7.5外接球（精講）（提升版）思維導圖思維導圖考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一漢堡模型【例1】（2022·陜西）已知底面邊長為1，側(cè)棱長為則正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可知，正四棱柱的體對角線即為外接球的直徑，故，解得，故球的體積為：.故選：D.【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習）已知在三棱錐中，，，，平面，則三棱錐的外接球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，由余弦定理得：，，外接圓半徑，又平面，三棱錐的外接球半徑，則三棱錐的外接球的表面積.故選：A.2．（2022·全國·高三專題練習）已知在三棱錐中，平面，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因平面，平面，則，而，則，三棱錐的外接球截平面所得小圓圓心是正的中心，，連，則平面，取線段的中點，則球的球心在過E垂直于直線的垂面上，連，如圖，則四邊形是矩形，，因此，球的半徑有：，所以三棱錐外接球的表面積.故選：C3．（2023·山西大同·高三階段練習）球內(nèi)接直三棱柱，則球表面積為___________.【答案】【解析】設(shè)三角形ABC和三角形的外心分別為D，E．可知其外接球的球心O是線段DE的中點，連結(jié)OC，CD，設(shè)外接球的半徑為R，三角形ABC的外接圓的半徑r，可得，由正弦定理得，，而在三角形OCD中，可知，即，因此三棱柱外接球的表面積為．故答案為：考點二墻角模型【例2】（2022·全國·高三專題練習）長方體的長，寬，高分別為3，，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】球O的半徑為，∴體積．故選：A【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習）已知四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，若四棱錐P-ABCD外接球的表面積為，則四棱錐P-ABCD的體積為（

）A．3 B．2 C． D．1【答案】D【解析】設(shè)四棱錐P-ABCD外接球的半徑為R，則，即．由題意，易知，得，設(shè)，得，解得，所以四棱錐P-ABCD的體積為．故選：D2．（2022·全國·高三專題練習）已知三棱錐中，，底面，，，則該三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：如圖所示，將三棱錐放在長、寬、高分別為，，的長方體中，則三棱錐的外接球即為該長方本的外接球，所以外接球的直徑，∴該球的體積為.故選：B3．（2022·海原縣）已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，且平面，，，，則球的表面積為___________.【答案】【解析】平面，平面，，，又，，，，，則可將三棱錐放入如下圖所示的長方體中，則長方體的外接球即為三棱錐的外接球，球的半徑，球的表面積.故答案為：.考點三斗笠模型【例3】（2023·全國·高三專題練習）已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上是邊長為的正三角形，則球的表面積等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】已知三棱錐的四個頂點都在球O的球面上，是邊長為的正三角形，如圖所示：取BC的中點D，點H為底面的中心，所以設(shè)外接球的半徑為R，所以，利用勾股定理可得，解得則球的表面積為故選：B.【一隅三反】1（2022·全國·高三專題練習）已知圓臺的母線長為2，母線與軸的夾角為60°，且上、下底面的面積之比為1：4，則該圓臺外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】圓臺上、下底面的面積之比為1：4，則半徑比為1：2，設(shè)圓臺上、下底面半徑為，因母線與軸的夾角為60°，可得圓臺高為1，則；設(shè)圓臺外接球的半徑為，球心到下底面的距離為，易得圓臺兩底面在球心同側(cè)，則，且，解得，則該圓臺外接球的表面積為.故選：C.2．（2022·湖北武漢·高三開學考試）已知正三棱錐的各頂點都在同一球面上，若該球的表面積為，則該正三棱錐體積的最大值為___________.【答案】【解析】因為，所以正三棱錐外接球半徑，正三棱錐如圖所示，設(shè)外接球圓心為，過向底面作垂線垂足為，因為是正三棱錐，所以是的中心，所以，,又因為，所以，所以，令，解得所以在遞增，在遞減，故當時，取最大值，.故答案為：.3．（2022·江西）正三棱錐P－ABC底面邊長為2，M為AB的中點，且PM⊥PC，則三棱錐P－ABC外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖，設(shè)，則，而，因為PM⊥PC，所以由勾股定理得即解得，由對稱性可知：三棱錐P－ABC外接球的球心在三棱錐P－ABC的高PD上，假設(shè)為O點，則，因為,所以，又由于點D是三角形ABC的外心，且三角形ABC為等邊三角形，所以,在三角形ODC中，由勾股定理得,即，解得，所以三棱錐P－ABC外接球的體積為.故選：C考點四麻花模型【例4】（2022·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，，，，將三棱錐放到長方體中，可得長方體的三條對角線分別為，2，，設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則，，，解得，，．所以三棱錐外接球的半徑．三棱錐外接球的體積．故選：C【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習）在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】三棱錐中，，，，構(gòu)造長方體，使得面上的對角線長分別為4，5，，則長方體的對角線長等于三棱錐外接球的直徑，如圖，設(shè)長方體的棱長分別為，，，則，，，則，因此三棱錐外接球的直徑為，所以三棱錐外接球的表面積為．故選：A2．（2022·全國·高三專題練習）在三棱錐A-BCD中，，，二面角A-BD-C是鈍角.若三棱錐A-BCD的體積為2，則A-BCD的外接球的表面積是（

）A．12π B．13π C． D．【答案】B【解析】如圖1，取中點，連接，則，，又，平面，所以平面，，所以，又，，，又由，，知為二面角的平面角，此角為鈍角，所以，所以，因此四面體可以放置在一個長方體中，四面體的六條棱是長方體的六個面對角線，如圖2，此長方體的外接球就是四面體的外接球，設(shè)長方體的棱長分別為，則，解得，所以外接球的直徑為，，球表面積為．故選：B．考點五L模型【例5】（2022·全國·高三專題練習）在三棱錐中，平面平面，，，則該三棱錐外接球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示：其中D為AB的中點，O為外接圓的圓心，，∴O在CD上，且，．，D為AB的中點，，∵平面平面ABC，平面平面，平面ABC，平面PAB．又DA，DB，平面PAB，，，．在中，，D為AB的中點，．．∴O即為三棱錐外接球的球心，且外接球半徑，∴該三棱錐外接球的表面積．故選：B【一隅三反】1（2022·江西高三）在三棱錐中，是等邊三角形，平面平面，，則三棱錐的外接球體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】中，，所以，，設(shè)是中點，則是外心，又是等邊三角形，所以，而平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以的外心即中三棱錐外接球的球心，所以球半徑，球體積為．故選：C．2．（2022·四川雅安市）在四面體ABCD中，已知平面平面，且，其外接球表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】四面體ABCD中，取AB的中點E，連CE，DE，如圖：因，則，有平面CDE，所以平面CDE⊥平面ABC，平面CDE⊥平面ABD，令正△ABD中心為O2，正△ABC中心為O1，在平面CDE內(nèi)分別過O1，O2作直線CE，DE的垂線，兩線交于點O，則有O1O⊥平面ABC，平面O2O⊥平面ABD，由球的截面小圓性質(zhì)知，四面體ABCD外接球球心在直線O1O和直線O2O上，即點O是球心，連OA，O1A，OA即為球O的半徑，因平面平面，則，而，即有四邊形OO1EO2是正方形，則，中，，則，所求外接球的表面積.故選：B3．（2023·重慶九龍坡區(qū)）在三棱錐中，平面平面，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，取中點，中點，連接，是等邊三角形，則因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，過作平面，則，因為，所以三棱錐的外接球的球心在上，設(shè)球心為，連接，設(shè)外接球半徑為，由已知，，，，在直角梯形中，，，，所以球表面積為．故選：C．考點六懷表模型【例6】（2022·全國·高三專題練習）在邊長為6的菱形ABCD中，，現(xiàn)將沿BD折起到的位置，當三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為（

）A．60π B．45π C．30π D．20π【答案】A【解析】當三棱錐的體積最大值時，平面平面，如圖，取的中點為，連接，則.設(shè)分別為，外接圓的圓心，為三棱錐的外接球的球心，則在上，在上，且,且平面，平面.平面平面，平面平面，平面，平面，，同理四邊形為平行四邊形平面，平面，即四邊形為矩形.外接球半徑外接球的表面積為故選：A.【一隅三反】1．（2022·全國·高三專題練習）在三棱錐中，是邊長為的等邊三角形，，二面角是150°，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖，作平面ABC，垂足為E，連接BE，記，連接PD.由題意可得D為AC的中點.在中，，D為AC的中點，因為，所以，則.因為二面角是150°，所以，所以，.因為是邊長為的等邊三角形，且D為AC的中點，所以.設(shè)為外接圓的圓心，則.設(shè)三棱錐外接球的球心為O，因為，所以O(shè)在平面ABC下方，連接，OB，OP，作，垂足為H，則，.設(shè)三棱錐外接球的半徑為，，即，解得，故三棱錐外接球的表面積是.故選：A.2．（2022·全國·高三專題練習）在三棱錐中，為等腰直角三角形，，為正三角形，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，為直角三角形，又，所以，因為為正三角形，所以，連接，為的中點，E為中點，則，所以為二面角的平面角所以．因為為直角三角形，E為中點，所以點為的外接圓的圓心，設(shè)G為的中心，則G為的外接圓圓心．過E作面的垂線，過G作面的垂線，設(shè)兩垂線交于O．則O即為三棱錐的外接球球心．設(shè)與交于點H，，所以,，∴．所以，故選：C.考點七矩形模型【例7】（2022·湖北襄陽市）若矩形ABCD的面積是4，沿對角線AC將矩形ABCD折成一個大小是60°的二面角B-AC-D，則四面體ABCD的外接球的體積最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為球心到四個頂點的距兩相等,所以球心在對角線上,且半徑為，設(shè)矩形的的長力x,寬為y則，所以，又，由基本不等式知:，當且僅當，即時，等號成立，，故選：B【一隅三反】1．（2022.江西）在矩形中，，沿對角線進行翻折，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為在翻折過程中，始終不變，所以的中點到，，，四點的距離始終相等，三棱錐外接球的直徑為，所以外接球的表面積為，故選：D2．（2022·天津河）將長、寬分別為和的長方形沿對角線折成直二面角，得到四面體，則四面體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】取的中點，連接、，如下圖所示：由題意，因為，為的中點，所以，，所以，為四面體的外接球的球心，且球的半徑為，因此，四面體的外接球的表面積為.故選：A.3．（2022·四川）中國古代數(shù)學家劉徽所注釋的《九章算術(shù)》中，稱四個面均為直角三角形的四面體為“鱉臑”.如圖所示的鱉臑中，面，，若，，且頂點均在球上，則球的表面積為______.【答案】【解析】由題意可知：球為鱉臑的外接球，面，面，，，又，面，，面，又面，；取中點，連接，，，同理可知：，點與球的球心重合，球的半徑，球的表面積.故答案為：.考點八內(nèi)切球【例8】（2022·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐中，，，若三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，則此三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】連接，并延長交底面于點，連接，并延長交于，在三棱錐中，，，三棱錐是正四面體，是的中心，平面，三棱錐的內(nèi)切球的表面積為，，解得球的半徑，設(shè)，則，，，，，，解得，，此三棱錐的體積為.故選：D.【一隅三反】1．（2022·江西·高三階段練習（理））在正三棱錐中，，分別是，的中點，且，，則正三棱錐的內(nèi)切球的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)點是點在底面上的射影，則平面，平面，所以，由三棱錐為正三棱錐可得，點為底面的中心，所以，又，所以平面，平面，所以，因為，分別是，的中點，所以，因為，所以，又，所以平面，又，平面，所以，，又三棱錐是正三棱錐，所以三條側(cè)棱兩兩互相垂直，因為，所以，所以，所以該三棱錐的表面積，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，又該三棱錐的體積，所以，所以此內(nèi)切球的表面積為.故選：D.2．（2022·全國·高三專題練習）在三棱錐中，平面，且，若球在三棱錐的