為了估計(jì)總體X的未知參數(shù)，通過(guò)樣本尋求一個(gè)區(qū)間，并且給出此區(qū)間包含參數(shù)真值的可信程度．這就是總體未知參數(shù)的區(qū)間估計(jì)問(wèn)題．§7.4區(qū)間估計(jì)可信度：越大越好估計(jì)你的年齡

八成可能性在18－24歲之間被估參數(shù)可信度范圍、區(qū)間區(qū)間：越小越好

在區(qū)間估計(jì)理論中，被廣泛接受的一種觀點(diǎn)是置信區(qū)間，它是由奈曼（Neymann)于1934年提出的。區(qū)間估計(jì)的目的：找出未知參數(shù)的一個(gè)變化范圍使得該范圍包含的真值的概率為1-α1.定義

設(shè)總體X的分布函數(shù)F(x;),為未知參數(shù)，X1,X2,…,Xn是取自總體的樣本.設(shè)滿(mǎn)足0<<1,則稱(chēng)隨機(jī)區(qū)間為的置信水平至少為1-

的置信區(qū)間,一、置信區(qū)間(ConfidenceInterval)這種估計(jì)的方法叫做區(qū)間估計(jì).稱(chēng)為置信水平(置信度)．

和分別稱(chēng)為置信度為的雙側(cè)置信下限與雙側(cè)置信上限.是兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量.若2、置信區(qū)間的特性：1)是隨機(jī)的：若反復(fù)抽樣多次(各次得到的樣本容量相等,都是n)按伯努利大數(shù)定理,在這樣多的區(qū)間中,2)置信區(qū)間可能包含的真值,也可能不包含；對(duì)于一個(gè)特定樣本1-反映了不等式的可靠性3)兩難性(Dilemma)：大，1-大，但參數(shù)的不確定性大；小，1-小，但對(duì)參數(shù)的確定具有較高的精度；3.評(píng)價(jià)置信區(qū)間好壞標(biāo)準(zhǔn)：(1)精度：越小越好；(2)置信度：越大越好.置信度與估計(jì)精度是一對(duì)矛盾.一般準(zhǔn)則：在保證置信度的條件下盡可能提高精度.(1)從未知參數(shù)的某個(gè)點(diǎn)估計(jì)出發(fā),構(gòu)造與的一個(gè)函數(shù)W(,),使得W的分布已知，且不依賴(lài)于未知參數(shù)

.二、尋求置信區(qū)間的步驟(3)利用不等式運(yùn)算,將不等式(2)適當(dāng)選取兩個(gè)常數(shù)a,b,使對(duì)給定的1-，有等價(jià)變形為=1-得=1-此時(shí)參數(shù)的置信水平為1-

的置信區(qū)間為定義例

設(shè)X～N(0,

1),若數(shù)z

滿(mǎn)足條件=1.645=2.57=3.100x則稱(chēng)點(diǎn)z

為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)

(如圖).標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)=-1.645例如210(0.05)?n=10n=10??F分布的上側(cè)分位數(shù)例如事實(shí)上,故求?性質(zhì)例1

證明證例1對(duì)于給定的,有解：得的置信度為的置信區(qū)間為:常寫(xiě)成例

設(shè)總體為已知,是X的樣本，求的置信度為的置信區(qū)間.查表得于是得到一個(gè)置信度為0.95的置信區(qū)間即2)若樣本值為,則得到一個(gè)置信區(qū)間即(4.71,5.69)說(shuō)明的真值含在(4.71,5.69)的可信程度為95%1)例如當(dāng)時(shí),即又若說(shuō)明：3)構(gòu)造方式不同置信區(qū)間也不同,如上例也有這樣得到的置信度為0.95的另一個(gè)置信區(qū)間§7.5正態(tài)總體均值與

方差的區(qū)間估計(jì)一、單個(gè)正態(tài)總體的情況二、兩個(gè)正態(tài)總體的情況對(duì)于給定的(0<<1),由

設(shè)總體X~N(,2),X1,X2,…,Xn是總體X的樣本，求,2

的置信水平為(1)的置信區(qū)間.

一、單個(gè)正態(tài)總體的情況1.均值的置信區(qū)間(a)2為已知時(shí),因?yàn)楣实闹眯哦人綖?1)的置信區(qū)間:(2為已知)/2/2知或X是的無(wú)偏估計(jì),且⑴(b)2為未知時(shí),因?yàn)镾2是2的無(wú)偏估計(jì)量,所以用S替換,求得的置信水平為(1)的置信區(qū)間:(2未知)/2/2(2)例1

有一大批糖果，現(xiàn)從中隨機(jī)地取16袋，稱(chēng)得重量（以克計(jì)）如下：506508499503504510497512514505493496506502509496，設(shè)袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布，試求總體均值的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：2未知,1-=0.95,/2=0.025,n-1=15,

由公式(2)得均值的置信度為0.95的置信區(qū)間為即（500.4,507.1）

這就是說(shuō)估計(jì)袋裝糖果重量的均值在500.4與507.1之間，這個(gè)估計(jì)的可信程度為95%。若以此區(qū)間內(nèi)任一值作為的估計(jì)值，其誤差不大于（克），這個(gè)誤差估計(jì)的可信程度為95%。由已知的數(shù)據(jù)算得

2的無(wú)偏估計(jì)量為S2

，(只介紹未知的情況)當(dāng)1-給定后,因?yàn)榧吹玫椒讲?

的一個(gè)置信度為1-

的置信區(qū)間:(2)方差2

的置信區(qū)間標(biāo)準(zhǔn)差

的一個(gè)置信度為1-

的置信區(qū)間/2/2(3)(4)例2

有一大批糖果,現(xiàn)從中隨機(jī)地取16袋,稱(chēng)得重量（以克計(jì)）如下：506508499503504510497512514505493496506502509496,設(shè)袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布，試求總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：現(xiàn)在查表得又s=6.2022，(4.58,9.60)得所求的標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間為由(4)式(a)12,22均為已知:設(shè)總體X~N(1,12),Y~N(2,22),

X1,X2,…,Xn1是X的樣本,Y1,Y2,…,Yn2是Y的樣本.這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，分別為第一、二個(gè)總體的樣本均值與方差.因?yàn)?-2的無(wú)偏估計(jì)量,而即得1-2

的(1)置信區(qū)間:(1)兩個(gè)總體均值差

1-2

的置信區(qū)間(置信度為(1))二、兩個(gè)正態(tài)總體的情況(5)由第六章§2定理四知

(b),但為未知.從而可得的一個(gè)置信度為的置信區(qū)間為此處(6)例3為比較I，II兩種型號(hào)步槍子彈的槍口速度，隨機(jī)地取I型子彈10發(fā)，得到槍口速度的平均值為，標(biāo)準(zhǔn)差．隨機(jī)地取II型子彈20發(fā)，得到槍口速度的平均值為，標(biāo)準(zhǔn)差。假設(shè)兩總體都可認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布，且由生產(chǎn)過(guò)程可認(rèn)為它們的方差相等。求兩總體均值差的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：按實(shí)際情況，認(rèn)為分別來(lái)自?xún)蓚€(gè)總體的樣本是相互獨(dú)立的。又由假設(shè)兩總體的方差相等，但數(shù)值未知，故可用統(tǒng)計(jì)量即（3.07,4.93）.故所求的兩總體均值差的置信度為0.95的置信區(qū)間是=0.95,=0.025得置信區(qū)間：由于例4

為提高某一化學(xué)生產(chǎn)過(guò)程的得率，試圖采用一種新的催化劑。為慎重起見(jiàn)，在實(shí)驗(yàn)工廠先進(jìn)行試驗(yàn)，設(shè)采用原來(lái)的催化劑進(jìn)行了n1=8次試驗(yàn)，得到得率的平均值，樣本方差

;又采用新的催化劑進(jìn)行了n2=8次試驗(yàn)，得到得率的均值，樣本方差，假設(shè)兩總體都可認(rèn)為服從正態(tài)分布，且方差相等，試求兩總體均值差的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：由題意取統(tǒng)計(jì)量得置信區(qū)間：則求的置信區(qū)間為即(-4.15,0.11).計(jì)算得由于所得置信區(qū)間包含零，在實(shí)際中我們就認(rèn)為采用這兩種催化劑所得的得率的均值沒(méi)有顯著差別。作業(yè)第173-175頁(yè)第七章習(xí)題

4（1）（2）；5；8；10；11；1216；18；

21

僅討論總體均值1,2

為未知的情況。

(2)兩個(gè)總體方差比的置信區(qū)間由于即于是得的一個(gè)置信度為的置信區(qū)間為例5

研究由機(jī)器A和機(jī)器B生產(chǎn)的鋼管的內(nèi)徑，隨機(jī)抽取機(jī)器A生產(chǎn)的管子16只，測(cè)得樣本方差；抽取機(jī)器B生產(chǎn)的管子13只，測(cè)得樣本方差。設(shè)兩樣本相互獨(dú)立，且設(shè)由機(jī)器A、機(jī)器B生產(chǎn)的管子的內(nèi)徑分別服從正態(tài)分布,這里均未知。試求方差比的置信度為0.90的置信區(qū)間。解的置信度為的置信區(qū)間為（0.45,2.83）由于的置信區(qū)間包含1，在實(shí)際中我們就認(rèn)為兩者沒(méi)有顯著差別。的置信度為的置信區(qū)間為X1,X2,…,Xn(n>50)是X的大樣本，求p的置信度為(1)

的置信區(qū)間.§7.6（0-1）分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

設(shè)總體X~b(1,p),p為未知參數(shù),X的分布律為由中心極限定理（棣莫弗---拉普拉斯定理），知已知(0-1)分布的均值和方差分別為于是有近似N(0，1)記而不等式等價(jià)于于是得p

的置信度為(1)的近似置信區(qū)間為:解一級(jí)品率p是（0-1）分布的參數(shù)，此處例設(shè)自一大批產(chǎn)品的100個(gè)樣品中，得一級(jí)品60個(gè)，求這批產(chǎn)品的一級(jí)品率p

的置信度為0.95的置信區(qū)間。而故得p

的置信度為0.95的近似置信區(qū)間為(0.50,0.69).按(5.7)、(5.8)式來(lái)求p

的置信區(qū)間，其中稱(chēng)隨機(jī)區(qū)間()是的置信水平為1-

的單側(cè)置信區(qū)間

,稱(chēng)為的置信水平為1-

的單側(cè)置信下限。

對(duì)于給定值

(0<<1),若由樣本X1,X2,…,Xn

確定的統(tǒng)計(jì)量§7.7單側(cè)置信區(qū)間稱(chēng)隨機(jī)區(qū)間是的置信水平為1-的單側(cè)置信區(qū)間,稱(chēng)為的置信度為1-的單側(cè)置信上限。,對(duì)任意滿(mǎn)足又若統(tǒng)計(jì)量,對(duì)任意滿(mǎn)足即于是得到的一個(gè)置信度為的單側(cè)置信區(qū)間例如

對(duì)于正態(tài)總體X,若均值,方差均為未知，的