第九章湍流流動(dòng)與換熱詳解演示文稿當(dāng)前1頁，總共47頁。優(yōu)選第九章湍流流動(dòng)與換熱當(dāng)前2頁，總共47頁。9-1湍流的基本概念

當(dāng)前3頁，總共47頁。9-1湍流的基本概念

9-1-2湍流結(jié)構(gòu)及時(shí)均描述方法

湍流對(duì)流換熱是近年來的主要研究課題之一，許多研究者對(duì)湍流傳熱問題給出了系統(tǒng)的總結(jié)?？v觀湍流傳熱的研究歷史，一個(gè)世紀(jì)以來，始終遵循雷諾、布斯涅斯克和普朗特提出的理論。由層流到湍流的過渡是一個(gè)十分復(fù)雜的過程，對(duì)這個(gè)區(qū)域的研究仍是當(dāng)代學(xué)者的主要任務(wù)之一，目前尚無較準(zhǔn)確的描述，因而以后篇幅所涉及的均是旺盛湍流。湍流是一種隨機(jī)、非定常的、三維有旋流動(dòng)，由各種尺寸的渦組成。渦是三維的，其大小、強(qiáng)度及其產(chǎn)生的地點(diǎn)、周期均不規(guī)則。Bejan認(rèn)為湍流具有大尺度上的相同結(jié)構(gòu)。一般解決湍流傳熱問題的基本方式與過去討論的層流問題一樣、是基于時(shí)間平均法則的描述。實(shí)驗(yàn)研究表明．湍流中渦團(tuán)的尺度遠(yuǎn)大于分子平均自由行程，連續(xù)介質(zhì)假設(shè)仍然成立。當(dāng)前4頁，總共47頁。根據(jù)雷諾提出的時(shí)均化法則，描述湍流流動(dòng)與換熱的物理量的瞬時(shí)值ф時(shí)可以用時(shí)均值與脈動(dòng)值之和表示。如圖9-2所示。即

(9-1-1)其中時(shí)均值定義為

(9-1-2)時(shí)均值隨時(shí)間變化的湍流稱非穩(wěn)態(tài)湍流，不隨時(shí)間變化的湍流稱為穩(wěn)態(tài)湍流。9-1湍流的基本概念

當(dāng)前5頁，總共47頁。9-1湍流的基本概念

當(dāng)前6頁，總共47頁。時(shí)均法則的基本出發(fā)點(diǎn)是一段時(shí)間內(nèi)脈動(dòng)量的時(shí)均值為零，即

(9-1-3)即

(9-1-4)類似地可以得到一系列時(shí)均法規(guī)則。流體的湍流強(qiáng)度通常用下式表示:(9-1-5)

若，則稱為各向同性湍流。9-1湍流的基本概念

當(dāng)前7頁，總共47頁。對(duì)于常物性的不可壓縮流體，其連續(xù)性方程為

湍流流動(dòng)中，u、v、w均為瞬時(shí)值，按雷諾時(shí)均法則，它們可以表示為時(shí)均值與脈動(dòng)值之和，即將以上各式代入連續(xù)性方程，并作時(shí)均運(yùn)算得

9-2湍流微分方程

當(dāng)前8頁，總共47頁。展開為根據(jù)時(shí)均法則，脈動(dòng)項(xiàng)的時(shí)均值為零，得（9-2-1）上式與層流具有同樣的形式，只是速度采用時(shí)均值。x方向的動(dòng)量方程(6-2-8)很容易改寫為（9-2-2）利用時(shí)均法則得到（9-2-3）9-2湍流微分方程

當(dāng)前9頁，總共47頁。展開上式，并應(yīng)用時(shí)均法則，有（9-2-4）將式(9-2-1)代入上式，得（9-2-5）類似地可以得到y(tǒng)、z方向的時(shí)均形式的動(dòng)量方程：（9-2-6）（9-2-7）9-2湍流微分方程

當(dāng)前10頁，總共47頁。同樣可以獲得時(shí)均形式的能量方程：（9-2-8）式(9-2-5)～(9-2-7)稱為雷諾時(shí)均方程。與層流的N-S方程相比，湍流的雷諾方程增加了由速度脈動(dòng)值構(gòu)成的附加項(xiàng)。由這些脈動(dòng)引起的附加應(yīng)力稱為雷諾應(yīng)力或湍流應(yīng)力：（9-2-9）式(9-2-8)稱為湍流能量方程。同樣，與層流方程相比，增加了與速度溫度脈動(dòng)有關(guān)的附加項(xiàng)，稱為雷諾熱流，即（9-2-10）若考慮的是不可壓縮湍流，二維穩(wěn)態(tài)的湍流邊界層流動(dòng)方程組進(jìn)步化簡為9-2湍流微分方程

當(dāng)前11頁，總共47頁。

(9-2-11)

(9-2-12)

(9-2-13)邊界層外伯努利方程仍然適用，即

(9-2-14)式(9-2-13)、(9-2-14)稱為湍流邊界層時(shí)均方程組。無論是湍流時(shí)均方程組還是湍流邊界層時(shí)均方程組，均是不封閉的，除層流方程中出現(xiàn)的u、v、w、p和t等未知量外，還增加了雷諾應(yīng)力和雷諾熱流，因而解決湍流問題的途徑必須附加相應(yīng)數(shù)目的方程，使方程組封閉。目前附加方程均是以半經(jīng)驗(yàn)理論為依據(jù)的。9-2湍流微分方程

當(dāng)前12頁，總共47頁。9-3-1湍流應(yīng)力與湍流熱流1877年布斯涅斯克提出，湍流應(yīng)力與速度梯度的關(guān)系可以按粘性應(yīng)力的形式表示，即（9-3-1）9-3湍流半經(jīng)驗(yàn)理論與湍流模型簡介

當(dāng)前13頁，總共47頁。其中ηt稱為湍流動(dòng)力粘度，稱為湍流運(yùn)動(dòng)粘度或湍流動(dòng)量擴(kuò)散率。類似地，湍流熱流可表示為（9-3-2）9-3湍流半經(jīng)驗(yàn)理論與湍流模型簡介

當(dāng)前14頁，總共47頁。9-3湍流半經(jīng)驗(yàn)理論與湍流模型簡介

考慮上一節(jié)結(jié)出的湍流邊界層時(shí)均方程，湍流應(yīng)力和湍流熱流可以表示為（9-3-3）（9-3-4）顯然，類比的概念與形式較容易接受，但物理本質(zhì)上湍流應(yīng)力與湍流熱流同粘性應(yīng)力與分子擴(kuò)散有根本的區(qū)別。對(duì)于湍流，ηt的大小不僅同脈動(dòng)有關(guān)，還與時(shí)均速度有關(guān)，已不是流體物性；同樣，at也不是流體的特性，布斯涅斯克理論只是進(jìn)一步簡化時(shí)均方程以使之便于封閉。當(dāng)前15頁，總共47頁。9-3湍流半經(jīng)驗(yàn)理論與湍流模型簡介

9-3-2普朗特混合長度理論根據(jù)1925年普朗特提出的動(dòng)量混合長度理論，可以討論湍流運(yùn)動(dòng)粘度νt的數(shù)量級(jí)。如圖9-3所示，假設(shè)位于y層的流體微團(tuán)的x方向的時(shí)均速度為。由于橫向脈動(dòng)，微團(tuán)移向壁面到達(dá)位置，此處微團(tuán)的時(shí)均速度是，是微團(tuán)保持仍被識(shí)別的混合長度。假設(shè)流體微團(tuán)從y到仍保持x方向動(dòng)量不變，x方向的速度脈動(dòng)的數(shù)量級(jí)顯然是，即（9-3-5）當(dāng)前16頁，總共47頁。9-3湍流半經(jīng)驗(yàn)理論與湍流模型簡介

當(dāng)前17頁，總共47頁。9-3湍流半經(jīng)驗(yàn)理論與湍流模型簡介

由連續(xù)性力程可知，橫向脈動(dòng)速度與有相同的數(shù)量級(jí)：（9-3-6）顯然有

（9-3-7）根據(jù)湍流應(yīng)力定義，有（9-3-8）式中l(wèi)為普朗特混合長度。當(dāng)前18頁，總共47頁。9-3湍流半經(jīng)驗(yàn)理論與湍流模型簡介

不同的流動(dòng)有不同的混合長度，不存在確定混合長度的通用準(zhǔn)則，它與物性和速度無關(guān)，只取決于流體微團(tuán)脈動(dòng)的距離，或者是與流場(chǎng)某個(gè)特征尺寸有關(guān)。對(duì)于湍流邊界層流動(dòng)，普朗特假定它和距壁面的法向距離成正比：（9-3-9）式中k稱為馮·卡門常數(shù)。代入式(9-3-8)得到（9-3-10）對(duì)于湍流邊界層流動(dòng)，在區(qū)域，；當(dāng)時(shí)，l近似為常數(shù)，即（9-3-11）普朗特混合長度理論，用簡單的代數(shù)關(guān)系式將湍流動(dòng)量擴(kuò)散率與時(shí)均速度聯(lián)系起來，而未附加新的微分方程來確定νt，故稱為零方程模型。當(dāng)前19頁，總共47頁。9-3湍流半經(jīng)驗(yàn)理論與湍流模型簡介

在理論方面，普朗特混合長度理論仍有缺陷。在管內(nèi)流動(dòng)的中心線上，，νt應(yīng)為零，但這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符。在其它一些情況，如射流等，這一理論也不能解釋實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。此外，卡門等也提出了自己的零方程模型，但同樣也存在各自的不足，詳細(xì)討論可參閱文獻(xiàn)。9-3-3湍流的—方程模型從前面的分析不難看出，混合長度理論的基礎(chǔ)是布斯涅斯克湍流應(yīng)力假設(shè)。它將νt與時(shí)均速度關(guān)聯(lián)起來，只考慮了幾何位置和時(shí)均速度分布的影響，而未涉及湍流自身的特性1945年，普朗特首先提出了所謂—方程模型，認(rèn)為分子微團(tuán)的脈動(dòng)具有一定的動(dòng)能。若定義湍流脈動(dòng)動(dòng)能為（9-3-12）當(dāng)前20頁，總共47頁。9-3湍流半經(jīng)驗(yàn)理論與湍流模型簡介

以湍流脈動(dòng)動(dòng)能的平方根作為湍流脈動(dòng)的特征速度，普朗特和科合莫可洛認(rèn)為、湍流動(dòng)量擴(kuò)散率與湍流動(dòng)能K的特征速度成正比，即（9-3-13）式中L為湍流脈動(dòng)尺度，為實(shí)驗(yàn)確定的系數(shù)。應(yīng)用布斯涅斯克假設(shè)以及式(9-3-13)確定的湍流應(yīng)力，又增加了未知量K、L，因而必須附加求解K和L的方程，方能使方程組封閉。K的表達(dá)式可以根據(jù)N-S方程的瞬時(shí)表達(dá)式和時(shí)均形式導(dǎo)出(詳細(xì)推導(dǎo)參閱文獻(xiàn))：（9-3-14）當(dāng)前21頁，總共47頁。9-3湍流半經(jīng)驗(yàn)理論與湍流模型簡介

式中p為湍流生成項(xiàng)，是湍流應(yīng)力在時(shí)均場(chǎng)中作的變形功：（9-3-15）湍流應(yīng)力可用式(9-3-13)確定，式(9-3-14)中的最后一項(xiàng)計(jì)入湍流耗散項(xiàng)：（9-3-16）

K方程中的σt稱為脈動(dòng)動(dòng)能的普朗特?cái)?shù)，值取為1.0左右；CD的數(shù)值范圍是0.08～0.38。湍流尺度L可以由實(shí)驗(yàn)確定或根據(jù)普朗特混合長度計(jì)算，因而附加方程中只有K方程是微分形式，故稱為—方程模型。這種模型適用于計(jì)算邊界層流動(dòng)。當(dāng)前22頁，總共47頁。9-3湍流半經(jīng)驗(yàn)理論與湍流模型簡介9-3-4K-ε模型由式(9-3-16)可知，K、ε、L之間存在一定關(guān)系，只有兩個(gè)變量是獨(dú)立的，因此可以用K、ε來代表K、L：（9-3-17）式中。K方程(9-3-14)可以表示為（9-3-18）當(dāng)前23頁，總共47頁。9-3湍流半經(jīng)驗(yàn)理論與湍流模型簡介類似地可以得到耗散率方程：（9-3-19）這樣，湍流時(shí)均方程組附加K方程和ε方程就構(gòu)成了封閉方程組。由于在這一湍流模型中，采用了K方程和ε方程，因此稱為K-ε方程模型。模型中有關(guān)系數(shù)見表9-1。表9-1湍流中各系數(shù)的數(shù)值表9-1給定的有關(guān)系數(shù)的數(shù)值是由一些特定實(shí)驗(yàn)確定的，有一定的適用范圍．通常K-ε模型及表9-l稱為高雷諾數(shù)模型，僅適用于距壁畫一定距離的湍流區(qū)域。在貼壁處的粘性底層，湍流雷諾數(shù)較小，應(yīng)考慮分子影響，需進(jìn)行修正。對(duì)于湍流自然對(duì)流，則應(yīng)采用低雷諾數(shù)模型，并考慮浮升力對(duì)K、ε方程的影響。當(dāng)前24頁，總共47頁。9-4湍流邊界層流動(dòng)與換熱

9-4-1湍流邊界層速度分布本章第二節(jié)已述，常物性不可壓縮流體的二維穩(wěn)態(tài)湍流邊界層時(shí)均方程為（9-4-1）當(dāng)前25頁，總共47頁。9-4湍流邊界層流動(dòng)與換熱

當(dāng)，湍流強(qiáng)度時(shí)，如果沿流動(dòng)方向壓力梯度為零，則動(dòng)量方程右側(cè)只有摩擦項(xiàng)。圖9-4給出了邊界層流動(dòng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析已知，在離壁面足夠近的區(qū)域，慣性項(xiàng)很小，速度脈動(dòng)也較小，時(shí)均速度梯度較大。隨著距壁面距離的增加脈動(dòng)加強(qiáng)，達(dá)到最大值后又逐漸減少，直到主流區(qū)，時(shí)均速度梯度趨于平坦。這樣，沿平壁法向可以將湍流邊界層分為兩個(gè)區(qū)域：內(nèi)層區(qū)和外層區(qū)(或壁區(qū)和尾跡區(qū))。內(nèi)層區(qū)(壁區(qū))約占邊界層厚度的20％，其中大部分處于湍流狀態(tài)，只是緊靠壁面處，湍流應(yīng)力減弱，粘性應(yīng)力起主導(dǎo)作用。這一薄層稱為粘性底層．如圖9-4。而在外層區(qū)，湍流應(yīng)力仍是主要的，但時(shí)均速度梯度比壁區(qū)小、意味著外層區(qū)湍流的生成項(xiàng)所占比例也小。當(dāng)前26頁，總共47頁。9-4湍流邊界層流動(dòng)與換熱

當(dāng)前27頁，總共47頁。9-4湍流邊界層流動(dòng)與換熱

實(shí)驗(yàn)表明，壁區(qū)流線基本上平行于壁面，沿x方向。由連續(xù)方程，速度分量亦為零。對(duì)于外掠平板邊界層流動(dòng)則有（9-4-2）表明硅區(qū)外掠平壁湍流邊界層流動(dòng)的總應(yīng)力與距壁而的距離y無關(guān)，而等于壁畫處的切應(yīng)力τw，即（9-4-3）當(dāng)前28頁，總共47頁。9-4湍流邊界層流動(dòng)與換熱

顯然，具有速度的量綱，稱為摩擦速度，用表示。引入無量綱參數(shù)式(9-4-3)改寫為（9-4-4）

式中只是的函數(shù)。給出合適的νt模型，通過積分式(9-4-4)，可以得到靠近壁面區(qū)域的無量綱速度分布。普朗特將壁區(qū)分為兩層：粘性底層和湍流核心區(qū)。在粘性底層ν>>νt，式(9-4-4)簡化得到（9-4-5）在湍流核心區(qū)ν<<νt，式(9-4-4)簡化為（9-4-6）當(dāng)前29頁，總共47頁。9-4湍流邊界層流動(dòng)與換熱

代入普朗特混合長度式(9-3-1)，有（9-4-7）從粘性底層外緣開始積分，由式(9-4-5)已知，，到湍流核心區(qū)（9-4-8）或（9-4-9）上式即為壁面定律．式中A、B為常數(shù)，近似為，（9-4-10）粘性底層厚度取，。在粘性底層與湍流核心區(qū)邊界附近，模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果有明顯的偏差，主要是因?yàn)棣秃挺蛅均不能忽略。此外，壁區(qū)的速度分布可以推廣到管流中。求解湍流邊界層的動(dòng)量方程，采用指數(shù)形式較為方便，推薦的近似速度分布為（9-4-11）當(dāng)前30頁，總共47頁。9-4湍流邊界層流動(dòng)與換熱

9-4-2湍流邊界層流動(dòng)的近似解常物性不可壓縮外掠平壁的湍流邊界層流動(dòng)的時(shí)均方程為應(yīng)用類似于層流邊界層積分方程的求解方法，得到（9-4-12）因?yàn)楸诿?，邊界層外緣，，上式簡化為?-4-13）當(dāng)前31頁，總共47頁。9-4湍流邊界層流動(dòng)與換熱

考慮壁面處，進(jìn)一步得到（9-4-14）與層流形式完全相同，只是速度是時(shí)均形式。求解時(shí)，近似用指數(shù)形式的速度分布，式(9-4-11)變?yōu)?/p>

（9-4-15）（9-4-16）當(dāng)前32頁，總共47頁。9-4湍流邊界層流動(dòng)與換熱則（9-4-17）因?yàn)椋校?-4-18）代入式(9-4-14)，積分得到（9-4-19）當(dāng)前33頁，總共47頁。9-4湍流邊界層流動(dòng)與換熱若邊界層在x=0處開始，c=0，則（9-4-20）（9-4-21）平均摩擦阻力系數(shù)（9-4-22）若系數(shù)取0.074，在范圍內(nèi)與實(shí)驗(yàn)吻合很好。當(dāng)前34頁，總共47頁。9-4湍流邊界層流動(dòng)與換熱9-4-3外掠平壁換熱流體外掠平壁與壁面對(duì)流換熱時(shí)，熱邊界層逐漸加厚，由層流過渡到湍流。除非工質(zhì)屬低Pr數(shù)范圍，否則湍流邊界層中大部分區(qū)域湍流擴(kuò)散傳遞起主要作用，并認(rèn)為湍流熱擴(kuò)散率近似等于湍流動(dòng)量擴(kuò)散串，即vt=at，稱為雷諾比擬，Prt=1，即速度邊界層與熱邊界層厚度相等。若流體速度較高，則湍流前的層流段很短，可近似認(rèn)為整個(gè)邊界層均處于湍流。大量實(shí)驗(yàn)表明，雷諾比擬并非處處成立。在近壁處Prt

>1，邊界層大部分區(qū)域Prt

0.9，而管內(nèi)流動(dòng)的中心處Prt

0.7，但取Prt=1可使問題簡化。

當(dāng)前35頁，總共47頁。9-4湍流邊界層流動(dòng)與換熱壁面處的溫度分析：y方向的一維熱流密度（9-4-23）或

（9-4-24）當(dāng)y不大時(shí)，認(rèn)為q保持不變，并等于壁面處的數(shù)值，即

q=qw

（9-4-25）取無量綱參數(shù)（9-4-26）當(dāng)前36頁，總共47頁。9-4湍流邊界層流動(dòng)與換熱將式(4-4-24)、(4-4-25)代人式(4-4-23)得到（9-4-27）一般將邊界層分為三個(gè)區(qū)域：粘性底層緩沖層

湍流核心

邊界層的總溫差由三部分組成，即

當(dāng)前37頁，總共47頁。9-4湍流邊界層流動(dòng)與換熱寫成無量綱形式，為（9-4-28）下標(biāo)s、b、t分別表示粘性底層，緩沖層和湍流核心層。在粘性底層，at

a，式(9-4-26)簡化為則（9-4-29）緩沖層（9-4-40）當(dāng)前38頁，總共47頁。9-4湍流邊界層流動(dòng)與換熱令τ=τw，無量綱化，有（9-4-31）由流體力學(xué)可知，緩沖層的速度分布為即代入式(9-4-30)，得若Prt為常數(shù)，則有

當(dāng)前39頁，總共47頁。9-4湍流邊界層流動(dòng)與換熱湍流核心區(qū)，分子擴(kuò)散可以忽略，即即（9-4-32）考慮式(9-4-29)，有（9-4-33）若Prt為常數(shù)，則將邊界層三層的溫差相加，得到總溫差（9-4-34）當(dāng)前40頁，總共47頁。9-4湍流邊界層流動(dòng)與換熱由考慮牛頓冷卻公式得到進(jìn)一步有由于

得到當(dāng)前41頁，總共47頁。9-4湍流邊界層流動(dòng)與換熱若Pr=1近似有

（9-4-35）將式(9-4-21)的解代入雷諾比擬，有（9-4-36）整個(gè)壁面長度的平均換熱關(guān)聯(lián)式為（9-4-37）若壁面為常熱流狀況，則（9-4-38