趣味數(shù)學(xué)牛吃草問題(經(jīng)典課件)第一頁，共41頁。趣味數(shù)學(xué)第二頁，共41頁。牛吃草問題（牛頓問題）第三頁，共41頁。

牛吃草問題最先在牛頓的《普通算術(shù)》中出現(xiàn)，他提出一個(gè)非常有趣的問題：有一片牧場(chǎng)，已知有27頭牛，6天把草吃盡；如果有23頭牛，9天把草吃盡。如果有牛21頭，幾天能把草吃盡？人們把這道題叫做“牛頓問題”，也稱作“牛吃草問題”。1、牛吃草問題牛頓第四頁，共41頁。2、牛頓牧場(chǎng)

牛頓牧場(chǎng)是理想牧場(chǎng)，在這個(gè)牧場(chǎng)上草是勻速生長(zhǎng)的。第五頁，共41頁。3、牛吃草問題三部曲（1）先算新生草量（2）再算原有草量（3）最后計(jì)算問題第六頁，共41頁。有一片牧場(chǎng)，已知有27頭牛，6天把草吃盡；23頭牛，9天把草吃盡。如果有牛21頭，幾天能把草吃盡？牧草總量不知道，它隨著時(shí)間的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)但原來草坪上有的草的數(shù)量是永遠(yuǎn)不變的第七頁，共41頁。有一片牧場(chǎng)，已知有27頭牛，6天把草吃盡；23頭牛，9天把草吃盡。如果有牛21頭，幾天能把草吃盡？把每頭牛每天的吃草量看做一個(gè)單位，或者我們可以說是一份第八頁，共41頁。有一片牧場(chǎng)，已知有27頭牛，6天把草吃盡；23頭牛，9天把草吃盡。如果有牛21頭，幾天能把草吃盡？設(shè)：每頭牛每天的吃草量是1份。27×6=162……原草量+6天的生長(zhǎng)量23×9=207……原草量+9天的生長(zhǎng)量第九頁，共41頁。有一片牧場(chǎng)，已知有27頭牛，6天把草吃盡；23頭牛，9天把草吃盡。如果有牛21頭，幾天能把草吃盡？設(shè)：每頭牛每天的吃草量是1份。每天新生草量：（207-162）÷（9-6）=15原草量：162-15×6=72或207-15×9=7227×6=162……原草量+6天的生長(zhǎng)量23×9=207……原草量+9天的生長(zhǎng)量第十頁，共41頁。草地上原有的草162-15×6=7221頭6頭15頭新第十一頁，共41頁。草地上原有的草162-15×6=72新21頭6頭15頭第十二頁，共41頁。草地上原有的草新新新新新新新新新15×6=90162-15×6=72第十三頁，共41頁。15頭吃剩下21-15=6頭72份15份+6頭牛吃72份草能吃幾天？72÷（21-15）=12天第十四頁，共41頁。有一片牧場(chǎng)，已知有27頭牛，6天把草吃盡；23頭牛，9天把草吃盡。如果有牛21頭，幾天能把草吃盡？設(shè)：每頭牛每天的吃草量是1份。每天新生草量：（207-162）÷（9-6）=15原草量：162-15×6=72或207-15×9=72假設(shè)15頭牛專吃每天新生長(zhǎng)的草，剩下的牛吃原有的草，可吃天數(shù)：72÷（21-15）=12（天）27×6=162……原草量+6天的生長(zhǎng)量23×9=207……原草量+9天的生長(zhǎng)量第十五頁，共41頁。例1牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿了牧草，牧草每天勻速生長(zhǎng)，這片牧草可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天。問：這片牧草可供25頭牛吃多少天？解：假設(shè)1頭牛1天吃的草的數(shù)量是1份10×20=200……原草量+20天的生長(zhǎng)量15×10=150……原草量+10天的生長(zhǎng)量草每天的生長(zhǎng)量：（200-150）÷（20-10）=5原草量：200-20×5=100

或150-10×5=100第十六頁，共41頁。5頭吃剩下25-5=20頭100份5份+20頭牛吃100份草能吃幾天？100÷（25-5）=5天第十七頁，共41頁。[自主訓(xùn)練]牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿了青草，而且每天還在勻速生長(zhǎng)，這片牧場(chǎng)上的草可供9頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天，如果要供18頭牛吃，可吃幾天？解：假設(shè)1頭牛1天吃的草的數(shù)量是1份9×20=180……原草量+20天的生長(zhǎng)量15×10=150……原草量+10天的生長(zhǎng)量草每天的生長(zhǎng)量：（180-150）÷（20-10）=3原草量：180-20×3=120

或150-10×3=120第十八頁，共41頁。3頭吃剩下18-3=15頭120份3份+15頭牛吃120份草能吃幾天？120÷（18

-

3）=

8

天第十九頁，共41頁。例2：有一塊牧場(chǎng)，可供10頭牛吃20天，15頭牛吃10天，則它可供多少頭牛吃4天？設(shè)：每頭牛每天的吃草量是1份。10×20=200……原草量+20天的生長(zhǎng)量15×10=150……原草量+10天的生長(zhǎng)量每天新生草量：（200-150）÷（20-10）=5原草量：200-5×20=100或150-5×10=100假設(shè)5頭牛專吃每天新生長(zhǎng)的草，剩下的牛吃原有的100份草，那剩下多少牛呢？100÷4=25（頭）共有多少頭牛呢？25+5=30（頭）第二十頁，共41頁?！咀灾饔?xùn)練】有一塊牧場(chǎng)，可供5頭牛吃20天，6頭牛吃15天，則它可供多少頭牛吃6天？設(shè)：每頭牛每天的吃草量是1份。5×20=100……原草量+20天的生長(zhǎng)量6×15=90……原草量+15天的生長(zhǎng)量每天新生草量：（100-90）÷（20-15）=2原草量：100-2×20=60或90-2×15=60假設(shè)2頭牛專吃每天新生長(zhǎng)的草，剩下的牛吃原有的60份草，那剩下多少牛呢？60÷6=10（頭）共有多少頭牛呢？10+2=12（頭）第二十一頁，共41頁。例3：有一片牧場(chǎng)，24頭牛6天可以將草吃完，或21頭牛8天可以吃完。要使牧草永遠(yuǎn)吃不完，至多可以放牧幾頭牛？24×6=144……原草量+6天的生長(zhǎng)量21×8=168……原草量+8天的生長(zhǎng)量每天新生草量：（168-144）÷（8-2）=5設(shè)：每頭牛每天的吃草量是1份。第二十二頁，共41頁。例4一只船有一個(gè)漏洞，水以均勻的速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時(shí)已經(jīng)進(jìn)入了一些水，如果用12人舀水，3小時(shí)舀完，如果只有5個(gè)人舀水，要10小時(shí)才能舀完，現(xiàn)在想在6小時(shí)舀完，需要多少人？解：假設(shè)1人1小時(shí)舀1份水12×3=36份……原水量+3小時(shí)進(jìn)水量5×10=50份……原水量+10小時(shí)的進(jìn)水量每小時(shí)的進(jìn)水量：（50-36）÷（10-3）=2份原水量：36-3×2=30份或50-10×2=30份第二十三頁，共41頁。30份2份+30份水需要幾個(gè)人6小時(shí)舀完？30÷6=5（人）2人5+2=7（人）第二十四頁，共41頁。復(fù)習(xí)

1、幾天把草吃完?

2、這片草地夠多少頭牛吃?第二十五頁，共41頁。[自主訓(xùn)練]－水庫水量－定，河水均勻入庫，5臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)20天可抽干；6臺(tái)同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干．若要求6天抽干，需要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)?解：假設(shè)1臺(tái)抽水機(jī)1天抽1份水5×20=100……原水量+20天進(jìn)水量6×15=90……原水量+15天的進(jìn)水量每分鐘的進(jìn)水量：（100-90）÷（20-15）=2原水量：100-20×2=60或90-15×2=60

第二十六頁，共41頁。60份2份+60份水需要幾臺(tái)抽水機(jī)6天抽完？60÷6=10（臺(tái)）2臺(tái)共需要10+2=12（臺(tái)）第二十七頁，共41頁。例5某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊(duì)，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。從開始檢票到等候檢票的隊(duì)伍消失，同時(shí)開4個(gè)檢票口需30分鐘，同時(shí)開5個(gè)檢票口需20分鐘。如果同時(shí)打開7個(gè)檢票口，那么需要多少分鐘？假設(shè)每分鐘每個(gè)檢票口進(jìn)的人數(shù)為1份4×30=原有等待的人數(shù)+30分鐘新增的人數(shù)5×20=原有等待的人數(shù)+20分鐘新增的人數(shù)每分鐘新增的人數(shù)=（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）原有等待的人數(shù)=4×30-30×2=60（份）專門安排2個(gè)檢票口檢新增加的人60÷（7-2）=12（分鐘）第二十八頁，共41頁。例6：林子里有猴子喜歡吃的野果，23只猴子可在9周內(nèi)吃光，21只猴子可在12周內(nèi)吃光，問如果有33只猴子一起吃，則需要幾周吃光？（假定野果生長(zhǎng)的速度不變）第二十九頁，共41頁。例7：有一片青草，每天的生長(zhǎng)速度都是相同的，已知這片青草可供15頭牛吃20天，或者是供33頭牛吃12天，如果一頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么8頭牛與64只羊一起吃，可以吃上多少天？15頭?！?0天33頭牛——12天8頭牛+64只羊——幾天？64只羊=16頭牛，相當(dāng)于求24頭牛吃幾天的問題第三十頁，共41頁。例6由于天氣逐漸冷起來，牧場(chǎng)上的草不僅不長(zhǎng)大，反而以固定速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計(jì)算，可供多少頭牛吃10天？解：假設(shè)1頭牛1天吃的草的數(shù)量是1份20×5=100份……原草量-5天的減少量15×6=90份……原草量-6天的減少量草每天的減少量：（100-90）÷（6-5）=10份原草量：100+5×10=150份90+6×10=150份第三十一頁，共41頁。剩下150-100=50份150份10份-50份草可供多少頭牛吃10天？（150-10×10）÷10=5頭10天減少10×10=100份第三十二頁，共41頁。[自主訓(xùn)練]由于天氣逐漸寒冷，牧場(chǎng)上的牧草每天以均勻的速度減少，經(jīng)測(cè)算，牧場(chǎng)上的草可供30頭牛吃8天，可供25頭牛吃9天，那么可供21頭牛吃幾天？

解：假設(shè)1頭牛1天吃的草的數(shù)量是1份30×8=240份……原草量-8天的減少量25×9=225份……原草量-9天的減少量草每天的減少量：（240-225）÷（9-8）=15份原草量：240+8×15=360份或220+9×15=360份第三十三頁，共41頁。21份15份+每天吃21份360÷（21+15）=10天每天減少15份第三十四頁，共41頁。例5自動(dòng)扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級(jí)梯級(jí)，女孩每分鐘走15級(jí)梯級(jí)，結(jié)果男孩用了5分鐘到達(dá)樓上，女孩用了6分鐘到達(dá)樓上。問：該扶梯共有多少級(jí)？20×5=自動(dòng)扶梯的級(jí)數(shù)-5分鐘減少的級(jí)數(shù)15×6=自動(dòng)扶梯的級(jí)數(shù)-6分鐘減少的級(jí)數(shù)男孩：女孩：每分鐘減少的級(jí)數(shù)=(20×5-15×6)÷(6-5)=10(級(jí))自動(dòng)扶梯的級(jí)數(shù)=20×5+5×10=150（級(jí)）第三十五頁，共41頁。[自主訓(xùn)練]兩個(gè)頑皮孩子逆著自動(dòng)扶梯行駛的方向行走，男孩每秒可走3級(jí)階梯，女孩每秒可走2級(jí)階梯，結(jié)果從扶梯的一端到達(dá)另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。問該扶梯共有多少級(jí)？3×100=自動(dòng)扶梯級(jí)數(shù)+100秒新增的級(jí)數(shù)2×300=自動(dòng)扶梯級(jí)數(shù)+300秒新增的級(jí)數(shù)自動(dòng)扶梯級(jí)數(shù)=（2×300-3×100）÷（300-100）=1.5（級(jí)）每秒新增的級(jí)數(shù)：3×100-100×1.5=150（級(jí)）第三十六頁，共41頁。[自主訓(xùn)練]盛德美9時(shí)開門營(yíng)業(yè)，開門前就有人等候入場(chǎng)，如果第一個(gè)顧客來時(shí)起，每分鐘來的顧客人數(shù)同樣多，那么開4個(gè)門等候的人全部進(jìn)入商場(chǎng)要8分鐘，開6個(gè)門等候的人全部進(jìn)入商場(chǎng)只要4分鐘，問：如果開3個(gè)門，最后一個(gè)顧客到達(dá)時(shí)是幾時(shí)幾分？

假設(shè)每分鐘每個(gè)檢票口進(jìn)的人數(shù)為1份4×8=原有等待的人數(shù)+8分鐘新增的人數(shù)6×4=原有等待的人數(shù)+6分鐘新增的人數(shù)每分鐘新增的人數(shù)=（4×8

-

6×4）÷（8

-4）=

2（份）原有等待的人數(shù)=4×8

-

8×2=16（份）16÷

（

3

-

2）

=16（分鐘）60-

16

=44（分鐘）

答：如果開3個(gè)門，最