絕密★啟用前2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學Ⅰ試題參考公式：錐體的體積公式:V錐體=Sh，其中S是錐體的底面積，h是高。一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分。請把答案填寫在答題卡相應的位置上.1、設集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，則實數(shù)a=___________.[解析]考查集合的運算推理。3B,a+2=3,a=1.2、設復數(shù)z滿足z(2-3i)=6+4i（其中i為虛數(shù)單位），則z的模為___________.[解析]考查復數(shù)運算、模的性質。z(2-3i)=2(3+2i),2-3i與3+2i的模相等，z的模為2。3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若從中隨機地摸出兩只球，兩只球顏色不同的概率是___.[解析]考查古典概型知識。4、某棉紡廠為了了解一批棉花的質量，從中隨機抽取了100根棉花纖維的長度（棉花纖維的長度是棉花質量的重要指標），所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間[5,40]中，其頻率分布直方圖如圖所示，則其抽樣的100根中，有____根在棉花纖維的長度小于20mm。[解析]考查頻率分布直方圖的知識。100×（0.001+0.001+0.004）×5=305、設函數(shù)f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函數(shù)，則實數(shù)a=________________[解析]考查函數(shù)的奇偶性的知識。g(x)=ex+ae-x為奇函數(shù)，由g(0)=0，得a=－1。6、在平面直角坐標系xOy中，雙曲線上一點M，點M的橫坐標是3，則M到雙曲線右焦點的距離是__________[解析]考查雙曲線的定義。，為點M到右準線的距離，=2，MF=4。7、右圖是一個算法的流程圖，則輸出S的值是_____________[解析]考查流程圖理解。輸出。8、函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(ak,ak2)處的切線與x軸交點的橫坐標為ak+1,k為正整數(shù)，a1=16，則a1+a3+a5=_________[解析]考查函數(shù)的切線方程、數(shù)列的通項。 在點(ak,ak2)處的切線方程為：當時，解得，分。（1）（方法一）由題設知，則所以故所求的兩條對角線的長分別為、。（方法二）設該平行四邊形的第四個頂點為D，兩條對角線的交點為E，則:E為B、C的中點，E（0，1）又E（0，1）為A、D的中點，所以D（1，4）故所求的兩條對角線的長分別為BC=、AD=；（2）由題設知：=(－2,－1)，。由()·=0，得：，從而所以?；蛘撸?，16、（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。(1)求證：PC⊥BC；(2)求點A到平面PBC的距離。[解析]本小題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關系，考查幾何體的體積，考查空間想象能力、推理論證能力和運算能力。滿分14分。（1）證明：因為PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。由∠BCD=900，得CD⊥BC，又PDDC=D，PD、DC平面PCD，所以BC⊥平面PCD。因為PC平面PCD，故PC⊥BC。（2）（方法一）分別取AB、PC的中點E、F，連DE、DF，則：易證DE∥CB，DE∥平面PBC，點D、E到平面PBC的距離相等。又點A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍。由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，因為PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。易知DF=，故點A到平面PBC的距離等于。（方法二）體積法：連結AC。設點A到平面PBC的距離為h。因為AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。從而AB=2，BC=1，得的面積。由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積。因為PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。又PD=DC=1，所以。由PC⊥BC，BC=1，得的面積。由，，得，故點A到平面PBC的距離等于。17、（本小題滿分14分）某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位：m），如示意圖，垂直放置的標桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。(1)該小組已經(jīng)測得一組、的值，tan=1.24，tan=1.20，請據(jù)此算出H的值；(2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認為適當調整標桿到電視塔的距離d（單位：m），使與之差較大，可以提高測量精確度。若電視塔的實際高度為125m，試問d為多少時，-最大？[解析]本題主要考查解三角形的知識、兩角差的正切及不等式的應用。（1），同理：，。AD-AB=DB，故得，解得：。因此，算出的電視塔的高度H是124m。（2）由題設知，得，，（當且僅當時，取等號）故當時，最大。因為，則，所以當時，-最大。故所求的是m。18、（本小題滿分16分）在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為A、B，右焦點為F。設過點T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點M、，其中m>0,。（1）設動點P滿足,求點P的軌跡；（2）設，求點T的坐標；（3）設,求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）。[解析]本小題主要考查求簡單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎知識?？疾檫\算求解能力和探究問題的能力。滿分16分。（1）設點P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得化簡得。故所求點P的軌跡為直線。（2）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，）、N（，）直線MTA方程為：，即，直線NTB方程為：，即。聯(lián)立方程組，解得：，所以點T的坐標為。（3）點T的坐標為直線MTA方程為：，即，直線NTB方程為：，即。分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時考慮到，解得：、。（方法一）當時，直線MN方程為：令，解得：。此時必過點D（1，0）；當時，直線MN方程為：，與x軸交點為D（1，0）。所以直線MN必過x軸上的一定點D（1，0）。（方法二）若，則由及，得，此時直線MN的方程為，過點D（1，0）。若，則，直線MD的斜率，直線ND的斜率，得，所以直線MN過D點。因此，直線MN必過軸上的點（1，0）。19、（本小題滿分16分）設各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，已知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。（1）求數(shù)列的通項公式（用表示）；（2）設為實數(shù)，對滿足的任意正整數(shù)，不等式都成立。求證：的最大值為。[解析]本小題主要考查等差數(shù)列的通項、求和以及基本不等式等有關知識，考查探索、分析及論證的能力。滿分16分。（1）由題意知：，，化簡，得：，當時，，適合情形。故所求（2）（方法一），恒成立。又，，故，即的最大值為。（方法二）由及，得，。于是，對滿足題設的，，有。所以的最大值。另一方面，任取實數(shù)。設為偶數(shù)，令，則符合條件，且。于是，只要，即當時，。所以滿足條件的，從而。因此的最大值為。20、（本小題滿分16分）設是定義在區(qū)間上的函數(shù)，其導函數(shù)為。如果存在實數(shù)和函數(shù)，其中對任意的都有>0，使得，則稱函數(shù)具有性質。(1)設函數(shù)，其中為實數(shù)。(i)求證：函數(shù)具有性質；(ii)求函數(shù)的單調區(qū)間。(2)已知函數(shù)具有性質。給定設為實數(shù)，，，且，若||<||，求的取值范圍。[解析]本小題主要考查函數(shù)的概念、性質、圖象及導數(shù)等基礎知識，考查靈活運用數(shù)形結合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力。滿分16分。（1）(i)∵時，恒成立，∴函數(shù)具有性質；(ii)（方法一）設，與的符號相同。當時，，，故此時在區(qū)間上遞增；當時，對于，有，所以此時在區(qū)間上遞增；當時，圖像開口向上，對稱軸，而，對于，總有，，故此時在區(qū)間上遞增；（方法二）當時，對于，所以，故此時在區(qū)間上遞增；當時，圖像開口向上，對稱軸，方程的兩根為：，而當時，，，故此時在區(qū)間上遞減；同理得：在區(qū)間上遞增。綜上所述，當時，在區(qū)間上遞增；當時，在上遞減；在上遞增。(2)（方法一）由題意，得：又對任意的都有>0，所以對任意的都有，在上遞增。又。當時，，且，綜合以上討論，得：所求的取值范圍是（0，1）。（方法二）由題設知，的導函數(shù)，其中函數(shù)對于任意的都成立。所以，當時，，從而在區(qū)間上單調遞增。①當時，有，，得，同理可得，所以由的單調性知、，從而有||<||，符合題設。②當時，，，于是由及的單調性知，所以||≥||，與題設不符。③當時，同理可得，進而得||≥||，與題設不符。因此綜合①、②、③得所求的的取值范圍是（0，1）。數(shù)學Ⅱ（附加題）21.[選做題]本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區(qū)域內作答。若多做，則按作答的前兩題評分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。A．選修4-1：幾何證明選講（本小題滿分10分）AB是圓O的直徑，D為圓O上一點，過D作圓O的切線交AB延長線于點C，若DA=DC，求證：AB=2BC。[解析]本題主要考查三角形、圓的有關知識，考查推理論證能力。（方法一）證明：連結OD，則：OD⊥DC，又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，所以∠DCO=300，∠DOC=600，所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。（方法二）證明：連結OD、BD。因為AB是圓O的直徑，所以∠ADB=900，AB=2OB。因為DC是圓O的切線，所以∠CDO=900。又因為DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，于是△ADB≌△CDO，從而AB=CO。即2OB=OB+BC，得OB=BC。故AB=2BC。B．選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。設k為非零實數(shù)，矩陣M=,N=，點A、B、C在矩陣MN對應的變換下得到點分別為A1、B1、C1，△A1B1C1的面積是△ABC面積的2倍，求k的值。[解析]本題主要考查圖形在矩陣對應的變換下的變化特點，考查運算求解能力。滿分10分。解：由題設得由，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（，-2）。計算得△ABC面積的面積是1，△A1B1C1的面積是，則由題設知：。所以k的值為2或-2。C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程（本小題滿分10分）在極坐標系中，已知圓ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求實數(shù)a的值。[解析]本題主要考查曲線的極坐標方程等基本知識，考查轉化問題的能力。滿分10分。解：，圓ρ=2cosθ的普通方程為：，直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程為：，又圓與直線相切，所以解得：，或。D．選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）設a、b是非負實數(shù)，求證：。[解析]本題主要考查證明不等式的基本方法，考查推理論證的能力。滿分10分。（方法一）證明：因為實數(shù)a、b≥0，所以上式≥0。即有。（方法二）證明：由a、b是非負實數(shù)，作差得當時，，從而，得；當時，，從而，得；所以。[必做題]第22題、第23題，每題10分，共計20分。請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。22、（本小題滿分10分）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲產(chǎn)品的一等品率為80%，二等品率為20%；乙產(chǎn)品的一等品率為90%，二等品率為10%。生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤4萬元，若是二等品則虧損1萬元；生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤6萬元，若是二等品則虧損2萬元。設生產(chǎn)各種產(chǎn)品相互獨立。（1）記X（單位：萬元）為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤，求X的分布列；（2）求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率。[解析]本題主要考查概率的有關知識，考查運算求解能力。滿分10分。解：（1）由題設知，X的可能取值為10，5，2，-3，且P（X=10）=0.8×0.9=0.72，P（X=5）=0.2×0.9=0.18，P（X=2）=0.8×0.1=0.08，P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。由此得X的分布列為：X

10

5

2

-3

P

0.72

0.18

0.08

0.02

（2）設生產(chǎn)的4件甲產(chǎn)品中一等品有件，則二等品有件。由題設知，解得，又，得，或。所求概率為答：生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率為0.8192。23、（本小題滿分10分）已知△ABC的三邊長都是有理數(shù)。（1）求證cosA是有理數(shù)；（2）求證：對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。[解析]本題主要考查余弦定理、數(shù)學歸納法等基礎知識，考查推理論證的能力與分析問題、解決問題的能力。滿分10分。（方法一）（1）證明：設三邊長分別為，，∵是有理數(shù)，是有理數(shù)，分母為正有理數(shù)，又有理數(shù)集對于除法的具有封閉性，∴必為有理數(shù)，∴cosA是有理數(shù)。（2）①當時，顯然cosA是有理數(shù)；當時，∵，因為cosA是有理數(shù)，∴也是有理數(shù)；②假設當時，結論成立，即coskA、均是有理數(shù)。當時，，，，