PAGEPAGE32013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第三章第2課時(shí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式課時(shí)闖關(guān)（含解析）新人教版一、選擇題1．已知sinα＝eq\f(2,3)，α∈(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))，則cos(π－α)＝()A．－eq\f(\r(5),3) B．－eq\f(1,9)C.eq\f(1,9) D.eq\f(\r(5),3)解析：選D.由誘導(dǎo)公式，得cos(π－α)＝－cosα.∵cos2α＝1－sin2α＝1－eq\f(4,9)＝eq\f(5,9)，又sinα>0且α∈(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))，∴cosα＝－eq\f(\r(5),3)，∴cos(π－α)＝eq\f(\r(5),3).2．(2010·高考上海卷)“x＝2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)”是“tanx＝1”成立的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A.tan(2kπ＋eq\f(π,4))＝taneq\f(π,4)＝1(k∈Z)；反之tanx＝1，則x＝kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)．所以“x＝2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)”是“tanx＝1”的充分不必要條件．3．已知α∈(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))，tan(α－7π)＝－eq\f(3,4)，則sinα＋cosα的值為()A．±eq\f(1,5) B．－eq\f(1,5)C.eq\f(1,5) D．－eq\f(7,5)解析：選B.tan(α－7π)＝tanα＝－eq\f(3,4)，∴α∈(eq\f(π,2)，π)，sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，∴sinα＋cosα＝－eq\f(1,5).故選B.4．若α為三角形的一個(gè)內(nèi)角，且sinα＋cosα＝eq\f(2,3)，則這個(gè)三角形是()A．正三角形 B．直角三角形C．銳角三角形 D．鈍角三角形解析：選D.∵(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝eq\f(4,9)，∴sinαcosα＝－eq\f(5,18)<0，∴α為鈍角．故選D.5．已知eq\f(sin2π＋θtanπ＋θtan3π－θ,cos\f(π,2)－θtan－π－θ)＝1，則sin2θ＋3sinθcosθ＋2cos2θ的值是()A．1 B．2C．3 D．6解析：選C.由已知得eq\f(sinθ·tanθ·－tanθ,sinθ·－tanθ)＝1，即tanθ＝1，于是sin2θ＋3sinθcosθ＋2cos2θ＝eq\f(sin2θ＋3sinθcosθ＋2cos2θ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(tan2θ＋3tanθ＋2,tan2θ＋1)＝3.故選C.二、填空題6．(2011·高考重慶卷)若cosα＝－eq\f(3,5)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，則tanα＝__________.解析：∵cosα＝－eq\f(3,5)且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2)))，∴sinα＝－eq\f(4,5)，∴tanα＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)7．若sinα＋sin2α＝1，則cos2α＋cos4α的值是________．解析：∵sinα＋sin2α＝1，∴sinα＝1－sin2α＝cos2α，∴cos2α＋cos4α＝sinα＋sin2α＝1.答案：18．已知角α的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(sineq\f(2π,3)，coseq\f(2π,3))，則角α的最小正值為_(kāi)_______．解析：∵tanα＝eq\f(cos\f(2π,3),sin\f(2π,3))＝eq\f(－\f(1,2),\f(\r(3),2))＝－eq\f(\r(3),3).且sineq\f(2π,3)>0，coseq\f(2π,3)<0.∴α在第四象限，由tanα＝－eq\f(\r(3),3)，得α的最小正值為eq\f(11,6)π.答案：eq\f(11,6)π三、解答題9．(2012·東營(yíng)質(zhì)檢)已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求eq\f(sinπ－α＋5cos2π－α,2sin\f(3π,2)－α－sin－α)的值．解：∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sinα＝2cosα，即sinα＝－2cosα.∴原式＝eq\f(sinα＋5cosα,－2cosα＋sinα)＝eq\f(－2cosα＋5cosα,－2cosα－2cosα)＝eq\f(3cosα,－4cosα)＝－eq\f(3,4).10．已知sin(π－α)·cos(－8π－α)＝eq\f(60,169)，且α∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，試求sinα和cosα的值．解：由sin(π－α)·cos(－8π－α)＝eq\f(60,169)，得sinα·cosα＝eq\f(60,169)，∴(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋eq\f(120,169)＝eq\f(289,169).(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－eq\f(120,169)＝eq\f(49,169).又α∈(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))，∴sinα＋cosα＝eq\f(17,13)，sinα－cosα＝eq\f(7,13)，∴sinα＝eq\f(12,13)，cosα＝eq\f(5,13).11．(探究選做)是否存在α∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝eq\r(2)cos(eq\f(π,2)－β)，eq\r(3)cos(－α)＝－eq\r(2)cos(π＋β)同時(shí)成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：假設(shè)存在α、β使得等式成立，即有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin3π－α＝\r(2)cos\f(π,2)－β，①,\r(3)cos－α＝－\r(2)cosπ＋β，②))由誘導(dǎo)公式可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\r(2)sinβ，③,\r(3)cosα＝\r(2)cosβ.④))③2＋④2得sin2α＋3cos2α＝2，∴cos2α＝eq\f(1,2).又∵α∈(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，∴α＝eq\f(π,4)或α＝－eq\f(π,4).將α＝eq\f(π,4)代入④得cosβ＝e