2021年四川省遂寧市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分，在每個小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求。）1．（4分）（2021?遂寧）的絕對值是A． B．2021 C． D．2．（4分）（2021?遂寧）下列計算中，正確的是A． B． C． D．3．（4分）（2021?遂寧）如圖所示的幾何體是由6個完全相同的小正方體搭成，其主視圖是A． B． C． D．4．（4分）（2021?遂寧）國家統(tǒng)計局2021年5月11日公布了第七次全國人口普查結(jié)果，全國總?cè)丝诩s14.1億人，將14.1億用科學(xué)記數(shù)法表示為A． B． C． D．5．（4分）（2021?遂寧）如圖，在中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，若的面積是，則四邊形的面積為A． B． C． D．6．（4分）（2021?遂寧）下列說法正確的是A．角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等 B．平行四邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形 C．在代數(shù)式，，，985，，中，，，是分式 D．若一組數(shù)據(jù)2、3、、1、5的平均數(shù)是3，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是47．（4分）（2021?遂寧）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是A． B． C． D．8．（4分）（2021?遂寧）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，把沿翻折，點(diǎn)恰好落在邊上的處，則的長是A．1 B． C． D．9．（4分）（2021?遂寧）如圖，在中，，以為直徑的分別與，交于點(diǎn)，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，若的半徑為，，則陰影部分的面積為A． B． C． D．10．（4分）（2021?遂寧）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①；②；③；④；⑤若方程有四個根，則這四個根的和為2．其中正確的結(jié)論有A．2個 B．3個 C．4個 D．5個二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）11．（4分）（2021?遂寧）若，則．12．（4分）（2021?遂寧）如圖，在中，，，直線垂直平分，垂足為，交于點(diǎn)，則的周長是．13．（4分）（2021?遂寧）已知關(guān)于，的二元一次方程組滿足，則的取值范圍是．14．（4分）（2021?遂寧）下面圖形都是由同樣大小的小球按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律排列下去，第個圖形共有210個小球．15．（4分）（2021?遂寧）如圖，正方形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連結(jié)，以為對角線作正方形，邊與正方形的對角線相交于點(diǎn)，連結(jié)，有以下五個結(jié)論：①；②；③；④；⑤若，則．你認(rèn)為其中正確是．（填寫序號）三、計算或解答題（本大題共10個小題，共90分）16．（7分）（2021?遂寧）計算：．17．（7分）（2021?遂寧）先化簡，再求值：，其中是已知兩邊分別為2和3的三角形的第三邊長，且是整數(shù)．18．（8分）（2021?遂寧）如圖，在中，對角線與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與、的延長線分別交于點(diǎn)、．（1）求證：；（2）請再添加一個條件，使四邊形是菱形，并說明理由．19．（9分）（2021?遂寧）我市于2021年5月日在遂寧觀音湖舉行了“龍舟賽”，吸引了全國各地選手參加．現(xiàn)對某校初中1000名學(xué)生就“比賽規(guī)則”的了解程度進(jìn)行了抽樣調(diào)查（參與調(diào)查的同學(xué)只能選擇其中一項），并將調(diào)查結(jié)果繪制出兩幅不完整的統(tǒng)計圖表，請根據(jù)統(tǒng)計圖表回答下列問題：類別頻數(shù)頻率不了解10了解很少160.32基本了解很了解4合計1（1）根據(jù)以上信息可知：，，，；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；（3）估計該校1000名初中學(xué)生中“基本了解”的人數(shù)約有人；（4）“很了解”的4名學(xué)生是三男一女，現(xiàn)從這4人中隨機(jī)抽取兩人去參加全市舉辦的“龍舟賽”知識競賽，請用畫樹狀圖或列表的方法說明，抽到兩名學(xué)生均為男生和抽到一男一女的概率是否相同．20．（9分）（2021?遂寧）已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，和直線（其中，不全為，則點(diǎn)到直線的距離可用公式來計算．例如：求點(diǎn)到直線的距離，因為直線可化為，其中，，，所以點(diǎn)到直線的距離為：．根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）求點(diǎn)到直線的距離；（2）在（1）的條件下，的半徑，判斷與直線的位置關(guān)系，若相交，設(shè)其弦長為，求的值；若不相交，說明理由．21．（9分）（2021?遂寧）某服裝店以每件30元的價格購進(jìn)一批恤，如果以每件40元出售，那么一個月內(nèi)能售出300件，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗，銷售單價每提高1元，銷售量就會減少10件，設(shè)恤的銷售單價提高元．（1）服裝店希望一個月內(nèi)銷售該種恤能獲得利潤3360元，并且盡可能減少庫存，問恤的銷售單價應(yīng)提高多少元？（2）當(dāng)銷售單價定為多少元時，該服裝店一個月內(nèi)銷售這種恤獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？22．（9分）（2021?遂寧）小明周末與父母一起到遂寧濕地公園進(jìn)行數(shù)學(xué)實踐活動，在處看到、處各有一棵被湖水隔開的銀杏樹，他在處測得在北偏西方向，在北偏東方向，他從處走了20米到達(dá)處，又在處測得在北偏東方向．（1）求的度數(shù)；（2）求兩顆銀杏樹、之間的距離（結(jié)果保留根號）．23．（10分）（2021?遂寧）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和，與軸交于點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）在軸上取一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e為3時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）將直線向下平移2個單位后得到直線，當(dāng)函數(shù)值時，求的取值范圍．24．（10分）（2021?遂寧）如圖，的半徑為1，點(diǎn)是的直徑延長線上的一點(diǎn)，為上的一點(diǎn)，，．（1）求證：直線是的切線；（2）求的面積；（3）點(diǎn)在上運(yùn)動（不與、重合），過點(diǎn)作的垂線，與的延長線交于點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到與點(diǎn)關(guān)于直徑對稱時，求的長；②當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時，取到最大值，并求出此時的長．25．（12分）（2021?遂寧）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于和兩點(diǎn)，與軸交于，對稱軸為直線，直線經(jīng)過點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，與對稱軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式和的值；（2）在軸上是否存在點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由；（3）直線上有、兩點(diǎn)在的左側(cè)），且，若將線段在直線上平移，當(dāng)它移動到某一位置時，四邊形的周長會達(dá)到最小，請求出周長的最小值（結(jié)果保留根號）．

2021年四川省遂寧市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分，在每個小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求。）1．（4分）（2021?遂寧）的絕對值是A． B．2021 C． D．【分析】根據(jù)絕對值的代數(shù)意義即可求解．【解答】解：的絕對值是2021，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了絕對值的代數(shù)意義，負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，這是解題的關(guān)鍵．2．（4分）（2021?遂寧）下列計算中，正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)完全平方公式，同底數(shù)冪的除法，乘法分配律，合并同類項解答即可．【解答】解：選項，原式，故該選項不符合題意；選項，原式，故該選項不符合題意；選項，原式，故該選項不符合題意；選項，原式，故該選項符合題意；故選：．【點(diǎn)評】本題考查了完全平方公式，同底數(shù)冪的除法，乘法分配律，合并同類項，注意完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)．3．（4分）（2021?遂寧）如圖所示的幾何體是由6個完全相同的小正方體搭成，其主視圖是A． B． C． D．【分析】根據(jù)簡單組合體的三視圖的意義畫出相應(yīng)的圖形即可．【解答】解：該組合體的三視圖如圖，故選：．【點(diǎn)評】本題考查簡單組合體的三視圖，理解視圖的意義是正確判斷的前提．4．（4分）（2021?遂寧）國家統(tǒng)計局2021年5月11日公布了第七次全國人口普查結(jié)果，全國總?cè)丝诩s14.1億人，將14.1億用科學(xué)記數(shù)法表示為A． B． C． D．【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為，其中，為整數(shù)，且比原來的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此判斷即可．【解答】解：14.1億．故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為，其中，確定與的值是解題的關(guān)鍵．5．（4分）（2021?遂寧）如圖，在中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，若的面積是，則四邊形的面積為A． B． C． D．【分析】由都是中點(diǎn)，可得是的中位線，則，則，且相似比是，則的面積和的面積比是，則的面積：四邊形的面積，結(jié)合已知條件，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，在中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，且，，的面積：的面積，的面積：四邊形的面積，的面積是，四邊形的面積是，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查三角形中位線的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，結(jié)合背景圖形，找到已知和所求面積的關(guān)系是解題關(guān)鍵．6．（4分）（2021?遂寧）下列說法正確的是A．角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等 B．平行四邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形 C．在代數(shù)式，，，985，，中，，，是分式 D．若一組數(shù)據(jù)2、3、、1、5的平均數(shù)是3，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是4【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)，平行四邊形特點(diǎn)、分式定義、中位數(shù)定義即可判斷．【解答】解：、根據(jù)角平分線性質(zhì)可得：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，故正確，符合題意．、平行四邊形不是軸對稱圖形，但是中心對稱圖形，故錯誤，不符合題意．、代數(shù)式，，，985，，中，，是分式，故錯誤，不符合題意．、一組數(shù)據(jù)2、3、、1、5的平均數(shù)是3，則，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3，故錯誤，不符合題意．故選：．【點(diǎn)評】本題考查角平分線性質(zhì)，平行四邊形特點(diǎn)、分式定義、中位數(shù)定義等知識，關(guān)鍵在于掌握其定義或者性質(zhì)．7．（4分）（2021?遂寧）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是A． B． C． D．【分析】分別求出每一個不等式的解集，繼而可得答案．【解答】解：解不等式，得：，解不等式，得：，不等式組的解集為，在數(shù)軸上表示為：故選：．【點(diǎn)評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．8．（4分）（2021?遂寧）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，把沿翻折，點(diǎn)恰好落在邊上的處，則的長是A．1 B． C． D．【分析】設(shè)，則由折疊性質(zhì)可知，，，求出，，在中，，即，即可求解．【解答】解：設(shè)，則．由折疊性質(zhì)可知，，．在中，，．．．在中，．即．解得．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了矩形，熟練掌握矩形的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．9．（4分）（2021?遂寧）如圖，在中，，以為直徑的分別與，交于點(diǎn)，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，若的半徑為，，則陰影部分的面積為A． B． C． D．【分析】連接，，先通過直徑所對是圓周角是直角，證出，從而得出，再通過計算即可．【解答】解：連接，為直徑，，，，，，，，，，，，，，，作于，在中，，，，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，以及扇形的面積計算等知識，求出扇形的圓心角度數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．10．（4分）（2021?遂寧）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①；②；③；④；⑤若方程有四個根，則這四個根的和為2．其中正確的結(jié)論有A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】由二次函數(shù)圖象性質(zhì)知，開口向下，則．再結(jié)合對稱軸，得．據(jù)二次函數(shù)圖象與軸正半軸相交得．由于二次函數(shù)圖象與軸交于不同兩點(diǎn)，則．【解答】解：①二次函數(shù)圖象性質(zhì)知，開口向下，則．再結(jié)合對稱軸，得．據(jù)二次函數(shù)圖象與軸正半軸相交得．．①錯．②二次函數(shù)圖象與軸交于不同兩點(diǎn)，則．．②錯．③，．又當(dāng)時，．即．．．．③正確．④要使成立，只須成立．即當(dāng)時的值大于當(dāng)時的值成立．由于時函數(shù)有最大值，所以上述式子成立．④正確．⑤將軸下方二次函數(shù)圖象翻折到軸上方，則與直線有四個交點(diǎn)即可．由二次函數(shù)圖像的軸對稱性知：關(guān)于對稱軸對稱的兩個根的和為2，四個根的和為4．故⑤錯．綜上：③④正確，故選：．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)圖象性質(zhì)，較為綜合．需要對二次函數(shù)各項系數(shù)對圖象的理解透徹，同時需要理解二次函數(shù)與方程的關(guān)系．會用數(shù)形結(jié)合的思想去解題．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）11．（4分）（2021?遂寧）若，則．【分析】直接利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出，的值，進(jìn)而得出答案．【解答】解：，，，解得：，，故．故答案為：．【點(diǎn)評】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正確得出，的值是解題關(guān)鍵．12．（4分）（2021?遂寧）如圖，在中，，，直線垂直平分，垂足為，交于點(diǎn)，則的周長是12．【分析】依據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得．周長轉(zhuǎn)化為即可求解．【解答】解：垂直平分，．．的周長是12．故答案為：12．【點(diǎn)評】本題主要考查中垂線性質(zhì)：中垂線上一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等．將所求周長轉(zhuǎn)化為的和即可．13．（4分）（2021?遂寧）已知關(guān)于，的二元一次方程組滿足，則的取值范圍是．【分析】根據(jù)方程組的特點(diǎn)，用第一個方程減第二個方程，即可得到，再根據(jù)，即可得到，從而可以求得的取值范圍．【解答】解：，①②，得，，，解得，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查解一元一次不等式、二元一次方程組的解，解答本題的關(guān)鍵是明確利用加減消元法得到的值．14．（4分）（2021?遂寧）下面圖形都是由同樣大小的小球按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律排列下去，第20個圖形共有210個小球．【分析】觀察圖形，找出圖形變化的規(guī)律即可．【解答】解：第1個圖中有1個小球，第2個圖中有3個小球，，第3個圖中有6個小球，，第4個圖中有10個小球，，照此規(guī)律，第個圖中有個小球，當(dāng)時，解之得：，（舍，故答案為：20．【點(diǎn)評】本題考查了規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形并找到小球個數(shù)的規(guī)律．15．（4分）（2021?遂寧）如圖，正方形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連結(jié)，以為對角線作正方形，邊與正方形的對角線相交于點(diǎn)，連結(jié)，有以下五個結(jié)論：①；②；③；④；⑤若，則．你認(rèn)為其中正確是①②③④．（填寫序號）【分析】①由，可知；②根據(jù)和都是等腰直角三角形，可得，從而得到；③由②相似知：，可得；④由，可證，根據(jù)對應(yīng)邊成比例即可；⑤若，設(shè)，，則，由勾股定理知，借助④的證明即可解答．【解答】解：①正方形和正方形，和都是等腰直角三角形，，；①正確，符合題意；②和都是等腰直角三角形，，又，，②正確，符合題意；③，，；③正確，符合題意；④，，，，，，，④正確，符合題意；⑤，設(shè)，，，在中，由勾股定理知：，，，，，，⑤錯誤，不符合題意；故答案為：①②③④．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定是解決問題的關(guān)鍵．三、計算或解答題（本大題共10個小題，共90分）16．（7分）（2021?遂寧）計算：．【分析】直接利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)分別化簡得出答案．【解答】解：原式．【點(diǎn)評】此題主要考查了實數(shù)運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．17．（7分）（2021?遂寧）先化簡，再求值：，其中是已知兩邊分別為2和3的三角形的第三邊長，且是整數(shù)．【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后將的值代入原式即可求出答案．【解答】解：原式，是已知兩邊分別為2和3的三角形的第三邊長，，即，為整數(shù)，、3、4，由分式有意義的條件可知：、2、3，，原式．【點(diǎn)評】本題考查分式的化簡運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則以及分式有意義的條件，本題屬于基礎(chǔ)題型．18．（8分）（2021?遂寧）如圖，在中，對角線與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與、的延長線分別交于點(diǎn)、．（1）求證：；（2）請再添加一個條件，使四邊形是菱形，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，，求得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）連結(jié)，，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：（1）四邊形是平行四邊形，，，，在和中，，，；（2）當(dāng)時，四邊形是菱形，理由如下：如圖：連結(jié)，，四邊形是平行四邊形，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形．【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)以及菱形的判定，首先利用平行四邊形的性質(zhì)構(gòu)造全等條件，然后利用全等三角形的性質(zhì)解決問題．19．（9分）（2021?遂寧）我市于2021年5月日在遂寧觀音湖舉行了“龍舟賽”，吸引了全國各地選手參加．現(xiàn)對某校初中1000名學(xué)生就“比賽規(guī)則”的了解程度進(jìn)行了抽樣調(diào)查（參與調(diào)查的同學(xué)只能選擇其中一項），并將調(diào)查結(jié)果繪制出兩幅不完整的統(tǒng)計圖表，請根據(jù)統(tǒng)計圖表回答下列問題：類別頻數(shù)頻率不了解10了解很少160.32基本了解很了解4合計1（1）根據(jù)以上信息可知：50，，，；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖；（3）估計該校1000名初中學(xué)生中“基本了解”的人數(shù)約有人；（4）“很了解”的4名學(xué)生是三男一女，現(xiàn)從這4人中隨機(jī)抽取兩人去參加全市舉辦的“龍舟賽”知識競賽，請用畫樹狀圖或列表的方法說明，抽到兩名學(xué)生均為男生和抽到一男一女的概率是否相同．【分析】（1）由“了解很少”的人數(shù)及其對應(yīng)頻率可得被調(diào)查的總?cè)藬?shù)，再根據(jù)頻數(shù)之和等于總?cè)藬?shù)可得的值，由頻率頻數(shù)總?cè)藬?shù)可得、的值；（2）根據(jù)以上所求結(jié)果即可補(bǔ)全條形圖；（3）總?cè)藬?shù)乘以樣本中“基本了解”人數(shù)所占比例即可；（4）記4名學(xué)生中3名男生分別為，，，一名女生為，列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到抽到兩名學(xué)生均為男生和抽到一男一女的結(jié)果數(shù)，求出其概率即可得出答案．【解答】解：（1），，，，故答案為：50、20、0.2、0.08；（2）補(bǔ)全條形圖如下：（3）估計該校1000名初中學(xué)生中“基本了解”的人數(shù)約有（人，故答案為：400；（4）記4名學(xué)生中3名男生分別為，，，一名女生為，列表如下：，，，，，，，，，從4人中任取兩人的所有機(jī)會均等結(jié)果共有12種，抽到兩名學(xué)生均為男生包含：、、、、、共6種等可能結(jié)果，（抽到兩名學(xué)生均為男生），抽到一男一女包含：、、、、、共六種等可能結(jié)果，（抽到一男一女），故抽到兩名學(xué)生均為男生和抽到一男一女的概率相同．【點(diǎn)評】本題考查了列表法與樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出，再從中選出符合事件或的結(jié)果數(shù)目，然后利用概率公式求事件或的概率．也考查了樣本估計總體、扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖．20．（9分）（2021?遂寧）已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，和直線（其中，不全為，則點(diǎn)到直線的距離可用公式來計算．例如：求點(diǎn)到直線的距離，因為直線可化為，其中，，，所以點(diǎn)到直線的距離為：．根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）求點(diǎn)到直線的距離；（2）在（1）的條件下，的半徑，判斷與直線的位置關(guān)系，若相交，設(shè)其弦長為，求的值；若不相交，說明理由．【分析】（1）直接利用新定義點(diǎn)到直線的距離公式求解，即可得出結(jié)論；（2）利用圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系，判斷出直線與相交，再利用垂徑定理得出，最后用勾股定理求解，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）可變形為，則其中，，，由公式得，點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離為3；（2）如圖，由（1）可知：圓心到直線的距離，圓的半徑，，直線與相交，兩交點(diǎn)記作，，連接，過點(diǎn)作于，則，在中，，，根據(jù)勾股定理得，，弦長．【點(diǎn)評】此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了新定義，點(diǎn)到直線的距離公式，垂徑定理，勾股定理，理解和運(yùn)用新定義是解本題的關(guān)鍵．21．（9分）（2021?遂寧）某服裝店以每件30元的價格購進(jìn)一批恤，如果以每件40元出售，那么一個月內(nèi)能售出300件，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗，銷售單價每提高1元，銷售量就會減少10件，設(shè)恤的銷售單價提高元．（1）服裝店希望一個月內(nèi)銷售該種恤能獲得利潤3360元，并且盡可能減少庫存，問恤的銷售單價應(yīng)提高多少元？（2）當(dāng)銷售單價定為多少元時，該服裝店一個月內(nèi)銷售這種恤獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【分析】（1）設(shè)銷售單價提高元，根據(jù)題意列出方程求解即可；（2）設(shè)銷售利潤為元，求得函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．【解答】解：（1）設(shè)恤的銷售單價提高元，由題意列方程得：，解得：或，要盡可能減少庫存，不合題意，應(yīng)舍去．恤的銷售單價應(yīng)提高2元，答：恤的銷售單價應(yīng)提高2元；（2）設(shè)利潤為元，由題意可得：，，，當(dāng)時，元，銷售單價：（元，答：當(dāng)服裝店將銷售單價定為50元時，得到最大利潤是4000元．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用利潤單件利潤銷售量列出二次函數(shù)解析式．22．（9分）（2021?遂寧）小明周末與父母一起到遂寧濕地公園進(jìn)行數(shù)學(xué)實踐活動，在處看到、處各有一棵被湖水隔開的銀杏樹，他在處測得在北偏西方向，在北偏東方向，他從處走了20米到達(dá)處，又在處測得在北偏東方向．（1）求的度數(shù)；（2）求兩顆銀杏樹、之間的距離（結(jié)果保留根號）．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，于是得到；（2）過點(diǎn)作于．根據(jù)垂直的定義得到，在中，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到米，解直角三角形得到（米，（米，于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）由題意得：，且，，且，；（2）過點(diǎn)作于．，，在中，米，，（米，在中，，（米，（米，，（米，米，答：兩顆銀杏樹、之間的距離為米．【點(diǎn)評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問題，解決此題的關(guān)鍵是構(gòu)建含特殊角的直角三角形．23．（10分）（2021?遂寧）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和，與軸交于點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）在軸上取一點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e為3時，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）將直線向下平移2個單位后得到直線，當(dāng)函數(shù)值時，求的取值范圍．【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）由且，即可求解；（3）如圖，設(shè)與的圖像交于，兩點(diǎn)，求出，，再觀察函數(shù)圖象即可求解．【解答】解：（1）過點(diǎn)，，即反比例函數(shù)：，當(dāng)時，，即，過和，則，解得，；（2）當(dāng)時，代入中得，，即，且，，或；（3）如圖，設(shè)與的圖像交于，兩點(diǎn)，向下平移兩個單位得且，，聯(lián)立，解得或，，，，或．【點(diǎn)評】本題考查的是反比例函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、圖象的平移、面積的計算等，有一定的綜合性，難度不大．24．（10分）（2021?遂寧）如圖，的半徑為1，點(diǎn)是的直徑延長線上的一點(diǎn)，為上的一點(diǎn)，，．（1）求證：直線是的切線；（2）求的面積；（3）點(diǎn)在上運(yùn)動（不與、重合），過點(diǎn)作的垂線，與的延長線交于點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到與點(diǎn)關(guān)于直徑對稱時，求的長；②當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時，取到最大值，并求出此時的長．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)求出，，求出，則可求出答案；（2）證明是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出，作于點(diǎn)，則，由勾股定理求出的長，由三角形的面積公式可求出答案；（3）①由垂徑定理可求出，由直角三角形的性質(zhì)可求出答案；②由銳角三角函數(shù)的定義及直角三角形的性質(zhì)可求出答案．【解答】（1）證明：連接，如圖1，，，，，，，，是半徑，直線是的切線；