關(guān)于函數(shù)奇偶性與周期性第一頁(yè)，共十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日1．奇偶性的定義設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，若對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有－x∈D，且f(－x)＝

f(x)(或f(－x)＝-f(x))成立，則稱f(x)為奇函數(shù)(或偶函數(shù))．2．關(guān)于奇偶性的結(jié)論與注意事項(xiàng)(1)函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì),函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．(2)函數(shù)按奇偶性分類可分為：是奇函數(shù)不是偶函數(shù)、是偶函數(shù)不是奇函數(shù)、既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)、既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)．(3)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，那么f(0)＝0；如果一個(gè)函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則其值域?yàn)閧0}，但逆命題不成立．若f(x)為偶函數(shù)，則恒有f(x)＝f(|x|)．第二頁(yè)，共十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日(4)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．(5)兩個(gè)奇(偶)函數(shù)之和、差為奇(偶)函數(shù)；兩個(gè)奇(偶)函數(shù)之積、商是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之積或商是奇函數(shù)(以上函數(shù)都不包括值恒為0的函數(shù))．第三頁(yè)，共十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日第四頁(yè)，共十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

點(diǎn)評(píng)

如何判斷函數(shù)奇偶性?

第一，求函數(shù)定義域，看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不對(duì)稱，則該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．第二，若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)表達(dá)式能化簡(jiǎn)的，則對(duì)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?jiǎn)，以便于判斷，化簡(jiǎn)時(shí)要保持定義域不改變；第三，利用定義進(jìn)行等價(jià)變形判斷．第四，分段函數(shù)利用圖象判斷較為方便．第五頁(yè)，共十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日g(－2)<g(0)<f(1)第六頁(yè)，共十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日

[例3]設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－5，5]．若當(dāng)x∈[0,5]時(shí)，f(x)的圖象如圖，則不等式f(x)<0的解是______．

變式：

設(shè)f(x)，g(x)都是R上的奇函數(shù)，若F(x)=af(x)+bg(x)+2在區(qū)間(0,+)上的最大值為5，求F(x)在(-,0)的最小值.點(diǎn)評(píng)

奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間的單調(diào)性相反；第七頁(yè)，共十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.函數(shù)的周期性對(duì)于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f(x＋T)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做周期函數(shù)．T叫做這個(gè)函數(shù)的一個(gè)周期．如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)叫做它的最小正周期．[例4]設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x).

求證：f(x)是周期函數(shù)；第八頁(yè)，共十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日[例5]已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，并且當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)＝x2＋1，則f(462)的值為A．2B．0C．1D．－1解析：∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∵f(x)圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，∴f(2－x)＝f(x)，∴f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝f(2＋(2＋x))＝－f(2＋x)＝f(x)，∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(462)＝f(115×4＋2)＝f(2)，∵f(2＋x)＝f(－x)成立，∴f(2)＝f(0)，又f(x)是R上奇函數(shù)，∴f(0)＝0，∴f(462)＝0.故選B.第九頁(yè)，共十一頁(yè)，編輯于2023年，星期日點(diǎn)評(píng)第一，若一個(gè)函數(shù)兩條對(duì)稱軸、或兩個(gè)對(duì)稱中心、或一條對(duì)稱軸和一個(gè)中心，則這個(gè)函數(shù)一定是一個(gè)周期函數(shù)，那