東北師大附中2012-2013高三數(shù)學(xué)(文理)第一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案073A高考直擊球與幾何體的切接問題球與幾何體的切接問題是近幾年高考的熱點，主要考察空間想象能力和邏輯思維能力,下面我們就近幾年高考題對球與幾何體的切接作深入的探究，從中掌握高考命題的趨勢和高考的出題思路，從近幾年全國高考命題來看,這部分內(nèi)容主要出選擇、填空，大題很少出。一、正方體與球的切接問題（1）、正方體的內(nèi)切球，如圖1。位置關(guān)系：正方體的六個面都與一個球都相切，正方體中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長為a，球的半徑為r，這時有2r=a。（2）正方體的外接球，如圖2。位置關(guān)系：正方體的八個頂點在同一個球面上；正方體中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長為a，球的半徑為r，這時有2r=3a。（3）正方體的棱切球，如圖3。位置關(guān)系：正方體的十二條棱與球面相切，正方體中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正方體的棱長為a，球的半徑為r，這時有2r=2a。正四面體與球的切接問題（1）、正四面體的內(nèi)切球，如圖4。位置關(guān)系：正四面體的四個面都與一個球相切，正四面體的中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長為a，高為h；球的半徑為R，這時有4R=h=63a（2）、正四面體的外接球，如圖5。位置關(guān)系：正四面體的四個頂點都在一個球面上，正四面體的中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長為a，高為h；球的半徑為R，這時有4R=3h=6a；（可用正四面體高h減去內(nèi)切球的半徑得到）（3）、正四面體的棱切球，如圖6。位置關(guān)系：正四面體的六條棱與球面相切，正四面體的中心與球心重合；數(shù)據(jù)關(guān)系：設(shè)正四面體的棱長為a，高為h；球的半徑為R，這時有4R=2a=3h；h=63三、正方體、正四面體與球的切接問題的數(shù)據(jù)關(guān)系推導(dǎo)可以借用下面幾何體的切接關(guān)系推導(dǎo)。正方體為ABCD-A1B1C1D1、正四面體為A1C1BD，圖中兩個球O為正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球和外接球，顯然這兩個球也是正四面體為A1C1BD的棱切球與外接球，這樣我們就不難從一維量棱長a、半徑、直徑、高；二維量表面積、全面積；三維量體積之間進行數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換。把握以上正方體與正四面體與球的切接問題，以不變應(yīng)萬變，可以輕而易舉解決高考題。四、近幾年高考及高考摸擬中球與幾何體的切接問題1、（07年安徽?理?8題）半徑為1的球面上的四點是正四面體的頂點，則與兩點間的球面距離為（C）（可改為求AB的距離263）A． B． C．D．2、（07福建?理?10題）頂點在同一球面上的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝QUOTE2，則A、C兩點間的球面距離為（B）（可改為求角AOB是多少？π2）A．B．QUOTEC．QUOTED．QUOTE3、07（湖南?理?8題）棱長為1的正方體的8個頂點都在球的表面上，分別是棱，的中點，則直線被球截得的線段長為（D）16、（2009江西卷理）正三棱柱內(nèi)接于半徑為的球，若兩點的球面距離為，（此條件可改為AB=22），則正三棱柱的體積為8．【解析】由條件可得，所以，到平面的距離為，所以所求體積等于．ABO1OABO1O17、（2009陜西卷文）如圖球O的半徑為2，圓是一小圓，，A、B是圓上兩點，若=，則A,B兩點間的球面距離為（可改為則AB=2）解析:由,=2由勾股定理在中則有,又=則所以在，，則，那么由弧長公式得.18、.(2009湖南卷理)在半徑為13的球面上有A,B,C三點，AB=6，BC=8，CA=10，則（1）球心到平面ABC的距離為12；（2）過A，B兩點的大圓面與平面ABC所成二面角為（銳角）的正切值為3（此問可改為面AOB與面ABC所成的二面角為（銳角）的正切值。）【答案】：（1）12；（2）3【解析】（1）由的三邊大小易知此三角形是直角三角形，所以過三點小圓的直徑即為10，也即半徑是5，設(shè)球心到小圓的距離是，則由，可得。（2）設(shè)過三點的截面圓的圓心是中點是點，球心是點，則連三角形，易知就是所求的二面角的一個平面角，，所以，即正切值是3。19、（2010遼寧文數(shù)）（11）已知是球表面上的點，，，，，則球的表面積等于（A）4（B）3（C）2（D）解析：選A.由已知，球的直徑為，表面積為20、（2010四川理數(shù)（11））半徑為的球的直徑垂直于平面，垂足為，面BCD是平面內(nèi)邊長為R的正三角形，線段AC、AD分別與球面交于點M，N，那么M、N兩點間的球面距離是(A)（可改為MN兩點的距離為0.8R）（A）（B）（C）（D）解析：由已知，AB＝2R,BC＝R,故tan∠BAC＝cos∠BAC＝連結(jié)OM，則△OAM為等腰三角形AM＝2AOcos∠BAC＝，同理AN＝，且MN∥CD而AC＝R,CD＝R故MN：CD＝AN:ACMN＝，連結(jié)OM、ON，有OM＝ON＝R于是cos∠MON＝所以M、N兩點間的球面距離是21、（2010全國卷1文數(shù)）（12）已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點，若AB=CD=2,則四面體ABCD的體積的最大值為(B)(A)(B)(C)(D)【解析】:命題意圖:本小題主要考查幾何體的體積的計算、球的性質(zhì)、異面直線的距離,通過球這個載體考查考生的空間想象能力及推理運算能力.過CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB與P,設(shè)點P到CD的距離為,則有,當(dāng)直徑通過AB與CD的中點時,,故22、2010全國卷1理數(shù)）（12）已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點，若AB=CD=2,則四面體ABCD的體積的最大值為(B)(A)(B)(C)(D)23、（2011重慶理9）高為24的四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，點S、A、B、C、D均在半徑為1的同一球面上，則底面ABCD的中心與頂點S之間的距離為 A．24 B．22 C．1 D24、（2011全國新課標(biāo)理15）已知矩形ABCD的頂點都在半徑為4的球O的球面上，且AB=6，BC=23，則棱錐O-ABCD的體積為8325、【2012高考新課標(biāo)文8】平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為eq\r(2)，則此球的體積為(B)（A）eq\r(6)π（B）4eq\r(3)π（C）4eq\r(6)π（D）6eq\r(3)π【解析】球半徑，所以球的體積為，選B.26、（2012年高考（新課標(biāo)理））已知三棱錐的所有頂點都在球的求面上,是邊長為的正三角形,為球的直徑,且;則此棱錐的體積為(A)A． B． C． D．解析：的外接圓的半徑，點到面的距離為球的直徑點到面的距離為此棱錐的體積為27.(2013長春一摸文)若一個正方體的表面積為，其外接球的表面積為，則____________.解析:設(shè)正方體棱長為，則正方體表面積為，其外接球半徑為正方體體對角線長的，即為，因此外接球表面積為，則.28.(2013長春二摸文16.)如果一個棱柱的底面是正多邊形，并且側(cè)棱與底面垂直,這樣的棱柱叫做正棱柱.已知一個正六棱柱的各個頂點都在半徑為3的球面上，則該正六棱柱的體積的最大值為____解析