圓錐曲線之范圍、最值問題A組基礎(chǔ)鞏固1．（2021·北京中學(xué)高二期中）已知是橢圓的左、右焦點，點P為C上一點，O為坐標(biāo)原點，為正三角形，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合圖像，利用平面幾何的知識證得，結(jié)合橢圓的定義可分別求出及，由此得到的關(guān)系式，進而可求得橢圓C的離心率.【詳解】如圖，連結(jié)，由橢圓可知，，因為為正三角形，所以，又因為，所以，又，所以，故，所以在中，，所以由得，即，故橢圓C的離心率為.故選：B..2．（2022·福建省龍巖第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，分別是橢圓的左，右焦點，若在橢圓上存在點，使得的面積等于，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角形的面積公式，結(jié)合橢圓的定義和基本不等式求解即可.【詳解】由題意得，而，則有，由橢圓定義可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，于是有，則，又，即有，所以橢圓的離心率的取值范圍為.故選：A.3．（2022·四川·石室中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知拋物線：的焦點為，圓：，過點的直線與拋物線交于，兩點，與圓交于，兩點，且點，在同一象限，則的最小值為（

）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】B【分析】確定拋物線焦點坐標(biāo)和圓的圓心以及半徑，設(shè)，，聯(lián)立，求得，利用拋物線的焦半徑公式結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】由已知得．顯然，直線不與軸垂直．圓：的圓心為,半徑為3,設(shè)直線：．聯(lián)立，得，．設(shè)，，，則，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，故的最小值為12，故選：B4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知分別為雙曲線的左、右頂點，點P為雙曲線C上任意一點，記直線，直線的斜率分別為．若，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】設(shè)，應(yīng)用斜率兩點式得到，根據(jù)P為雙曲線C上一點即可得雙曲線參數(shù)關(guān)系，進而求其離心率.【詳解】依題意，設(shè)，則，∴，又，∴，故，即.故選：A5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線右支上任意一點，若的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，則，根據(jù)雙曲線的定義，再利用基本不等式求出的最小值，從而得到，即可求出離心率的取值范圍.【詳解】解：設(shè)，則，由雙曲線的定義知，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，∴當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r，，，此時，解得，又，∴．故選：C．6．（2021·全國·高考真題（理））設(shè)是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，由，根據(jù)兩點間的距離公式表示出，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可．【詳解】設(shè)，由，因為，，所以，因為，當(dāng)，即時，，即，符合題意，由可得，即；當(dāng)，即時，，即，化簡得，，顯然該不等式不成立．故選：C．【點睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值．7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的兩焦點為，若橢圓上存在點，使，則橢圓的離心率的取值范圍為.A． B． C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)P是橢圓的上下頂點時,最大,則橢圓的離心率的取值范圍為,故選C.【點睛】本題考查了橢圓的幾何意義,屬于中檔題目.在客觀題求離心率取值范圍時,往往利用圖形中給出的幾何關(guān)系結(jié)合圓錐曲線的定義,找出a,b,c之間的等量關(guān)系或者不等關(guān)系,考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力,在主觀題中多考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,利用方程的聯(lián)立和判別式解不等式求出離心率的范圍.8．（2019·河南·許昌高中高三階段練習(xí)（理））已知橢圓，點，是長軸的兩個端點，若橢圓上存在點，使得，則該橢圓的離心率的最小值為()A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)得短軸端點（設(shè)為M）對長軸張角最大，即得,再根據(jù),解得離心率的最小值.【詳解】設(shè)M為橢圓短軸一端點，則由題意得,即,因為，所以，,選C.【點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標(biāo)的范圍等.9．（2020·天津·高二期末）已知橢圓與雙曲線公共焦點為，點為兩曲線的一個公共交點，且，則雙曲線的虛軸長為___________.【答案】6【分析】不妨取橢圓與雙曲線的交點在第一象限，設(shè)，，且，由橢圓方程可求得，，由雙曲線的性質(zhì)可得，從而可求得，，由余弦定理即可求解的值，由可求得的值，從而可得結(jié)論．【詳解】解：不妨取橢圓與雙曲線的交點在第一象限，如圖所示：設(shè)，，且，由橢圓方程可知，，所以，所以，，，，所以①，由雙曲線方程可知②，①②聯(lián)立可得，，在中，由余弦定理得，即，解得，所以，所以，所以雙曲線的虛軸長為．故答案為：6．10．（2022·湖北·丹江口市第一中學(xué)模擬預(yù)測）若為橢圓的左、右焦點，點P為C上一點，若對任意的，均存在四個不同的點P滿足，則C的離心率e的取值范圍為_______．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律得，進而根據(jù)的范圍得到，結(jié)合有4個不同的點，即可得滿足的關(guān)系系，進而可求離心率的范圍.【詳解】設(shè)O為坐標(biāo)原點，則，故，由于，故，若存在四個不同的點P滿足，又，所以即解得，即．故答案為：11．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知，分別是雙曲線：的左，右焦點，動點在雙曲線的左支上，點為圓：上一動點，則的最小值為______．【答案】【分析】求出雙曲線的焦點坐標(biāo)，應(yīng)用雙曲線的定義和圓的性質(zhì)，結(jié)合三點共線時取得最值，即可得到的最小值.【詳解】雙曲線中，，，，，圓半徑為，，，(當(dāng)且僅當(dāng)共線且在之間時取等號)，，當(dāng)且僅當(dāng)是線段與雙曲線的交點時取等號．的最小值是7．故答案為：7.12．（2021·四川省眉山第一中學(xué)高二期中（理））已知，分別為橢圓的左、右焦點，若直線上存在點，使為等腰三角形，則橢圓離心率的范圍是________．【答案】【分析】首次按判斷出為等腰三角形只可能，再利用直線與軸的交點、點、點構(gòu)成的三角形中，即可解出橢圓離心率的范圍【詳解】為等腰三角形，只可能即，又因為點在直線上，即又因為橢圓所以故填【點睛】本題考查橢圓的離心率的取值范圍，找到直線與軸的交點、點、點構(gòu)成的三角形中，是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．13．（2019·黑龍江·大慶實驗中學(xué)高二期中（理））已知，是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最大值為_________【答案】【分析】由題，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可表示出，再利用余弦定理可得，最后再利用柯西不等式可的結(jié)果.【詳解】由題，設(shè)橢圓為：，雙曲線為：由定義可得在三角形中，由余弦定理可得：整理可得：由柯西不等式：所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故答案為【點睛】本題考查了橢圓和雙曲線的綜合知識，熟悉性質(zhì)和定義是解題的關(guān)鍵，還有了解余弦定理以及柯西不等式，綜合性強，屬于難題.14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知有相同焦點、的橢圓和雙曲線，點P是它們的一個交點，則面積的大小是________．【答案】1【解析】設(shè)，，由橢圓和雙曲線的定義整理得，由焦點相同可得，結(jié)合余弦定理可證明，從而可求出面積.【詳解】如圖所示，不妨設(shè)兩曲線的交點位于雙曲線的右支上，設(shè)，．由雙曲線和橢圓的定義可得，整理得，在中，，∵，∴，∴，∴．∴面積為，故答案為:1.【點睛】本題考查了橢圓的定義，考查了雙曲線的定義，考查了余弦定理，屬于中檔題.

B組能力提升15．（2022·江蘇·南京市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知是橢圓與雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且，線段的垂直平分線過，若橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則的最小值為（

）A． B．3 C．6 D．【答案】C【分析】利用橢圓和雙曲線的性質(zhì)，用橢圓雙曲線的焦距長軸長表示，再利用均值不等式得到答案．【詳解】設(shè)橢圓長軸，雙曲線實軸，由題意可知：，又，，兩式相減，可得：，，．，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，的最小值為6，故選：C．【點睛】本題考查了橢圓雙曲線的性質(zhì)，用橢圓雙曲線的焦距長軸長表示是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計算能力．16．（2021·江蘇·高二單元測試）設(shè)橢圓的焦點為，，是橢圓上一點，且，若的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為，，當(dāng)時，橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用正弦定理得到，再利用橢圓的定義，設(shè)，，得到，結(jié)合余弦定理，得到，即得解.【詳解】橢圓的焦點為，，根據(jù)正弦定理可得∴，.設(shè)，，則，由余弦定理得，∴，∴，又，∴即，故，解得：或（舍）.故選：.【點睛】本題考查了橢圓的性質(zhì)綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過且垂直于軸的直線與該雙曲線的左支交于，兩點，，分別交軸于，兩點，若的周長為16，則的最大值為______.【答案】4【分析】由題意可得的周長為32，利用雙曲線的定義，可得，進而轉(zhuǎn)化，變形后利用均值不等式求解即可.【詳解】如圖：由的周長為16，所以的周長為32，AB是雙曲線的通徑，，，可得，可得則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故填.【點睛】本題主要考查了雙曲線的定義，基本不等式的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于難題.18．（2021·新疆·烏市八中高二階段練習(xí)）已知點分別是雙曲線：的左右兩焦點，過點的直線與雙曲線的左右兩支分別交于兩點，若是以為頂角的等腰三角形，其中，則雙曲線離心率的取值范圍為______.【答案】【詳解】分析：根據(jù)雙曲線的定義，可求得，設(shè)，由余弦定理可得，，進而可得結(jié)果.詳解：如圖，，又，則有，不妨假設(shè)，則有，可得，中余弦定理，，，即，故答案為.點睛：本題主要考查利用雙曲線的簡單性質(zhì)求雙曲線的離心率，屬于中檔題.求離心率范圍問題應(yīng)先將用有關(guān)的一些量表示出來，再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的不等式，從而求出的范圍.本題是利用點到直線的距離等于圓半徑構(gòu)造出關(guān)于的等式，最后解出的值.19．（2021·北京·高考真題）已知橢圓一個頂點，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形面積為．（1）求橢圓E的方程；（2）過點P(0，-3)的直線l斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與直線交y=-3交于點M，N，當(dāng)|PM|+|PN|≤15時，求k的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)橢圓所過的點及四個頂點圍成的四邊形的面積可求，從而可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)，求出直線的方程后可得的橫坐標(biāo)，從而可得，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理化簡，從而可求的范圍，注意判別式的要求.【詳解】（1）因為橢圓過，故，因為四個頂點圍成的四邊形的面積為，故，即，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)，因為直線的斜率存在，故，故直線，令，則，同理.直線，由可得，故，解得或.又，故，所以又故即，綜上，或.20．（2020·安徽省舒城中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知圓與定點，動圓過點且與圓相切．（1）求動圓圓心的軌跡的方程；（2）若過定點的直線交軌跡于不同的兩點、，求弦長的最大值．【答案】（1）（2）【分析】（1）由題設(shè)可知，動圓與定圓相內(nèi)切，結(jié)合橢圓的定義，即可求得動圓圓心的軌跡方程；（2）弦長問題采用代入法，直線斜率不存在弦長為，直線斜率存在時，設(shè)坐標(biāo)，直線方程，聯(lián)立橢圓與直線方程，通過和韋達(dá)定理表示出，最后運用換元法和函數(shù)的性質(zhì)，確定最大值.【詳解】解：（1）設(shè)圓的半徑為，題意可知，點滿足：，，所以，，

由橢圓定義知點的軌跡為以為焦點的橢圓，且進而，故軌跡方程為：．（2）當(dāng)直線斜率不存在時，，或，，此時弦長．

當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)的方程為：，由消去得：，由△恒成立，設(shè)、，可得：，，

，令8，則，，，．綜上，弦長的最大值為．【點睛】本題考查確定曲線軌跡方程的定義法，考查橢圓的定義、圓與圓的位置關(guān)系、直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想，是綜合題.21．（2021·江蘇南通·高二期中）在平面中，已知橢圓過點，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）直線方程為，直線與橢圓交于