2022年山西省太原市東社中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為，為雙曲線上的一個動點(diǎn)（不是頂點(diǎn)），從點(diǎn)引雙曲線的兩條漸近線的平行線，與直線分別交于兩點(diǎn)，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則與的大小關(guān)系為（

）A．

B．

C．

D．不確定參考答案：C2.如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1的面對角線A1B上存在一點(diǎn)P，使最短，則的最小值為（

）A. B.C. D.2參考答案：A如圖所示，把對角面繞旋轉(zhuǎn)至，使其與在同一平面上，連接，則為所求的最小值，故選A.

3.等比數(shù)列｛｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且=

（

）A、10

B、12

C、6

D、5參考答案：D略4.一只小蜜蜂在一個棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】根據(jù)安全飛行的定義，則安全的區(qū)域?yàn)橐岳忾L為1的正方體內(nèi)，則概率為兩正方體的體積之比．【解答】解：根據(jù)題意：安全飛行的區(qū)域?yàn)槔忾L為1的正方體∴p=故選B5.設(shè)P，Q分別為直線x﹣y=0和圓x2+（y﹣6）2=2上的點(diǎn)，則|PQ|的最小值為(

)A． B． C． D．4參考答案：A【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】直線與圓．【分析】先由條件求得圓心（0，6）到直線x﹣y=0的距離為d的值，則d減去半徑，即為所求．【解答】解：由題意可得圓心（0，6）到直線x﹣y=0的距離為d==3，圓的半徑r=，故|PQ|的最小值為d﹣r=2，故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6.若平面α外的直線l的方向向量為，平面α的法向量為，則能使l∥α的是（）A．=（1，﹣3，5），=（1，0，1） B．=（1，0，0），=（﹣2，0，0）C．=（0，2，1），=（﹣1，0，1） D．=（1，﹣1，3），=（0，3，1）參考答案：D【考點(diǎn)】平面的法向量．【分析】由題意l∥α，?=0，分別計算選項(xiàng)A、B、C、D中?的值，判斷正確選項(xiàng)．【解答】解：若l∥α，則?=0，而A中?=6，B中?=﹣2，C中?=1，D選項(xiàng)中?=0．故選：D．7.已知一組數(shù)的平均數(shù)是，方差，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是A．3，4

B．3，8

C．2，4

D．2，8參考答案：B8.下列向量中，與垂直的向量是（

）．

A.B.

C.

D.參考答案：C9.已知平面區(qū)域由以、、為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部和邊界組成.若在區(qū)域上有無窮多個點(diǎn)可使目標(biāo)函數(shù)取得最小值，則

（

）

A．

B．

C．

D．4參考答案：C略10.設(shè)α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，下列命題中正確的是（）A．若α⊥β，m?α，則m⊥β B．若α⊥β，m⊥α，則m∥βC．若m∥α，α∩β=n，則m∥n D．若m∥α，m∥β，α∩β=n，則m∥n參考答案：D【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓．【分析】在A中，m與β相交、平行或m?β；在B中，m∥β或m?β；在C中，m與n平行或異面；在D中，由直線與平面平行的性質(zhì)定理得m∥n．【解答】解：由α，β是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，知：在A中，若α⊥β，m?α，則m與β相交、平行或m?β，故A錯誤；在B中，若α⊥β，m⊥α，則m∥β或m?β，故B錯誤；在C中，若m∥α，α∩β=n，則m與n平行或異面，故C錯誤；在D中，若m∥α，m∥β，α∩β=n，則由直線與平面平行的性質(zhì)定理得m∥n，故D正確．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.與直線平行，并且距離等于3的直線方程是__________________________________________。參考答案：7x+24y-80=0或7x+24y+70=0略12.函數(shù)的一個零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.參考答案：(0,3)試題分析：由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，且函數(shù)的一個零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則有且，解得.考點(diǎn)：1.函數(shù)的單調(diào)性；2.零點(diǎn)存在定理13.以下三個關(guān)于圓錐曲線的命題中：①設(shè)A、B為兩個定點(diǎn)，K為非零常數(shù)，若｜PA｜－｜PB｜＝K，則動點(diǎn)P的軌跡是雙曲線.②方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率.③雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn).④已知拋物線,以過焦點(diǎn)的一條弦AB為直徑作圓，則此圓與準(zhǔn)線相切.其中真命題為

（寫出所有真命題的序號）.參考答案：②③④14..(x2＋2x＋1)dx＝_________________參考答案：1/3

略15.函數(shù)f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有極大值又有極小值，則a的范圍是．參考答案：{a|a＜﹣1或a＞2}【考點(diǎn)】函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．【專題】計算題．【分析】先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有極大值又有極小值，可以得到導(dǎo)函數(shù)為0的方程有兩個不等的實(shí)數(shù)根，從而有△＞0，進(jìn)而可解出a的范圍．【解答】解：f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），要使函數(shù)f（x）有極大值又有極小值，需f′（x）=3x2+6ax+3（a+2）=0有兩個不等的實(shí)數(shù)根，所以△=36a2﹣36（a+2）＞0，解得a＜﹣1或a＞2．故答案為：{a|a＜﹣1或a＞2}【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)的極值問題及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)作為工具去研究函數(shù)的性質(zhì)非常方便．16.設(shè)冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(4,2)，則__________．參考答案：由題意得17.拋物線的準(zhǔn)線方程是

▲

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）已知,點(diǎn)在曲線上且

（Ⅰ）求證:數(shù)列為等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若對于任意的,存在正整數(shù)t,使得恒成立,求最小正整數(shù)t的值．參考答案：t最小值=219.設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大??；（Ⅱ）若，c=5，求b．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理的應(yīng)用；余弦定理的應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)正弦定理將邊的關(guān)系化為角的關(guān)系，然后即可求出角B的正弦值，再由△ABC為銳角三角形可得答案．（2）根據(jù)（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根據(jù)正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC為銳角三角形得．（Ⅱ）根據(jù)余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．所以，．20.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知2Sn=3n+3．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足anbn=log3an，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn．求|Tn﹣|．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【專題】計算題；方程思想；分析法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）當(dāng)n≥2時，通過an=Sn﹣Sn﹣1計算即得結(jié)論；（Ⅱ）通過（I）、利用對數(shù)性質(zhì)可知數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用錯位相減法計算即得結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）∵2Sn=3n+3，∴當(dāng)n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=（3n+3）﹣（3n﹣1+3）=3n﹣1，又∵a1=S1=（3+3）=3不滿足上式，∴an=；（Ⅱ）由（I）可知bn==，∴Tn=+++…+，∴Tn=+++…++，兩式錯位相減得：Tn=+﹣+++…+﹣=﹣+（+++…+）﹣=+﹣=﹣，∴Tn=﹣，∴|Tn﹣|=．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查錯位相減法計算即得結(jié)論，注意解題方法的積累，屬于中檔題．21. 已知命題：，命題：方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線．（Ⅰ）命題為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若命題“”為真，命題“”為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案：解：（1）當(dāng)命題為真時，由已知得，解得∴當(dāng)命題為真命題時，實(shí)數(shù)的取值范圍是

…5分（2）當(dāng)命題為真時，由解得

…7分由題意得命題、中有一真命題、有一假命題

………8分當(dāng)命題為真、命題為假時，則，解得或.

…………………10分當(dāng)命題為假、命題為真時，則，無解.

…………12分∴實(shí)數(shù)的取值范圍是或.

…………13分

略22.某市為節(jié)約用水，計劃在本市試行居民生活用水定額管理，為了較為合理地確定居民日常用水量的標(biāo)準(zhǔn)，通過抽樣獲得了100位居民某年的月均用水量（單位：噸），右表是100位居民月均用水量的頻率分布表，根據(jù)右表解答下列問題：（1）求表中a和b的值；（2）請將頻率分布直方圖補(bǔ)充完整，并根據(jù)直方圖估計該市每位居民月均用水量的眾數(shù)．參考答案：解：（1）由頻率分布表得出第二小組的頻數(shù)為：20，a=20；…由頻率分布表得出第四小組的頻率為：0.20b=0.20．…（2）眾數(shù)是頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∴中間的第三個矩形最高，故2與3的中點(diǎn)是2.5，眾數(shù)是2.5即根據(jù)直方圖估計該市每位居民月均用水量的眾數(shù)為2.5…（說明：第二問中補(bǔ)充直方圖與求眾數(shù)只要做對一個得，兩個全對的．）考點(diǎn)：頻率分布直方圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．分析：（1）利用頻數(shù)之和等于樣本容量求出a處的數(shù)；利用頻率和為1求出b處的數(shù)；（2）根據(jù)各小組的頻率比即頻率分布直方圖的高度比即可補(bǔ)全頻率分布直方圖；根據(jù)眾數(shù)是頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可．解答： 解：（1）由頻率分布表得出第二小組的頻數(shù)為：20，a=20；