第四章二元關(guān)系和函數(shù)第一頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日4.1集合的笛卡兒積與二元關(guān)系一.集合的笛卡兒積1.定義:設(shè)A,B為集合,則A和B的笛卡兒積為A×B={<x,y>|x∈A∧y∈B}其中<x,y>叫做有序?qū)蛐蚺?例如:A={a,b},B={0,1,2},則A×B={<a,0>,<a,1>,<a,2>,<b,0>,<b,1>,<b,2>}B×A={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>}說(shuō)明:①如果A中有m個(gè)元素,B中有n個(gè)元素,則A×B和B×A中都有m*n個(gè)元素;②若<x,y>∈A×B,則有x∈A且y∈B若<x,y>A×B,則有xA或yB第二頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日2.性質(zhì):①φ×B=A×φ=φ②若A≠B且A≠φ,B≠φ,則A×B≠B×A③若A≠φ,B≠φ,C≠φ,則(A×B)×C≠A×(B×C)④A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)(B∪C)×A=(B×A)∪(C×A)A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)(B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)證明:<x,y>∈A×(B∪C)?x∈A∧y∈B∪C?x∈A∧(y∈B∨y∈C)?(x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)?<x,y>∈A×B∨<x,y>∈A×C?<x,y>∈(A×B)∪(A×C)所以,A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)第三頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日例4.1設(shè)A={1,2},求P(A)×A解:P(A)×A={φ,{1},{2},{1,2}}×{1,2}={<φ,1>,<φ,2>,<{1},1>,<{1},2>,<{2},1>,<{2},2>,<{1,2},1>,<{1,2},2>};例4.2設(shè)A,B,C,D為任意集合,判斷以下等式是否成立,說(shuō)明為什麼?(1)(A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)(2)(A∪B)×(C∪D)=(A×C)∪(B×D)(3)(A-B)×(C-D)=(A×C)-(B×D)(4)(A⊕B)×(C⊕D)=(A×C)⊕(B×D)第四頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日解:(1)成立:<x,y>∈(A∩B)×(C∩D)?x∈A∩B∧y∈C∩D?(x∈A∧x∈B)∧(y∈C∧y∈D)?(x∈A∧y∈C)∧(x∈B∧y∈D)

?<x,y>∈A×C∧<x,y>∈B×D?<x,y>∈(A×C)∩(B×D)(2)不成立:若A=D=φ,B=C={1}則(A∪B)×(C∪D)=B×C={<1,1>}而(A×C)∪(B×D)=(φ×C)∪(φ×D)=φ∪φ=φ(3)不成立:若A=B={1},C={2},D=φ則(A-B)×(C-D)=φ×C=φ而(A×C)-(B×D)={<1,2>}-φ={<1,2>}(4)不成立:若A=B={1},C={2},D=φ則(A⊕B)×(C⊕D)=φ×{2}=φ而(A×C)⊕(B×D)={<1,2>}⊕φ={<1,2>}第五頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日例4.3設(shè)A,B,C,D為任意集合,判斷以下命題的真假.(1)若A?C且B?D,則A×B?C×D(2)若A×B?C×D,則A?C且B?D解:(1)為真:?<x,y>∈A×B?x∈A∧y∈B?x∈C∧y∈D?<x,y>∈C×D(2)為假:若A=C=D=φ,B={1};則A×B?C×D但B

D3.n個(gè)(n≥2)集合的笛卡兒積A1×A2×…×An={<x1,x2,…,xn>|x1∈A1,x2∈A2,…,xn∈An}當(dāng)A1=A2=…=An=A時(shí),An={<x1,x2,…,xn>|xi∈A,i=1,2,…n}第六頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日二.二元關(guān)系1.定義:若R={<x,y>|x,y∈A};則R為A的二元關(guān)系,記作xRy,否則xRy注)若|A|=n,則|A×A|=n2,|P(A×A)|=

所以A上有不同的二元關(guān)系,其中有3種特殊關(guān)系:空關(guān)系,全域關(guān)系EA和恒等關(guān)系IA.全域關(guān)系EA={＜x,y>|x∈A∧y∈A}=A×A恒等關(guān)系IA={＜x,x>|x∈A}例如：Ａ＝｛０，１，２｝則EA={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<2,2>}IA={<0,0>,<1,1>,<2,2>}第七頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日小于等于關(guān)系:LA={<x,y>|x,y∈A∧x≤y}整除關(guān)系:DB={<x,y>|x,y∈B

∧x|y}例如:A={4,0.5,-1},B={1,2,3,6}則LA={<-1,-1>,<-1,0.5>,<-1,4>,<0.5,0.5>,<0.5,4>,<4,4>}DB={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,6>,<2,2>,<2,6>,<3,3>,<3,6>,<6,6>}例:4.4設(shè)A={a,b},R是P(A)上的包含關(guān)系R={<x,y>|x,y∈P(A)∧x?y}則有P(A)={φ,{a},,A}R={<φ,φ>,<φ,{a}>,<φ,>,<φ,A>,<{a},{a}>,<{a},A>,<,>,<,A>,<A,A>}第八頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日2.二元關(guān)系的矩陣表示法和圖表示法設(shè)A={1,2,3,4},R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}關(guān)系矩陣關(guān)系圖第九頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日4.2關(guān)系的運(yùn)算一.關(guān)系的定義域.值域和域定義域：domR={x|?y(<x,y>∈R)}值域：ranR={y|?x(<x,y>∈R)}域：fldR=domR∪ranR例4.5下列關(guān)系都是整數(shù)集Z上的關(guān)系,分別求他們的定義域和值域(1)R1={<x,y>|x,y∈Z∧x≤y}(2)R2={<x,y>|x,y∈Z∧x2+y2=1}(3)R3={<x,y>|x,y∈Z∧y=2x}(4)R4={<x,y>|x,y∈Z∧|x|=|y|=3}第十頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日解:(1)domR1=ranR1=Z(2)R2={<0,1>,<0,-1>,<1,0>,<-1,0>}

domR2=ranR2={0,-1,1}(3)domR3=Z,ranR3={2x|x∈Z}(4)domR4=ranR4={-3,3}圖示第十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日二.關(guān)系運(yùn)算F的逆:F-1={<y,x>|xFy}F與G的合成:FoG={<x,y>|?z(xGz∧zFy)}F在A上的限制:F↑A={<x,y>|xFy∧x∈A}A在F下的像:F[A]=ran(F↑A)第十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日例4.6設(shè)F,G是N上的關(guān)系,其定義為F={<x,y>|x,y∈N∧y=x2}G={<x,y>|x,y∈N∧y=x+1}求G-1,FoG,GoF,F↑{1,2},F[{1,2}]解:G-1={<x,y>|x,y∈N∧y=x-1}(orG-1={<y,x>|x,y∈N∧x=y-1})G-1={<1,0>,<2,1>,<3,2>,…,<x,x-1>,…}FoG={<x,y>|x,y∈N∧y=(x+1)2}GoF={<x,y>|x,y∈N∧y=x2+1}F↑{1,2}={<1,1>,<2,4>}F[{1,2}]=ran(F↑{1,2})={1,4}第十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日例4.7設(shè)F={<a,{a}>,<{a},{a,{a}}>}求FoF,F↑{a},F[{a}]解:FoF={<a,{a,{a}}>}

F?{a}={<a,{a}>}F[{a}]=ran(F↑{a})={{a}}三.關(guān)系運(yùn)算的性質(zhì)定理1:設(shè)F,G,H是任意的關(guān)系,則有(1)(F-1)-1=F(2)domF-1=ranF,ranF-1=domF(3)(FoG)oH=Fo(GoH)(4)(FoG)-1=G-1oF-1第十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日證明:(4)<x,y>∈(FoG)-1?<y,x>∈FoG

??z(<y,z>∈G∧<z,x>∈F)

??z(<z,y>∈G-1

∧<x,z>∈F-1)

??z(<x,z>∈F-1

∧<z,y>∈G-1)

?<x,y>∈G-1oF-1所以(FoG)-1=G-1oF-1定理2:設(shè)F,G,H為任意的關(guān)系,則有(1)Fo(G∪H)=FoG∪FoH(2)Fo(G∩H)?FoG∩FoH(3)(G∪H)oF=GoF∪HoF(4)(G∩H)oF?GoF∩HoF第十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日證明:(1)<x,y>∈Fo(G∪H)

??z(<x,z>∈G∪H∧<z,y>∈F)

??z((<x,z>∈G∨<x,z>∈H)∧<z,y>∈F)

??z((<x,z>∈G∧<z,y>∈F)∨(<x,z>∈H∧<z,y>∈F))??z(<x,z>∈G∧<z,y>∈F)∨?z(<x,z>∈H∧<z,y>∈F)?<x,y>∈FoG∨<x,y>∈FoH?<x,y>∈FoG∪FoH所以Fo(G∪H)=FoG∪FoH(2)<x,y>∈Fo(G∩H)??z(<x,z>∈G∩H∧<z,y>∈F)

??z(<x,z>∈G∧<z,y>∈F)?<x,y>∈FoG所以Fo(G∩H)?FoG同理可證Fo(G∩H)?FoH故Fo(G∩H)?FoG∩FoH第十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日四.關(guān)系運(yùn)算的冪設(shè)R為A上的關(guān)系,n為自然數(shù),則R的n次冪規(guī)定如下:(1)R0={<x,x>|x∈A}(R0=IA是A上的恒等關(guān)系)(2)Rn=Rn-1oR,n≥1例4.8設(shè)A={a,b,c,d},R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}

求R0,R1,R2,R3,R4和R5解:關(guān)系運(yùn)算:R0={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>}R1={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}R2=R1oR1={<a,a>,<a,c>,<b,b>,<b,d>}R3=R2oR1={<a,b>,<a,d>,<b,a>,<b,c>}R4=R3oR1={<a,a>,<a,c>,<b,b>,<b,d>}R5=R4oR1={<a,b>,<a,d>,<b,a>,<b,c>}第十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日關(guān)系圖法={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>}R1={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}={<a,a>,<a,c>,<b,b>,<b,d>}={<a,b>,<a,d>,<b,a>,<b,c>}第十八頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日關(guān)系矩陣R0={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>}R1={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}R2=R1oR1={<a,a>,<a,c>,<b,b>,<b,d>}R3=R2oR1={<a,b>,<a,d>,<b,a>,<b,c>}

第十九頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日定理3:設(shè)R為A上的關(guān)系,m,n是自然數(shù),則下面的等式成立:(1)Rm?Rn=Rm+n(2)(Rm)n=Rmn第二十頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日4.3關(guān)系的性質(zhì)一.關(guān)系的定義和性質(zhì):設(shè)R是A上的關(guān)系,則有第二十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日例如:設(shè)A={1,2,3}令

R1={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}R2={<2,3>,<3,2>}R3={<1,1>,<2,2>}R4={<1,2>,<2,1>,<3,3>}R5={<1,2>,<1,3>}R6={<1,1>}R7={<1,2>,<2,1>,<1,3>}

則R1是自反的,反對(duì)稱的;R2是反自反的,對(duì)稱的;R3既是對(duì)稱的,又是反對(duì)稱的;R4是對(duì)稱的;R5是反自反的,反對(duì)稱的;R6既是對(duì)稱的，又是反對(duì)稱的;R7是反自反的.第二十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日例4.9試判斷圖中的關(guān)系性質(zhì)解:(1)是對(duì)稱的

(2)是反自反的,反對(duì)稱的;(3)是自反的,反對(duì)稱的;第二十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日二.關(guān)系運(yùn)算的性質(zhì)設(shè)R1，R2為A上的對(duì)稱關(guān)系,可證R1∩R2也是A上的對(duì)稱關(guān)系.證明:<x,y>∈R1∩R2?<x,y>∈R1∧<x,y>∈R2

?<y,x>∈R1∧<y,x>∈R2?<y,x>∈R1∩R2設(shè)R1,R2為A上反對(duì)稱關(guān)系,但R1∪R2不一定是A上的反對(duì)稱關(guān)系例如:A={x1,x2},R1={<x1,x2>},R2={<x2,x1>};R1∪R2={<x1,x2>,<x2,x1>}第二十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日4.4關(guān)系的閉包定義:設(shè)R是非空集合A上的關(guān)系,R的自反閉包(對(duì)稱閉包或傳遞閉包)是A上的R’,且R’滿足以下條件:(1)R’是自反的(對(duì)稱的或傳遞的)(2)R?R’(3)對(duì)A上的任何包含R的自反關(guān)系(對(duì)稱或傳遞關(guān)系)R”都有R’?R”一般:將R的自反閉包,記作r(R);對(duì)稱閉包,記作s(R);傳遞閉包,記作t(R);定理:設(shè)R為非空集合A上的關(guān)系,則有(1)r(R)=R∪R0(2)s(R)=R∪R-1(3)t(R)=R∪R2∪R3∪…第二十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日例4.10設(shè)A={a,b,c,d},R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}

求R和r(R),s(R),t(R)關(guān)系運(yùn)算,關(guān)系圖和關(guān)系矩陣解:關(guān)系運(yùn)算:r(R)=R∪R0={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}

∪(<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>}={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>}s(R)=R∪R-1={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}∪{<c,b>,<d,c>}R2=RoR={<a,a>,<a,c>,<b,b>,<b,d>}R3=R2oR={<a,b>,<a,d>,<b,a>,<b,c>}R4=R3oR={<a,a>,<a,c>,<b,b>,<b,d>}R5=R3;t(R)=R∪R2∪R3={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<a,a>,<a,c>,<b,b>,<b,d>,<a,d>}第二十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日關(guān)系圖第二十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日關(guān)系矩陣Mr=M+E;Ms=M+M’;Mt=M+M2+M3+…第二十八頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日4.5等價(jià)關(guān)系和偏序關(guān)系一.等價(jià)關(guān)系1.等價(jià)關(guān)系定義:設(shè)R為非空集合A上的關(guān)系,如果R是自反的,對(duì)稱的和傳遞的,則R為A上的等價(jià)關(guān)系.對(duì)?x,y∈A,若<x,y>∈R,則記作x～y例4.11A={1,2,…,8},R={<x,y>|x,y∈A∧x≡y(mod3)}其中x≡y(mod3)是x-y可以被3整除.解:R1={<1,1>,<4,4>,<7,7>,<1,4>,<4,1>,<1,7>,<7,1>,<4,7>,<7,4>}R2={<2,2>,<5,5>,<8,8>,<2,5>,<5,2>,<2,8>,<8,2>,<5,8>,<8,5>}

R3={<3,3>,<6,6>,<3,6>,<6,3>}

R=R1∪R2∪R3第二十九頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日2.等價(jià)類定義:設(shè)R是非空集合A上的等價(jià)關(guān)系,對(duì)?x∈A,令[x]R={y|y∈A∧xRy}則稱[x]R為x關(guān)于R的等價(jià)類,簡(jiǎn)稱為x的等價(jià)類,簡(jiǎn)記為[x].例如:例4.11有[1]=[4]=[7]={1,4,7}[2]=[5]=[8]={2,5,8}[3]=[6]={3,6}定理(等價(jià)類的性質(zhì)):設(shè)R是非空集合A上的等價(jià)關(guān)系,對(duì)?x,y∈A,則有(1)[x]≠φ,且[x]?A(2)若xRy,則[x]=[y](3)若xRy,則[x]∩[y]=φ(4)∪[X]=A例如:例4.11{1,4,7}∪{2,5,8}∪{3,6}={1,2,…,8}第三十頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日3.商集定義:設(shè)R為非空集合A上的等價(jià)關(guān)系,以R的不交的等價(jià)類為元素的集合叫做A在R下的商集,記作A/R.即A/R={[x]R|x∈A}如:例4.11中,A在R下的商集為A/R={{1,4,7},{2,5,8},{3,6}}4.劃分定義:設(shè)A是非空集合,如果存在一個(gè)A的子集族π(π?P(A))滿足以下條件(1)φπ(2)π中任意兩個(gè)元素不交,(3)π中所有元素的并集等于A,則稱π為A的一個(gè)劃分,且稱π中的元素為劃分塊.第三十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日例4.14考慮集合A={a,b,c,d}的下列子集族(1){{a},{b,c},6661616}(2){{a,b,c,d}}(3){{a,b},{c},{a,d}}(4){φ,{a,b},{c,d}}(5){{a},{b,c}}則有(1)(2)都是A的劃分,(3)(4)(5)不是A的劃分.注)所有等價(jià)類的集合,即商集A/R,就是A的一個(gè)劃分,稱為由R所誘導(dǎo)的劃分.第三十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日例4.15設(shè)A={1,2,3},求出A上所有的等價(jià)關(guān)系解:A的所有劃分

π1={{1,2,3}}π2={{1},{2,3}}π3={{2},{1,3}}π4={{3},{1,2}}π5={{1},{2},{3}}對(duì)應(yīng)劃分πi的等價(jià)關(guān)系為Ri(i=1,2,3,4,5);IA={<1,1>,<2,2>,<3,3>}R1=IA∪{<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>}R2=IA∪{<2,3>,<3,2>}R3=IA∪{<1,3>,<3,1>}R4=IA∪{<1,2>,<2,1>}R5=IA第三十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日二.偏序關(guān)系1.偏序關(guān)系:設(shè)R為非空集合A上的關(guān)系,

如果R是自反的,反對(duì)稱的和傳遞的,

則稱R為A上的偏序關(guān)系,簡(jiǎn)稱偏序,記作≤例如:任何集合A上的恒等關(guān)系,集合的冪集P(A)上的包含關(guān)系,

實(shí)數(shù)集上的小于等于關(guān)系,正整數(shù)集上的整除關(guān)系,

都是偏序關(guān)系.例:集合A={1,2,3}上的大于等于關(guān)系,是A的偏序關(guān)系即≤={<3,3>,<3,2>,<3,1>,<2,2>,<2,1>,<1,1>}所以有3≤2.2≤2.3≤1表示<3,2>,<2,2>,<3,1>屬于偏序≤;第三十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日2.偏序集一個(gè)集合A與A上的偏序關(guān)系R一起叫做偏序集;記作<A,R>.例如:<Z,R≤>其中R≤表示通常數(shù)小于等于關(guān)系,<P(A),R?>其中R?表示集合的包含關(guān)系都是偏序集.3.可比與蓋住設(shè)<A,≤>為偏序集,?x,y∈A,如果x≤y或y≤x成立,則稱x與y是可比的.如果x＜y(即x≤y∧x≠y),且不存在z∈A,使x<z<y,則稱y蓋住x.例如:<A,≤>是偏序集,其中A={1,2,3,4,5},≤是整除關(guān)系,有1與1,2,3,4,5是可比的,2,3,5蓋住1,4蓋住2.4不能蓋住1。第三十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日4.全序關(guān)系和全序集設(shè)<A,≤>為偏序集,若?x,y∈A,x和y都可比,則稱≤為A上的全序關(guān)系,且稱<A,≤>為全序集.例如:A={1,2,3,4,5}上的小于等于關(guān)系是全序關(guān)系,

而整除關(guān)系不是全序關(guān)系.5.哈斯圖例4.16畫(huà)出<{1,2,…,12},R整除>和<P({a,b,c},R?>哈斯圖.第三十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日例4.17設(shè)偏序集<A,≤>的哈斯圖如圖所示,

求出集合A的偏序≤.解:A={a,b,c,d,e,f,g,h}≤={<a,c>,<a,d>,<a,e>,<b,c>,<b,d>,<b,e>,<c,e>,<d,e>,<f,g>}∪IA第三十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日6.最小元與最大元,極小元與極大元定義:設(shè)<A,≤>為偏序集,B?A(1)若?y∈B,使?x(x∈B->y≤x)成立,則稱y是B的最小元.(2)若?y∈B,使?x(x∈B->x≤y)成立,則稱y是B的最大元.(3)若?y∈B,￢?x(x∈B∧x<y)成立,則稱y是B的極小元.(4)若?y∈B,￢?x(x∈B∧y<x)成立,則稱y是B的極大元.例4.16(1)有最小元1;無(wú)最大元,有極大元7,8,9,10,11,12;(2)有最小元φ;有最大元{a,b,c}第三十八頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日例4.17無(wú)最小元和最大元,但有極小元a,b,f,h和極大元e,g,h.7.上確界和下確界定義:設(shè)<A,≤>為偏序集,B?A(1)若?y∈A,使?x(x∈B->x≤y)成立,則稱y為B的上界.(2)若?y∈A,使?x(x∈B->y≤x)成立,則稱y為B的下界.(3)令C={y|y為B的上界},則C的最小元為B的最小上界或上確界.(4)令D={y|y為B的下界},則D的最大元為B的最大下界或下確界.第三十九頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日例4.16在整除關(guān)系的偏序集里,取B={2,3,6},那么B的上界為6和12,上確界為6,B的下界是1,下確界是1;取B=A,則B的上確界為{a,b,c},下確界為φ.例4.17取B={c,d,e},則B的上界和上確界為e,B的下界為a,b,但沒(méi)有下確界.第四十頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日4.6函數(shù)的定義和性質(zhì)一.函數(shù)(映射)定義1:設(shè)F為二元關(guān)系,若?x∈domF,?唯一的y∈ranF,使xFy成立,則稱F為函數(shù),記作F(x)=y.例如F1={<x1,y1>,<x2,y1>,<x3,y2>}是函數(shù).F2={<x1,y1>,<x1,y2>,<x2,y1>,<x3,y2>}不是函數(shù).定義2:設(shè)A,B是集合,如果函數(shù)f滿足以下條件(1)domf=A(2)ranf?B則稱f是從A到B的函數(shù),記作f:A->B第四十一頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日定義3:設(shè)A,B為集合,所有從A到B的函數(shù)構(gòu)成集合BA

有BA={f|f:A->B};例如:A={0,1,2},B={a,b}f1={<0,a>,<1,a>,<2,a>}f2={<0,a>,<1,a>,<2,b>}f3={<0,a>,<1,b>,<2,a>}f4={<0,b>,<1,a>,<2,a>}f5={<0,b>,<1,b>,<2,b>}f6={<0,b>,<1,b>,<2,a>}f7={<0,b>,<1,a>,<2,b>}f8={<0,a>,<1,b>,<2,b>}所以,BA={f1,f2,…,f8}注)若|A|=m,|B|=n,則BA=nm第四十二頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日定義4:設(shè)f:A->B,A’?A,則A’在f下的象是f(A’)={f(x)|x∈A’}=f[A’]當(dāng)A’=A時(shí),稱f(A’)=f(A)=ranf是函數(shù)的象.例如:f:R->R,如f(x)=exf{-1,0,1}={e-1,e0,e1}={e-1,1,e},即f(R)=R+二.雙射定義:設(shè)函數(shù)f:A->B(1)若ranf=B,則稱f是滿射,(2)若?x1,x2∈A且x1≠x2,都有f(x1)≠f(x2),則稱f是單射.(3)若f既是滿射,又是單射,則稱f是雙射.第四十三頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日例如:函數(shù)f:{1,2}->{0},f(1)=f(2)=0是滿射.

函數(shù)f:N->N,f(x)=2x是單射.

函數(shù)f:Z->Z,f(x)=x+1是雙射.例4.18分別確定以下各題中的f是否為從A到B的函數(shù),并對(duì)其中的f:A->B指出它是否為單射,滿射或雙射,說(shuō)明理由.設(shè)A={1,2,3,4,5},B={6,7,8,9,10}(1)f={<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,9>}是函數(shù),不是單射,也不是滿射.(2)f={<1,8>,<3,10>,<2,6>,<4,9>}不是函數(shù).(3)f={<1,7>,<2,6>,<4,5>,<1,9>,<5,10>}不是函數(shù).第四十四頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)A,B為實(shí)數(shù)集(4)f(x)=x2-x是函數(shù)由于x2-x=x(x-1)=0,可知x=0和x=1都有f(0)=f(1)=0所以f不是單射;由于,當(dāng)x=1/2,f(x)有最小值-1/4,即ranf=[-1/4,+∞)所以,f不是滿射.(f’(x)=2x-1,f”(x)=2)(5)f(x)=x3是函數(shù),

?x1,x2∈A且

x1≠x2,則有x13≠x23,所以f是單射;

?y∈B,都有x3=y,即,所以f是滿射,故f是雙射.不是函數(shù)(x<0不成立)(7)不是函數(shù)(x=0不成立)第四十五頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)A,B為正整數(shù)集,(8)f(x)=x+1是函數(shù),

?x1,x2∈A且x1≠x2,都有x1+1≠x2+1,所以f是單射;但由于1?ranf?B(即對(duì)y=1,不存在x=0,使f(0)=1),所以,f不是滿射.1x=1(9)f(x)=是函數(shù),x-1x>1由于f(1)=f(2)=1,所以f不是單射;

?y∈B,若y=1,則有x=1,其它有y=x-1,即x=y+1,所以,f是滿射.第四十六頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)A,B為正實(shí)數(shù)集,是函數(shù),由于知(x1x2-1)(x1-x2)=0若x1≠x2,可知x1x2-1=0,故取x1=1/4,x2=4,有f(x1)=f(x2)所以,f不是單射,由于,當(dāng)x=1時(shí),f(x)有最大值1/2;(如取y=1,找不到x>0,使成立),即ranf?B,故f不是滿射.例4.19判斷以下函數(shù)的單射,滿射和雙射性(1)f:R×R->R×R,R為實(shí)數(shù)集,f(<x,y>)=<x+y,x-y>(2)f:N×N->N,N為自然數(shù)集(0∈N),f(<x,y>)=|x2-y2|第四十七頁(yè)，共五十二頁(yè)，2022年，8月28日解:(1)?<x,y>,<u,v>∈R×R,若<x,y>≠<u,v>只要證明<x+y,x-y>≠<u+v,u-v>,就說(shuō)明f是單射,用反證法:假設(shè)<x+y,x-y>=<u+v,u-v>則有x+y=u+v,x-y=u-v,得x=u,y=v,即<x,y>=<u,v>這與已知矛盾,故f是單射.又?<u,v>∈R×R,使f(<x,y>)