是§2.2的內(nèi)容，但有擴充．

A n k 0，因為n

anAN0nNanA取KN，則當kK時，nkkKN，從而

Ankn

成立，故k

ankAlimanlimanA 設{bn},{cn是數(shù)列{an的兩個子列，且limbnBlimcnCBC {bn},{cn}“合在一起”得到的數(shù)列{an}的子列{dn}沒極限，這與題設 有子列的極限均相等，記其值為AlimanA，則存在00及{an的一個子列ananA0 有子列的極限均是A，所以limanA{a2n1}，及子列{a3n}，{a3n1}和{a3n2}1aa12,an12an

(n1,2,

子 n1an）nan1Note1：開區(qū)間套沒有相應結(jié)論，例如 1n(0,n 存在(anbn(anbn)x(anbn，則稱(anbn)I的一個覆蓋． 定理（有限覆蓋定理若(anbn)是閉區(qū)間[ab的一個覆蓋，則存在n1n2,nN使得[a,b]

kkk

證明：反證法．設(anbn)是閉區(qū)間[ab的一個覆蓋，且其中的任意有限個區(qū)間都不能覆蓋[ab]．2間覆蓋，則取[c2d2c1m1，否則取[c2d2m1m2c2d2

，若[c2m2(anbn)中的任意有限個區(qū)間覆蓋，則取[c3d3c2m2]，否則取[c3d3m2d2根據(jù)區(qū)間套定理，存在唯一的實數(shù)limck

limdk[ckdk[ab]．由于k (anbn)是閉區(qū)間[ab的一個覆蓋，所以存在(anbn，使得anbn，從而k充分大時，就有[ckdkanbn．這與“任意的[ckdk都不能被(an xNote：開區(qū)間沒有有限覆蓋定理．例如{(,2

xx(0,1就是開區(qū)間(0,1)例：利用有限覆蓋定理證明：若函數(shù)f(x)在[a,b]上，則存在c[a,b]，對任意0，函數(shù)f(x)在(c,c)[a,b] 證明：反證法．若對任意的c[ab]，總存在c0(cccc)[ab上有界．

，使得函數(shù)f(x)(cccc)是[ab](ckcckc)(k1,2,n，使得[ab(ckcckc) 得到函數(shù)f(x)在[a,b]上有界．Bolzano—Weierstrass（W—氏給出）BolzanoBolzano定理說明實數(shù)具有列緊直接法：設數(shù)列cnmcnM．記a1m,b1M．d1a1b1，若[a1d1中包含cn中的無窮多項，則取[a2b2a12否則取[a2b2d1b1d2a2b2，若[a2d2中包含cn中的無窮多項，則取[a3b3a2d22否則取[a3b3d2b2根據(jù)區(qū)間套定理，存在唯一的實數(shù)limn

ancn1[a1b1cn2[a2b2n2n1)cnk[akbknknk1)，則lim

反證法：設數(shù)列cnmcnM．若對于任意的c[mM都不存在cn的子列收斂到c，則存在c0，區(qū)間(cccc中只含有cn的有限項．間將覆蓋[mM，從而推出[mM中只含有cn的有限項．這與題設，故cn至少有一個子列收斂到[m,M]中的某一點． 例：設數(shù)列an,bnnk，使得anbn 證明：由an得到收斂子列an；由bnk得到收斂子列bn，同時an 列．五、Cauchy收斂準則定義：設an是一個數(shù)列，若對于任意的0NmNnN時，anam成立，則稱anCauchypanpan成立．qn

qn1qm

2

（nmn

qn0意的0NmnNan

n2：證明ann

1n

k1 “0

n(n

(np1)(n n 存在00，對任意的N0，總存在n0N,m0N，使得an nk例3：設an ，證明數(shù)列{an}不是Cauchy列k “

nkNote：數(shù)列an 滿足：對任意的正整數(shù)p，對于任意的0，總存在正整數(shù)N，knp nNanp

nanamanAAam 設k

ankA有an

k

ankA，所以存在正整數(shù)K，當kKA取Nmax{N1,K}，則當nN,kN時，有anAan ankA2．n

anA例：若數(shù)列ana2a1a3

anan1Cn

an“bna2a1a3

anan1bnCauchy由an1anpan2an1an3an2anpanp

bnpbnNote：若數(shù)列ana2a1a3a2anan1C，則稱其為有界如數(shù)列an

naaa

a

1211 n1 xx0時的極限x

f(x)A的定義：x

f(x)A0,0，當0

x

有f(xA（1）0xx0（2）

注：x

f(x) 000x，使得0xx0，但f(xA0（2） 證：（1）0x21x21x1x13x1（ x(0,2)，所以只要3x1取 ，則當x1時，就有1x1x

1．故lim

x

x2（3）01cosx2sin2xx2

0xx00xx0

f(x)A，f(x0f(x)A，f(x0定理：x

f(x)A xx

f(x)A，且xx

f(x)A證明：必要性．因為x

f(x)A，所以對于任意的0，都存在00xx0時，有f(xAx0xx0時，f(xA成立，故xx

f(x)A．類似可證xx

f(x)A 0xx0

f(xA，所以存在10，當x0xx0f(xA

0xx0

f(xA，所以存在20，當x02xx0取min{1,2，則當0 x

xx0時，有f(xA f(x)A

例如函數(shù)f(x) ，limf(x) ，limf(x) ，limf(x)不存在x

x

f(xA的定義：A是一實數(shù)．若對于任意的0

xX

f(xAf(xx1

x

f(x)A例：證明x

0xx

f(x)Af(x)Ax

f(x)Ax

x

f(x)A，且x

f(x)Ax例如：f(x)x因為limf(x) 1，limf(x) 1，所以limf(x)不存在 xx xx x

B證明：設存在AB，使得limf(x)A，limf(x)B．取 0，由x x limf(xAlimf(xB，所以存在0，當0xx0x x

A2BB

f(x)A2AB2A A 這與 x

1xxlimf(xA，取10limf(xA，所以存在0x x0xx0f(x)A1從而f(x)A1f(xx0在，證明函數(shù)f(x)在[a,)上有界．

x

f(x證：因為x

f(xAaM10，使得f(x)M1(xAf(x在閉區(qū)間[aAM20，使得f(x)M2(x[aAMmax{M1M2，則f(x)M(x[af(x在[a,定理：limf(xA0f(xx0xx0f(x0limf(xxr(0,1)limf(xA，所以存在0，當0x

xx0f(xA1r)A．特別地，有f(x)(1rAArA0．定理：x

f(x)An

xnx0(xnx0，都有n

f(xn)A

x

f(x)A，所以0，當0xx0f(x)A又因為limxnx0(xnx0，所以N0nN0xnx0

f

An

f(xn)Ax

f(x)A00,0，x，滿足0xx0f(x)A0特別地，取1，得到xn滿足0

xnx01，但f(xn)A0 n11：limx 1

xppq互素2：f(x)

q

f(x證明：設x0是一個無理數(shù)，只要證明對任意的n

znx0(znx0)n

f(zn)0kxkzn為無理數(shù)，則kk

f(xk)0

為有理數(shù)，且不妨設

pk．對于任意的0f(

)1

1q只有有限個，從而滿足

q(

，即

fyk)ykN0，當kN有fyk)1，即k

f(yk)0綜上所述，n

1 x p,），NoteRiemannf(x

定理：若limf(xA,limg(x)Bx x（1）lim[f(x)g(x)]ABxlimf(x)g(x)x

（limkf(x)kAxlimf(x)A(B0)xx0 1Bg(x)g(x)2證明：（2）f(x)g(xABg(x)f(xAAg(x1Bg(x)g(x)211

g(x)B例如

，lim11nk nnk

x45ax x2xx4（1）lim

（3）lim ．x5ax

定理：設limg(xu0limf(uAxx0時，g(xu0，則limf(g(x))A Note1xx0g(x)u0 u x例如對于函數(shù)f(u) g(x)

Q

f(u)1,limg(x)0 u xf(g(x))

xQ,xxQ,x

x

f(g(x)) f(x)f(x0)xNote3：冪指函數(shù)的極限：x

f(xgx)ab證明：0，由于f(u)A

u

f(u)A10，當0uu01時，對于上述10，因為x

g(x)u0xx0g(x)u0，所以0當0

xx0時，有0g(x)u01．從而f(g(xA三、定理（兩面夾定理定理：設函數(shù)f(xg(xh(xx0 條件：limf(x)limh(x)A則limg(x)A

x0，因為limf(xlimh(xA，所以存在0，當0

x

x有Af(xAAh(xA由于f(xg(x)h(x，所以當0xx0Af(x)g(x)h(x)A成立．故limg(x)Alimx1，其中[x01111x0111x0

x1111

1 ，其

CBOxA四、兩個重要極限CBOxAlimsinxx x

πOAB的面積小于扇形OAB的面積，而扇形OAB2又小于OAC1sinx1x1tanx 1 即cosxsinxx

sin

1．

limsinxxx x0 x 又因為

sinx

sinx1

sinxx

x0

x0

x (

)

))Note2：limtanx1，lim1cosx1，

1，limarctanxx x x

x

xx例：求極限（1）lim （2x

（3）lim

x0tan1xx

xπx

1 en

1 1[當x0時，由[x]x[x]1，得1[x]1 1x1[x] 定理易知lim

1 ex 1 1 t 1lim

lim1 t

tt

lim ettt

1 exNote1：(

(1 (Note2：limln(1x)1，limex11，

ax1

lnx

x （1）lim

x

x5 （2）lim xx2

e31

1

e1limcosxsin2x e1 定理：f(xx0的左側(cè)附近單調(diào)增加（減少）且有上（下）f(xx0的左f(xx0的右側(cè)附近單調(diào)減少（增加）且有上（下）界，則f(xx0定理：x

f(x存在0，0，當0

x1

，0

x2

有f(x1f(x2)

f(x1)f(x2)

f(x1)A

f(x2)Axn是滿足n

xnx0(xnx0)的任意數(shù)列．（先證數(shù)列f(xn)是一個Cauchyx

f(x)n

f(xn)0，根據(jù)條件可知，0，當0f(x)f(x)

xx00xx0時，有對于上述0，由于n

xn