級(jí) 級(jí)數(shù)un收斂的必要條件：級(jí)數(shù)un收斂limun

注：如limun0級(jí)數(shù)un發(fā)散

x幾何級(jí)數(shù)axn公

x1 1

pnP-級(jí)數(shù)n

pP交錯(cuò)級(jí) 1n

0PPlnnlnn1

特別當(dāng)0lnn常用初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式（x冪級(jí)數(shù)1

tn1tt2...tn

1

1

1ntn1tt2tn...1ntn

1

1 1

ln1tn1t2

t... n

1t n

1 1

nln1t

t n

t...3

n

1t

1 1 tnen!1t

t...

t t

1 1

sint12n1!t3!t

... 2n1

t nt

1 1

ntcost12n!12!t

... 2n

t收斂半徑的求法:設(shè)u為冪級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),求 n若若

0,R,,R0,xR與收斂區(qū)間R,R

1,

xR,31、級(jí)數(shù)n32【解sx

132、若級(jí)數(shù)n2p3收斂，則p的取值范圍1 12

2

n32p，因?yàn)榧?jí)數(shù)

收斂，故32p1p

4n2n24n2n2(3an4n4n21n2n

收斂，則limann4n24n2n24141lim3an 03liman 0limann

2n22n23n2（1）2n23n22n23n2n23n22n23n2

0， 232232n23n2級(jí)數(shù) 發(fā)散 3nn2 （2） n2 n1

3 n23n27n7

為公比q 1的幾何級(jí)數(shù)，收7

3n

n1 故由級(jí)數(shù)的性質(zhì) n1 （3）

1n

1n221

n1（4）

1n 3n113n3n113n1）

， ，3n3n 31為p31的p級(jí)數(shù)，故發(fā)散 1發(fā)散，由比較3n1n3

3n3n12）

1n 為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且limu3n3n1n

03n3n u 3n33n3n 判別法

1n 收斂，故原級(jí)數(shù)收斂且為條件收斂。33n1n5、若級(jí)數(shù)axn在x3處收斂，則此級(jí)數(shù)在x2的斂散性 絕對(duì)收n若級(jí)數(shù)axn在x3處發(fā)散，則此級(jí)數(shù)在x4的斂散性 發(fā)nn6、若級(jí)數(shù)

x2n在x1處收斂，則在x3斂散性 絕對(duì)收若級(jí)數(shù)

x2n在x2處發(fā)散，則在x4斂散性 發(fā) 1nbb、設(shè)limbnbb

n1

n1 1 1 1 1）Snb

b...b

b 2

3

n1

1 1limSn 由級(jí)數(shù)收斂的定義： 收斂，其和1。

n

bn1

n1

bn11 n（1）2n3n1）u

n

，設(shè)v

1 2n3n

n

2）limun

2n3n

2n2n

1n

n2n3n 級(jí)數(shù)

n 與

1

具有相同的斂散性，而級(jí)數(shù)

1

1n12n3n

n12

n12

2n1 n收斂，故2n3n3 （2）enn1 1）unen1，設(shè)vn 2）lim

en

1n

n

級(jí)數(shù)en1與 具有相同的斂散性，而級(jí)數(shù) n1

n1

n1

n1 發(fā)散，故en1n1 （3）ln13 n4

ln13，設(shè)v n4

u

n42）limnlim 1n 級(jí)數(shù)

ln13與

33 n4

收斂，故ln13 n4 n（4）n

31）unn2nun1n12n1n123332）limun1

n12

1n

n2n n n級(jí)數(shù) nn（5）

2nn!

2n

2n1n 22nn1 22n【解：1）un

，un1

n

n1n

nnn22n n

2）limn1

n

n

nn

nn

n

1n由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法：級(jí)數(shù)

2nn!

nnnan2、判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂。是絕對(duì)收斂還是條件收斂（1）

1n1）

1nn

n

n;

n1n

n

n limn1

1，故 收n

n

n1

1nn（2）

1n1 2n32n2n32n

3【解：1） ，而 1，

2n

2n 2n 1p21p級(jí)數(shù)，故發(fā)散31n1n

n2n2n12）

1n1 為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且limu2n2nn

lim 0；2n2n32n32n32n32n12n2n 判別法

1n1 收斂，故原級(jí)數(shù)收斂且為條件收斂。3、求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂 n（1）n

xx【解1）設(shè)unxn3nx

un1xn13n1n13lim

x n

n3n 3nxn13nx3nxn13nn n

3）x3n3n3）x3n3nn nx3n3nn3n

發(fā)散，故收斂域?yàn)?,3

（2）1）設(shè)

xnx

x;n

x

xn

x

nn

nx1

x2

x2

nxn

n

nn1x213x1R1，收斂區(qū)間為3 x

3

x3時(shí)，

x1

xn31 （3）2n1【解1）設(shè)unx2n12nl

2 2333x 32x 收斂半徑為R ，收斂區(qū)間為32,32333x32

n11 2n 收33x 時(shí)

32 n12n1 2n 故收斂域?yàn)?232

2n1發(fā)4（1）

n1）設(shè)unx

n; n1xn1x 2n1n2n1lim

xxn

n2nx11x1收斂區(qū)間為 x1

1 x1

2n

2n1

收斂，故收斂域?yàn)?,1

n

nx2n 2、令Sx

Sx n1

2n

xx3x5...

x1xSxdxxxdxSxx1x d1x21ln1x2x 01 201 2SxS01ln1x2ln10222Sx1ln1x2，2

注：因?yàn)镾x

n

2

4

6

...S0（2）

2nn11

2,2

x

22Sxn2

0Sxdx

n dx x2x4x6

2

xx x0Sxx

2x2

Sx

2

2

x

2,2 （3）n3n，并求n3n

xn

2Sxn3nSxn3n

1

xx2

n1 1

13

3xSxdx dxSxx d3xln3x 03 03 SxS0ln3xln30Sx

，

x3333n3、 nS2n

x2ln Sxn3n3232333S05x（1）fxlna a1）fxlnaxlna1xlnaln1x a a 2）

2

3

tn1

ln1

n x

n

a x n a

1 a

n

n11x1axa 3）fxlnaxlna1n1an1，axfxcos21）fxcos2xcos2x111cos nt

1 1

nt2）cost12n!12!t

... 2n

tcos2x

2x2n

22n2xx 1

n22n n22n1fx

x

2x

fx

3【解：1）fx

1

3132）1

1ntn1tt2tn...1ntn

11

nx

3n 3

x31 x3 3

13x3 33）11

nxnn

， ffx

3

3

1 1 tn1）

n!1t

t...

t2xn

2n2）fxe2x ，2xx n06fxsinx展開(kāi)成x

33

1）sinxsin3x3sin3cosx3cos3sinx3 3cosx1sinx 3 3 t

1 1

2）sint12n1!t3!t

... 2n1 nt

1 1

ntcost12n!12!t

... 2n

tx

x

sinx 1n 3

cosx 1n 3 3

2n

3

xx

3x3

1

x

fxsinx

1n 3

1n 3 2

2

2n1n

3 x3 x

xx

x

22n! 22n 3 將函數(shù)fx

x23x

x4 1）fxx23x2x 1 x 2）1

1ntn1