第四章現(xiàn)代交通流理論4.1概述4.2交通流特性的統(tǒng)計(jì)分布4.3排隊(duì)論及其應(yīng)用4.4跟車?yán)碚?.1概述何為交通流理論？

——運(yùn)用物理學(xué)和數(shù)學(xué)的定律來描述交通特性的一門邊緣學(xué)科，是交通工程學(xué)的基礎(chǔ)理論。何為現(xiàn)代交通流理論

——以先進(jìn)的車輛系統(tǒng)和智能高速道路概念為背景，形成的交通流新認(rèn)識與理論。研究交通流理論的意義

——把握交通流運(yùn)動(dòng)機(jī)理與規(guī)律，科學(xué)分析交通設(shè)施設(shè)計(jì)效果與運(yùn)營管理系統(tǒng)基本概念離散型分布

泊松分布二項(xiàng)分布

負(fù)二項(xiàng)分布

擬合優(yōu)度檢驗(yàn)——2檢驗(yàn)連續(xù)型分布負(fù)指數(shù)分布

移位負(fù)指數(shù)分布

韋布爾分布4.2交通流特性的統(tǒng)計(jì)分布基本概念1）交通流分布：交通流的到達(dá)特性或在物理空間上的存在特性；2）離散型分布（也稱計(jì)數(shù)分布）：在一段固定長度的時(shí)間內(nèi)到達(dá)某場所的交通數(shù)量的波動(dòng)性；3）連續(xù)型分布（時(shí)間間隔分布、速度分布等）：在一段固定長度的時(shí)間內(nèi)到達(dá)某場所交通的間隔時(shí)間的統(tǒng)計(jì)分布；4）研究交通分布的意義：預(yù)測交通流的到達(dá)規(guī)律（到達(dá)數(shù)及到達(dá)時(shí)間間隔），為確定設(shè)施規(guī)模、信號配時(shí)、安全對策提供依據(jù)

4.2交通流特性的統(tǒng)計(jì)分布離散型分布

在一定的時(shí)間間隔內(nèi)到達(dá)的車輛數(shù)，或在一定的路段上分布的車輛數(shù)，是所謂的隨機(jī)變數(shù)，用離散型分布描述這類隨機(jī)變數(shù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。1）泊松分布：——基本假定：車輛（或人）的到達(dá)是隨機(jī)的，相互間的影響微弱，也不受外界因素干擾，具體表現(xiàn)在交通流密度不大；——基本模型：計(jì)數(shù)間隔t內(nèi)到達(dá)k輛車的概率

Pk=(t)ke-t/k!=(m)ke-m/k!

：平均到達(dá)率（輛或人/秒）

m：在計(jì)數(shù)間隔t內(nèi)平均到達(dá)的車輛或人數(shù)，也稱為泊松分布參數(shù)——幾種不同情況的概率到達(dá)數(shù)小于k輛車的概率：到達(dá)數(shù)小于等于k的概率：到達(dá)數(shù)大于k輛車的概率：到達(dá)數(shù)大于等于k輛車的概率：例1：設(shè)60輛車隨即分布在4km長的道路上，求任意400m路段上有4輛及4輛車以上的概率。解：把公式中的t理解為計(jì)算車輛數(shù)的空間間隔，則本例在空間上的分布服從泊松分布

Pk=(t)ke-t/k!=(m)ke-m/k!P0=e-m,Pk+1=mPk/k+1

t=400m，

=60/4000(輛/米)，m=t=6輛，P0=60×e-6÷0!=0.0025P1=6÷1×p0=0.0149

P2=6÷2×p1=0.0446

P3=6÷3×p2=0.0892不足４輛車的概率為：Ｐ（＜４）＝

４輛及4輛以上的概率為：P（≥4）=1-Ｐ（＜４）＝0.8488例2：某信號燈交叉口的周期T＝97s，有效綠燈時(shí)間g=44s，在有效綠燈時(shí)間內(nèi)排隊(duì)的車流以s＝900輛/h的流率通過交叉口，在有效綠燈時(shí)間外到達(dá)的車輛要停車排隊(duì)。設(shè)信號燈交叉口上游車輛的到達(dá)率q=369輛/h，服從泊松分布，求使到達(dá)車輛不致兩次排隊(duì)的周期占周期總數(shù)的最大百分率。解：由于車流只能在有效綠燈事件內(nèi)通過，所以一個(gè)周期能通過的最大車輛數(shù)A=gs=44×900/3600=11輛，如果某周期到達(dá)的車輛數(shù)N大于11輛，則最后到達(dá)的（N-11）輛車就不能在本周期內(nèi)通過而發(fā)生兩次排隊(duì)。在泊松分布公式中，

查累積的泊松分布表可得到達(dá)車輛大于11輛的周期出現(xiàn)的概率為：P(>11)=0.29即不發(fā)生兩次排隊(duì)的周期最多占71%。離散型分布2）二項(xiàng)分布：——遞推公式：由參數(shù)n及數(shù)量k和p可遞推出Pk+1

；——分布的均值與方差分別為：M=np,D=np(1-p)?！\(yùn)用模型時(shí)的留意點(diǎn)：1、D<M區(qū)別于柏松分布的顯著特征2、基于觀測數(shù)據(jù)可估計(jì)出M,D,由此反求出分布參數(shù)p

和n；

例：在某條公路上，上午高峰期間，以15秒間隔觀測到達(dá)車輛數(shù)，得到的結(jié)果列入下表，試用二項(xiàng)分布擬合之。車輛到達(dá)數(shù)ni<33456789101112>12包含ni的間隔出現(xiàn)的次數(shù)03081011101191103）負(fù)二項(xiàng)分布基本假定：到達(dá)量波動(dòng)大的車流?；竟竭f推公式令：，則遞推公式為：擬合優(yōu)度檢驗(yàn)——2檢驗(yàn)1）檢驗(yàn)的目的：——確定分布類型：泊松分布、二項(xiàng)分布、其他分布及其參數(shù)；2）2檢驗(yàn)的基本原理（數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論）——建立原假設(shè)H0：隨機(jī)變量x服從給定的概率分布；——選擇適宜的統(tǒng)計(jì)變量；——確定統(tǒng)計(jì)量臨界值；(P66表）——下統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)結(jié)論比較的計(jì)算值與臨界值：若，則接受H0；若，則不接受H0

在應(yīng)用檢驗(yàn)法時(shí)應(yīng)注意：①樣本容量N應(yīng)較大；②分組應(yīng)連續(xù)，各組的值應(yīng)較小，意味著分組數(shù)g應(yīng)較大；③各組內(nèi)的理論頻數(shù)統(tǒng)計(jì)量的自由度DF⑤置信水平的取值：通常取0.05分布qDF泊松分布二項(xiàng)分布負(fù)二項(xiàng)分布122g-2g-3g-3常用離散型分布的約束數(shù)q及DF例：在某大橋引橋上以30秒為間隔對一個(gè)方向的車流到達(dá)數(shù)作連續(xù)觀測，得到232個(gè)觀測之，列于P67表（4.2.3）（以表上角按行從左到右為時(shí)序）。試求其統(tǒng)計(jì)分布并檢驗(yàn)之。解：按各到達(dá)數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)，把表（4.2.3）整理成表（4.2.4）的第一、第二列。算出樣本均值m和方差s2為m=5.254,s2=6.753從s2與m的比值看，用負(fù)二項(xiàng)分布或泊松分布做擬合可能是合適的。若用泊松分布做擬合，分布參數(shù)t=m=5.254。若用負(fù)二項(xiàng)分布做擬合，可算出它的兩個(gè)參數(shù)為：p=m/s2=0.78,

=m2/(s2-m)=37.83.用遞推公式可分別算出這兩種分布各到達(dá)數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)，列于表（4.2.4)的第三、四列。

4.2交通流特性的統(tǒng)計(jì)分布連續(xù)型分布

基本概念：描述車頭時(shí)距分布規(guī)律的分布為交通流連續(xù)型分布。1）負(fù)指數(shù)分布

(1)基本假定：存在充分超車機(jī)會(huì)的單列交通流與密度不大的多列車流的車頭時(shí)距分布可采用負(fù)指數(shù)分布，常與計(jì)數(shù)的泊松分布相對應(yīng)。

(2)基本模型：車流平均到達(dá)率為（輛/秒）時(shí)，到達(dá)的車頭時(shí)距h

大于

t

秒的概率為

P(h>t)

=(t)0e-t/0!=

e-t

=

exp(-Qt/3600)4.2交通流特性的統(tǒng)計(jì)分布連續(xù)型分布——負(fù)指數(shù)分布(續(xù))

(3)負(fù)指數(shù)分布在應(yīng)用中的局限性：

P(t)0.51.01.52.0t負(fù)指數(shù)分布概率密度p(t)=d[1-P(h>t)]/dt=e-t車頭時(shí)距越小出現(xiàn)的概率越大？

4.2交通流特性的統(tǒng)計(jì)分布連續(xù)型分布——負(fù)指數(shù)分布(續(xù))

(4)負(fù)指數(shù)分布的應(yīng)用

主干道優(yōu)先次干道優(yōu)先停讓計(jì)算次干道通行能力4.2

交通流特性的統(tǒng)計(jì)分布連續(xù)型分布——移位負(fù)指數(shù)分布(續(xù))

(4)移位負(fù)指數(shù)分布的局限性：

P(t)0.51.01.52.0t車頭時(shí)距越接近于出現(xiàn)的可能性越大？

連續(xù)型分布3）韋布爾分布

(1)基本假定：一般場合的車頭時(shí)距與速度分布；

(2)基本模型：到達(dá)的車頭時(shí)距h

大于

t

秒的概率為式中，，為分布參數(shù)，取正值且>。

為起點(diǎn)參數(shù)，

為形狀參數(shù)，=1,=0

為尺度參數(shù)。顯而易見，負(fù)指數(shù)分布和移位負(fù)指數(shù)分布是韋布爾分布的特例。（試證明）4.3排隊(duì)論及其應(yīng)用1）簡述是研究“服務(wù)”系統(tǒng)因“需求”擁擠而產(chǎn)生等待行列的現(xiàn)象，以及合理協(xié)調(diào)“需求”與“服務(wù)”關(guān)系的一種數(shù)學(xué)理論；應(yīng)用于交通延誤、通行能力、交通信號配時(shí)、停車場、收費(fèi)站、加油站等交通設(shè)施的設(shè)計(jì)與管理分析，方案制定等。

2）排隊(duì)論的基本原理及應(yīng)用

(1)基本概念

排隊(duì)：單指等待服務(wù)的，不包括正在服務(wù)的,排隊(duì)系統(tǒng)，則包括兩者排隊(duì)系統(tǒng)的三個(gè)組成部分排隊(duì)系統(tǒng)輸入過程排隊(duì)規(guī)則服務(wù)方式定長輸入(D)泊松輸入(M)愛爾朗輸入(Ek)損失制等待制混合制定長分布(D)負(fù)指數(shù)分布(M)愛爾朗分布(Ek)“顧客”的到達(dá)規(guī)律遇排隊(duì)自動(dòng)消失按序及優(yōu)先制兩種的結(jié)合服務(wù)臺數(shù)及每顧客服務(wù)時(shí)間顧客按怎樣的次序接受服務(wù)

4.3排隊(duì)論及其應(yīng)用2）排隊(duì)論的基本原理及應(yīng)用(1)基本概念

排隊(duì)系統(tǒng)的主要數(shù)量指標(biāo)——等待時(shí)間：到達(dá)時(shí)起至開始接受服務(wù)的期間；——忙期：服務(wù)臺連續(xù)繁忙的時(shí)期；——隊(duì)長：有排隊(duì)顧客數(shù)與排隊(duì)系統(tǒng)中顧客數(shù)之分，用來衡量排隊(duì)系統(tǒng)的服務(wù)水平。4.3排隊(duì)論及其應(yīng)用2）排隊(duì)論的基本原理及應(yīng)用

(2)基本模型

排隊(duì)系統(tǒng)的表現(xiàn)：——M代表泊松分布或負(fù)指數(shù)分布；——D代表定長輸入或定長分布；——Ek代表愛爾朗分布的輸入或服務(wù)排隊(duì)系統(tǒng)一般表現(xiàn)為：輸入/服務(wù)/服務(wù)臺M/M/N,M/D/1,D/M/N,Ek/D/N……4.3排隊(duì)論及其應(yīng)用2）排隊(duì)論的基本原理及應(yīng)用M/M/1（單通道服務(wù)）系統(tǒng)的計(jì)算公式——基本參數(shù)：平均到達(dá)率（輛/秒）；到達(dá)的平均時(shí)距1/（秒）；平均服務(wù)率（輛/秒）；平均服務(wù)時(shí)間1/

；交通強(qiáng)度(利用系數(shù))=/

——狀態(tài)判斷：

<1，排隊(duì)系統(tǒng)的顧客數(shù)不出現(xiàn)排隊(duì)，排隊(duì)消散的條件為<

；1排隊(duì)長度將會(huì)變長4.3排隊(duì)論及其應(yīng)用2）排隊(duì)論的基本原理及應(yīng)用排隊(duì)系統(tǒng)的表現(xiàn)：M/M/1（單通道服務(wù)）系統(tǒng)的計(jì)算公式——基本參數(shù)：——狀態(tài)判斷：——基本狀態(tài)：系統(tǒng)中沒有顧客的概率P0=1-系統(tǒng)中有n個(gè)顧客的概率Pn=n(1-)系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)n=/(1-)，系統(tǒng)中顧客數(shù)的方差=/(1-)2

增加排隊(duì)車輛數(shù)增加，當(dāng)約為0.8時(shí)，平均排隊(duì)長度快速增加，而系統(tǒng)狀態(tài)的變動(dòng)范圍和頻度增長更快，即不穩(wěn)定因素迅速增長，服務(wù)水平迅速下降。n0.80.84.3排隊(duì)論及其應(yīng)用2）排隊(duì)論的基本原理及應(yīng)用(2)基本模型

排隊(duì)系統(tǒng)的表現(xiàn)：M/M/1（單通道服務(wù)）系統(tǒng)的計(jì)算公式——基本狀態(tài)：平均排隊(duì)長度q=2/(1-)=n-非零排隊(duì)長度qw=1/(1-)系統(tǒng)中的平均消耗時(shí)間d=1/(-)=n/排隊(duì)中的平均等待時(shí)間w=/(-

)=d-1/例1：某條道路上設(shè)一調(diào)查統(tǒng)計(jì)點(diǎn)，車輛到達(dá)該點(diǎn)是隨機(jī)的，單向車流量為800輛/小時(shí)。所有車輛到達(dá)該點(diǎn)要求停車領(lǐng)取O-D調(diào)查卡片，假設(shè)工作人員平均能在4秒鐘內(nèi)處理一輛汽車，符合負(fù)指數(shù)分布。試估計(jì)在該點(diǎn)上排隊(duì)系統(tǒng)中的平均車輛數(shù)、平均排隊(duì)長度、非零平均排隊(duì)長度、排隊(duì)系統(tǒng)中的平均消耗時(shí)間以及排隊(duì)中的平均等待時(shí)間。解：這是一個(gè)M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)。平均到達(dá)率：平均服務(wù)率：所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)中的平均車輛數(shù)：平均排隊(duì)長度非零平均排隊(duì)長度系統(tǒng)中的平均消耗時(shí)間排隊(duì)中的平均等待時(shí)間

例：2今有一停車場，到達(dá)車輛數(shù)是60輛/小時(shí)，停車場服務(wù)能力為100輛/小時(shí)，其單一的出入道可存6輛車，問該數(shù)量是否合適？解：這是一個(gè)M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)。所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。因?yàn)槌鋈氲来孳嚵繛?輛，如果存車量超過6輛概率很小，則該數(shù)量為合適，否則，不合適。P0=1-=1-O.6=O.4,P1=

1(1-)=0.24…P6=6(1-)=0.02P(>6)=1-P(≤6)=1=0.97=O.O3;概率很小,所以數(shù)量合適.3、M/M/N系統(tǒng)的計(jì)算公式——車輛平均到達(dá)率——到達(dá)的平均時(shí)距——排隊(duì)從每個(gè)服務(wù)臺接受服務(wù)后的平均輸出率——平均服務(wù)時(shí)間

——交通強(qiáng)度或利用系數(shù)系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)中沒有車輛的概率：系統(tǒng)中有k輛車的概率：系統(tǒng)中的平均車輛數(shù)：平均排隊(duì)長度：平均消耗時(shí)間：平均等待時(shí)間：例3：一加油站，今有2400輛/小時(shí)的車流量通過4個(gè)通道引向四個(gè)加油泵，平均每輛車加油時(shí)間為5秒，服從負(fù)指數(shù)分布，試分別按M/M/4系統(tǒng)和四個(gè)相同的M/M/1系統(tǒng)計(jì)算各相應(yīng)指標(biāo)并比較之。(書78)解1）按四個(gè)平行的M/M/1系統(tǒng)計(jì)算

根據(jù)題意，每個(gè)油泵有它各自的排隊(duì)車道，排隊(duì)車輛不能從一個(gè)車輛換到另一個(gè)車道上去。把總車流輛四等分，就是引向每個(gè)油泵的車流量，于是對每個(gè)油泵：

而對于四個(gè)油泵構(gòu)成的系統(tǒng)：按M/M/4系統(tǒng)計(jì)算

4.4跟車?yán)碚?.4.1引言

何為跟車?yán)碚摚哼\(yùn)用動(dòng)力學(xué)方法，探究在無法超車的單一車道上車隊(duì)列隊(duì)行駛時(shí)，后車跟隨前車的行駛狀態(tài)，并用數(shù)學(xué)模式表達(dá)加以分析闡明的一種理論。研究的目的：試圖通過觀察各個(gè)車輛逐一跟駛的方式來了解單車道交通流的特性。用途：用來檢驗(yàn)管理技術(shù)和通訊技術(shù)，以便使尾撞事故減到最低限度。4.4跟車?yán)碚摚ɡm(xù)）4.4.2車輛跟駛特性分析

非自由流行駛狀態(tài)：高密度狀態(tài)的車流，車間距不大，車隊(duì)中任一車輛都受到前車速度的制約，司機(jī)只能按前車所提供的信息采用相應(yīng)的車速。智能車輛的交通流前后車輛可以實(shí)現(xiàn)通信。非自由行駛狀態(tài)的車隊(duì)特性：制約性：（1）緊隨要求：司機(jī)不愿落后很多；（2）車速條件：后車在前車車速附近擺動(dòng)；（3）間距條件：前后車之間必須保持一個(gè)安全距離4.4跟車?yán)碚摚ɡm(xù)）4.4.2車輛跟駛特性分析（續(xù)）

延遲性：后車對前車運(yùn)行狀態(tài)的改變有一個(gè)反應(yīng)過程：感覺-認(rèn)識-判斷-執(zhí)行（四個(gè)階段所需要的時(shí)間稱為反應(yīng)時(shí)間），若反應(yīng)時(shí)間為T，前車在t時(shí)刻的動(dòng)作，后車要經(jīng)過（t+T）時(shí)刻才能做出動(dòng)作。傳遞性：第n輛車制約著第（n+1）輛車的運(yùn)行狀態(tài)的特性。由于傳遞性具有延遲性，所以，信息沿車隊(duì)向后傳遞是間斷連續(xù)的。4.4跟車?yán)碚摚ɡm(xù)）4.4.3線性跟車模型

模型的建立：描述跟車的刺激反應(yīng)現(xiàn)象。（1）關(guān)于刺激與反應(yīng)：前導(dǎo)車的加速或減速，以及隨之發(fā)生的兩車之間的速度差和車間距離的變化；反應(yīng)為后車所做的加速或減速動(dòng)作及其實(shí)際效果。（2）建模條件：兩車間距s(t)（行駛中前導(dǎo)車剎車時(shí)，后車可不撞車停下的間距）；反應(yīng)時(shí)間T內(nèi)后車車速不變；后車及前導(dǎo)車在減速期間行駛的距離相等。（3）基本模型：S(t)=d1+L=Txn+1(t+T)+L.n+1nn+1n+1ns(t)xn+1(t)xn(t)d1d2Ld3前車開始減速的位置時(shí)刻t兩車的位置后車開始減速的位置完全剎車后兩車的位置4.4.3線性跟車模型

模型的建立：（4）反應(yīng)與敏感度及刺激的關(guān)系，對(3)式微分得

xn

(t)-xn+1(t+T)=Txn+1(t+T)xn+1(t+T)=1/T[xn(t)-xn+1(t+T)]

反應(yīng)=敏感度*刺激

考慮變速過程中兩車行駛距離可能不相等等一般場合

xn+1(t+T)=[xn

(t)-xn+1(t+T)]

為反應(yīng)強(qiáng)度系數(shù)，量綱為秒-1，不應(yīng)理解為敏感度，而應(yīng)看成與駕駛員動(dòng)作的強(qiáng)弱程度直接相關(guān)..............4.4跟車?yán)碚摚ɡm(xù)）4.4.3線性跟車模型

模型的的穩(wěn)定性解二階微分方程，可用公式C=T表征穩(wěn)定性。（1）局部穩(wěn)定：前后兩車速度近似相等，車間距離大體保持一常數(shù)；

隨著c值的增加，車間距逐漸成為不穩(wěn)定。說明，如果對早就出現(xiàn)的刺激（反應(yīng)時(shí)間T長）,或反應(yīng)太強(qiáng)烈，使情況可能會(huì)偏向錯(cuò)誤的方向。4.4跟車?yán)碚摚ɡm(xù)）4.4.3線性跟車模型

模型的的穩(wěn)定性（2）漸進(jìn)穩(wěn)定：前車速度向其后各車傳播的特性，如速度變化的振幅在傳播中擴(kuò)大了，叫不穩(wěn)定；若逐漸衰減，則叫穩(wěn)定。

研究表明：當(dāng)一列行駛車輛僅當(dāng)c<0.5時(shí)，才是逐漸穩(wěn)定的；當(dāng)c>0.5時(shí)，將以大波動(dòng)幅度傳播，增加了車輛間的干擾；當(dāng)干擾的幅度增加到小于一個(gè)車長時(shí)，尾撞事故即將發(fā)生。.4.4跟車?yán)碚摚ɡm(xù)）4.4.4跟車模型與車流模型

車流模型的再認(rèn)識（1）車流模型是指在穩(wěn)定的車流中，流、密、速之間的相依關(guān)系；（2）根據(jù)跟車模型可以推導(dǎo)出各種速-密模型。對方程：xn+1(t+T)=[xn

(t)-xn+1(t+T)]積分得

xn+1(t+T)=[xn

(t)-xn+1(t+T)]+c車隊(duì)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)：xn+1(t+T)=xn+1(t)

.......4.4跟車?yán)碚摚ɡm(xù)）4.4.4跟車模型與車流模型因此，前式可化為：u=s+c,令k=1/s，則k就是車流密度，利用邊界條件可求得和c.推導(dǎo):當(dāng)u=0時(shí)，車隊(duì)的密度為擁塞密度kj，于是0=a/kj+c,c=-a/kj

式變成u=a(1/k-1/kj)且q=uk=a(1-k/kj).又因k=0時(shí)，由上式知q達(dá)到最大值qm,即a=qm得到車流模型為：u=qm(1/k-1/kj)q=qm(1-k/kj)

注意線性跟車模型的缺陷（可由對應(yīng)的車流模型中推出），其原因是該模型的假定。根源在于它假定后隨車的跟駛反映只依賴于它與前導(dǎo)車的速度差，而與兩車的間距及后車本身的速度無關(guān)。跟車模型的推廣

....4.4流體動(dòng)力學(xué)模擬理論4.4.1引言運(yùn)用流體動(dòng)力學(xué)的原理，又稱車流波動(dòng)理論；模擬對比表4.4流體動(dòng)力學(xué)模擬理論4.4.2車流連續(xù)方程守恒定律：流入量-流出量=某路段車輛數(shù)的變化；k/t+q/x=0表明：當(dāng)車流輛隨距離而降低時(shí)，車流密度則隨時(shí)間