開卷速查(三十九)數(shù)學(xué)概括法A級(jí)基礎(chǔ)穩(wěn)固練1．在數(shù)列中，b＝2，b＋＝3bn＋4(n∈N*)．求b，b，試判n1n12bn＋323定bn與2的大小，并加以證明．3bn＋4分析：由b1＝2，bn＋1＝，得2bn＋33×2＋41058b2＝2×2＋3＝7，b3＝41.經(jīng)比較有b1＞2，b2＞2，b3＞2.猜想bn＞2(n∈N*)下邊利用數(shù)學(xué)概括法證明．(1)當(dāng)n＝1時(shí)，因b1＝2，因此2＜b1.(2)假定當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)，結(jié)論建立，即2＜bk.∴bk－2＞0.3bk＋4當(dāng)n＝k＋1時(shí)，bk＋1－2＝－22bk＋33－22bk＋4－32＝3－22bk－2＝＞0.2bk＋32bk＋3∴bk＋1＞2，也就是說(shuō)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也建立．依據(jù)(1)、(2)，知bn＞2(n∈N*)．bn*2．已知點(diǎn)Pn(an，bn)知足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝1－4a2n(n∈N)且點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(1，－1)．(1)求過(guò)點(diǎn)P1，P2的直線l的方程；(2)試用數(shù)學(xué)概括法證明：關(guān)于n∈N*，點(diǎn)Pn都在(1)中的直線l上．分析：(1)由P1的坐標(biāo)為，－1)知a1＝，1＝－1.(11b∴b2＝b1＝1，a2＝a1·b2＝1.1－4a12331∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為3，3，∴直線l的方程為2x＋y＝1.(2)證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，2a1＋b1＝2×1＋(－1)＝1建立．②假定當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，2ak＋bk＝1建立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝bk(2ak＋1)＝bk＝1－2ak＝1，1－4ak21－2ak1－2ak∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也建立．由①、②知，關(guān)于n∈N*，都有2an＋bn＝1，即點(diǎn)Pn在直線l上．3．已知數(shù)列{an}知足a1＝0，a2＝1，當(dāng)n∈N*時(shí)，an＋2＝an＋1＋an.求證：數(shù)列{an}的第4m＋1項(xiàng)(m∈N*)能被3整除．證明：(1)當(dāng)m＝1時(shí)，a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝(a3＋a2)＋(a2＋a1)＝(a2＋a1)＋2a2＋a1＝3a2＋2a1＝3＋0＝3.即當(dāng)m＝1時(shí)，第4m＋1項(xiàng)能被3整除．故命題建立．(2)假定當(dāng)m＝k時(shí)，a4k＋1能被3整除，則當(dāng)m＝k＋1時(shí)，a4(k＋1)＋1＝a4k＋5＝a4k＋4＋a4k＋3＝2a4k＋3＋a4k＋2＝2(a4k＋2＋a4k＋1)＋a4k＋2＝3a4k＋2＋2a4k＋1.明顯，3a4k＋2能被3整除，又由假定知a4k＋1能被3整除．因此3a4k＋2＋2a4k＋1能被3整除．即當(dāng)m＝k＋1時(shí)，a4(k＋1)＋1也能被3整除．命題也建立．由(1)和(2)知，關(guān)于隨意n∈N*，數(shù)列{an}中的第4m＋1項(xiàng)能被3整除．B級(jí)能力提高練4．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1(n∈N*)．(1)求a1，a2；(2)猜想數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式，并給出證明．分析：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，方程x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，∴(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，1解得a1＝2.當(dāng)n＝2時(shí)，方程x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a1＋a2－1＝a21－2，∴a2－122－a2a2－12－a2＝0，解得a2＝16.(2)由題意知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，代入上式整理得SnSn－1－2Sn＋1＝0，解得Sn＝1.2－Sn－11112由(1)得S1＝a1＝2，S2＝a1＋a2＝2＋6＝3.猜想Sn＝n(n∈N*)．n＋1下邊用數(shù)學(xué)概括法證明這個(gè)結(jié)論．①當(dāng)n＝1時(shí)，結(jié)論建立．②假定n＝k(k∈N*，k≥1)時(shí)結(jié)論建立，即Sk＝k，k