第一章習(xí)題解答1.1給定三個(gè)矢量、和如下：ABCAee2e3xyzBe4eyzCe5e2xz求：（1）a；（2）AB；（3）；（4）；（5）在上的分量；（6）AC；ABABAAB（7）A(BC)和(AB)C；（8）(AB)C和A(BC)。ee2e3123解（1）aAexeyezxyz122(3)2141414AA2（2）AB(ee2e3)(e4e)ee6e453xyzyzxyz(ee2e3)(e4e)－11（3）ABxyzyz11141711ABABcosAB（4）由，得23811cos1()135.5238AB1117ABB（5）在上的分量AAcosABBABeeeyxz123e4e13e10（6）ACxyz502eeeyxz（7）由于BC0418ee5e20xyz502eeeyxz123e10e1e4ABxyz041A(BC)(ee2e3)(e8e5e20)42所以xyzxyz()ee2)42ABC(e10e1e4)(5xyeeezxzxyz（8）(AB)C1014e2e40e5502xyzeeeyxzA(BC)123e55e44e11xyz8520P、P(4,1,3)和P(6,2,5)。1.2三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為(0,1,2)123PPP（1）判斷是否為一直角三角形；123（2）求三角形的面積。P(0,1,2)、P(4,1,3)和P(6,2,5)的位置矢量分別為123解（1）三個(gè)頂點(diǎn)ree2，re4ee3，re6e2e512yzxyRrre4e，1221z3xyzRrre2ee8，則2332xyzxzRrre6ee7z3113xy由此可見(jiàn)RR(e4e)(e2ee8)01223xzxyz故PPP為一直角三角形。123S1RR1RR1176917.132（2）三角形的面積22122312231.3求P(3,1,4)點(diǎn)到P(2,2,3)點(diǎn)的距離矢量及的方向。RRre3ee4，re2e2e3，解PxyzPxyzRrre5e3e則PPPPxyz且R與x、y、軸的夾角分別為zPP5eRxRPPeRcos1()cos1()32.31PP35xcos1(cos1()cos1(3)120.4735yPPRPPyeR1PP)cos1()99.73z35RzPP1.4給定兩矢量Ae2e3e4和Be4e5e6，求它們之間的夾角和xyzxyzA在B上的分量。312977cos1(AB)cos1(AB)131解與之間的夾角為ABABAAB313.532A在B上的分量為77BB1.5給定兩矢量Ae2e3e4和Be6e4e，求AB在xyzxyzCeee上的分量。xyzeeeyxz234641e13e22e10解ABxyz(AB)C2514.43所以AB在C上的分量為(AB)3CC1.6證明：如果ABACABAC和，則；BC解由ABAC，則有A(AB)A(AC)，即(AB)A(AA)B(AC)A(AA)C(AA)B(AA)CBC由于ABAC，于是得到故1.7如果給定一未知矢量與一已知矢量的標(biāo)量積和矢量積，那么便可以確定該未知矢，p和已知，試求。A量。設(shè)為一已知矢量，pAX而PAXPX解由PAX，有APA(AX)(AX)A(AA)XpA(AA)XXpAAPAA故得在圓柱坐標(biāo)中，一點(diǎn)的位置由(4,2,3)定出，求該點(diǎn)在：（1）直角坐標(biāo)中的坐1.83標(biāo)；（2）球坐標(biāo)中的坐標(biāo)。解（1）在直角坐標(biāo)系中x4cos(23)2、y4sin(23)23、z3故該點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,23,3)。tan1(43)53.1、23120（2）在球坐標(biāo)系中、r42352故該點(diǎn)的球坐標(biāo)為(5,53.1,120)Ee25，表示的場(chǎng)用球坐標(biāo)1.9rr2(3,4,5)處的E和E；（1）求在直角坐標(biāo)中點(diǎn)（2）求在直角坐標(biāo)中點(diǎn)解（1）在直角坐標(biāo)中點(diǎn)x(3,4,5)處與矢量EBe2e2e構(gòu)成的夾角。x24250，故(3)y(5)z(3,4,5)處，22rEe2512rr21332EeEEcos25220xxrx(3,4,5)處，re3e4e5，所以（2）在直角坐標(biāo)中點(diǎn)xyze3e4e52525rExy102zr2r3EB)cos1(19(102))153.6故與構(gòu)成的夾角為EBcos1(EB32EB1球坐標(biāo)中兩個(gè)點(diǎn)rRR(,,)和(r,,)定出兩個(gè)位置矢量和。證明和R11.101122212R間夾角的余弦為212coscoscossinsincos()1212Rersincosersinsinercos1解由1x111y111z1Rersincosersinsinercos22x222y222z2RR1RR得到cos212sincossincossinsinsinsincoscos121122112212sinsin(coscossinsin)coscos12sinsincos()coscos12121211212(e3sin)dS的值。一球面的半徑為5，球心在原點(diǎn)上，計(jì)算：1.11SrSr(e3sin)dS(e3sin)edS2d3sin52sind752解rrSS00在由5、和z4圍成的圓柱z0形區(qū)域，對(duì)矢量Aer2e2z驗(yàn)證散1.12rrz度定理。解在圓柱坐標(biāo)系中A1rr(rr2)(2)32zzr425Addzd(3r2)rdr1200所以又000AdS(er2e2z)(edSedSedS)rzrrzzSS4252525dd24rdrd1200z0000AdSAd1200故有1.13求（SxAee1）矢量2x2y2e24x2y2z3A2）求對(duì)中心在原yz3）求對(duì)此立方體表面的積分，驗(yàn)證散度定理。A的散度；（x點(diǎn)的一個(gè)單位立方體的積分；（解（1）A(x2)(x2y2)(24x2y2z3)22y72xxxyz2222xyzA（2）對(duì)中心在原點(diǎn)的一個(gè)單位立方體的積分為(2x2x2y72x2y2z2)dxdydz1121212Ad24121212（3）對(duì)此立方體表面的積分A1(1)2dydz12121212AdS()2dydz22S121212122x2(1)2dxdz2x2(1)2dxdz12121212221212121224x2y2(1)3dxdy24x2y2(1)3dxdy124121212122212121212Ad1AdS故有24Sr、半徑為并求對(duì)球體積a的球表面的積分，1.14計(jì)算矢量對(duì)一個(gè)球心在原點(diǎn)r的積分。2rdSredSdaa2sind4a3解rSS001r又在球坐標(biāo)系中，(r2r)3，所以r2r2a3r2sindrdd4a3rdAeex2ey沿1.15求矢量000xy平面上的一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形回路的線A積分，此正方形的兩邊分別與x軸和y軸相重合。再求對(duì)此回路所包圍的曲面積分，驗(yàn)證斯托克斯定理。x2zxyz解2222Adlxdxxdx2dy0dy82C0000eexeyzAxyze2yze2x又xzxx2yz222x00Adl8AdSAdS(e2yze2x)edxdy8所以故有zzSC1.16求矢量S沿圓周2Aexexyyxya2的線積分，再計(jì)算對(duì)此圓面積A22x的積分。解a42Adlxdxxy2dy(a2cossina4cos2sin)d24CC0Aa4AdSe(Aa2r2sin2rddrx)edSydSy2xy4zzS1.17S證明：（1）R3；（2）R0；（3）(S00AR)A。其中eye，zRexzxyA為一常矢量。xyz解（1）R3xyzeeexyzRxyzxyy0（2）（3）設(shè)AeAeAeA，則ARAxAyAz，故xxyyzzxyzyy(AR)e(AxAyAz)ex(AxAyAz)xxyzxyzzz(AxAyAz)eAeAeAAexxyyzzxyz1.18fr一徑向矢量場(chǎng)Fe表示，如果r()F0，那么函數(shù)f(r)會(huì)有什么特點(diǎn)呢？解在圓柱坐標(biāo)系中，由F1d[rf(r)]0rdr可得到Crf(r)C為任意常數(shù)。在球坐標(biāo)系中，由F1d[r2f(r)]0rdr2Cf(r)可得到r2給定矢量函數(shù)Eeyex，試求從點(diǎn)P(2,1,1)到點(diǎn)P(8,2,1)的線積分1.19Edl：（xy12xy1）沿拋物線2；（2）沿連接該兩點(diǎn)的直線。這個(gè)是保守場(chǎng)嗎？E解（1）EdlEdxEdyydxxdyxyCCC22yd(2y2)2y2dy6y2dy141（2）連接點(diǎn)到點(diǎn)x2x8y1y21P(2,1,1)P(8,2,1)直線方程為12x6y40即22EdlEdxEdyyd(6y4)(6y4)dy(12y4)dy14故xyCC1由此可見(jiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)，故是保守場(chǎng)。1求標(biāo)量函數(shù)2的梯度及在一個(gè)指定方向的方向?qū)?shù)，此方向由單位xyz1.20345(2,3,1)點(diǎn)的方向?qū)?shù)值。矢量eee定出；求z505050xy解exx(x2yz)eyy(x2yz)ezz(x2yz)e2xyzex2zex2yxyz345故沿方向eelee的方向?qū)?shù)為zzr505050xyrrl6xyz4x2z5x2y505050ezl點(diǎn)(2,3,1)處沿e的方向?qū)?shù)值為lzl361660112505050試采用與推導(dǎo)直角坐標(biāo)中o50y1.21AAAAx相似的方法推導(dǎo)圓柱坐標(biāo)下的yxzxyz題1.21圖公式A1rr(rA)AAz。zrr解在圓柱坐標(biāo)中，取小體積元如題1.21圖所示。矢量場(chǎng)沿e方向穿出該六面體的Ar表面的通量為zzzz(rr)drdArdrdrrArrrrzz(rA)1(rA)rz[(rr)A(rr,,z)rA(r,,z)]zrrrrrrr同理rzzAdrdzrrzzrAdrdzrzrzAA[A(r,,z)A(r,,z)]rzrzrrrrdrdrrArdrdzzAzzzzrr[A(r,,zz)A(r,,z)]rrzzzAArrzzzA穿出該六面體的表面的通量為zz因此，矢量場(chǎng)ΨΨΨΨ[1(rA)AAz]zrrrrrz01(rA)AA故得到圓柱坐標(biāo)下的散度表達(dá)式Alimrzzrrr方程ux222給出一橢球族。求橢球表面上任意點(diǎn)的單位法向矢量。yz1.22a2b2c2e2xe2ye2zu解由于ayb2zc2x2u2(x)2(y)2(z)2a故橢球表面上任意點(diǎn)的單位法向矢量為2b2c2nu(exeyez)(x)2(y)2(z)2xa2yb2ucabcz2222現(xiàn)有三個(gè)矢量、、為ABC1.23AesincosecoscosesinrBez2sinezcose2rzsin2rzCe(3y22x)ex2e2zxyz可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示？哪些矢量可以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度（1）哪些矢量表示？（2）求出解（1）在球坐標(biāo)系中這些矢量的源分布。AA1(r2A)1rsin(sinA)1rsinrr2rr12r(r2sincos)11rsin(sincoscos)rsin(sin)rsincos2sincoscos02sincosrrrsinerersiner1r2sinrAArArsinArerersiner10r2sinrsincosrcoscosrsinsin故矢量既可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示，也可以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表示；A在圓柱坐標(biāo)系中(rB)1BBB=1rrzrzr1rr(rz2sin)1(zcos)(2rzsin)z2rz2sinz2sin2rsin2rsinrrereeerreerzzB110rrzrrzrz2cos2rzsinBrBBrB直角在坐標(biāo)系中z2sin故矢量可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示；zCC=CCzxyzyxx(3y22x)(x2)(2z)0yzexeeyzCyze(2x6y)xz3y22xx22z故矢量可以由一個(gè)矢量函數(shù)的旋度表示。C（2）這些矢量的源分布為A0，A0；B=2rsin，B0；(26)C0，Cexyz1.24利用直角坐標(biāo)，證明(fA)fAAf解在直角坐標(biāo)中AyxyzAfAAff(Az)(AfxAfyyAfz)xxz(fAxxAfx)(fAyyAfy)(fAAfz)zzxyzx(fA)(fA)(fA)(fA)yzxyz1.25證明(AH)HAAH解根據(jù)算子的微分運(yùn)算性質(zhì)，有(AH)(AH)(AH)AH只對(duì)矢量作微分運(yùn)算，表示只對(duì)矢量作微分運(yùn)算。AH式中表示AH由a(bc)c(ab)，可得(AH)H(A)H