或者或者第八講

比例模型鳥頭型兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互這兩個(gè)三角形叫做共角三角形．鳥頭模型：有相等(或互補(bǔ)的內(nèi)角的兩個(gè)三角,其面積比等于相(或互補(bǔ)內(nèi)的夾邊乘積之比A

D即有關(guān)系式

BCADEADAE存在。ABAC

C、風(fēng)模(蝶定)任意四邊形中的比例關(guān)系：①S::S12②AO:OC蝶形定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問(wèn)題的一個(gè)途徑過(guò)造模型一面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系;另方面也以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系．梯形中比例關(guān)系:b①:S

A

a

②::S:S:b::ab;

B

b

C1③的對(duì)應(yīng)份數(shù)為

．相似型AEBG①

ADDE;ABACBC②

：eq\o\ac(△,S)ADE

eq\o\ac(△,S)

:AG別所確比的例1

如圖在

△ABC

中,

D

分別是

,BAC的點(diǎn),且AD:AB,:AC4:7

,

eq\o\ac(△,)

平方厘米,求ABC的積D答70平厘米

C解連接,

:

AB:4)(5,2

:S

AE:AC:7(4,所以

:S

eq\o\ac(△,E)

(

4:,設(shè)

份則S

份S

平方厘米,所份2平厘,份是70平方厘米ABC的積是平厘米例2已知

△DEF

的面積為

平方厘,BE,ADBD,求

△ABC

的面積．AFDBE

C答24平厘米解S

:

BD):(BABC)1):(26

,

::S

CF):(CA(1:4)):(ABAC)(2(34)6設(shè)

24份則

份

份S

份

份恰好是7平厘所以

平厘米例3如,長(zhǎng)方形的面積是36,E是AD的等分點(diǎn)ED,則影部分的面積為．A

E

A

E

O

OB

B

答2.73OOED272828OOED272828解如圖連接OE．據(jù)蝶形定理,

:

:

CDE

:S1:1CAECDE

,所以

OEN

OED

;

OM:MA

:S

:S4BAE

,

所

以

．3

A矩形ABCD

,

S

,所陰影部分1面積為：3．2例4如圖已CD,7,EF,FG,線段AB圖形分成兩部,左邊部分面積是38,右部分面積是65,那三角形的積是．A

AD

EF

G

C

EF

GB

B答40解連接AF,BD．根據(jù)題意可知,CF;DG28;所以

S

,

1221SS,S,CBFAEGADG

,于是：

SS65CBF

;

12S

;可得

40

．故三角形ADG的積是．例5四邊ABCD的角線與BD交點(diǎn)O(如圖所示．如果三角形ABD的積等于1三角形BCD面積的,AODO,么CO的度是DO的度的________倍34所以,份所以,份A

OB答2:1

C解∵:OC

:S

1:3

,∴,∴OC:OD6:3例6如圖ABC中DE,FG,互平行,ADDFFB,則

eq\o\ac(△,)ADE

:四邊形DEGF

:四邊形FGCB

．A

E

B

C答1:3:5解設(shè)

份根面積比等于相似比的平,::4::ABeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)

,因此

S

份進(jìn)而有

D

::1:3:5份份,所eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)四D四A1如,三角形的面積為平厘米,其中

:BE,BC:2

,5三角形

BDE

的面積是多少？

A

答解

12.5平厘米由于180

,所以可以用共角定,設(shè)AB份BC份則BE份BD份由角定理

:S

ABBC):()(2:25,設(shè)S

份,恰好平方厘米,所以份0.5平厘米25份是12.5平方厘米三角形BDE的積是2.5平厘2如,平行四邊形ABCD,CFCB,GDDC,HAAD,平四邊形ABCD的積是2,平行四邊形與邊形EFGH的面積比．

H

G

C

G

D

答1/18解連接AC、BD．據(jù)共角定理

F∵在ABC和△,ABC與互補(bǔ)S11∴eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)．3又

所S

．同理可得S

,

15

．所以S

15+3+236．S2所以．S36183如,三角ABC的積是是AC中點(diǎn),點(diǎn)D在上,且:DC2,AD與6ABCeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)ABCeq\o\ac(△,)DEBeq\o\ac(△,)△eq\o\ac(△,)ABCeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)ABCeq\o\ac(△,)DEBeq\o\ac(△,)△eq\o\ac(△,)交點(diǎn)．四邊形DFEC的積等于．

A

D

F

B

312

3

E3

C

D

C答5/12解方法一：連接CF,根據(jù)燕尾定,

BDSeq\o\ac(△,),eq\o\ac(△,)ABFDC2eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)ACF△

,設(shè)

△BDF

份則S

△DCF

份S

△

份

AEF

EFC

份如圖標(biāo)所以

S

DCEF

5S12方法二：連接DE,由題目條件可得到

S

1S

,eq\o\ac(△,)ADE

12

,所

eq\o\ac(△,)ABDS1ADE

,eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)DEF

1111223212

,而

CDE

12

．所以則四邊形的積等于．4如,四邊形被兩條對(duì)角線分4個(gè)三角其中三個(gè)三角形的面積已,求：⑴三角形BGC的積⑵:7A

B答61:3解⑴根據(jù)蝶形定理

SBGC

2

,那

BGC

;⑵根據(jù)蝶形定理,AGGC5如圖,平行四邊形的角線交于O點(diǎn)ODFeq\o\ac(△,、)BOE的積依次是、、和6．求：⑴求△OCF的積⑵△GCE的積．A

DOGB

E

C答42/3解根據(jù)題意可知,BCD的積為那么BCO和CDO的面積都是,所以△的面積為;⑵由于△的積為8,BOE面積為6,以△的積為,根

據(jù)

蝶

形

定

理,

:FG

:

COF

:42

,

所

以

:C

E

G

:C

那么

S

GCE

1213

．B6如,長(zhǎng)方形ABCD中:EC2:3,DF:2,三角DFG的積為2平厘米,8長(zhǎng)方A長(zhǎng)方A求長(zhǎng)方形ABCD的積．

D

D

C

C答

72平厘米解連接,．因?yàn)锽E:EC2:3,,所

DEF

1)S2

長(zhǎng)方A

．因?yàn)?/p>

S

長(zhǎng)方形ABCD

1,:GF5:1,所以210

S

GDF

10

平方厘米,所以

AFD

平方厘米因?yàn)?/p>

AFD

S

長(zhǎng)方形BCD

,所長(zhǎng)方形的積是72平厘米．7如,正方形ABCD面為3平方厘米是AD邊的中點(diǎn)．求圖中影部分的面積．CG

M

D答1平厘米解因?yàn)镸是AD上的中所以AM:BC,根據(jù)梯形蝶形定理可以知道eq\o\ac(△,)AMG

:

eq\o\ac(△,)ABG

:

eq\o\ac(△,S)MCG

:

eq\o\ac(△,S)

:2:4

,設(shè)

S

△AGM

份,則S

3

份,所以正方形的面積為份

S份所:陰影影正方

,所以

陰影

平方厘米．在下圖的正方形中E是BC邊中點(diǎn)與BD相交于點(diǎn)三角形BEF的面積為1平厘,那么正方形ABCD面是平方厘米．

答12平厘米解連接DE,根據(jù)題意可知BEAD2,根蝶形定理得

梯形

(平方厘米,

△ECD

(平方厘米,那么

ABCD

(平厘米)．9已是行四邊,BC:2,三形ODE的積為6平厘陰影部分的面積是平方厘米．B

A

DOC

DABE答21平厘米解連AC．由于ABCD是行四邊形,:2,所以:AD,根據(jù)梯形蝶形定理,

S

S

S

DOE

S

AOD

2

2

:6:9

,所以

AOC

(平厘米,

(平厘米)又

15

(平厘米),陰影部分面積為6(平方厘)．101110右中ABCD是形是行四邊,已知三角形面積如圖所(單位：平方厘米)陰影部分的面積是平方厘米．

DA

D

O

EC答6平厘米解連AE．由于AD與BC是平行所以AECD也梯形,那么

OCD

OAE

．根據(jù)蝶形定理,

S

OAE

OAD

4

,故

OCD

2

36

,所以

6

(平厘米)．C11右圖中是形是行四邊,已知角形面積如圖所(位方厘米,陰影部分的面積是平方厘米．A

8

816

16

2

2B答4平厘米

EB解連接．于AD與是平行,所以AECD也梯形,那

S

．根據(jù)蝶形定理,

OCE

2

,故

,所以

(平厘米)．另解：在平行四邊形ABED,

ADE

12

2

(平方厘米,所以

AOE

ADE

(平方厘米,根據(jù)蝶形定,陰影部分的面積8(平方厘米)．11在邊形,其角線、交于點(diǎn)。且。知四邊形的面積為1,eq\o\ac(△,)的面積。答解

分別用、、、表eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)、eq\o\ac(△,)。由鳥頭模型可：△△△＝因此＝。因?yàn)?、＝可知、＝因即eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)＝四邊形12DEFDEF13如所,正方形

ABCD

邊長(zhǎng)為米AE

1AC,BC．角形的面積3為______平方厘米．ADEB

C答案10平方厘米解析由題知

12AC、CF可得CEAC根據(jù)”共角定理”可,33eq\o\ac(△,S)

:

eq\o\ac(△,)

CF):(AC)

:(3;

;所以

;同理得S

:

:3;,

,S

故S

(方厘)．14如圖,已知角形

面積為1,延長(zhǎng)AB至

,使BD延

至

E

,使

;延長(zhǎng)

至

F

,使

,求三角形

DEF

的面積．F

答18解用共角定理∵在ABC和CFE中與補(bǔ)∴

AC．又S

,以S

．同理可得

．所以S

18．13．15如所示,正方形ABCD邊為厘,E是AD中點(diǎn),F是的中,G是BF的中點(diǎn),三角形

ABG

的面積是多少平方厘米？

F

答

12平厘米解連接AF、．因?yàn)?/p>

eq\o\ac(△,)

eq\o\ac(△,)

14

,根據(jù)當(dāng)兩個(gè)三角形有一個(gè)角相等或互補(bǔ)時(shí),這兩個(gè)三角形的面積比等于夾這個(gè)角的兩邊長(zhǎng)度的乘積比”S

,

,再據(jù)”當(dāng)兩個(gè)三角形有一個(gè)角相等或互補(bǔ),這兩個(gè)三角形的面積比等于夾這個(gè)角的兩邊長(zhǎng)度的乘積比得S

,

,

,所以

平厘米．1如,三角形被分成了甲陰影部分兩,分面積是甲部分面積的幾倍？

BDDC,BE,AE乙

甲

乙D

答5解連接AD．BE,6∴,

又∵BD,S

S

,∴

,SS14CHBDHGCHBDHGEHB222

如圖在△ABC中,

D

在

BA

的延長(zhǎng)線上,

E

在

上,且AB:AD5:

,

AE2

,

eq\o\ac(△,)

平方厘米,求

△

的面積．DAEB答平厘米解連接,

:

::5(2:(5所以

eq\o\ac(△,)

:

eq\o\ac(△,)

2):,設(shè)

份則

份

平方厘米所以1份2平方厘,25份是50平厘,ABC的積是平厘．3長(zhǎng)形ABCD的面積為36,EG各邊中點(diǎn)為AD邊任意一點(diǎn),問(wèn)陰影部分面積是多少？AHDEB

答13.5解尋找可利用的條,連接BH、HC,下圖：ADEB

FC11SS可得：、、

,而S

ABCD

AHB

CHB

15AHBCHBCHDABCDEAHBCHBCHDABCDEMN份,份,份．即

()

;

陰影

,S

EBF

111BEAB)BC)3622

．所以陰影部分的面積是：

S陰影

13.54如所,在平行四邊形ABCD,為AB的點(diǎn)

AF

,三角形圖陰影部)的面積為平方米．平行四邊形的面積是多少平方厘米？

CA

E

B答案48平方厘米解析連接FB．三角形AFB面是三角形CFB面積的,而三角形AFB面積是三角形AEF面積的2倍所以三角形ABC面積是三角形AEF面積的3倍;又因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e是三角形ABC面的倍所平行四形的面積是三角形面積

倍．因此,平行四邊形的面積為

8

(平厘米)．5如,中,,,互平行,

AD

,則S

ADE

:S四邊形

:S四邊

:S四邊MNQP

:S四邊PQCB

．AD

E答1:3:5:7:9

F

G:ADAF2解設(shè)△ADE份eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)ADEeq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)AFG,因S△AFG份,進(jìn)而有四邊形DEGF份同理有S四邊形FGNM四邊M四邊形

B

M

N

Q

C所以有

△

:S四邊形DEGF

:S四邊形FGNM

:S四邊形MNQP

:S四邊形P

57:9161如在ABC中,DE分是,AC上點(diǎn)且AD2:5,:,

平方厘米,求ABC的積答平方米

C解連接

:

AB:4)(5,S

:

4:7:(7所以

:

4):(75),設(shè)

,

份S

方厘,所以份平厘米份就是平厘米,ABC的積是70平厘米．2如,三角形ABC,AB是AD的5倍是的3倍如三角形