角分和段垂直分知點解定理在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等；定理2：到一個角的兩距離相等的點，在這個角的平分線上。角平分線另一種定義：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合。在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設。那么這兩個命題叫做互逆命題，其中一個叫做另一個的逆命題。如果一個定理的逆命題是經(jīng)過證明的真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫互逆定理。其中一個叫另一個的逆定理，雖然一個命題都有逆命題，但一個定理并不都有逆定理。定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。逆定理：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

線段的垂直分線另一種義：線段的直平分線可看作和線段個端點距離相等的所有的集合。

例分

第階例1.已知如圖CD⊥AB于D，BE⊥AC于，且CD、BE相交O點求證：）當1=2時，OB=OC）當OB=OC時，1=2點：要證OB=OC，須證Rt△CEO與Rt全等由對頂角等與1=2的條件，即得證，反之成立。此是證明互逆命題。答：證明（）1=2，OE，OD∴OE=OD（角分線上的點角兩邊距離相等）∴OB=OC在△OEC與△ODB中∴△OEC≌△ODB）（2∵OE⊥AC，OD⊥AB∴△OEC≌△ODB（AAS）∴OEC=∴OE=OD

在△OEC與△ODB中說：利用平分性質(zhì)定或判定定理，一定要注意垂直的條。例寫出命題“角三角形兩銳角互余”逆命題，并斷它的真假點：在判逆命題時，明確互余的角必是銳角，另外在未一個三角形出判斷之前般不稱“銳”。答：解：命題是：有個角互余的角形是直角三角形。說：在寫個命題的逆題時，并不將原命題的題設和結論單地互換，注意命題本的邏輯性。

例3.已知：如圖1=2，BC⊥AC于C⊥AD于D，連結CDABE.求證AB垂平分CD點：要證結論“垂直分”，實際（1）AB⊥CD（2）CE=ED角相等和垂兩個條件寫后，再使用平分線性質(zhì)理，得BC=BD，利用△CBE與△DBE全等得證。答：證明：∵1=2，BC⊥AC，BD⊥AD∴BC=BD（角分線上的點到這個角的兩邊的距離等）∵1+3=2+4=90°∴3=4（等角的余角等）在△CBE與△DBE中

∴△CBE≌△DBE（SAS∴CE=DE，CEB=DEB∵C，E，D三在同一直線∴AB⊥CD于E∴AB垂直平分CD說：用了平分線性質(zhì)理，可代替全等三角形得到的結論簡化證明過。

第階例已知：如圖AB=CD，AD=BC，AO=OC過點O任一直線交AB于，交CD于F

求證：（1）AD//BC（2D+（）BE=DF點：要AD//BC，須證3=4由已知件，可證得ADC≌得角等線段等的結論后再證△EOA與△FOC全等，再線段和、差證明：（1在△ADC與△CBA中∵AD//BC∴B+DAB=180°∵△ADC≌△CBA（SSS）∴3=4∴AD//BC

（2∵△ADC≌△CBA∴B=D∴D+DAB=180°∵DC=ABCF=AE∴AB-AE=CD-CF（3∵△ADC△CBA∴1=2在△FOC與△EOA中

即BE=DF∴△FOC≌△EOA（ASA）∴CF=AE

說：（1）利用三形全等可以明線段相等角相等（或補），也可證明兩直線位置關系（平行或垂）（2）如果EF分別與AD延長線交，結論如呢？如果EF⊥AB，結論又如何呢？試一試，EF過O點動起來觀察其特殊位置關系，看有什么結論？例求證：有兩邊其中一邊上高對應相等兩個銳角三形全等。點：對命題證明，先依題意，出符合條的銳角三角，再根據(jù)圖，寫出已知求證，利用等三角形知識進行證明已知：如圖在銳角△ABC與△’B’C’中，’B，BC=B’C’，AD⊥BC于，A’D’⊥B’C’于D，AD=A’D’求證：△ABC≌△A’B’C’證明：在Rt△ABD與Rt△A’B’D中在△ABC與A’B’C’中

∴Rt△ABD≌Rt△A’D’（HL）∴B=B

∴△ABC≌△A’B’C’（SAS）說：（1）此類命中的兩個三形，在畫圖，一般不具備特殊的位關系，證明在獨立的兩三角形間進。（2）命題明是個難點要加強文字語言與數(shù)學符號，言的轉(zhuǎn)化訓。例3.已知：如AD為△的平分線于E，DF⊥AB于F，EF交AD于M,求證：MF=ME點：要證MF=ME，要證所在三角形全等由AD是角分線條件可得DE=DF，3=4，則這個結論恰巧全等創(chuàng)造了極好的條件答：證明：∵AD為△ABC的角平分線

，在Rt△AFDRt△AED中DE⊥AC，DF⊥AB1+3=4=90°∴DE=DF

∴3=4

1=2在△FDM與△EDM中∴△FDM△EDM∴MF=ME說：在知條件中，角平分線，以在角平線上任取一向兩邊作垂，構造全等角形。第階例已知：如圖，正方形ABCD中，E對角線上一點，過點D作DG⊥AE交AC于F，G垂足。

求證：（1）△CDF≌△DAE）EF//AB點撥△CDF與△DAE中知正方形件可得到DC=ADDCF=ADE=45°須再證一邊一角等，由BD⊥AC⊥AE，出1=2則CDG=證明：（1）∵四形ABCD正方形（2由△CDF≌△DAE得∴DC=DA∵AC與BD為角線∴3=ADE=45°4=5=45°AC⊥BD∵DG⊥AE∴在Rt△DFO與Rt△AFG1=2（等的余角相等

CF=DE∵AC，BD交于OABCD是正形∴DO=CO，DO⊥CO∴OE=OF△OFE等腰直角三形∵△OAB是等腰直角三角形∴OEF=OBA=45°

∴CDF=DAE∴EF//AB∴△CDF△DAE）說：在較復雜的形中，注意殊四邊形，角形所隱含條件，如正形的對角線具有的性質(zhì)平行四邊形邊，角，梯的中位線，角，等邊三形的邊與角等都具有特性質(zhì)，結合目中的條件行選擇性應。例已知：如圖△ABC中，ACB=90°⊥AB于D，ABC的平分線交于G，

交AC于E，GF//AB交AC于F求證AF=CG點：AF不在某個角形中，所要借助于它等量來證明。由1=2，BG是公共邊，以構造與△CGB全等的三角形所以過G作GH//AF就在必行。答：證：過G作GH//AF交ABH∵FG//AB∴四邊形是平四邊形∴AF=HG，A=

∵ACB=90°，CD⊥AB∴3=A=4∵BE是角平分線∴1=2∴△BCG≌△BHG）∴CG=GH=AF∴AF=CG說：把線用平行線轉(zhuǎn)到其它三角中，借助于中介量證明段相等，還以在長線段截取某線段已知線段等例如圖，在梯ABCD，AD//BC，E，F(xiàn)分是BD，AC的中點，BD平分ABC求證：）AE⊥BD（2）EF=（BC-AB）

點：在1）中，只須證△ABE與△ADE全等，在（2中，把延長，構造△ADE△GBE全等，得AD=BG，AB和等量AD轉(zhuǎn)移到上。答：證明1）∵AD//BC（2）延長AE交BC于G∴2=3

可證△AED≌△GEB（ASA∴AB=AD∴AD=BG=AB∵E是BD的中點∴BE=DE

∵EF是△AGC的位線∴EF=GC∵1=2=3AE是公共邊∴△AEB≌△AED∴AEB=AED

∵GC=BC-BG=BC-AD=BC-AB∴EF=（BC-AB）∴AEB=90°∴AE⊥BD

說：從直觀看，圖形不完善，可通作輔助線先善圖形，如把AE延長后沒有破壞原形的完整性，又構造了等形和圖形有的對稱性。例精例1.已知如圖在ΔABC中AD是∠BAC的平線，DE⊥AB于E，DFAC于F，證：AD⊥EF。分析：欲證AD

⊥EF

，就要證∠AOE=AOF=

∠

°。所以要慮證ΔAEO≌ΔAFO。由題條件可知ΔAEO，ΔAFO已有一邊（公邊）一角對相等，只要出AE=AF問就解決了，以需先證明≌。證：是∠BAC的分線，，DF⊥AC（已）∴DE=DF

（角平分線的點到這個的兩邊距離等）在和RtΔAFD中∴RtΔAEDRtΔAFD(HL),

∴AE=AF(等三角形對應邊相等)在ΔAEOΔAFO

∴ΔAEO≌ΔAFO,∴∠∠AOF(

全等三角形應角相等)∴∠AOE=

∠

°，∴AD⊥EF

（垂直定義。例寫出下列定的逆命題，并判斷真假(1)同角相等，直線平行。(2)如x=3，那么x2=9.(3)如ΔABC是直三角形，那當每個內(nèi)角一個對應外時，ΔABC的三個角中只有兩鈍角。(4)如ΔABCΔA'B'C'，那么BC=B'C',AC=A'C',

∠ABC=∠A'B'C'。解：(1)的命題是：直線平行，位角相等，命題。(2)的命題是：2=9,則x=3。是一個命題?！?-3)

=9,

∴

或x=-3.(3)的命題是：果ΔABC的每個內(nèi)角取個對應外角，若三個外中只有兩個角，那么ΔABC是直角角形。

它是一個假題，因為ΔABC還可能鈍角三角形(4)的命題：如在ΔABC和ΔA'B'C'，BC=B'C'，AC=A'C'，∠ABC=∠A'B'C'，那么Δ≌ΔA'B'C'。這是一個假題，因為有邊及其中一的對角對應等的兩個三形不一定全等。例已知：圖，M，N分別在∠的兩邊，求作一點，使點到M，N兩點的距離相等且到∠AOB兩邊的離相等。作法：1、連結MN，線段MN垂直平線CD2、作∠AOB的平分OE，交CD于P，點P即為所。例在等腰直角角形ABC中，已知AB=AC，B的平線交ACD。求證：BC=AC+AD

分：圖：BD為∠ABC

的平分線，

⊥AB，利用角平分的性質(zhì)，可轉(zhuǎn)化方法是作DE垂直于E則有AD=DE，容易得到DE=CE，AB=BE。證明：過DDE垂直BCE，∵

為∠ABC

的平分線，A=90°∴AD=DE（角平分線的質(zhì)）在Rt和RtΔEBD中，∴RtΔABDRtΔEBD（HL）∴AB=EB∵ΔABC等腰直角角形（已知，∴∠C=45

°

DE垂直BC于E，∴∠

°，∴∠C=∠EDC=45

°，∴DE=EC等腰三角形性質(zhì)）∴BC=BE+CE=AB+DE=AC+AD說：種方法是利角平分線的質(zhì)作DEBC，實際上是長的線段BC上，作出了BE=AB=AC，以只要證明AD=EC就以證明結。相應的，可以將線段AB補長，方法如。方法二：如圖，延長BA到M，使得AM=AD，接DM。證提：只要明三角形BDM和三角BDC全等即。（容易證∠∠C=45

°）例已知：如圖∠∠2

，BC=BD求證：AC=AD。分析：注意利用圖形的對稱性，連結CD，只證明直線AB是線段CD的垂直分線。

證明：連結CDAB于點E，∵BC=BD∠∠

，∴

∴是等ΔCBD頂角平分線（三角角平分線定）垂直平分CD（等三角形頂平分線平分垂直底邊）∴直線AE是線段CD的垂直平分線又∵點A在直線AE上∴AC=AD（線段直平分線上點到這條線兩端點距相等。）說：可以證明ΔCBA和全。小結：主要內(nèi)容是平分線的性定理和它的定理以及線垂直平分線性質(zhì)定理及其逆定理能夠利用它證明兩個角等或兩條線相等對于原命題逆命題的關系，要能說題設和結論比較簡單的題的逆命題同練：一、寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。（1）對頂角相等；

（2）兩直線平行，位角相等。（3）如果a=-b,么a|=|b|。（4）若a·b=0,則二、填空題在等腰中AB=ACBAC=120

°的垂平分線交BC于DDC=6厘米∠DAC=_____,BC=_____,

點D到AB的距離______D到AC的距離為_____。三、已知如圖，在Rt中，∠C=90°，AB垂直平線交BC于D，∠CAD∠DAB=12求∠B的度數(shù)。四、如圖所，已知，三形ABC中，AB>AC,P在ABC的角平線AD上。求：AB-AC>BP-PC.五、如圖：BF

⊥AC，CE

⊥AB，CE、BF交于D且BD=CD。求證：∠BAC

的平分線上

六、如圖，在Rt中，∠C=90

°，AC=BC是∠BAC

的平分線，DE

⊥AB，垂足為E。求：ΔDBE的長等于AB。七、在中已知AB的直平分線交AC于E，ΔABCΔBEC的周長別為24厘米和14厘米，求AB長。答案：一、1.若兩個相等，則這個角是對頂，假命題。2．同位角相等，直線平行真命題。3．如果|a|=|b|，那么a=-b，假命。4．若a=0,ab=0真命。二、9cm,1.5cm,3cm

三、∠

°四、提示：AB上取AE=AC，ΔBEP中，BP-PE<BE.五、提示：RtΔBDE

≌

ΔCDF，得DE=DF。六、提示：DE=CD可證ΔACD≌ΔAED，∴AC=AEΔDBE周長=DE+EB+BD=CD+BD+EB=BC+BE=AC+BE=AE+EB=AB。七、提示：如圖，連接BE，BE=AE，AD=BD，∴三角形BEC的周長于BE+CE+BC=AE+EC+BC=AC+BC，AB=24-14=10（cm

專輔角分的用平線應。幾何題中，常出現(xiàn)“已角的平分線這一條件。個條件一般下面幾個方面的應用：（1）利用“角的平線上的點到個角的兩距離相等”性質(zhì)，證明條線段相等（2）利用角是軸對圖形，構造等三角形（3）構造等腰三角。應用舉例：

用角分的義例1.圖，已知AB=AC，AD//BC求證AD平分∠證明：因AB=AC，故∠B=∠C又因AD//BC，∠1=∠B，∠2=∠C，

。故∠∠2

，即AD分∠EAC

。用等三形線一例2.方形ABCD中，CD的中，E是BC邊上的一，且AE=DC+CE，證：AF平∠DAE。證明：連結并延長，交AD的延長線于G，則ΔFDG≌ΔFCE，故CE=DG，EF=GF，是AG=AD+DG=DC+CE=AE。又因EF=GF，故AF是等腰三形的底邊上中線，于是平分∠。

用定定理：到一個角兩邊距離相等的點，在這個的平分線上。例3.如圖已知ΔABC的兩個外角∠、∠NCA的分線相交于P，求證點P在∠B的平分線上。證明：過P作PD

⊥AB，PE

⊥AC，PF

⊥BC，垂足分別是D、F，因P在∠MAC

的平分線上故PD=PE。又因P在∠ACN平分線上故PE=PF，是PD=PF，故點P在∠B

的平分線上4.和平線合用容易到等線基本圖形：

P是∠CAB

的平分線上點，PD

∥AB，則有∠1=∠2=∠3

，所以AD=DP。例4.圖，ΔABC中，∠B

的平分線與C

外角的平分交于D，過D作BC的平行線交AB、AC于E、F，求證EF=BE-CF。分析：由BD平分∠ABC，ED

∥BC，不難得出BE=DE。要證EF=BE-CF，就轉(zhuǎn)為要證EF=DE-CF。面要證FD=FC，即證∠FCD=FDC

。由CD分∠ACG

∥BC，很容易得出FCD=∠FDC

，從而問題證。用角分的稱。例5.圖，已知在ΔABC中，AB>AC，ADΔABC的角平分，P是AD上點，求證AB-AC>PB-PC。

分析：證明等關系，一要把所證明有關線段放一個三角形。通過角平分線這一條可以構造全三角形：在AB上截取AC'=AC，則有Δ≌，AC'=AC,PC'=PC。在ΔBPC'，BC'+C'P>PB,即AB-AC'>PB-PC'，從而得出AB-AC>PB-PC中典1．（云南昆明）圖，在ΔABC中AB=AC，DE是AB垂直平分，的周長14，BC=6，則AB的長_________?？迹褐逼椒志€的質(zhì)評析：因為DE是AB的中垂線可知AE=BE，ΔBCE的周長為14，BC=6所以BE+EC=8，而BE+EC=AE+EC=AC=AB=8。真題專練1．（安徽?。┰贏BC中，∠A=50°，AB=AC，AB的直平分線DE交于D，∠DBC的度數(shù)是________.答：1、15°

練習題1.選擇（1在下列各組件中，能斷△ABC≌△A’B’C的是（）。A.B.C.D.（2下列命題中正確的命是（）A.一邊等的兩個直三角形全等B.斜邊等的兩個直三角形全等C.兩條角邊對應相的兩直角三形全等D.兩個腰直角三角全等（3如圖，ABCD是正形，P是BC上一點，延