分數階偏微分方程在圖像處理的應用第一頁，共十八頁，2022年，8月28日數字圖像處理簡介圖像去噪一般可以分為兩類：空域去噪方法和變換域去噪方法

空域去噪方法是直接對圖像的像素進行處理，如均值濾波，中值濾波和偏微分方程濾波方法

變換域去噪方法主要是利用有用信號和噪聲信號在變換域中表現(xiàn)出的不同特征來有效的去除噪聲，如傅里葉變換，小波變換濾波方法數字圖像處理(DigitalImageProcessing)是通過計算機對圖像進行去除噪聲、增強、復原、分割、提取特征等處理的方法和技術。在航天航空、生物醫(yī)學、通訊工程等多個方面有廣泛的應用。第二頁，共十八頁，2022年，8月28日偏微分方程圖像去噪方法偏微分方程（PartialDifferentialEquations

）圖像處理一般是采用某一能量泛函,通過變分法,得到歐拉-拉格朗日方程，并用梯度下降法求得相應的解。初次出現(xiàn)的PDE濾波模型是線性的熱擴散方程，該模型的擴散行為是朝四周各個方向的，不可避免地會破壞圖像的邊緣等特色。為了克服這種缺陷，許多研究者從各種角度提出各種方法來避免這種“同向擴散（IsotropicDiffusion）”行為，于是就誕生了各種整數階PDE濾波模型，如P-M模型，ROF模型等等。第三頁，共十八頁，2022年，8月28日分數階偏微分方程圖像處理的優(yōu)點從數學性質上講,對紋理結構的本身特性而言,紋理是具有弱導數(即分數階導數)特性的信息,整數階微分算子并不適合于處理這類具有弱導數的信息。上圖為分數階微分算子在階次不同時的幅頻特性。從圖中可以清楚地得出：分數階微分算子對信號都有加強的作用，并且加強的幅度隨頻率和微分階次的增加而非線性地急劇增強，在信號的低頻部分(ω<1)，分數階微分算子對信號的幅值進行了一定的提升，并且提升的幅度稍大于1階次和2階次微分；在信號的高頻部分(ω>1)，分數階微分算子對信號的幅值進行一定的提升，但是提升的幅度也明顯小于1階次和2階次微分。上述性質表明，分數階微分算子在加強信號中高頻成分的同時，對信號的甚低頻分量進行了非線性保留。所以，分數階微分可以大幅提升高頻成分，增強中頻成分，非線性保留低頻成分。所以采用分數階微分進行圖像去噪時，不僅能夠較好地保持圖像邊緣特征，還能較好地保留圖像平滑區(qū)域內灰度變化不大的紋理細節(jié)信息。第四頁，共十八頁，2022年，8月28日分數階導數的定義分數階微積分的定義主要分為空域中的定義和頻域中的定義兩大類,空域中的定義主要包括Grumwald-Letnikov定義、Riemann-Liouville定義和Caputo定義,頻域中的定義主要包括在Fourier變換域、LaPlace變換域中的定義形式。下面只介紹本文中使用的Grumwald-Letnikov分數階導數:設在閉區(qū)間上連續(xù)，則關于的階導數可以表示為,其中，稱為廣義二項式系數，為伽瑪函數，為取整運算第五頁，共十八頁，2022年，8月28日全變分（TVD）去噪模型令u（x,y）為原始的清晰圖像，f（x，y）為受到噪聲污染的圖像。即n（x，y）為具有零均值、方差為的隨機噪聲，則TV去噪模型可表示為：其中：右邊第一項為圖像的正則項，它在極小化過程中可以起到抑制噪聲的作用；第二項為保真項，它主要起保持圖像邊緣特征和降低圖像失真度的作用。為梯度算子；為圖像的定義域，像素點(x,y)∈Ω。該模型存在的不足：一方面，由于該模型中正則項僅包含|▽u|，很多研究結果表明該模型本身存在固有缺陷，即在處理平滑區(qū)域時，有可能將噪聲當成邊緣，從而容易產生“階梯”效應；另一方面，雖然TV圖像去噪方法進行圖像去噪有利于保持圖像邊緣信息，但對于圖像的紋理細節(jié)的刻畫卻不夠理想。因此有必要在此模型上進行改進。第六頁，共十八頁，2022年，8月28日新分數階全變分圖像去噪模型全變分模型的一般形式：受分數階微分理論和TV模型的啟發(fā)，本文將上式中的整數階微分運算用階微分來替換：其中是一個的對角矩陣，代表第i個像素的正則化參數，，其中代表第i個元素微分的分數階次，且為離散化分數階梯度算子，這樣替換有兩個好處:1)全變分模型去噪效果好與保持圖像邊緣細節(jié)特征的優(yōu)點得到了很好地繼承;2)分數階微分可以大幅提升圖像高頻成分、增強圖像中頻成分、非線性保留圖像低頻成分的特性,較好地保留了更多圖像平滑區(qū)域中灰度變化不大的紋理細節(jié)信息。這樣一來,本文建立的新模型較好地解決在去除噪聲的同時,保持圖像邊緣特征這一矛盾,并且還能保留了圖像更多的紋理細節(jié)信息。分別代表x和y方向的分數階差分算子。第七頁，共十八頁，2022年，8月28日為了求解上式，我們應用交替最小化的步驟，即，對，依次求解運用半二次正則化方法與分離變量法將問題轉化，前兩式的每一步迭代都有確切的解,第三個最小化的解可以利用下式得到：,

第八頁，共十八頁，2022年，8月28日輸入待處理圖像f；，初始化迭代程序，對下式進行迭代直到收斂4.輸出（3.7）式的近似解，程序結束。概括上述步驟得到MATLAB偽碼，并將模型寫成矩陣形式：3.2.設置第九頁，共十八頁，2022年，8月28日在使用矩陣方法進行分數階微分離散前，需要先將二維圖像矩陣進行降維操作，假設圖像u(i,j)是一個的矩陣，i與j分別表示像素對應的列和行，將圖像轉化為長度為的向量：分數階導數的離散其中，上式中，K是用于近似計算的像素個數，是一個實系數，定義為如下形式：對任意像素（i，j）的離散分數階梯度有如下定義：第十頁，共十八頁，2022年，8月28日現(xiàn)在，我們來考慮模型中的分數階微分算子令取定值，并且假設圖像滿足狄利克雷均勻邊界條件，則兩個矩陣和為特普利茨分塊矩陣，可以表示為如下形式：其中表示克羅內克積，是n階的單位矩陣，是特普利茨下三角帶矩陣，該矩陣第一列為,其中K表示用于近似計算的節(jié)點數。和寫成矩陣形式，第十一頁，共十八頁，2022年，8月28日

圖像對應的向量u可以表示為：當矩陣，乘以向量u時，有如下結果，第十二頁，共十八頁，2022年，8月28日

(a)原圖(b)噪聲圖(c)α=1.2

(e)α=1.4(f)α=1.5

(g)α=1.6(h)α=1.7α1.21.31.41.51.61.7噪聲圖PSNR/dB20.154520.995322.569619.918415.924812.960519.3836不同分數階次微分的實驗對比

(d)α=1.3第十三頁，共十八頁，2022年，8月28日

(a)噪聲圖σ2=0.01(b)線性濾波(c)中值濾波

(d)TV模型(e)P-M模型(f)本文模型α=1.4PSNR線性濾波中值濾波TV模型P-M模型本文模型去噪前0.0120.696521.273622.117220.149222.569619.3836Lena圖像去噪效果對比第十四頁，共十八頁，2022年，8月28日

(a)噪聲圖σ2=0.01(b)線性濾波(c)中值濾波

(d)TV模型(e)P-M模型(f)本文模型α=1.4Barbara圖像去噪效果對比第十五頁，共十八頁，2022年，8月28日

（a）線性濾波（b）中值濾波（c）TV模型

(d)P-M模型（e）本文模型α=1.4紅框內細節(jié)紋理部分放大對比第十六頁，共十八頁，2022年，8月28日本文從全變分去噪模型和分數階微分理論出發(fā),推導出了一種基于分數階偏微分方程的圖像去噪新模型。該模型不僅繼承了TV模型去噪模型優(yōu)點,保持了圖像的邊緣細節(jié)特征,而且很大限度上保留了圖像的紋理細節(jié)信息。實驗結果表明,與現(xiàn)有的去噪方法相比,新模型具有更優(yōu)的噪聲抑制