù)學(xué)來源于實際生活，又應(yīng)用于生活，培養(yǎng)學(xué)生的團結(jié)協(xié)作精神．【教學(xué)重點】把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象，再根據(jù)圖象來研究實際問題．【教學(xué)難點】從圖象中獲取信息．教學(xué)過程一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識【問題1】教材中圖－4是自動測溫儀記錄的圖象，它反映了北京的春季某天氣溫T如何隨時間t的變化而變化．你從中獲取了哪些信息？【教學(xué)說明】教師依據(jù)學(xué)生發(fā)言情況，總結(jié)：氣溫T是時間t的函數(shù)．由圖可知：(1)這一天凌晨4時氣溫最低(－3℃)，14時氣溫最高(8℃)．(2)從0時至4時氣溫呈下降狀態(tài)(即溫度隨時間的增大而下降)，從4時到14時氣溫呈上升狀態(tài)，從14時至24時呈下降狀態(tài)．(3)可以從圖象上看出這一天任一時刻的氣溫大約是多少．(4)如果長期觀察這樣的氣溫圖象，就能得到更多的信息，掌握更多的氣溫變化情況．【問題2】教材中圖－4反映的是氣溫與時間之間的函數(shù)關(guān)系，那么這個函數(shù)關(guān)系能列式表示嗎？【教學(xué)說明】學(xué)生討論后教師歸納：有些問題中的函數(shù)關(guān)系很難列式子表示，但是可以用圖象來直觀地反映．如用心電圖表示心臟生物電流與時間的關(guān)系．二、思考探究，獲取新知【教學(xué)說明】下列問題是為了幫助學(xué)生領(lǐng)會和掌握函數(shù)圖象的意義與畫法，注重引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納、概括和交流，教師重在引導(dǎo)、評點和補充．【問題1】正方形的邊長x與面積S的函數(shù)關(guān)系式是S＝x2，其中自變量x的取值范圍為x＞0.我們可以在坐標(biāo)系中利用畫圖的方法來表示S與x的關(guān)系，自變量x的一個確定的值與它所對應(yīng)的唯一的函數(shù)值S是否確定了一個點(x，S)呢？填寫下列表格并繪制函數(shù)圖象．x01234S【問題2】結(jié)合函數(shù)、函數(shù)圖象的定義畫出圖象．【教學(xué)說明】教師帶領(lǐng)學(xué)生根據(jù)步驟畫出圖象，并指明畫圖象時的注意事項，然后引導(dǎo)學(xué)生逐步讀圖象，體會圖象的作用．三、運用新知，深化理解【教學(xué)說明】下面兩個問題分別引導(dǎo)學(xué)生解決簡單的函數(shù)應(yīng)用題和學(xué)會函數(shù)圖象的繪制，教師重在指導(dǎo)，體現(xiàn)學(xué)生的操作交流能力并獲得實際體驗．【問題1】如圖反映的是一段過程：小明從家里出發(fā)去菜地澆水，又去玉米地鋤草，然后回家，其中x表示時間，y表示小明離他家的距離，小明家、菜地、玉米地在同一條直線上．根據(jù)圖象回答下列問題：(1)菜地離小明家多遠(yuǎn)？小明走到菜地用了多長時間？(2)小明給菜地澆水用了多少時間？(3)菜地離玉米地多遠(yuǎn)？小明從菜地走到玉米地用了多少時間？(4)小明給玉米地鋤草用了多少時間？(5)玉米地離小明家多遠(yuǎn)？小明從玉米地走回家的平均速度是多少？由學(xué)生共同交流得到答案：(1)菜地離小明家km；小明走到菜地用了15min.(2)小明給菜地澆水用了10min.(3)菜地離玉米地km；小明從菜地走到玉米地用了12min.(4)小明給玉米地鋤草用了18min.(5)玉米地離小明家2km，小明從玉米地走回家的平均速度是80m/min.【問題2】畫出y＝eq\f(6,x)(x＞0)的圖象．分小組共同完成，教師場下巡回指導(dǎo)．列表：x123456…y12632eq\f(12,7)1…根據(jù)表中數(shù)值描出點(x，y)，并用平滑曲線連接這些點，函數(shù)圖象如圖所示.【歸納總結(jié)】(1)連接各點時一定要用平滑曲線，不要把兩點間畫成線段．(2)注意x＞0，即只畫圖象在第一象限的部分，但畫出的圖象不能在兩端加端點，因為圖象還可延伸，只是無法一一畫出．【教學(xué)說明】下列問題是訓(xùn)練學(xué)生閱讀圖象的能力，教師可靈活運用．【問題3】小明、爸爸、爺爺同時從家中出發(fā)向同一目標(biāo)前進，小明前eq\f(1,3)路程步行，后eq\f(2,3)路程騎車；爸爸前eq\f(1,3)路程騎車，后eq\f(2,3)路程步行；爺爺前eq\f(1,3)路程步行，后eq\f(2,3)路程騎車，三人行走的路程與時間的關(guān)系可用下面三個圖象來表示：(1)三個圖象哪個對應(yīng)小明、爸爸、爺爺？(2)他們的家距目的地多遠(yuǎn)？三人走完全程各用了多少時間？(3)三個人步行的速度各是多少？【分析】解決該題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)每個人對應(yīng)的圖象．從圖中可以看出，乙圖前eq\f(1,3)的路程比后eq\f(2,3)的路程速度快，所以乙對應(yīng)爸爸，而甲和丙比較，前eq\f(1,3)的路程甲比丙慢，所以甲對應(yīng)爺爺，丙對應(yīng)小明．【答案】(1)甲對應(yīng)爺爺，乙對應(yīng)爸爸，丙對應(yīng)小明．(2)他們的家距目的地2400米，爺爺用24分走完了全程，爸爸用20分走完了全程，小明用18分走完了全程．(3)爺爺步行的速度是50米/分，爸爸步行的速度是100米/分，小明步行的速度是80米/分．四、師生互動，課堂小結(jié)圍繞下面兩點，師生交流再歸納．1．函數(shù)圖象的畫法有哪些步驟與要求？2．怎樣從圖象中獲取信息？課后作業(yè)1．布置作業(yè)：從教材“習(xí)題”中選取．2．完成練習(xí)冊中本課時練習(xí)．教學(xué)反思本課學(xué)習(xí)內(nèi)容是學(xué)生熟知的或發(fā)生在身邊的事實，是現(xiàn)實而有意義的，利于學(xué)生聯(lián)系實際，主動進行觀察、實驗、猜測、論證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷把實際問題抽象成圖象的過程，逐步獲得圖象傳達的信息，熟悉圖象語言，在此交流中真正理解函數(shù)圖象并形成函數(shù)思想．第2課時函數(shù)的三種表示方法教學(xué)目標(biāo)【知識與技能】運用豐富的實例幫助學(xué)生全面理解函數(shù)的三種表示方法．【過程與方法】通過觀察作圖，交流，使學(xué)生加深對函數(shù)三種表示方法的認(rèn)識，提高把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力．【情感態(tài)度】讓學(xué)生通過實際操作，體會函數(shù)表示方法在實際生活中的應(yīng)用價值，以激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣．【教學(xué)重點】函數(shù)三種表示方法及其應(yīng)用．【教學(xué)難點】函數(shù)三種表示方法的應(yīng)用．教學(xué)過程一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識【問題】傾斜木板，將小車置于木板頂端，觀察小車下滑過程．小車沿斜坡下滑，下滑速度與其下滑時間的關(guān)系如圖所示．(1)填寫下表：t/s123v/(m/s)(2)寫出v與t之間的關(guān)系式．【教學(xué)說明】教學(xué)時，實際演示實驗供學(xué)生觀察，再引導(dǎo)學(xué)生閱讀圖象，從中找出隱含的信息，比如：由圖知，小車的速度在2s時間內(nèi)由0增加到5m/s，表明平均每秒增加m/s，進而推出這個活動過程中包含的函數(shù)關(guān)系式為：v＝.二、思考探究，獲取新知【問題1】請交流列表格、寫解析式、畫圖象三種表示函數(shù)關(guān)系的方法各有什么優(yōu)點？小組活動，個人獨立思考后小組內(nèi)交流并作匯總，于課堂上向全班師生匯報．教師引導(dǎo)全班探討交流，最后總結(jié)．列表法直接給出部分函數(shù)值，解析式法明顯地表示對應(yīng)規(guī)律，圖象法明顯地表示趨勢．【教學(xué)說明】表示函數(shù)時，要根據(jù)具體情況選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，有時為了全面地認(rèn)識問題，需要同時運用幾種方法．【問題2】一個水庫的水位在最近5小時內(nèi)持續(xù)上漲，下表記錄了這5小時內(nèi)6個時間點的水位高度．t/時012345y/米10(1)由記錄表推出5小時中水位高度y(單位：米)隨時間t(單位：時)變化的函數(shù)解析式，并畫出這個函數(shù)的圖象．(2)據(jù)估計這種上漲情況還會持續(xù)2小時，預(yù)測再過2小時水位高度將達到多少米．【分析】記錄表已經(jīng)通過6組數(shù)值反映了時間t與水位y之間的對應(yīng)關(guān)系，現(xiàn)在需要從這些數(shù)值找出兩個變量之間的一般聯(lián)系規(guī)律，并由此寫出函數(shù)解析式，再畫出圖象，預(yù)測出水位的結(jié)果．解：(1)由表可知，開始水位高10米，以后每隔1小時，水位就升高米，這樣的規(guī)律可以表示為y＝＋10(0≤t≤7)，其圖象如圖．(2)再過2小時的水位高度，就是t＝5＋2＝7時，y＝＋10的函數(shù)值，故有y＝×7＋10＝，也可利用函數(shù)圖象估計出這個值．【教學(xué)說明】(2)的預(yù)測是建立在未來2小時水位上升規(guī)律不改變的假設(shè)之上的，根據(jù)問題的數(shù)據(jù)及對未來的假設(shè)有0≤t≤7，故畫出的函數(shù)圖象是線段，其左右端點的橫坐標(biāo)分別為0和7.三、典例精析，掌握新知【例1】如圖是某觀水站8月上旬記錄的水位圖，看圖回答：(1)8月5日的水位是多少米？8月10日呢？(2)在這10天中，哪一天的水位最高？最高水位是多少？哪一天的水位最低？最低水位是多少？(3)這10天中的水位差(最高水位－最低水位)是多少？從最低水位到最高水位經(jīng)過幾天？最高水位保持了幾天？(4)這10天中，有哪幾天的水位在上升？有哪幾天的水位在下降？有沒有水位保持不變的？(5)從圖象中，你還能了解哪些信息？能試著分析水位變化的原因嗎？【分析】不同背景下的圖象的上升、下降等變化所表示的實際意義并不相同，所以，要結(jié)合背景材料先弄清楚一些詞語的意義，如“水位差”等．【答案】(1)由圖可知，8月5日的水位是12m，8月10日的水位是10m；(2)8月7日水位最高，為m，8月3日水位最低，為m；(3)水位差＝－＝(m)，從最低水位到最高水位經(jīng)過了4天，只有8