2005年全國(guó)高中數(shù)學(xué)結(jié)合比賽一試一、選擇題：本大題共6個(gè)小題，每題6分，共36分。2005*1、使對(duì)于x的不等式x36xk有解得實(shí)數(shù)k的最大值為A.63B.3C.63D.6◆答案：D★分析：令yx36x，3x6，可得y26，即ymax6，所以k62005*2、空間四點(diǎn)A,B,C,D知足AB3，BC7，CD11，DA9，則ACBD的取值A(chǔ).只有一個(gè)B.有二個(gè)C.有四個(gè)D.有無(wú)量多個(gè)◆答案：A★分析：注意到3211211307292,因?yàn)锳BBCCDDA0,則DA22DA=(ABBCCD)2AB2BC2CD22(ABBCBCCDCDAB)AB2BC2CD22(BC2ABBCBCCDCDAB)AB2BC2CD22(ABBC)(BCCD),即2ACBDAD2BC2AB2CD20,ACBD只有一個(gè)值為0，應(yīng)選A。2005*3、ABC內(nèi)接于單位圓，三個(gè)內(nèi)角A,B,C的均分線延伸后分別交此圓于A1,B1,C1.則AA1cosABB1cosBCC1cosC2sinB2sinC2的值為sinAA.2B.4C.6D.8◆答案：A★分析：如圖，連BA1，則AA12sin(BA)2sin(ABCBC)2cos(BC).222222所以AA1cosA2cosBCcosAcosABCcosACBsinCsinB，222222BsinACsinAsinB。BB1cossinC,CC1cos22所以AA1cosABB1cosBCC1cosC2sinAsinBsinC，即可求得。2222005年全國(guó)高中數(shù)學(xué)結(jié)合比賽試題第1頁(yè)共11頁(yè)2005*4、如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1，任作平面與對(duì)角線AC1，使得平面與正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)，記這樣獲得的截面多邊形的面積為S，周長(zhǎng)為l，則A.S為定值，l不為定值B.S不為定值，l為定值C.S為定值，l為定值D.S不為定值，l不為定值◆答案：B★分析：將正方體切去兩個(gè)正三棱錐AA1BD和C1D1B1C后，獲得一個(gè)以平行平面A1BD與D1B1C為上下底面的幾何體V，V的每個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形的每一條邊分別與V的底面上的一邊平行w，將V的側(cè)面沿棱A1B1剪開(kāi)，展平在一張平面上，獲得一個(gè)平行四邊形A1B1B/A/,而多邊形w的周界睜開(kāi)后便成為一條與A1A/平行的線段（如圖中E1E/）,明顯E1E/A1A/，故l為定值。當(dāng)E1位于A1B1中點(diǎn)時(shí)，多邊形w為正六邊形，當(dāng)E1位于A1時(shí)，多邊形w為正三角形，能夠求得周長(zhǎng)為定值l時(shí)，它們的面積分別為3l2與3l2，2436即S不為定值。2005*5、方程x2y21表示的曲線是sin3cos2cos3sin2A.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓B.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C.焦點(diǎn)在y軸上的橢圓D.焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線◆答案：C★分析：23,02232,cos(22)cos(3),22即sin2sin3.又022,3,cos20,cos30,cos2cos30,2方程表示的曲線是橢圓。(sin2sin3)(cos2cos3)22sin23sin(23)( )224230,sin2230,2233,323.22244242005年全國(guó)高中數(shù)學(xué)結(jié)合比賽試題第2頁(yè)共11頁(yè)sin(23)0,( )式0.4即sin2sin3cos2cos3.曲線表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓。2005*6、記會(huì)合T0,1,2,3,4,5,6，Ma1a2a3a4|aiT,i1,2,3,4，將M中的元7727374素從大到小的次序擺列，則第2005個(gè)數(shù)為5563B.5562C.11041103A.72737477273747727374D.72737477◆答案：C★分析：用a1a2akp表示k的p進(jìn)制數(shù)，將會(huì)合M中的每個(gè)數(shù)乘以74，得M/a173a272a37a4|aiT,i1,2,3,4aa2ak7|aiT,i1,2,3,41可知M/中最大的數(shù)為66667240010，200524002004396在十進(jìn)制中，從2400起從大到小次序擺列的第個(gè)數(shù)是，而3961011047，將此數(shù)除以741104。，便獲得M中的數(shù)7273747二、填空題：本大題共6小題，每題9分，共54分。2005*7、將對(duì)于x的多項(xiàng)式f(x)1xx2x3x19x20表示為對(duì)于y的多項(xiàng)式g(y)a0a1ya2y2a19y19a20y20，此中yx4，則a0a1a2a19a20的值為◆答案：52116★分析：由題設(shè)知，f(x)和式中的各項(xiàng)組成首項(xiàng)為1，公比為x的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的乞降公式，得：f(x)(x)211x211.令xy4,得g(y)(y4)211,x1x1y5取y1,有a0a1a2a20g(1)5211.62005*8、已知f(x)是定義在(0,)上的減函數(shù)，若f(2a2a1)f(3241)建立，則實(shí)aa數(shù)a的取值范圍為◆答案：0,11,532005年全國(guó)高中數(shù)學(xué)結(jié)合比賽試題第3頁(yè)共11頁(yè)2a2a13a24a11★分析：不等式等價(jià)為2a2a10，解得0a或1a5。3a24a1032005*9、設(shè),,知足02，若對(duì)隨意xR，cos(x)cos(x)cos(x)0，則◆答案：4.3),由xR，f(x)★分析：設(shè)f(x)cos(x)cos(x)cos(x0知，f()0，f()0,f()0,即cos()cos()1,cos()cos()1,cos()cos()1.cos()cos()cos()1.{2,4},又202,,,,.2.4332.時(shí)，代回原式很簡(jiǎn)單驗(yàn)只有（另一方面證對(duì)x的隨意性都建立）3332005*10、如圖，四周體DABC的體積為1，且知足ACB450，ADBCAC3，則CD62◆答案：3★分析：1AD(1BCACsin45)VDABC1,326即ADBCAC1.又3ADBCAC3ADBCAC3,222等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ADBCACAB1,AD面ABC，DC3.1時(shí)建立，這時(shí)22005*11、若正方形ABCD的一條邊在直線y2x17上，此外兩個(gè)極點(diǎn)在拋物線yx2上，則該正方形面積的最小值為◆答案：80★分析：設(shè)正方形的邊AB在直線y2x17上，而位于拋物線上的兩個(gè)極點(diǎn)坐標(biāo)為C(x1,y1)、D(x2,y2)，則CD所在直線l的方程y2xb,將直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立，得x22xbx1,21b1.2005年全國(guó)高中數(shù)學(xué)結(jié)合比賽試題第4頁(yè)共11頁(yè)令正方形邊長(zhǎng)為a,則a2(x1x2)2(y1y2)25(x1x2)220(b1).①在y2x17上任取一點(diǎn)6,5，它到直線y2xb的距離為a,a|17b|②.5①、②聯(lián)立解得b13,b263.a280,或a21280.amin280.2005*12、假如自然數(shù)a的各位數(shù)字之和等于7，那么稱a為“祥瑞數(shù)”.將全部祥瑞數(shù)從小到大排成一列a1,a2,a3,，若an2005，則a5n◆答案：5200x1xi0i21x2xkm的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為mk1，而使）★分析：因?yàn)榉匠蘹Cm1，（m12?，F(xiàn)取m7，可知，k位祥瑞數(shù)的個(gè)數(shù)為p(k)6的整數(shù)解個(gè)數(shù)為CmkCk5因?yàn)?005是形如2abc的數(shù)中最小的一個(gè)祥瑞數(shù)，且p(1)1，p(2)7，p(3)28，對(duì)四位吉祥數(shù)1abc，其個(gè)數(shù)為知足abc6的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)，即C663128個(gè)。又2005是第172828165個(gè)祥瑞數(shù)，即a662005，進(jìn)而n65，5n325。又p(4)84，p(5)210，而p(1)p(2)p(3)p(4)p(5)330所以從大到小最后六個(gè)五位祥瑞數(shù)挨次是70000,61000,60100,60010,60001,52000，所以第325個(gè)祥瑞數(shù)是52000，即a5n52000三、解答題：本大題共3小題，每題20分，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。2005*13、（此題滿分20an知足：a01，an17an45an236N.分）數(shù)列2，n證明：⑴對(duì)于nN，an為正整數(shù)；⑵對(duì)于nN，anan11為完整平方數(shù)?！镒C明：（1）由題設(shè)得a15,且{an}嚴(yán)格單一遞加.將條件式變形得2an17an45an236,兩邊平方整理得an217anan1an290①，an27an1anan2190②①-②得(an1an1)(an1an17an)0,an1an,an1an17an0an17anab1.③由③式及a01,a15可知，對(duì)隨意nN,an為正整數(shù).an1an2⑵將①兩邊配方得an1an29an1an1，所以an1an1④32005年全國(guó)高中數(shù)學(xué)結(jié)合比賽試題第5頁(yè)共11頁(yè)由③知an1an9anan1anan1anmod3所以an1an1na0a10mod3，即an1an為整數(shù)，故④建立，3所以對(duì)于nN，anan11為完整平方數(shù)。2005*14、（此題滿分20分）。將編號(hào)為1,2,3,,9的九個(gè)小球隨機(jī)擱置在圓周的九個(gè)均分點(diǎn)上，每個(gè)均分點(diǎn)上各有一個(gè)小球.設(shè)圓周上全部相鄰兩球號(hào)碼之差的絕對(duì)值之和為S.求使S達(dá)到最小值的放法的概率（.注：假如某種放法，經(jīng)旋轉(zhuǎn)或鏡面反射后可與另一種放法重合，則以為是同樣的放法）★分析：九個(gè)編號(hào)不一樣的小球放在圓周的九個(gè)均分點(diǎn)上，每點(diǎn)放一個(gè)，相當(dāng)于九個(gè)不一樣元素在圓周上的一個(gè)圓形擺列，故共有8!種放法，考慮到翻轉(zhuǎn)要素，則實(shí)質(zhì)不一樣的放法有8!種.2下求使S達(dá)到最小值的放法數(shù)：在圓周上，從1到9有優(yōu)弧與劣弧兩條路徑，對(duì)此中任一條路徑，設(shè)x1,x2,,xk是挨次擺列于這段弧上的小球號(hào)碼，則|1x1||x1x2|||xk9||(1x1)(x1x2)(xk9)||19|8.上式取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)1x1x2xk9，即每一弧段上的小球編號(hào)都是由1到9遞加擺列.所以S最小2816.由上知，當(dāng)每個(gè)弧段上的球號(hào){1,x1,x2,xk,9}確立以后，達(dá)到最小值的排序方案便獨(dú)一確立.在1,2，，9中，除1與9外，剩下7個(gè)球號(hào)2,3，，8，將它們分為兩個(gè)子集，元素較少的一個(gè)子集共有C70C71C72C7326種狀況，每種狀況對(duì)應(yīng)著圓周上使S值達(dá)到最小的獨(dú)一排法，即有益事件總數(shù)是26種，故所求概率P261.8!31522005*15、（此題滿分20分）過(guò)拋物線yx2上的一點(diǎn)A(1,1)作拋物線的切線，分別交x軸于D，交y軸于B.點(diǎn)C在拋物線上，點(diǎn)E在線段AC上，知足AE1；點(diǎn)F在線段BC上，知足EC2005年全國(guó)高中數(shù)學(xué)結(jié)合比賽試題第6頁(yè)共11頁(yè)BF，且121，線段CD與EF交于點(diǎn)P.當(dāng)點(diǎn)C在拋物線上挪動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方2FC程.★分析：由題知AB的方程為y2x1,B(0,1),D(1,0),故D是AB的中點(diǎn).CD,t1CACB2令11,t212,則t1t23.因?yàn)镃D為ABC的中線，CPCECFSCAB2SCAD2SCBD.1CECFS而CACBSt1t2P是ABC的重心.

CEFCAB

S2S

CEPCAD

S2S

CFP111t1t23,3,2(t2)2t1t22CBDt12t1t2設(shè)P(x,y),C(x0,x02),因點(diǎn)C異于A，則x01,故重心P的坐標(biāo)為x01x01x0,(x2),y11x02x02,消去x0,得y1(3x1)2.333333故所求軌跡方程為y1(3x1)2(x2).332005年全國(guó)高中數(shù)學(xué)結(jié)合比賽二試2005*一、（此題滿分50分）如圖，在ABC中，ABAC，過(guò)A作ABC的外接圓的切線l，又以A為圓心，AC為半徑作圓分別交線段AB于D，交直線l于E,F。證明：直線DE,DF分別經(jīng)過(guò)ABC的心里和一個(gè)旁心。（注：與三角形的一邊及另兩邊的延伸線相切的圓稱為三角形的旁切圓，其圓心稱為旁心）7頁(yè)共11頁(yè)★證明：⑴先證明DE過(guò)ABC的心里。連結(jié)DE、DC，作BAC的均分線分別交DC于G、DE于I，連結(jié)IC，則由ADAC得，AGDC,IDIC.又D,C,E在圓A上，所以1DACIEC,則A,I,C,E四點(diǎn)共圓，IAC2所以CIECAEABC,而CIE2ICD,所以ICD1ABC,21所以AICIGCICG900ABC,12即ACIACB,2所以I是ABC的心里。（2）再證DF過(guò)ABC的一個(gè)旁心.連FD并延伸交ABC的外角均分線于I1，連II1、BI1、BI，由（1）知，I為心里，所以IBI1900EDI1，即D,B,I1,I四點(diǎn)共圓，因?yàn)锽II1BDI1900ADI11BACADGADI1BACIDG22所以A,I,I1共線，即I1是ABC的BC邊外的旁心。2005*二、（此題滿分50分）設(shè)正數(shù)a,b,c,x,y,z知足cybza，azcxb，bxayc，求函數(shù)f(x,y,z)x2y2z21x1y1的最小值。z★分析：由條件得bazcxbcbxaycacybza0，即2，b2c2a2a2c2b2a2b2c2即x，同理y2ac，z2ab2bc因?yàn)閍,b,c,x,y,z均為正數(shù)，由上式知b2c2a2，a2c2b2，a2b2c2，故以a,b,c為邊長(zhǎng)能夠結(jié)構(gòu)一個(gè)銳角三角形ABC，此中xcosA,ycosB,zcosC。2005年全國(guó)高中數(shù)學(xué)結(jié)合比賽試題第8頁(yè)共11頁(yè)則問(wèn)題等價(jià)于：銳角三角形ABC中，求函數(shù)=f(cosA,cosB,cosC)cos2Acos2Bcos2C1cosA1cosB1的最小值.cosC令ucotA,vcotB,wcotC,則,,R,uvvwwu1,uvw且u21(uv)(),21(uv)(vw),w21()().uwvuwvwcos2u2u2u2(u2Au211u)1cosA1uu21(u21u)u21u21u2u3u2u3u2u3(11),u21(uv)(uw)2uvuw同理，cos2Bv2v3(11),cos2Cw2w3(11).1cosB2uvuw1cosC2uwvwfu2v2w21(u3v3v3w3u3w3)u2v2w21[(u2uvv2)2uvvwuw2+(v2vww2)(u2uww2)]1(uvvwuw)1.22（取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)uvw，此時(shí)，abc,xyz1),1.2綜上可知[f(x,y,z)]min20,當(dāng)n為平方數(shù)2005*三、（此題滿分50分）對(duì)每個(gè)正整數(shù)n，定義函數(shù)f(n)（此中1，當(dāng)不為平方數(shù)n,n240x表示不超出x的最大整數(shù)，xxx），試求f(k)的值。k1★分析：對(duì)隨意a,kN，若k2ak12，則1ak22k，ak（01）111ak2k2k1，即12k，則akak2ak2ak2aak2a20