2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合比賽一試（B卷）一、填空題：本大題共8個(gè)小題，每題8分，共64分。2017B1、在等比數(shù)列an中，a22，a333，則a1a2011為a7a2017◆答案：89a333a1a2011a1a201118★分析：數(shù)列{an}的公比為q，故a2017q6(a1a2011)q6.a22a792017B2、設(shè)復(fù)數(shù)z知足z910z22i，則z的值為◆答案：5★分析：設(shè)zabi,a,bR，由條件得(a9)bi10a(10b22)i，比較兩邊實(shí)虛部可得a910a1,b2，故z12i，從而|z|5.，解得：ab10b222017B3、設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，若f(x)x2是奇函數(shù)，f(x)2x是偶函數(shù)，則f(1)的值為7◆答案：41★分析：由條件知，f(1)1(f(1)(1)2)f(1)1，f(1)2f(1)，172兩式相加消去f(1)，可知：2f(1)3，即f(1).242017B4、在ABC中，若sinA2sinC，且三條邊a,b,c成等比數(shù)列，則cosA的值為2◆答案：4★分析：由正弦定理知，asinA2，又b2ac，于是a:b:c2:2:1，從而由余弦定理得：csinC2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合比賽試題（B卷）第1頁共8頁b2c2a2(2)212222cosA2bc221.42017B5、在正四周體ABCD中，E,F分別在棱AB,AC上，知足BE3,EF4，且EF與面BCD平行，則DEF的面積為．◆答案：233★分析：由條件知，EF平行于BC，因?yàn)檎闹荏wABCD的各個(gè)面是全等的正三角形，故AEAFEF4，ADABAEBE7.由余弦定理得，DEAD2AE22ADAEcos6049162837，同理有DF37.作等腰DEF底邊EF上的高DH，則EH1EF2，故DHDE2EH233，12于是SDEFEFDH233.22017B6、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)集K(x,y)|x,y1,0,1，在K中隨機(jī)拿出三個(gè)點(diǎn)，則這三個(gè)點(diǎn)兩兩之間距離不超出2的概率為5◆答案：14★分析：注意K中共有9個(gè)點(diǎn)，故在K中隨機(jī)拿出三個(gè)點(diǎn)的方式數(shù)為C9384種，當(dāng)拿出的三點(diǎn)兩兩之間距離不超出2時(shí)，有以下三種狀況：（1）三點(diǎn)在一橫線或一縱線上，有6種狀況，（2）三點(diǎn)是邊長為1,1,2的等腰直角三角形的極點(diǎn)，有4416種狀況，（3）三點(diǎn)是邊長為2,2,2的等腰直角三角形的極點(diǎn)，此中，直角極點(diǎn)位于(0,0)的有4個(gè)，直2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合比賽試題（B卷）第2頁共8頁角極點(diǎn)位于(1,0)，(0,1)的各有一個(gè)，共有8種狀況.綜上可知，選出三點(diǎn)兩兩之間距離不超出2的狀況數(shù)為616830，從而所求概率為30584.142017B7、設(shè)a為非零實(shí)數(shù)，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次曲線x2ay2a20的焦距為4，則實(shí)數(shù)a的值為．117◆答案：2★分析：二次曲線方程可寫成x2y21，明顯一定a0，故二次曲線為雙曲線，其標(biāo)準(zhǔn)方程a2a為y2(x21，則c2(a)2(a)2a2a，注意到焦距2c4，可知a2a4，(a)2a)2又a0，所以117a.22017B8、若正整數(shù)a,b,c知足201710a100b1000c，則數(shù)組(a,b,c)的個(gè)數(shù)為◆答案：574★分析：由條件知c[2017]2，當(dāng)c1時(shí)，有10b20，對于每個(gè)這樣的正整數(shù)b，由100010ba201知，相應(yīng)的a的個(gè)數(shù)為20210b，從而這樣的正整數(shù)組的個(gè)數(shù)為20(1022)11(20210b)2572，b10當(dāng)c2時(shí)，由20b2017]，知，b20，從而200a[2017[]201，10010故a200,201，此時(shí)共有2組(a,b,c).綜上所述，知足條件的正整數(shù)組的個(gè)數(shù)為5722574.二、解答題：本大題共3小題，共56分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。2017B9、（此題滿分16分）設(shè)為實(shí)數(shù)，不等式2xa52x對全部x1,2建立，務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍。2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合比賽試題（B卷）第3頁共8頁★分析：設(shè)t2x，則t，于是|t對全部t建立，因?yàn)閇2,4]a||5t|[2,4]|ta||5t|(ta)2(5t)2，(2ta5)(5a)0，對給定實(shí)數(shù)a，設(shè)ft( )2(ta5( ))a，則f(t)是對于t的一次函數(shù)或常值函數(shù)，注意t[2,4]，所以f(t)0f(2)(1a)(5a)03a5等價(jià)于f(4)(3a)(5a)，解得0所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是3a5.2017B10、（此題滿分20分）設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，數(shù)列bn知足bnan1an2an2，n1,2,（1）證明：數(shù)列bn也是等差數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列an、bn的公差均是d0，而且存在正整數(shù)s,t，使得asbt是整數(shù)，求a1的最小值?！锓治觯海?）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則bn1bn(an2an3an21)(an1an2an2)an2(an3an1)(an1an)(an1an)an22d(an1an)d(2an2an1an)d3d2所以數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列.（2）由已知條件及（1）的結(jié)果知：3d2d，因?yàn)閐0，故d1，這樣23bnan1an2an2(and)(an2d)an23dan2d2an292若正整數(shù)s,t知足asbtZ，則asbtasbta1(s1)da1(t1)d99st22Z.2a139記l2a1st22，則lZ，且18a13(3lst1)1是一個(gè)非零的整數(shù)，故|18a1|1，39從而|a1|1.181b3117Z，又當(dāng)a1時(shí)，有a11811818綜上所述，|a1|的最小值為1.182017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合比賽試題（B卷）第4頁共8頁2017B11、（此題滿分20分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1:y24x，曲線C2:(x4)2y28．經(jīng)過C1上一點(diǎn)P作一條傾斜角為450的直線l，與C2交于兩個(gè)不一樣的點(diǎn)Q,R，求PQPR的取值范圍?！锓治觯涸O(shè)P(t2,2t)，則直線l的方程為yx2t2t，代入曲線C2的方程得，(x42)x(t22t2)，8化簡可得：2x22(t22t4)x(t22t)280①，因?yàn)閘與C2交于兩個(gè)不一樣的點(diǎn)，故對于x的方程①的鑒別式為正，計(jì)算得，(t22t4)22((t22t)28)(t22t)28(t22t)162(t22t)2164(t22t)28(t22t)(t22t)(t22t8)t(t2)(t2)(t4)，所以有t(2,0)(2,4)，②設(shè)Q,R的橫坐標(biāo)分別為x1,x2，由①知，x1x2t22t4，x1x21((t22t)28)，2所以，聯(lián)合l的傾斜角為45可知，|PQ||PR|2(x1t2)2(x2t2)2x1x22t2(x1x2)2t4(t22t)282t2(t22t4)2t4t44t34t282t44t38t22t4t44t28(t22)24，③由②可知，t22(2,2)(2,14)，故(t22)2[0,4)(4,196)，從而由③得：|PQ||PR|(t22)24[4,8)(8,200)注1：利用C2的圓心到l的距離小于C2的半徑，列出不等式|42tt2|22，2相同能夠求得②中t的范圍.注2：更簡易的計(jì)算|PQ||PR|的方式是利用圓冪定理，事實(shí)上，C2的圓心為M(4,0)，半徑為2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合比賽試題（B卷）第5頁共8頁r22，故|PQ||PR||PM|2r2(t24)2(2t)2(22)2t44t28.2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合比賽二試（B卷）2017B一、（此題滿分40分）設(shè)實(shí)數(shù)a,b,c知足abc0，令dmaxa,b,c，證明：(1a)(1b)(1c)1d2★證明：當(dāng)d1時(shí)，不等式明顯建立以下設(shè)0d1，不如設(shè)a,b不異號，即ab0，那么有(1a)(1b)1abab1ab1c1d0所以(1a)(1b)(1c)(1c)(1c)1c21c221d2017B二、（此題滿分40分）給定正整數(shù)m，證明：存在正整數(shù)k，使得可將正整數(shù)集N分拆為k個(gè)互不訂交的子集A1,A2,,Ak，每個(gè)子集Ai中均不存在4個(gè)數(shù)a,b,c,d（能夠相同），滿足abcdm．★證明：取km1，令A(yù)i{xxi(modm1),xN}，i1,2,,m1設(shè)a,b,c,dAi，則abcdiiii0(modm1)，故m1abcd，而m1m，所以在Ai中不存在4個(gè)數(shù)a,b,c,d，知足abcdm2017B三、（此題滿分50分）如圖，點(diǎn)D是銳角ABC的外接圓上弧BC的中點(diǎn)，直線DA與圓過點(diǎn)B,C的切線分別訂交于點(diǎn)P,Q,BQ與AC的交點(diǎn)為XCP與AB的交點(diǎn)為YBQ與CP，，的交點(diǎn)為T．求證：AT均分線段XY．（答題時(shí)請將圖畫在答卷紙上）AXAY★證明：第一證明YX//BC，即證XCYB2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合比賽試題（B卷）第6頁共8頁SACQSABCSACQ連結(jié)BD,CD，因?yàn)镾ABP，SABCSABP1ACCQsinACQ1ACBCsinACB1ACAQsinCAQ所以222，①1ABBCsinABC1ABBPsinABP1ABAPsinBAP222由題設(shè)，BP,CQ是圓的切線，所以ACQABC，ACBABP，又CAQDBCDCBABAQCQBAP（注意D是弧BC的中點(diǎn)），于是由①知AP②ACBP因?yàn)镃AQBAP，所以BAQCAP，于是SABQ1ABAQsinBAQABAQ2SACP1APsinCAPACAPAC2而SBCQ1BCCQsinBCQCQ2SBCP1BPsinCBPBPBC2由②，③，④得SABQSCBQSACP，SBCPSABQSACP即SBCPSCBQ

③④SABQAXS又XC，SCBQSAXAY故

ACPBCP

AYYBXCYBAXCMBY設(shè)邊BC的中點(diǎn)為M，因?yàn)镸B1，XCYA所以由塞瓦定理知，AM,BX,CY三線共點(diǎn)，交點(diǎn)即為T，故由YX//BC可得AT均分線段XY2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合比賽試題（B卷）第7頁共8頁2017B四、（此題滿分50分）。設(shè)a1,a2,,a201,2,3,4,5，b1,b2,,b201,2,3,,10，會合X(i,j)|1ij20,(aiaj)(bibj)0，求X的元素個(gè)數(shù)的最大值?！锓治觯嚎紤]一組知足條件的正整數(shù)(a1,a2,,a20,b1,b2,,b20)對k1,2,,5，設(shè)a1,,a20中取值為k的數(shù)有tk個(gè)，依據(jù)X的定義，當(dāng)aiaj時(shí)，(i,j)X，5Ct2k個(gè)(i,5所以起碼有j)不在X中，注意到tk20，則柯西不等式，我們有k1k1521(525115tk)251201)30Ctk2tktk)((tk)20(k1k1k