第七章彎曲變形材料力學(xué)§7–1引言§7–2撓曲軸近似微分方程§7–3計(jì)算梁位移的積分法*§7–4計(jì)算梁位移的奇異函數(shù)法§7–5計(jì)算梁位移的疊加法§7–6簡(jiǎn)單靜不定梁§7–7梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)

第七章彎曲變形§7－１引言研究范圍：等直梁在對(duì)稱(chēng)彎曲時(shí)位移的計(jì)算。研究目的：①對(duì)梁作剛度校核；②解超靜定梁（變形幾何條件提供補(bǔ)充方程）。1.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用w表示。與f

同向?yàn)檎粗疄樨?fù)。

2.轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。用表示，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。

二、撓曲線：變形后，軸線變?yōu)楣饣€，該曲線稱(chēng)為撓曲線。其方程為：

w=f(x)三、轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系：一、度量梁變形的兩個(gè)基本位移量小變形PxwCqC1f

§7-2

撓曲軸近似微分方程一、撓曲線近似微分方程式（2）就是撓曲線近似微分方程。小變形xfxM<0fM>0（2）對(duì)于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫(xiě)成如下形式：1.微分方程的積分2.位移邊界條件PABCPD

§7-3

計(jì)算梁位移的積分法討論：①適用于小變形情況下、線彈性材料、細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件的平面彎曲。②可應(yīng)用于求解承受各種載荷的等截面或變截面梁的位移。③積分常數(shù)由撓曲線變形的幾何相容條件（邊界條件、連續(xù)條件）確定。④優(yōu)點(diǎn)：使用范圍廣，直接求出較精確；缺點(diǎn)：計(jì)算較繁。支點(diǎn)位移條件：連續(xù)條件：光滑條件：例1求下列各等截面直梁的彈性曲線、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。建立坐標(biāo)系并寫(xiě)出彎矩方程寫(xiě)出微分方程的積分并積分應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)解：PLxf寫(xiě)出彈性曲線方程并畫(huà)出曲線最大撓度及最大轉(zhuǎn)角fPLx解：建立坐標(biāo)系并寫(xiě)出彎矩方程寫(xiě)出微分方程的積分并積分xfPLa應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)xPLaf寫(xiě)出彈性曲線方程并畫(huà)出曲線最大撓度及最大轉(zhuǎn)角xPLaf§7-5計(jì)算梁位移的疊加法一、疊加法

多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。二、逐段分析求和法要點(diǎn)：首先分別計(jì)算各梁段的變形在需求位移處引起的位移，然后計(jì)算其總和（代數(shù)和或矢量和），即得需求之位移。例2按疊加原理求A點(diǎn)轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)

撓度。解、載荷分解如圖由梁的簡(jiǎn)單載荷變形表，查簡(jiǎn)單載荷引起的變形。qqPP=+AAABBB

CaaqqPP=+AAABBB

Caa疊加例3

按疊加原理求C點(diǎn)撓度。解：載荷無(wú)限分解如圖由梁的簡(jiǎn)單載荷變形表，查簡(jiǎn)單載荷引起的變形。疊加q00.5L0.5LxdxbxfC例4

按逐段分析求和法說(shuō)明。=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等價(jià)等價(jià)xfxffPL1L2ABC剛化AC段PL1L2ABC剛化BC段PL1L2ABCMxf§7-6

簡(jiǎn)單靜不定梁1、處理方法：變形協(xié)調(diào)方程、物理方程與平衡方程相結(jié)合，求全部未知力。解：建立相當(dāng)系統(tǒng)

確定超靜定次數(shù)，用反力代替多余約束所得到的結(jié)構(gòu)——相當(dāng)系統(tǒng)。=q0Lq0MABAq0LRBABxfLAB幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程+q0LRBAB=RBABq0AB物理方程——變形與力的關(guān)系補(bǔ)充方程求解其它問(wèn)題（反力、應(yīng)力、

變形等）幾何方程

——變形協(xié)調(diào)方程：解：建立相當(dāng)系統(tǒng)=例5

結(jié)構(gòu)如圖，求B點(diǎn)反力。LBCxfq0LRBABCq0LRBAB=RBAB+q0AB=LBCxfq0LRBABCRBAB+q0AB物理方程——變形與力的關(guān)系補(bǔ)充方程求解其它問(wèn)題（反力、應(yīng)力、

變形等）§7-7梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)一、梁的剛度條件其中[]稱(chēng)為許用轉(zhuǎn)角；[w]稱(chēng)為許用撓度。通常依此條件進(jìn)行如下三種剛度計(jì)算：

、校核剛度：

、設(shè)計(jì)截面尺寸；、設(shè)計(jì)載荷。(但：對(duì)于土建工程，強(qiáng)度常處于主要地位，剛度常處于從屬地位。特殊構(gòu)件例外）二、梁的合理剛度設(shè)計(jì)1、合理選擇截面形狀2、合理選用材料3、梁的合理加強(qiáng)4、梁跨度的選擇5、合理安排梁的約束與加載方式PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例6下圖為一空心圓桿，內(nèi)外徑分別為：d=40mm、D=80mm，桿的E=210GPa，工程規(guī)定C點(diǎn)的[f/L]=0.00001,B點(diǎn)的[]=0.001弧度,試核核此桿的剛度。=++=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=++圖1圖2圖3解：結(jié)構(gòu)變換，查表求簡(jiǎn)單

載荷變形。PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxfP