第5章5.4函數(shù)的奇偶性學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)的奇偶性的含義及其幾何表達(dá)，會(huì)判斷函數(shù)的奇偶性，能證明一些簡(jiǎn)單函數(shù)的奇偶性.2.學(xué)會(huì)應(yīng)用函數(shù)的圖象理解與研究函數(shù)的性質(zhì).核心素養(yǎng)：直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算

新知學(xué)習(xí)一、奇、偶函數(shù)的定義設(shè)函數(shù)y＝f（x）的定義域?yàn)锳.如果對(duì)于任意的x∈A，都有-x∈A，并且f（-x）＝f（x），那么稱函數(shù)y＝f（x）是偶函數(shù)；如果對(duì)于任意的x∈A，都有-x∈A，并且f（-x）＝-f（x），那么稱函數(shù)y＝f（x）是奇函數(shù).如果函數(shù)f（x）是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么我們稱函數(shù)f（x）具有奇偶性.【解讀】利用定義判斷函數(shù)的奇偶性（1）確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.（2）①若定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù).②若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則需再判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系.若f（-x）＝f（x），則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；若f（-x）＝-f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；若f（-x）≠±f（x），則函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)；若f（-x）＝±f（x），則函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

DB

二、函數(shù)奇偶性的圖象特征（1）奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.（2）如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么它是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么它是偶函數(shù).（3）如果f（x）為奇函數(shù)，點(diǎn)（x，f（x））在其圖象上，那么點(diǎn)（-x，f（-x）），即點(diǎn)（-x，-f（x））也在f（x）的圖象上；如果f（x）為偶函數(shù)，點(diǎn)（x，f（x））在其圖象上，那么點(diǎn)（-x，f（-x）），即點(diǎn)（-x，f（x））也在f（x）的圖象上.示例

已知奇函數(shù)f（x）在x≥0時(shí)的圖象如圖所示，則不等式x·f（x）<0的解集為

.【解析】∵x·f（x）<0，∴當(dāng)x>0時(shí)，f（x）<0，結(jié)合函數(shù)的圖象可得1<x<2；當(dāng)x<0時(shí)，f（x）>0，根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得-2<x<-1.∴不等式x·f（x）<0的解集為（-2，-1）∪（1，2）.（-2，-1）∪（1，2）示例

奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?5，5］，若當(dāng)x∈［0，5］時(shí)，f（x）的圖象如圖所示，則不等式f（x）<0的解集是

.【解析】由于奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)f（x）在定義域［-5，5］上的圖象如圖所示.由圖象知不等式f（x）<0的解集是（-2，0）∪（2，5］.（-2，0）∪（2，5］三、奇、偶函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與復(fù)合函數(shù)的奇偶性1.奇、偶函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)于定義域的交集不是空集的具有奇偶性的兩個(gè)函數(shù).（1）兩個(gè)奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)，即奇+奇＝奇.（2）兩個(gè)偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)，即偶+偶＝偶.（3）兩個(gè)奇函數(shù)的積為偶函數(shù)，即奇×奇＝偶.（4）兩個(gè)偶函數(shù)的積為偶函數(shù)，即偶×偶＝偶.（5）一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積為奇函數(shù)，即奇×偶＝奇.2.復(fù)合函數(shù)的奇偶性設(shè)非零函數(shù)f（x），g（x）的定義域分別是F，G，若F＝G，則有下列結(jié)論：f（x）g（x）f（x）+g（x）f（x）-g（x）f（x）g（x）f（g（x））偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)【解析】對(duì)于A，f（-x）＝f（x）＝1，故A正確；對(duì)于B，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，一定是非奇非偶函數(shù)，故B不正確；對(duì)于C，H（-x）＝f（-x）g（-x）＝-f（x）g（x）＝-H（x），故C正確；對(duì)于D，f（|-x|）＝f（|x|），則函數(shù)y＝f（|x|）是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故D正確.示例［多選題］下列四個(gè)命題中正確的是（

）A.f（x）＝1是偶函數(shù)B.g（x）＝x3，x∈（-1，1］是偶函數(shù)C.若f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則H（x）＝f（x）g（x）一定是奇函數(shù)D.函數(shù)y＝f（|x|）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱ACD典例剖析

【解】

（方法1）函數(shù)f（x）的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.當(dāng)x>0時(shí)，-x<0，∴f（-x）＝（-x）［1-（-x）］＝-x（1+x）＝-f（x）.當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，∴f（-x）＝-x（1-x）＝-f（x）.∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù).（方法２）作出函數(shù)的圖象，如圖所示的實(shí)線部分，由圖象可知，該函數(shù)為奇函數(shù).【方法總結(jié)】判斷分段函數(shù)奇偶性的方法（1）一般根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，分段處理，先說明各段上f（-x）與f（x）的關(guān)系，再進(jìn)一步說明在整個(gè)定義域內(nèi)f（-x）與f（x）的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上才能判斷函數(shù)的奇偶性，要特別注意：若x∈［a，b］，-x∈［-b，-a］，在求f（-x）時(shí)，需代入f（x）在區(qū)間［-b，-a］上的解析式.（2）分段函數(shù)的奇偶性也可通過函數(shù)圖象的對(duì)稱性加以判斷.例?3

（1）已知函數(shù)f（x），x∈R，若a，b∈R，都有f（a+b）＝f（a）+f（b），求證：f（x）為奇函數(shù).（2）已知函數(shù)f（x），x∈R，若x1，x2∈R，都有f（x1+x2）+f（x1-x2）＝2f（x1）·f（x2），求證：f（x）為偶函數(shù).（3）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?l，l），證明：f（x）+f（-x）是偶函數(shù)，f（x）-f（-x）是奇函數(shù).【證明】（1）令a＝0，則f（b）＝f（0）+f（b），∴f（0）＝0.令a＝-x，b＝x，則f（0）＝f（-x）+f（x），∴f（-x）＝-f（x）.∴f（x）是奇函數(shù).（2）令x1＝0，x2＝x，得f（x）+f（-x）＝2f（0）f（x）.①令x2＝0，x1＝x，得f（x）+f（x）＝2f（0）f（x）.②由①②得f（x）+f（-x）＝f（x）+f（x），即f（-x）＝f（x），∴f（x）是偶函數(shù).（3）∵x∈（-l，l），∴-x∈（-l，l），即f（-x）的定義域也是（-l，l）.設(shè)F（x）＝f（x）+f（-x），G（x）＝f（x）-f（-x），則F（x）與G（x）的定義域也都是（-l，l），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.∵F（-x）＝f（-x）+f（-（-x））＝f（-x）+f（x）＝F（x），G（-x）＝f（-x）-f（-（-x））＝f（-x）-f（x）＝-［f（x）-f（-x）］＝-G（x），∴F（x）為偶函數(shù)，G（x）為奇函數(shù)，即f（x）+f（-x）是偶函數(shù)，f（x）-f（-x）是奇函數(shù).【方法總結(jié)】判斷抽象函數(shù)的奇偶性，需利用函數(shù)奇偶性的定義，找準(zhǔn)方向，巧妙賦值，合理、靈活地變形配湊，找出f（-x）與f（x）的關(guān)系.賦值時(shí)，要根據(jù)解題目標(biāo)來確定，一般可通過賦值-1，0或1來達(dá)到解題目的.【解析】

（1）（方法1）設(shè)g（x）＝f（x）+4，則g（x）＝ax3+bx在R上為奇函數(shù)，∴g（-2）＝f（-2）+4＝2+4＝6，∴g（2）＝-g（-2）＝-6.又∵g（2）＝f（2）+4，∴f（2）＝-10.（方法2）由f（-2）＝2，得-8a-2b-4＝2，即8a+2b＝-6，∴f（2）＝8a+2b-4＝-10.（2）F（x）＝af（x）+bg（x）+2在（0，+∞）上的最大值為5，且f（x），g（x）均為奇函數(shù)，則F（x）-2＝af（x）+bg（x）為奇函數(shù)，且在（0，+∞）上的最大值為3.根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可知F（x）-2＝af（x）+bg（x）在（-∞，0）上的最小值為-3，故F（x）＝af（x）+bg（x）+2在（-∞，0）上的最小值為-3+2＝-1.二、函數(shù)奇偶性的簡(jiǎn)單應(yīng)用例4

（1）已知f（x）＝ax3+bx-4，其中a，b為常數(shù)，若f（-2）＝2，則f（2）等于（）A.-26

B.-18

C.10

D.-10（2）已知f（x），g（x）均為奇函數(shù)，且F（x）＝af（x）+bg（x）+2在（0，+∞）上的最大值為5，則在（-∞，0）上F（x）的最小值為

.D-1【方法總結(jié)】利用函數(shù)奇偶性求值的方法（1）未知的值不在已知的范圍內(nèi)，可利用奇偶性將未知的值或區(qū)間轉(zhuǎn)化為已知的值或區(qū)間；（2）有些函數(shù)雖然是非奇非偶函數(shù)，但觀察表達(dá)式可以發(fā)現(xiàn)其間存在奇偶性的表達(dá)式，所以可用奇函數(shù)或偶函數(shù)表達(dá)出此函數(shù)，從而間接地求值.

例5

（1）已知函數(shù)f（x）為R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，f（x）＝x2-2x，則當(dāng)x>0時(shí)，f（x）＝

.（2）已知函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f（x）＝x2-2x+1，則f（x）＝

.x2+2x

【方法總結(jié)】應(yīng)用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)f（x）解析式的一般方法（1）“求誰設(shè)誰”，即求函數(shù)在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)的解析式，x就設(shè)在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)；（2）將所設(shè)區(qū)間的x轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間，代入已知區(qū)間的函數(shù)解析式；（3）利用f（x）的奇偶性求得f（x）的解析式.

1-3A【方法總結(jié)】當(dāng)定義域中含有參數(shù)時(shí)，可以根據(jù)奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直接求出參數(shù)的值；當(dāng)解析式中含有參數(shù)時(shí)，可以根據(jù)奇、偶函數(shù)的定義列出等式f（-x）＝-f（x）或f（-x）＝f（x），由等式求出參數(shù)的值，有時(shí)也可以由特殊值或由函數(shù)的性質(zhì)直接分析求解.【解析】

因?yàn)閒（x）滿足f（x-4）＝-f（x），所以f（-4）＝-f（0）.又f（x）在R上是奇函數(shù)，所以f（0）＝0，所以f（-4）＝-f（0）＝0，所以f（4）＝-f（-4）＝0.由f（x）＝-f（-x）及f（x-4）＝-f（x），得f（3）＝-f（-3）＝-f（1-4）＝f（1）.又f（x）在區(qū)間［0，2］上單調(diào)遞增，所以f（1）>f（0），即f（1）>0，所以f（-1）＝-f（1）<0，f（3）＝f（1）>0，于是f（-1）<f（4）<f（3）.三、函數(shù)奇偶性的綜合應(yīng)用例7

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x-4）＝-f（x），且在區(qū)間［0，2］上單調(diào)遞增，則（）A.f（-1）<f（3）<f（4）

B.f（4）<f（3）<f（-1）C.f（3）<f（4）<f（-1）

D.f（-1）<f（4）<f（3）D【方法總結(jié)】利用函數(shù)的奇偶性比較大小比較大小問題，一般解法是先利用奇偶性，將不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)或多個(gè)自變量的函數(shù)值，通過將其中某些函數(shù)值轉(zhuǎn)化為其對(duì)稱區(qū)間上的函數(shù)值，使它們?cè)谕粏握{(diào)區(qū)間上，然后利用單調(diào)性比較大小.

例8

（1）已知函數(shù)y＝f（x）在定義域［-1，1］上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，若f（1-a2）+f（1-a）<0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.（2）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）在［1，+∞）上單調(diào)遞增，且f（x+1）為偶函數(shù)，若f（3）＝1，則不等式f（2x+1）<1的解集為（）A.（-1，1）

B.（-1，+∞）

C.（-∞，1）

D.（-∞，-1）∪（1，+∞）A［0，1）（2）∵f（x+1）是偶函數(shù)，∴f（1-x）＝f（1+x），∴f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱.又∵f（x）在［1，+∞）上單調(diào)遞增，∴f（x）在（-∞，1］上單調(diào)遞減.∵f（3）＝1，∴f（-1）＝f（3）＝1，∴當(dāng)2x+1≤1時(shí)，f（2x+1）<f（-1），即-1<2x+1≤1；當(dāng)2x+1≥1時(shí)，f（2x+1）<f（3），即1≤2x+1<3，∴-1<2x+1<3，解得-1<x<1.【方法總結(jié)】抽象不等式問題的解題步驟（1）將所給的不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值的大小關(guān)系；（2）由已知或利用奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性，再利用單調(diào)性“脫去”函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”，轉(zhuǎn)化為解不等式（組）的問題.需要注意的是，在轉(zhuǎn)化時(shí)，自變量的取值必須在同一單調(diào)區(qū)