頻率與概率自主性評價（一）選擇題（每小題3分，共24分）連續(xù)擲一枚均勻的骰子兩次，點數(shù)之和等于6的概率是（）ABCD在一個不透明的口袋中，裝有若干個除顏色不同其余都相同的球，如果口袋中裝有4個紅球且摸到紅球的概率為，那么口袋中球的總數(shù)為（）A12個B9個C6個D3個下列說法正確是（）投針試驗中針與平行線相交的概率是隨機(jī)調(diào)查13個人，則必有2人生肖相同擲一枚均勻的硬幣連續(xù)5次都是正面，那么第6次出現(xiàn)反面的概率大于袋中有若干個除顏色外完全相同的小正方體，小華有放回地摸了10次，每次都摸到黃色小正方體，因此她斷言袋中全是黃色小正方體一個家庭有兩個孩子，兩個都是男孩的概率是（）A.BCD 如圖，有6張寫有漢字的卡片，它們的背面都相同，現(xiàn)將它們背面朝上洗勻后如圖擺放，從中任意翻開一張是漢字“自”的概率是（）ABCD小軍和小偉參加數(shù)學(xué)知識競賽，共有10道不同的題目，其中選擇性題6道，判斷題4道，小軍和小偉兩人依次各抽一題，則小軍抽到選擇題的概率及小軍抽到選擇題后，小偉抽到判斷題的概率分別為（）A.，B，C，D，把一枚硬幣向桌上連拋5次，則正、反兩面交替（可以是正、反、正、反、正；也可以是反、正、反、正、反）出現(xiàn)的概率是（）A.BCD有五根細(xì)木棒，長度（單位：cm）分別為1，3，5，7，9，從中任取三根，能搭成三角形的概率為（）A.BCD二、填空題（每小題3分，共21分）在一所有2000名學(xué)生的學(xué)校中隨機(jī)調(diào)查了100人，其中有75人上學(xué)之前吃早餐，則在該校隨機(jī)問一人，上學(xué)之前吃早餐的概率是。袋中有若干張紅色和10張黃色卡片，它們除顏色外完全相同，有放回地摸取200次，其中有5次摸到黃色卡片，則袋中大約有紅色卡片張。某商場在“五一”期間推出購物摸獎活動，摸獎箱內(nèi)有除顏色以外完全相同的紅色、白色乒乓球各兩個，顧客摸獎時，一次摸出兩個球，如果兩個球的顏色相同就得獎，顏色不同則不得獎，那么顧客摸獎一次，得獎的概率是。如圖，用這兩個轉(zhuǎn)盤進(jìn)行“配紫色”游戲，配成紫色的概率是。（1）（2）某家庭電話，打進(jìn)的電話響第一聲時被接的概率是0.1，響第二聲時被接的概率是0.2，響第三聲時被接的概率是0.25，響第四聲時被接的概率是0.25，則電話在響第五聲之前被接的概率為。某商場四月份抽查了6天的營業(yè)額，結(jié)果分別如下（單位：萬元）：2.8，3.2，3.4，3.7，3.0，3.1，試估計該商場四月份的總營業(yè)額大約是萬元。一個口袋中有12個白球和若干個黑球，在不允許將球倒出來數(shù)的前提下，小亮為估計口袋中黑球的個數(shù)，采用了如下的方法：每次先從口袋中摸出10個球，求出其中白球數(shù)與10的比值分別為：0.4，0.1，0.2，0.1，0.2，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，小亮可估計口袋中大約有個黑球。三、解答題（共55分）（8分）利用兩枚均勻的硬幣做投擲試驗。使甲、乙雙方獲勝的概率一樣；使甲方獲勝的概率為，乙方獲勝的概率為（8分）為舉辦畢業(yè)聯(lián)歡會，小穎設(shè)計了一個游戲：游戲者分別轉(zhuǎn)動如圖的兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤各一次，當(dāng)兩個轉(zhuǎn)盤的指針?biāo)缸帜赶嗤瑫r，他就可以獲得一次指定一位到會為大家表演節(jié)目的機(jī)會。利用樹狀圖或列表的方法（只選其中一種）表示出游戲可能出現(xiàn)的所有結(jié)果；若小亮參加一次游戲，則他能獲得這種指定機(jī)會的概率是多少？轉(zhuǎn)盤1轉(zhuǎn)盤2（8分）如果想知道擲一枚均勻的骰子點數(shù)為6的概率是多少，但手中并沒有骰子，你能用三種不同的方法進(jìn)行模擬試驗嗎？說說你的設(shè)計。（8分）某池塘里養(yǎng)了魚苗10萬條，根據(jù)這幾年的經(jīng)驗知道，魚苗成活率為95%，一段時間準(zhǔn)備打撈出售，第一網(wǎng)撈出40條，稱得平均每條魚重2.5千克，第二網(wǎng)撈出25條，稱得平均每條魚重2.2千克，第三網(wǎng)撈出35條，稱得平均每條魚重2.8千克，試估計此池塘中魚的質(zhì)量為多少？（8分）小剛和小明在擲骰子的游戲中，小明設(shè)置的規(guī)則是：（1）當(dāng)兩枚骰子的點數(shù)之差（大數(shù)減小數(shù)）小于或等于1時，小剛得1分，否則小明得1分；小剛認(rèn)為不合理，自己設(shè)置了一個規(guī)則：（2）當(dāng)兩枚骰子的點數(shù)之積為合數(shù)時，小剛得1分。你認(rèn)為這兩個游戲規(guī)則公平嗎？為什么？（7分）有10個型號相同的零件，其中一等品5個，二等品4個，次品1個，從中隨機(jī)抽取一個，抽中一等品的概率是多少？（8分）將分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3的三張卡片洗勻后，背面朝上放在桌面上。隨機(jī)地抽取一張，是奇數(shù)的概率是多少？隨機(jī)地抽取一張作為十位上的數(shù)字（不放回），再抽取一張作為個位上的數(shù)字，能組成哪些兩位數(shù)？恰好是“32”的概率是多少？參考答案BABCABCD3900.89648（1）隨機(jī)擲這兩枚硬幣各一次，若兩面都為正面朝上，則甲勝；兩面都為反面朝上，則乙勝；（2）隨機(jī)擲這兩枚硬幣各一次，若兩面都為正面朝上，則甲勝；一正一反朝上，則乙勝。17、解（1）轉(zhuǎn)盤2轉(zhuǎn)盤1CDA（A，C）（A，D）B（B，C）（B，D）C（C，C）（C，D）開始ABCCDCDCD（A，C）（A，D）（B，C）（B，D）（C，C）（C，D）∴游戲共有6種結(jié)果參加一次游戲獲得這種指定機(jī)會的概率是方法一：利用轉(zhuǎn)盤。（轉(zhuǎn)盤6等分）方法二：摸球。（6種顏色球各一個）方法三：計算器。（產(chǎn)生16隨機(jī)整數(shù)）具體操作略。（還有其他不同方法）19、240350千克兩種規(guī)則都不公平，理由如下：對小明有利。因為兩枚骰子的點數(shù)之差小于或等于1的概率為，故小剛得分機(jī)會少。（2）對小剛有利，兩枚骰子的點數(shù)之積為質(zhì)數(shù)的概率是，則小明的平均得分為（分），而小剛的平均得分為（分）（1）（2）組成的兩位數(shù)共有12、13、21、23、31、32共6個，故恰好是32的概率是.學(xué)情分析

求隨機(jī)事件的概率，學(xué)生在初中已經(jīng)接觸到一些類似的問題，所以在教學(xué)中學(xué)生并不感到陌生，關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生對“隨機(jī)事件的概率”這個重點、難點的掌握和突破，以及如何有具體問題轉(zhuǎn)化為抽象的概念。（1）從現(xiàn)實生活中的常見問題和學(xué)生熟悉的事物入手簡化復(fù)雜問題。九年級下冊“事件的概率”這一章節(jié)的教學(xué)中,有些比較復(fù)雜的立體圖形的很不好想像，我就在課前有蘿卜、地瓜刻出模型來，讓學(xué)生面對實物來解決問題，進(jìn)而來培養(yǎng)他們的空間想像力，從而將問題簡單化。我在第七章“可能性”時，將一個模擬搖獎器帶入教室，從生活中購買彩票中獎的可能性有多大入手引入課題，告訴學(xué)生這一章研究的對象就是事件發(fā)生可能性。對于彩票這樣一個生活中人人感興趣的話題，學(xué)生自然也愿意去了解，以很高的熱情去學(xué)習(xí)。從而讓學(xué)生去真正理解有用的數(shù)學(xué)的價值。（2）用生動有趣的圖案和實物來代替抽象的理論知識，來調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。相對于數(shù)學(xué)的推理計算，學(xué)生更容易對直觀有趣的圖案和實物產(chǎn)生興趣。在講解第一章“生活中的圖形”時，我將大量有趣的圖畫、實物帶入教室，讓學(xué)生感悟我們?nèi)粘Ｉ钪写嬖谥罅繋缀螆D形，數(shù)學(xué)就存在于生活之中，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能為解決生活中的問題提供很大的幫助，從而調(diào)動起學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的興趣。在講解第四章“圖案設(shè)計”一節(jié)時，我在上課時向?qū)W生展示了大量生動的幾何圖案，如仙人掌、帆船、房屋、橋梁等等，引起了學(xué)生的興趣，理解了對稱的意義及用途，體會到數(shù)學(xué)王國的瑰麗。（3）用精彩的問題設(shè)置吸引學(xué)生。“思維總是從提出問題開始的。”課堂提問是啟發(fā)學(xué)生積極思維的重要手段，教師要善于運用富有吸引力的提問激發(fā)學(xué)生的興趣。我在講解“日歷中的方程”一節(jié)時，我讓學(xué)生隨便圈出某月日歷上一豎列上相鄰的三個數(shù)，將這三個數(shù)的和告訴我，我就能猜出這三個數(shù)是多少。這個問題一下子把學(xué)生調(diào)動了起來，學(xué)生迫切的想知道我是如何猜出這三個數(shù)的，學(xué)習(xí)熱情高漲。這時，我告訴學(xué)生，我們只需要列一個簡單的方程即可解決這個問題，學(xué)生自然對列方程產(chǎn)生了濃厚的興趣，心情愉快的接受了新知識，學(xué)會解決問題的方法。（4）用數(shù)學(xué)實驗和游戲吸引學(xué)生。在新的實驗教材中設(shè)置了大量的實驗和游戲，我對這些資源進(jìn)行了充分的利用。這些實驗和游戲讓每一個學(xué)生都參與進(jìn)來，從中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的一些內(nèi)在規(guī)律并能熟練加以運用，在玩中學(xué)，在做中學(xué)，寓教于樂，取得了很好的效果。例如在講解概率的有關(guān)知識時，教材中設(shè)置了摸球游戲，讓學(xué)生通過摸球游戲感悟事件發(fā)生的可能性有大有小，但由于課堂上時間有限，實驗次數(shù)受到了一定的限制，因此我在課后又組織學(xué)生進(jìn)行了大量的實驗，通過這些實驗，學(xué)生對概率有了較為清晰的初步認(rèn)識，并對進(jìn)一步的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了濃厚的興趣，將一個復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題不費吹灰之力就解決的很到位。（5）用生動有趣的語言、事例吸引學(xué)生。在具有嚴(yán)密的邏輯性的前提下，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實際水平采用生動而富有感染力的教學(xué)語言來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而提高課堂教學(xué)效果。一個笑話、一句生動的話、一個有趣的事例能給人以美的遐想，更重要的是能喚起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強他們克服困難，奮發(fā)進(jìn)取的信心。比如，在講解“點動成線、線動成面”時，我拿出一個乒乓球向空中一扔，乒乓球劃出了一道弧線；然后我又打開了教室中的吊扇，吊扇徐徐轉(zhuǎn)動，逐漸形成了一個面。然后我告訴學(xué)生，這分別就是“點動成線”和“線動成面”，學(xué)生的興趣一下子就被我調(diào)動了起來。此外在教學(xué)中我充分注意因材施教，對不同的學(xué)生設(shè)置不同難度的問題，使每一個層次的學(xué)生都體驗到答對問題的喜悅，發(fā)現(xiàn)規(guī)律的興奮，而對知識不封頂，充分鼓勵學(xué)有余力的學(xué)生去進(jìn)一步探索思考，對學(xué)生的每一點進(jìn)步都提出表揚，對學(xué)生的新發(fā)現(xiàn)、新方法盡可能的加以肯定，并給予推廣，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中體驗成功，體驗成功的喜悅，從而以更大的熱情投入學(xué)習(xí)。效果分析這節(jié)課主要讓學(xué)生能夠通過拋擲硬幣的實驗，獲得正面向上的頻率，知道大量重復(fù)實驗時頻率可作為事件發(fā)生概率的估計值。在具體情境中了解概率的意義，從數(shù)學(xué)的角度去思考，認(rèn)識概率是描述不確定現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，發(fā)展隨機(jī)觀念。具體的方法應(yīng)用圖表以及多媒體等工具，逐步認(rèn)識到隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性；體會在解決問題的過程中與他人合作的重要性。讓學(xué)生在解決問題的過程中形成實事求是的態(tài)度以及進(jìn)行質(zhì)疑和獨立思考的習(xí)慣，并積極參與對數(shù)學(xué)問題的討論，敢于發(fā)表自己的觀點，從交流中獲益。

概率研究隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小。這里既有隨機(jī)性，更有規(guī)律性，這是學(xué)生理解的重點與難點。根據(jù)學(xué)生的年齡特點和認(rèn)知水平，本節(jié)課就從學(xué)生熟悉并感興趣的拋擲硬幣入手，讓學(xué)生親自動手操作，在相同條件下重復(fù)進(jìn)行試驗，在實踐過程中形成對隨機(jī)事件的隨機(jī)性以及隨機(jī)性中表現(xiàn)出的規(guī)律性的直接感知，從而形成對概念的正確理解。在課堂上學(xué)生們做實驗十分積極，基本上完成了我的預(yù)先設(shè)想。比如在事件的分析中，因為比較簡單，學(xué)生易于接受，回答問題積極踴躍，在做實驗中，有做的，有記錄的，分工合作，有條不紊，熱鬧而不混亂，回答實驗結(jié)果時，大膽仔細(xì)，數(shù)據(jù)到位，在總結(jié)規(guī)律時，也能踴躍發(fā)言，各抒己見，思慮很敏捷，說明學(xué)生真的在認(rèn)真思考問題?？傊Ч黠@。但是在具體的問題上還有不盡如人意的地方，比如學(xué)生們做的實驗結(jié)果并沒有在1/2左右徘徊，有的組差距還比較大；因為時間問題，實驗做的并不很仔細(xì)，對實驗的分析沒有想設(shè)計中那么完美等等.教完之后，很多想法。我想下次如果再上這節(jié)課時，將給學(xué)生更多時間，讓學(xué)生們更充分的融會到自由學(xué)習(xí)，自主思考，交流合作中提煉結(jié)果的學(xué)習(xí)氛圍中。在課堂上也有不如意的地方。教學(xué)大量使用多媒體，教師很少板書,可能使學(xué)生對個別問題的印象不很深刻,在學(xué)生做出實驗得到數(shù)據(jù)后，對數(shù)據(jù)的分析過快，對學(xué)生的分析點評不很到位，總結(jié)不多，這幾點沒有達(dá)到事先的教學(xué)設(shè)計。原因是多方面的，這需要以后教學(xué)中改進(jìn)?！笆录母怕省狈治霰菊伦寣W(xué)生進(jìn)一步通過具體情境了解必然事件、不確定事件（隨機(jī)事件）、不可能事件等概念，并在具體情境中了解事件發(fā)生的可能性的意義，會運用列舉法（包括列表、畫樹狀圖）統(tǒng)計在簡單問題情境中可能發(fā)生的事件的種數(shù)，學(xué)會比較、描述簡單事件的概率大小，通過一些簡單的事例，初步認(rèn)識概率的意義，知道不可能事件的概率是0，必然事件的概率是1，不確定事件的概率大于0，且小于1。事件的概率及其大小與人們的生活和生產(chǎn)實踐密切相關(guān)，在今后的概率學(xué)習(xí)中幾乎所有問題都會涉及，準(zhǔn)確認(rèn)識事件的概率及可能性的大小計算是學(xué)好概率的一個十分重要的起點。所以本章的教學(xué)重點是事件發(fā)生的可能性及其大小。而通過可能性的大小來理解概率的概念，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率的有關(guān)知識打下基礎(chǔ)，這需要一個較長的過程，是本章主要的教學(xué)難點。一、教科書內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)1.本章的主要教學(xué)目標(biāo)是進(jìn)一步體驗事件發(fā)生的等可能性以及游戲規(guī)則的公平性，會求一些簡單事件發(fā)生的可能性；在具體情境中了解概率的意義，運用列舉法（包括列表、畫樹狀圖）計算簡單事件發(fā)生的概率。具體教學(xué)要求如下：（1）通過具體情境了解必然事件、不確定事件（隨機(jī)事件）、不可能事件的概念。（2）在具體情境中了解事件發(fā)生的可能性的意義，會運用列舉法（包括列表、畫樹狀圖）統(tǒng)計在簡單情境中可能發(fā)生的事件的種數(shù)，并會比較、描述簡單事件的概率大小。（3）初步認(rèn)識概率的意義，知道不可能事件的概率是0，必然事件的概率是1，不確定事件的概率大于0，且小于1。（4）初步會用列舉法計算簡單事件發(fā)生的概率。2.本章教材分析。（1）本章的主要內(nèi)容是對概率的初步認(rèn)識，課本從學(xué)生生活中熟悉的事件入手，使學(xué)生對具體事件的認(rèn)識從感性逐步上升到事件發(fā)生的可能性的概念，教學(xué)中教師可以補充一些具體的事例，幫助學(xué)生認(rèn)識事件發(fā)生的可能性的大小以及可能性與概率的意義。（2）對事件的概率的認(rèn)識是概率學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，是教學(xué)的一個難點。課本在3.1節(jié)“認(rèn)識事件的概率”與3.2節(jié)“可能性的大小”之后，安排了3.3節(jié)“可能性和概率”，旨在使學(xué)生能計算一些簡單事件發(fā)生的可能性的基礎(chǔ)上，給出等可能性事件概率的計算公式。（3）本章的學(xué)習(xí)要注意多從實例出發(fā)，讓學(xué)生感受到可能性事件在現(xiàn)實世界中無處不在，引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。在教學(xué)中，應(yīng)注重所學(xué)內(nèi)容與日常生活、自然、社會和科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域的聯(lián)系，讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)事件的概率與概率的重要性和必要性。還應(yīng)注重使學(xué)生在具體情境中體會事件的概率與概率的意義。這些不僅是學(xué)習(xí)好本章的關(guān)鍵，對于學(xué)好以后各章也是很重要的。二、本章編寫特點1．體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活，素材與學(xué)生現(xiàn)實緊密結(jié)合。從學(xué)生身邊的現(xiàn)實例子說起，擲一石塊，石塊下落；路口的紅綠燈等是學(xué)生親身經(jīng)歷、感受過的，比較親切、容易接受。這些素材來源于現(xiàn)實，且經(jīng)過提練，體現(xiàn)了一定的教育價值。任意拋擲一枚均勻的硬幣、轉(zhuǎn)動能自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤、拋擲一枚均勻的骰子等無一不是學(xué)生所熟悉和感興趣的，使新知識的引入有了比較扎實的基礎(chǔ)。從解決實際問題的欲望而促進(jìn)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。2．強調(diào)學(xué)生的動手操作和主動參與，讓他們在觀察、操作、想像、交流等活動中認(rèn)識事件的概率，樹立概率的觀念。學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變是課程改革的一個重要目標(biāo)，與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容相比，“概率”的教學(xué)更容易激起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。在本章的編寫中，注意從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗和已有的知識出發(fā)，給學(xué)生提供“現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的”學(xué)習(xí)材料，提供充分的數(shù)學(xué)活動和交流的機(jī)會，引導(dǎo)他們在“做數(shù)學(xué)”的活動中，在自主探索的過程中獲得知識和技能，掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法。課本設(shè)置了許多“合作學(xué)習(xí)”“想一想”“探究活動”等欄目。例如，兩人做“錘子、剪刀、布”的游戲，要求學(xué)生寫出這個游戲中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，并分析在這個游戲中，無論你出“錘子、剪刀、布”中的哪一個，你獲勝的可能性有多大？這個游戲?qū)﹄p方是否公平？通過這些“探究點”，鼓勵學(xué)生勤思考、勤動手、多交流。其中，動手操作是學(xué)習(xí)開始階段重要的一個環(huán)節(jié)，它可以幫助學(xué)生認(rèn)識事件發(fā)生的可能性，用直觀的事例豐富學(xué)生的想像能力。因此在開始階段，應(yīng)鼓勵學(xué)生先動手、后思考，逐步過渡到先思考、后動手驗證。3．重視內(nèi)容承上啟下，突出知識的形成與應(yīng)用過程。為了引出概率的概念，課本回顧了事件發(fā)生的可能性、可能性的大小，起到與前兩個學(xué)段銜接的作用。雖然這些內(nèi)容學(xué)生之前已有接觸，但還十分膚淺。本章不是對以前知識的簡單復(fù)習(xí)，而是同類知識的螺旋上升。盡管本章內(nèi)容仍是直觀的、具體情境化的內(nèi)容，但要求已有所不同。例如，對事件發(fā)生的可能性的概念要求進(jìn)一步認(rèn)識；通過對事件發(fā)生的可能性大小計算的要求更進(jìn)一步體驗；并由事件發(fā)生的可能性的大小逐步過渡到概率的概念，這些都是為后面八年級下冊頻數(shù)和九年級上冊概率的進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。同時也進(jìn)一步說明了概率的產(chǎn)生與發(fā)展是與生產(chǎn)、生活緊密相連的。三、教學(xué)建議1．注意與前兩個學(xué)段的銜接。這一部分知識與前兩個學(xué)段聯(lián)系密切，大多數(shù)事例、概念學(xué)生在前兩個學(xué)段都接觸過，教師應(yīng)深入了解前面兩個學(xué)段有關(guān)“概率與統(tǒng)計”的內(nèi)容和要求，了解它們與這一部分內(nèi)容的聯(lián)系與區(qū)別。并了解學(xué)生對有關(guān)概率內(nèi)容的掌握程度，根據(jù)實際情況設(shè)計教學(xué)過程，從而把學(xué)生在前面兩個學(xué)段學(xué)過的內(nèi)容加深一步，同時避免完全的重復(fù)。2．把握好教學(xué)要求。在本章，不僅要像第一、二學(xué)段那樣進(jìn)一步豐富學(xué)生對事件發(fā)生的可能性的感性認(rèn)識，還要引導(dǎo)學(xué)生逐步認(rèn)識在數(shù)學(xué)上，我們把事件發(fā)生的可能性的大小也稱為事件發(fā)生的概率這一事實，從而使學(xué)生在具體情境中了解概率的意義。這并不意味著要在概率的概念上全面鋪開來展開學(xué)習(xí)，而是要強調(diào)在實際背景中，通過事件發(fā)生的可能性的大小來理解概率的概念。本章是本學(xué)段統(tǒng)計和概率領(lǐng)域的起步，在八年級和九年級還將進(jìn)一步探討，并且學(xué)生剛從小學(xué)進(jìn)入初中，因此本章涉及的問題不宜過于復(fù)雜，解決問題的要求不宜過高，教學(xué)中不宜隨意補充或提高教學(xué)要求。另外，從學(xué)習(xí)方式上，通過合作學(xué)習(xí)、探究活動這種形式，促進(jìn)學(xué)生相互交流，從而最大限度獲得數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)和體驗數(shù)學(xué)思想。教學(xué)中應(yīng)積極鼓勵學(xué)生，當(dāng)學(xué)生在探究過程中遇到困難時，應(yīng)給予誘導(dǎo)啟發(fā)，或給予必要的階梯。讓學(xué)生在這過程中體驗如何學(xué)會學(xué)習(xí)，千萬不能包辦代替，過早給學(xué)生答案。應(yīng)鼓勵合作學(xué)習(xí)，從多角度思考，采用多種解決問題的辦法，創(chuàng)造積極合作、討論氛圍。3．重視事件發(fā)生的可能性的實際問題背景的設(shè)計和它在生活實際中的應(yīng)用。數(shù)學(xué)來源于生產(chǎn)生活實際，反過來又應(yīng)用于解決生產(chǎn)生活實際中的問題，教學(xué)中要充分利用課本中的素材，注意從實際問題出發(fā)引入，并通過事件發(fā)生的可能性的大小，得出概率的概念。讓學(xué)生在實際問題的解決中感受引入事件發(fā)生的可能性的必要性和體會由事件發(fā)生的可能性的大小來定義事件的概率的合理性。教學(xué)反思根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容及學(xué)生的實際水平，在教學(xué)中，采用啟發(fā)、引導(dǎo)、探索、討論交流的方式進(jìn)行組織教學(xué)。充分調(diào)動學(xué)生的主動性、積極性使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)主體.整個教學(xué)過程貫穿“懷疑”—“思索”—“發(fā)現(xiàn)”—“解惑”四個環(huán)節(jié)，學(xué)生隨時對所學(xué)知識產(chǎn)生有意注意，符合學(xué)生認(rèn)知水平，培養(yǎng)了學(xué)習(xí)能力。“概率”概念枯燥抽象，學(xué)生似懂非懂；拋幣試驗簡單無趣，道理似易實難；教學(xué)活動，單調(diào)乏味；思辯之美，無從體會——“隨機(jī)事件的概率”對許多高中教師而言，“食之無味、棄之可惜”．拋幣試驗是取是舍？頻率估計概率的題型訓(xùn)練是否必要？再三權(quán)衡，筆者認(rèn)為，拋幣試驗是本節(jié)課的精華，唯有親歷隨機(jī)過程，體會其隨機(jī)性與規(guī)律性，才能真正理解概率概念；另外，關(guān)于頻率估計概率的題型訓(xùn)練，筆者則一筆帶過——因為頻率估計概率，重在其思想方法，而非具體操練，而且對具體估計值的處理，沒有確信的統(tǒng)一方法．希望通過這節(jié)課的教學(xué)，能使學(xué)生感受到隨機(jī)現(xiàn)象有趣的一面，糾正生活中一些錯誤常識，更客觀的看待一些“偶然”情況；能使學(xué)生在緊張而活潑的教學(xué)環(huán)節(jié)中，親歷隨機(jī)性和規(guī)律性的統(tǒng)一過程；能使學(xué)生初步理解隨機(jī)性，并感受利用統(tǒng)計方法處理隨機(jī)性中的規(guī)律性——隨機(jī)性是表象，規(guī)律性才是我們研究的主題．當(dāng)然，課堂是一個動態(tài)的過程，為使嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼n堂更具彈性，我還做了其他準(zhǔn)備，比如模擬拋擲骰子試驗，賭徒分金幣等學(xué)生感興趣的且與本節(jié)課相關(guān)的問題，以便適時的給學(xué)生拓寬知識，讓學(xué)生更充分地感受到數(shù)學(xué)知識在生產(chǎn)、生活、娛樂、服務(wù)等方面的廣泛應(yīng)用。創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)經(jīng)歷概念和模型構(gòu)建的過程.概率涉及到很多的新概念和模型，要使這些新概念變?yōu)閷W(xué)生自己的知識，必須與學(xué)生已有的知識經(jīng)驗建立起廣泛的聯(lián)系這就要求我們在概念和模型的教學(xué)過程中，必須根據(jù)學(xué)生的生活，學(xué)習(xí)經(jīng)驗，創(chuàng)設(shè)豐富的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生自己去生成概念、提煉模型，發(fā)現(xiàn)計算的法則，教師且不可因教學(xué)時間緊而淡化概念、模型構(gòu)建的過程否則，學(xué)生因獲得孤立的概念、模型，無法在紛繁的問題情景中去辨認(rèn)，從而導(dǎo)致解題思想僵化.構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，引導(dǎo)把握各知識點間的聯(lián)系與區(qū)別.學(xué)生能否準(zhǔn)確迅速地運用概念和模型解題，主要取決于他們對概念和各模型之間的聯(lián)系和區(qū)別是否真正把握，我們平時說“夯實基礎(chǔ)，提高能力”，從本質(zhì)上說就是引導(dǎo)學(xué)生把握知識間的聯(lián)系和區(qū)別，即教材的知識結(jié)構(gòu)是否轉(zhuǎn)化為自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)因此，在概率的教學(xué)過程中，教師要隨時引導(dǎo)學(xué)生將獲得的新概念、新模型和已有的概念和模型進(jìn)行對照和比較，找出它們之間的聯(lián)系和區(qū)別，優(yōu)化自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)充分展示建模的思維過程，引導(dǎo)感悟模型提取的思維機(jī)制.概率問題求解的關(guān)鍵是尋找它的模型，只要模型一找到，問題便迎刃而解而概率模型的提取往往需要經(jīng)過觀察、分析、歸納、判斷等復(fù)雜的思維過程，常常因題設(shè)條件理解不準(zhǔn)，某個概念認(rèn)識不清而誤入歧途因此，在概率應(yīng)用問題的教學(xué)中，教師應(yīng)隨時充分展示建模的思維過程，使學(xué)生從問題的情境中感悟出模型提取的思維機(jī)制，獲取模型選取的經(jīng)驗，久而久之，感受多了，經(jīng)驗豐富了，建模也就容易了，解題的正確率就會大大提高第十章統(tǒng)計與概率內(nèi)容分析統(tǒng)計與概率的內(nèi)容在新課程中得到了較大重視，成為了和數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、綜合與實踐并列的四部分內(nèi)容，而統(tǒng)計則成為這一部分內(nèi)容的重點。統(tǒng)計的核心是數(shù)據(jù)分析，“數(shù)據(jù)是信息的載體，這個載體包括數(shù)，也包括言語、信號、圖像，凡是能夠承載事物信息的東西都構(gòu)成數(shù)據(jù)，而統(tǒng)計學(xué)就是通過這些載體來提取信息進(jìn)行分析的科學(xué)和藝術(shù)”。

第一節(jié)統(tǒng)計與概率課程的內(nèi)容主線如前所述，核心概念是理解數(shù)學(xué)課程的基本線索，《標(biāo)準(zhǔn)》中將數(shù)據(jù)分析觀念作為了核心概念，為理解這部分內(nèi)容的主線提供了重要指導(dǎo)。在《標(biāo)準(zhǔn)》中，將數(shù)據(jù)分析觀念解釋為：“了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷，體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息；了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機(jī)性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計的核心?！被谶@些闡述，可以將統(tǒng)計與概率課程的內(nèi)容主線確定為如下幾個方面。

一、數(shù)據(jù)分析過程使學(xué)生樹立數(shù)據(jù)分析的觀念，最有效地方法是使他們投入到數(shù)據(jù)分析的全過程中去。在此過程中，學(xué)生將不僅僅學(xué)習(xí)一些必要的知識和方法，同時將體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息，提高自己運用數(shù)據(jù)分析問題、解決問題的能力。為此，《標(biāo)準(zhǔn)》在三個階段都提出了相應(yīng)的要求，這也成為了統(tǒng)計內(nèi)容的首要主線。在第一學(xué)段中，提出“經(jīng)歷簡單的數(shù)據(jù)收集和整理過程”；在第二學(xué)段中，提出“經(jīng)歷簡單的收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的過程（可使用計算器）”；在第三階段中提出“經(jīng)歷收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的活動，了解數(shù)據(jù)處理的過程；能用計算器處理較為復(fù)雜的數(shù)據(jù)”。從這些要求中不難看出：第一，數(shù)據(jù)分析的過程可以概括為：收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)。第二，學(xué)段的要求逐步深入。從第一學(xué)段到第三學(xué)段，隨著年齡的增長，學(xué)生將逐步經(jīng)歷更加完整的數(shù)據(jù)分析過程；在要求上第一學(xué)段、第二學(xué)段都提出了經(jīng)歷“簡單的”過程，第三學(xué)段則去掉了這個限制。第三，從第二學(xué)段開始使用計算器來處理數(shù)據(jù)，第二學(xué)段可以使用計算器來處理數(shù)據(jù)，第三學(xué)段則要求能使用計算器。下面，我們以《標(biāo)準(zhǔn)》的例子來進(jìn)一步體會這條主線的內(nèi)涵及要求。在三個學(xué)段，《標(biāo)準(zhǔn)》都舉了對全班同學(xué)的身高進(jìn)行分析的例子，并且鼓勵學(xué)生把每年測量身高的數(shù)據(jù)都保留下來，根據(jù)不同學(xué)段的特點對于數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析，提取信息，從而經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析的過程。具體闡述和要求如下。[案例1]

三個學(xué)段中對于數(shù)據(jù)分析過程的例子第一學(xué)段（《標(biāo)準(zhǔn)》例19）：對全班同學(xué)的身高進(jìn)行調(diào)查分析。[說明]

學(xué)校一般每年都要測量學(xué)生的身高，這為學(xué)習(xí)統(tǒng)計提供了很好的數(shù)據(jù)資源，因此這個問題可以貫穿第一學(xué)段和第二學(xué)段，根據(jù)不同學(xué)段的學(xué)生特點，要求可以有所不同。希望學(xué)生把每年測量身高的數(shù)據(jù)都保留下來，養(yǎng)成保存資料的習(xí)慣。在第一學(xué)段，主要讓學(xué)生感悟可以從數(shù)據(jù)中得到一些信息。第二學(xué)段（《標(biāo)準(zhǔn)》例38）：對全班同學(xué)的身高的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和分析。[說明]

在上面的例子中，已經(jīng)引導(dǎo)學(xué)生對全班同學(xué)的身高的數(shù)據(jù)進(jìn)行初步分析。在這個學(xué)段中，要求學(xué)生結(jié)合以前積累的身高數(shù)據(jù)，進(jìn)行進(jìn)一步的整理，然后進(jìn)行分析。整理的目的是為了便于分析，例如，條形統(tǒng)計圖有利于直觀了解不同高度段的學(xué)生數(shù)及其差異；扇形統(tǒng)計圖有利于直觀了解不同高度段的學(xué)生占全班學(xué)生的比例及其差異；折線統(tǒng)計圖有利于直觀了解幾年來學(xué)生身高變化的情況，預(yù)測未來身高變化趨勢。學(xué)生還可以討論用什么數(shù)據(jù)來代表全班同學(xué)的身高，自己的身高在全班的什么位置。第三學(xué)段（《標(biāo)準(zhǔn)》例70）：

比較自己班級與別的班級同學(xué)的身高狀況。[說明]對于兩個班級學(xué)生身高狀況比較，通常可以通過平均值來判斷，但有時候僅僅通過平均數(shù)是不夠的，如果一個班同學(xué)之間身高差異很大，而另一個班同學(xué)之間身高差異很小，即使前一個班的平均高一些，也不能說這個班的整體狀況很好。因此，在判斷身高狀況時，不僅要看平均值，還需要參考方差。進(jìn)一步，可以引導(dǎo)學(xué)生逐漸深入地進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，可以要求學(xué)生把身高分段，畫出頻數(shù)直方圖，并引導(dǎo)學(xué)生討論，通過直方圖是否能得到更多的信息。二、數(shù)據(jù)分析方法掌握必要的收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)的方法，無疑是統(tǒng)計課程內(nèi)容的第二條主線。1．收集數(shù)據(jù)的方法在收集數(shù)據(jù)方面，所涉及的數(shù)據(jù)可能是全體的數(shù)據(jù)（總體數(shù)據(jù)），也可能是通過抽樣獲得的數(shù)據(jù)（抽樣數(shù)據(jù)）。在第一、第二學(xué)段中，學(xué)生收集的基本都是總體數(shù)據(jù)；而在第三學(xué)段中，學(xué)生將開始學(xué)習(xí)抽樣，體會抽樣的必要性，通過實例了解簡單隨機(jī)抽樣。數(shù)據(jù)的來源有兩種，一種是現(xiàn)成的數(shù)據(jù)，一種是需要自己收集的數(shù)據(jù)。在義務(wù)教育階段兩種來源都應(yīng)該讓學(xué)生有所體驗，特別是自己收集的數(shù)據(jù)。常用的收集數(shù)據(jù)方法包括調(diào)查、試驗、測量、查閱資料等。學(xué)生應(yīng)該對收集數(shù)據(jù)的方法都有比較豐富的體驗。為此，《標(biāo)準(zhǔn)》在第一學(xué)段提出“了解調(diào)查、測量等收集數(shù)據(jù)的簡單方法”；在第二學(xué)段提出“會根據(jù)實際問題設(shè)計簡單的調(diào)查表，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ缯{(diào)查、試驗、測量）收集數(shù)據(jù)”“能從報紙雜志、電視等媒體中，有意識地獲得一些數(shù)據(jù)信息”。2．整理、描述、分析數(shù)據(jù)的方法當(dāng)人們收集了一堆數(shù)據(jù)以后，這些數(shù)據(jù)往往看起來比較雜亂，這就需要來整理數(shù)據(jù)，在不損失信息的前提下，對看起來雜亂無章的數(shù)據(jù)進(jìn)行必要的歸納和整理，然后把整理后的數(shù)據(jù)運用統(tǒng)計圖表等直觀地表示出來，并加以適當(dāng)?shù)姆治?，為人們作出決策和推斷提供依據(jù)。在第一學(xué)段，學(xué)生將學(xué)習(xí)分類的方法，分類是整理數(shù)據(jù)和描述數(shù)據(jù)的開始。在此基礎(chǔ)上，能用自己的方式（文字、圖畫、表格等）呈現(xiàn)整理數(shù)據(jù)的結(jié)果，而不學(xué)習(xí)正式的統(tǒng)計圖表或統(tǒng)計量。這一點與以往不同，也是非常重要的。有研究表明，早期經(jīng)驗的多樣化，有助于兒童建立進(jìn)一步學(xué)習(xí)的經(jīng)驗和興趣。在此基礎(chǔ)上“通過對數(shù)據(jù)的簡單分析，體會運用數(shù)據(jù)進(jìn)行表達(dá)與交流的作用，感受數(shù)據(jù)蘊涵信息”。在第二學(xué)段，學(xué)生將學(xué)習(xí)條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖等常見的統(tǒng)計圖，并且能用它們直觀、有效地表示數(shù)據(jù)。第二學(xué)段還將學(xué)習(xí)一個重要的刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量——平均數(shù)。在第三學(xué)段，學(xué)生將了解頻數(shù)和頻數(shù)分布的意義，能畫頻數(shù)直方圖。繼續(xù)學(xué)習(xí)刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量——中位數(shù)和眾數(shù)，以及刻畫數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量——極差、方差。并且體會樣本與總體關(guān)系，知道可以通過樣本平均數(shù)、樣本方差推斷總體平均數(shù)、總體方差。需要指出的是，教學(xué)中應(yīng)鼓勵學(xué)生運用所學(xué)習(xí)的方法，盡可能多地從數(shù)據(jù)中提取有用的數(shù)據(jù)，并且能夠根據(jù)問題的背景選擇合適的方法，而不是單純地名詞、計算方法等的掌握。這里不妨看一下《標(biāo)準(zhǔn)》中對于案例38的說明：“條形統(tǒng)計圖有利于直觀了解不同高度段的學(xué)生數(shù)及其差異；扇形統(tǒng)計圖有利于直觀了解不同高度段的學(xué)生占全班學(xué)生的比例及其差異；折線統(tǒng)計圖有利于直觀了解幾年來學(xué)生身高變化的情況，預(yù)測未來身高變化趨勢”，因此需要我們根據(jù)問題的背景選擇合適的統(tǒng)計圖。總之，“統(tǒng)計學(xué)對結(jié)果的判斷標(biāo)準(zhǔn)是‘好壞’”\o""[2]，而不是“對錯”。三、數(shù)據(jù)的隨機(jī)性我們知道，推斷性數(shù)據(jù)分析的目的是要通過數(shù)據(jù)來推測產(chǎn)生這些數(shù)據(jù)的背景，稱這個背景為總體。我們假定總體是未知的，我們的目的是通過樣本來推斷總體。而在調(diào)查或者實驗之前，我們不可能知道數(shù)據(jù)的具體取值。也就是說，數(shù)據(jù)可以取不同的值，并且取不同值的概率可以是不一樣的，這就是數(shù)據(jù)隨機(jī)性的由來。在《標(biāo)準(zhǔn)》中將數(shù)據(jù)隨機(jī)作為了數(shù)據(jù)分析觀念的內(nèi)涵之一。數(shù)據(jù)的隨機(jī)主要有兩層涵義：一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能會是不同的；另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。舉一個《標(biāo)準(zhǔn)》中的例子（例40）：袋中裝有若干個紅球和白球，一方面，每次摸出的球的顏色可能是不一樣的，事先無法確定；另一方面，有放回重復(fù)摸多次（摸完后將球放回袋中，搖晃均勻后再摸），從摸到的球的顏色的數(shù)據(jù)中就能發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，比如紅球多還是白球多、紅球和白球的比例等。再舉一個案例（例22），學(xué)生記錄自己在一個星期內(nèi)每天上學(xué)途中所需要的時間，如果把記錄時間精確到分，可能學(xué)生每天上學(xué)途中需要的時間是不一樣的，可以讓學(xué)生感悟數(shù)據(jù)的隨機(jī)性；更進(jìn)一步，讓學(xué)生感悟雖然數(shù)據(jù)是隨機(jī)的，但數(shù)據(jù)較多時具有某種穩(wěn)定性，可以從中得到很多信息，比如，通過一個星期的調(diào)查可以知道“大概”需要多少時間。不少老師有這樣的一個困惑，概率也是研究隨機(jī)現(xiàn)象的，那么為什么又提出數(shù)據(jù)的隨機(jī)性呢？實際上，統(tǒng)計與概率都是研究隨機(jī)現(xiàn)象的學(xué)科?！安徽撛趺凑f，機(jī)遇（或說偶然性)無所不在，機(jī)遇伴隨著人的一生(當(dāng)然隨人的情況而有異)，這是一個無法回避的現(xiàn)實”。統(tǒng)計與概率正是從不同的角度研究如何刻畫隨機(jī)現(xiàn)象，統(tǒng)計側(cè)重于從數(shù)據(jù)來刻畫隨機(jī)，概率側(cè)重于建立理論模型來刻畫隨機(jī)。鼓勵學(xué)生運用數(shù)據(jù)來體會隨機(jī)，更能體會隨機(jī)的特點。下面是課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組組長史寧中教授的回答。“我聽了一些課，老師們經(jīng)常這樣處理：比如對于擲一枚均勻的硬幣，先得到出現(xiàn)正面或反面的概率是1/2，然后讓學(xué)生通過反復(fù)擲硬幣去驗證這個結(jié)果（1/2）。這里有兩個問題。第一，一個硬幣，先假定它出現(xiàn)正面和反面的可能性是1/2，這是數(shù)學(xué)（或者稱為概率）。這個1/2是通過概率的定義得到的，不是依靠擲硬幣驗證出來的。實際上，學(xué)生做了很多次實驗也得不到1/2，反而更加糊涂了。第二，運用定義的方式教學(xué)隨機(jī)，不能很好的培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)觀念。需要指出的是，我們贊成做實驗，贊成運用統(tǒng)計的思想來做實驗。統(tǒng)計是通過數(shù)據(jù)來獲取一些信息，來幫助人們做出一些判斷。同樣是擲硬幣的問題，在統(tǒng)計上就會這樣設(shè)計實驗：先讓學(xué)生多次擲硬幣，計算出現(xiàn)正面的比例（頻率），然后用頻率來估計一下出現(xiàn)正面的可能性是多大。如果這個可能性接近1/2的話，就推斷這個硬幣大概是均勻的，這是統(tǒng)計的思想。對于先給出定義，教師往往比較習(xí)慣，而對于“逆過來”通過數(shù)據(jù)來進(jìn)行推斷，教師往往比較陌生。為了幫助大家理解，再闡述一下摸球的例子。同樣是一個袋子里有5個球，4個白球、1個紅球，如果讓學(xué)生通過摸來驗證出現(xiàn)白球的可能性是4/5、出現(xiàn)紅球的可能性是1/5，這不是統(tǒng)計。統(tǒng)計是這樣的，告訴學(xué)生們袋子里有很多球，有白顏色的和紅顏色的。讓孩子們?nèi)ッ揭欢ǔ潭鹊臅r候，學(xué)生發(fā)現(xiàn)摸出白球的次數(shù)比紅球的次數(shù)多，由此推斷袋子里白球可能比紅球多。進(jìn)一步的話，能推斷出白球和紅球的比例大概是多少。再告訴球的總數(shù)的時候，能夠估計出來幾個白球和幾個紅球，這個是統(tǒng)計的過程。我并不是反對前一種教法本身，而是說如果這么教，蘊含的隨機(jī)思想并不強，學(xué)生也不感興趣，都知道了概率為什么還要做實驗。而后來的這種教法，學(xué)生體會到每一次摸的結(jié)果事先都不知道，但是摸多了能夠幫助我們做一些判斷。這樣一來，學(xué)生既體會了隨機(jī)，又感受到了數(shù)據(jù)中蘊含著信息，我想這種類似于“猜謎”的活動學(xué)生也會很有興趣”。實際上這種“猜謎”絕不是“瞎猜”，在《標(biāo)準(zhǔn)》案例40的說明中給出了這種推斷背后的科學(xué)依據(jù)，也就是雖然不能保證估計得完全一致，但能保證在一定實驗次數(shù)下，估計值與實際情況相差不大的可能性是很大的。在第三學(xué)段，學(xué)生開始學(xué)習(xí)抽樣，體會樣本和總體的關(guān)系，這實際上也是幫助學(xué)生體會數(shù)據(jù)的隨機(jī)性的重要內(nèi)容。同時，《標(biāo)準(zhǔn)》還利用案例闡述了在第二學(xué)段、第三學(xué)段的不同要求。在上面提到的摸球游戲中，在第二學(xué)段“通過摸球，學(xué)生發(fā)現(xiàn)每次摸出的球的顏色不確定，初步感受數(shù)據(jù)的隨機(jī)性。進(jìn)一步通過統(tǒng)計摸出紅球和白球的數(shù)量，可以估計袋中是白球多還是紅球多。在不確定的基礎(chǔ)上，體會規(guī)律性”。在第三學(xué)段“在第二學(xué)段的基礎(chǔ)上，學(xué)生可以估計袋中白球數(shù)量和紅球數(shù)量的比，進(jìn)一步體會規(guī)律性。教師可以進(jìn)一步鼓勵學(xué)生思考：給出了袋中兩種顏色球的總數(shù)，如何估計白球和紅球各自的數(shù)量”。另外，在第三學(xué)段，《標(biāo)準(zhǔn)》還提出了“通過表格、折線圖、趨勢圖等，感受隨機(jī)現(xiàn)象的變化趨勢”，并給出了案例71。案例71刻畫的是變量之間的隨機(jī)關(guān)系，即年份與GDP是有關(guān)系的，但這種關(guān)系是不確定的。因為描點呈現(xiàn)線性增長趨勢，可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生利用直線來表示這種趨勢。教學(xué)中，可以鼓勵學(xué)生嘗試大致畫出這條直線，比如有的學(xué)生會根據(jù)直線兩側(cè)的點要基本相同來描出此直線，并由此預(yù)測未來經(jīng)濟(jì)發(fā)展，感悟一些隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性。對于直線方程如何求得，則不做要求。

四、隨機(jī)現(xiàn)象及簡單隨機(jī)事件發(fā)生的概率在這次課程標(biāo)準(zhǔn)修訂中，學(xué)生在第一學(xué)段中將不再學(xué)習(xí)概率，主要理由是在基礎(chǔ)教育階段統(tǒng)計的重要性是大于概率的，發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念是這部分內(nèi)容的核心。即使對于隨機(jī)的學(xué)習(xí)，如前所述，《標(biāo)準(zhǔn)》中也提出運用數(shù)據(jù)分析來體會隨機(jī)性。從第二學(xué)段開始，《標(biāo)準(zhǔn)》安排了概率的學(xué)習(xí)，并且根據(jù)學(xué)生年齡特點，第二學(xué)段稱為“隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性”，第三學(xué)段稱為“事件的概率”。在概率學(xué)習(xí)中，幫助學(xué)生了解隨機(jī)現(xiàn)象是重要的。在義務(wù)教育階段，所涉及的隨機(jī)現(xiàn)象都基于簡單隨機(jī)事件：所有可能發(fā)生的結(jié)果是有限的、每個結(jié)果發(fā)生的可能性是相同的。在第二學(xué)段，要求學(xué)生“了解簡單的隨機(jī)現(xiàn)象的實例，能列出簡單的隨機(jī)現(xiàn)象中所有可能發(fā)生的結(jié)果”，并“能對一些簡單的隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小作出定性描述”。在第三學(xué)段，要求“能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機(jī)事件所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，從而了解并獲得事件的概率”；同時，知道“通過大量地重復(fù)試驗，可以用頻率來估計概率”。

第二節(jié)具體內(nèi)容分析

“統(tǒng)計與概率”的主要內(nèi)容有：收集、整理和描述數(shù)據(jù)，包括簡單抽樣、整理調(diào)查數(shù)據(jù)、繪制統(tǒng)計圖表等；處理數(shù)據(jù)，包括計算平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差等；從數(shù)據(jù)中提取信息并進(jìn)行簡單的推斷；簡單隨機(jī)事件及其發(fā)生的概率。實際上，數(shù)據(jù)分析可以分為描述性統(tǒng)計分析和推斷性統(tǒng)計分析。描述性數(shù)據(jù)分析是通過集中趨勢、離散程度、圖形表示等對來刻畫數(shù)據(jù)；而推斷性統(tǒng)計分析是利用樣本的數(shù)據(jù)去推測總體的情況。由此可見，第一、二學(xué)段學(xué)生主要學(xué)習(xí)的是描述性統(tǒng)計分析，第三學(xué)段開始接觸推斷性統(tǒng)計分析。為了使老師們對于這部分的主要內(nèi)容有全面把握，下面將三個學(xué)段進(jìn)行整體介紹。

一、抽樣和簡單隨機(jī)抽樣抽樣是第三學(xué)段統(tǒng)計課程的一個重要內(nèi)容。如前所述，推斷性統(tǒng)計分析是利用樣本的數(shù)據(jù)去推測總體的情況，在第三學(xué)段學(xué)生將對此進(jìn)行初步感受。首先，學(xué)生需要在實際問題中體會抽樣的必要性。進(jìn)一步，如何抽樣獲取“好”的數(shù)據(jù)呢？所謂“好”的數(shù)據(jù)是指那些能夠更加客觀地反映實際背景的數(shù)據(jù)。為了獲取好的數(shù)據(jù)，我們需要盡可能多地利用對于實際背景已有的了解。如果對于實際背景一無所知，那么，一定要隨意抽取樣本，保證每個個體被抽到的概率相同，這便是“簡單隨機(jī)抽樣”。對于簡單隨機(jī)抽樣，《標(biāo)準(zhǔn)》要求通過實例加以了解，并在下面的案例中給出了具體要求。[案例2]（《標(biāo)準(zhǔn)例67》）：設(shè)計調(diào)查方法。了解本年級的同學(xué)是否喜歡某電視劇。調(diào)查的結(jié)果適用于學(xué)校的全體同學(xué)嗎？適用于全地區(qū)的電視觀眾嗎？如果不適用，應(yīng)當(dāng)如何改進(jìn)調(diào)查方法？[說明]

對于許多問題，不可能、有時也不必要得到與問題有關(guān)的所有數(shù)據(jù)，只要得到一部分?jǐn)?shù)據(jù)（樣本）就可以對于總體的情況進(jìn)行估計。很顯然，如果得到的樣本能夠客觀地反映問題，則估計就會準(zhǔn)確一些，否則估計就會差一些。因此，我們希望尋找一個好的抽取樣本的方法，使得樣本能夠客觀地反映問題。在本學(xué)段，主要學(xué)習(xí)簡單隨機(jī)抽樣方法，這是收集數(shù)據(jù)中通用的方法，在一般情況下，我們都假定樣本是通過隨機(jī)的方法得到的。因為同一個年級的學(xué)生差異不大，采用簡單隨機(jī)抽樣方法比較合適。可以在上學(xué)時在學(xué)校門口隨機(jī)問訊，也可以按學(xué)號隨機(jī)問訊。為了分析方便，需要把問題數(shù)字化，如喜歡這部電視劇的記為1，不喜歡的記為0。對于這樣的問題，問訊學(xué)生數(shù)不能少于20人，取40~50人比較合適，取更多的學(xué)生當(dāng)然更好，但需要花費更多的精力。由此可見，一個好的抽樣方法不僅希望“精度高”還希望“花費少”。假設(shè)問訊的學(xué)生數(shù)為n,記錄數(shù)據(jù)的和為m（顯然，m為喜歡這部電視劇的人數(shù)），則調(diào)查結(jié)果說明，學(xué)生中喜歡這部電視劇的比例為m/n。我們依此估計本年級的同學(xué)中喜歡這部電視劇的比例。用這個數(shù)據(jù)估計全地區(qū)的電視觀眾喜歡這部電視劇的比例是不合適的，因為學(xué)生、成年人、老年人喜歡的電視劇往往不同。為了對全地區(qū)的電視觀眾喜歡這部電視劇的情況進(jìn)行估計，可以采用分層抽樣方法，比如依據(jù)年齡分層，需要知道各年齡段人口的比例，按照比例數(shù)分配樣本數(shù)，而在各個層內(nèi)則采取隨機(jī)抽樣；或者依據(jù)職業(yè)分層，等等。教師應(yīng)該了解分層抽樣，在本學(xué)段學(xué)生只需學(xué)習(xí)簡單隨機(jī)抽樣方法。

二、圖形表示統(tǒng)計圖是描述數(shù)據(jù)的重要手段，可以直觀地表示數(shù)據(jù)。在第二學(xué)段學(xué)生學(xué)習(xí)的是條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖（在第二學(xué)段要求會看，第三學(xué)段要求會畫）；在第三學(xué)段學(xué)生學(xué)習(xí)的是頻數(shù)直方圖。其中，條形統(tǒng)計圖有利于直觀了解不同“條”所代表的數(shù)量及其差異；扇形統(tǒng)計圖有利于直觀了解不同部分占整體的百分比及其差異；折線統(tǒng)計圖有利于直觀了解變化的情況，預(yù)測未來的趨勢。頻數(shù)直方圖和條形統(tǒng)計圖都可以直觀地表示出具體數(shù)量，它們的區(qū)別主要體現(xiàn)在：第一，條形圖是用條形的長度表示各類別頻數(shù)的多少，其寬度（表示類別）則是固定的；直方圖是用面積表示各組頻數(shù)的多少，矩形的高度表示每一組的頻數(shù)，寬度則表示各組的組距，因此其高度與寬度均有意義。第二，頻數(shù)直方圖表示的是連續(xù)分組數(shù)據(jù)，直方圖中的各矩形通常是連續(xù)排列；而條形統(tǒng)計圖表示的是離散數(shù)據(jù)，各矩形通常是分開排列。第三，條形圖是直觀地顯出具體數(shù)據(jù)，直方圖是表現(xiàn)頻數(shù)的分布情況?？聪旅娴囊粋€例子：[案例3]

頻數(shù)分布對某一品種的樹苗進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽取了100株，測量了樹木的直徑。測量結(jié)果發(fā)現(xiàn)：最小直徑大于6.5cm，最大直徑小于17.5cm。于是從6.5

出發(fā)，每隔1cm做一個區(qū)間，到17.5正好11個曲線，分別用數(shù)字7，8，…，17表示，再記錄直徑在每一個區(qū)間的樹木的株數(shù)，得到下列數(shù)據(jù)（第一個數(shù)表示樹的直徑所在的區(qū)間，第二個數(shù)表示區(qū)間中樹木的株數(shù)：（7，2）（8，5）（9，8）（10，10）（11，13）（12，26）（13，12）（14，9）（15，8）（16，4）（17，3）將上面的數(shù)據(jù)制成頻數(shù)直方圖（如圖1），這樣就可以直觀地看出在哪個區(qū)間的樹木比較多，可以分析數(shù)據(jù)的取值規(guī)律，比如在圖1中的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)“中間多、兩邊少、基本對稱”的趨勢。在圖1中，我們還能比較清晰地判斷出，有50%以上的樹苗的直徑是在10.5cm到12.5cm之間，這是很重要的信息，因為這個信息告訴了數(shù)據(jù)大體的取值范圍。

圖1對于統(tǒng)計圖的學(xué)習(xí)，提出幾點需要注意的：第一，不要急于引入正規(guī)統(tǒng)計圖的學(xué)習(xí)，在第一學(xué)段《標(biāo)準(zhǔn)》要求鼓勵學(xué)生用自己的方式來描述數(shù)據(jù)。第二，在描述數(shù)據(jù)的過程中，使學(xué)生不斷體會各種統(tǒng)計圖的特點，能根據(jù)實際問題選擇合適的統(tǒng)計圖來描述數(shù)據(jù)。第三，鼓勵學(xué)生讀懂媒體中的一些統(tǒng)計圖表。第四，鼓勵學(xué)生從統(tǒng)計圖中獲取盡可能地有用信息。這個問題也是大家普遍困惑的，到底引導(dǎo)學(xué)生從哪些方面來“讀圖”呢。Curcio(1987)把學(xué)生對數(shù)據(jù)的“讀取”分為三個水平：（1）數(shù)據(jù)本身的讀取（readingthedata），包括用能夠得到的信息來回答具體的問題，這些問題圖表中有明顯的答案。(2)數(shù)據(jù)之間的讀?。╮eadingbetweenthedata），包括插入和找到圖表中數(shù)據(jù)的關(guān)系。這包括做比較(例如比較好、最好，最高、最小等)和對數(shù)據(jù)進(jìn)行操作(例如加減乘除)。(3)超越數(shù)據(jù)本身的讀?。╮eadingbeyondthedata），包括通過數(shù)據(jù)來進(jìn)行推斷預(yù)測推理，并回答具體的問題。在實際教學(xué)中，教師已經(jīng)開始重視鼓勵學(xué)生嘗試由信息來進(jìn)行預(yù)測。但是，在教學(xué)中還存在了一些誤區(qū)。比如，筆者曾經(jīng)遇到過不止一次這樣的案例：如圖2，教師鼓勵學(xué)生根據(jù)某女生出生到12歲的身高，由此去預(yù)測這個學(xué)生15歲的身高（圖2到圖7中縱軸的身高單位為厘米）。

有的學(xué)生（雖然是很少數(shù)）脫離了數(shù)據(jù)去進(jìn)行“預(yù)測”：“我覺得她應(yīng)該能長到190厘米，因為我希望她去打籃球”。就是基于數(shù)據(jù)，學(xué)生也有五花八門的答案，有的說：“8歲到10歲長了10厘米，10歲到12歲長了24厘米，照這個趨勢12到14歲要長30多厘米，我估計她到15歲要到2米了”；有的說：“8歲到10歲長了10厘米，10歲到12歲長了24厘米，12歲到14歲又會回到長10厘米，我估計她到15歲快到180厘米”；還有的說：“到12歲就不怎么長了，我估計她到15歲差不多170厘米?！泵鎸ξ寤ò碎T的答案，教師也覺得都有道理，不知如何引導(dǎo)。

這里需要注意兩點。第一，預(yù)測需要基于數(shù)據(jù)。對于脫離數(shù)據(jù)進(jìn)行“預(yù)測”的學(xué)生，要引導(dǎo)他用數(shù)據(jù)說話，雖然這個預(yù)測也有可能，但可能性不會大；第二，有時候為了更合理地預(yù)測，需要我們收集更多的數(shù)據(jù)。教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：幾個學(xué)生的想法都有道理，但是要比較合理地預(yù)測，還需要我們掌握更多的信息，比如，可以收集曾經(jīng)和她差不多情況的人15歲的身高來幫助預(yù)測；或者把她與當(dāng)?shù)嘏骄砀哌M(jìn)行對比，看看12歲與平均身高的對比情況，由此預(yù)測15歲與平均身高的對比情況。當(dāng)然，無論哪種預(yù)測都不能肯定是正確的，但會比單純依靠這個學(xué)生以前的情況進(jìn)行預(yù)測要合理。進(jìn)一步，如果條件允許的話，還可以鼓勵學(xué)生實際去做。在這樣的思考下，一位老師做了如下的設(shè)計：[案例4]根據(jù)統(tǒng)計圖來進(jìn)行“三次”預(yù)測第一次，教師呈現(xiàn)小婷（女生）出生到12歲的身高數(shù)據(jù)（如圖2），鼓勵學(xué)生預(yù)測她15歲的身高。和前面敘述的一樣，學(xué)生基于這個數(shù)據(jù)給出了不同答案。教師沒有就此結(jié)束，而是給出了小婷15歲的身高，引起學(xué)生的反思：“實際上，小婷今年已經(jīng)15歲了，她的身高是168厘米”，并得到圖3。

在此基礎(chǔ)上再鼓勵學(xué)生預(yù)測小婷18歲的身高。學(xué)生發(fā)現(xiàn)小婷12—15歲增長的幅度不大，由此推斷15—18歲增長的幅度也會不大。那么是這樣嗎？有的學(xué)生提出可以找一些和小婷情況差不多的女孩，看看她們18歲時的身高。根據(jù)學(xué)生的想法，教師呈現(xiàn)了如下三個女生的身高（如圖4，圖5，圖6）鼓勵學(xué)生進(jìn)行第二次預(yù)測。

學(xué)生發(fā)現(xiàn)雖然她們的身高具體數(shù)值不同，但15—18歲變化趨勢卻比較一致，增長的幅度都不大，由此可以預(yù)測小婷到18歲很可能只比15歲時增長2厘米左右，即她18歲的身高在170厘米左右。還有的同學(xué)發(fā)現(xiàn)小婷的身高值與圖6所表示的女生比較接近，并且比這個女生略矮一些，由此根據(jù)這個女生18歲171厘米預(yù)測小婷170厘米。進(jìn)一步，有的學(xué)生提出只有這三個女生的數(shù)據(jù)是否太少了，不說明一般情況，還可以收集更多的數(shù)據(jù)。于是，教師給出了北京城市女生平均身高統(tǒng)計圖（如圖7），鼓勵學(xué)生進(jìn)行第三次預(yù)測。學(xué)生發(fā)現(xiàn)這組數(shù)據(jù)也有這個趨勢：15到18歲的身高增長的不多，由此預(yù)測小婷的身高是170厘米左右。有的學(xué)生則根據(jù)15歲時小婷的身高比平均身高多6厘米，由此估計小婷18歲時也要多6厘米，所以是169厘米左右。當(dāng)然，這些預(yù)測也并不能保證一定正確。以上“三次預(yù)測”的案例是鼓勵學(xué)生從數(shù)據(jù)中獲取合理信息的有益嘗試，在實踐中我們還需要更多的案例，以及如何鼓勵學(xué)生有效獲取信息的策略，這也構(gòu)成了需要進(jìn)一步研究的問題。三、集中趨勢和離散程度目前《標(biāo)準(zhǔn)》要求的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，它們都是刻畫一組數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量。有了這些量，不僅可以表述調(diào)查對象的集中趨勢，還可以用來對不同的總體進(jìn)行比較，比如可以比較同一年級不同地區(qū)學(xué)生的平均身高。對于平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的學(xué)習(xí)，不僅僅要學(xué)習(xí)如何計算，而且要設(shè)計合適的情境，使學(xué)生“了解它們是數(shù)據(jù)集中趨勢的描述”。教師們困惑的問題，這三個量之間到底有什么區(qū)別，什么時候該用什么統(tǒng)計量？其實，我們現(xiàn)在處理的數(shù)據(jù)，大部分是對稱的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)符合或者近似符合正態(tài)分布。這時候，均值（平均數(shù)）、中位數(shù)和眾數(shù)是一樣的（如圖8）。只有在數(shù)據(jù)分布偏態(tài)（不對稱）的情況下，才會出現(xiàn)均值、中位數(shù)和眾數(shù)的區(qū)別。所以說，如果是正態(tài)的話，用哪個統(tǒng)計量都行。如果偏態(tài)的情況特別嚴(yán)重的話，可以用中位數(shù)。這也就是我們常說的平均數(shù)容易受極端數(shù)據(jù)的影響。這里不妨看一下《標(biāo)準(zhǔn)》中的例子。[案例5]（《標(biāo)準(zhǔn)》案例68）：平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)

某個公司有15名工作人員，他們的月工資情況如下表。計算該公司的月工資的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，并分別解釋結(jié)果的實際意義。職務(wù)經(jīng)理副經(jīng)理職員人數(shù)1212月工資/元50002000800

[說明]

平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是刻畫數(shù)據(jù)的集中趨勢的方法，因為方法不同，得到的結(jié)論也可能不同。很難說哪一種方法是對的，哪一種方法是錯的，我們只能說，能夠更客觀地反映實際背景的方法要更好一些。在這組數(shù)據(jù)中有差異較大的數(shù)據(jù)，這會導(dǎo)致平均數(shù)較大，因此，用中位數(shù)或眾數(shù)要比用平均數(shù)更客觀一些。不難計算出該公司月工資的中位數(shù)和眾數(shù)均為800元。而月工資的平均數(shù)=

加權(quán)平均（可以看成是加權(quán)平均）因此，加權(quán)平均往往就是總體平均，其中的權(quán)是數(shù)據(jù)對應(yīng)的比例?！斑@說明了進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時經(jīng)常使用平均數(shù)的理由：使誤差平方和達(dá)到最小，也就是說利用平均數(shù)代表數(shù)據(jù)，可以使二次損失最小。而利用中位數(shù)代表數(shù)據(jù)，是使一次損失（誤差絕對值的和）最小”。而我們都知道，二次函數(shù)有著很好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，所以人們選擇用平均數(shù)來進(jìn)行研究，在義務(wù)教育階段更加注重平均數(shù)的教學(xué)是有道理的。因此，《標(biāo)準(zhǔn)》在第二學(xué)段只安排了平均數(shù)的學(xué)習(xí)，而將中位數(shù)、眾數(shù)的學(xué)習(xí)放在了第三學(xué)段。只是依賴集中趨勢是不足以表述數(shù)據(jù)特征的，比如分析《標(biāo)準(zhǔn)》中案例68、案例69中的兩組數(shù)據(jù)，這兩個公司的月平均工資雖然都是1240元，但顯然兩個公司的工資的差異是不一樣的，由此使學(xué)生“體會刻畫數(shù)據(jù)離散程度的意義”。最簡單的表述離散程度的量是極差，但它沒有考慮中間那些數(shù)據(jù)所提供的信息。在現(xiàn)代統(tǒng)計學(xué)中，經(jīng)常使用方差來刻畫數(shù)據(jù)的離散程度。有了方差以后，就可以進(jìn)一步分析兩個公司的工資情況。

四、隨機(jī)事件及其發(fā)生的概率1．隨機(jī)現(xiàn)象的特點及概率的古典定義概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象的科學(xué)。如前所述，在義務(wù)教育階段，所涉及的隨機(jī)現(xiàn)象都基于簡單隨機(jī)事件：所有可能發(fā)生的結(jié)果是有限的、每個結(jié)果發(fā)生的可能性是相同的。在第二學(xué)段，《標(biāo)準(zhǔn)》首先要求“具體情境中，感受簡單隨機(jī)現(xiàn)象的實例”，感受其在相同的條件下重復(fù)同樣的試驗，其試驗結(jié)果不確定，以至于在試驗之前無法預(yù)料哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。在此基礎(chǔ)上，“能列出簡單的隨機(jī)現(xiàn)象中所有可能發(fā)生的結(jié)果”，這里所涉及的現(xiàn)象（類似于案例41）都是比較簡單的，學(xué)生能夠直接列出所有可能發(fā)生的結(jié)果，并且感受到每個結(jié)果發(fā)生的可能性是一樣大的。進(jìn)一步，能對一些簡單的隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小作出定性描述，并能進(jìn)行交流。在第三學(xué)段，所涉及的現(xiàn)象相對比較復(fù)雜，學(xué)生需要通過“列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機(jī)事件所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果”。特別地，學(xué)生將從對可能性的定性描述，到刻畫簡單隨機(jī)事件發(fā)生的概率，即定義事件{x=k}發(fā)生的概率為：

這個定義被稱為概率的古典定義?？聪旅娴睦樱篬案例6]

小明和小紅在做擲硬幣的游戲。任意擲一枚硬幣兩次，如果兩次朝上的面相同，那么小明獲勝；如果兩次朝上的面不同，那么小紅獲勝。這個游戲公平嗎？在計算概率的時候，學(xué)生將運用自己的方法列舉所有可能出現(xiàn)的結(jié)果。如學(xué)生可以分別用正,

反代表硬幣的兩個面，則可能出現(xiàn)的結(jié)果是：

（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）學(xué)生可以列成表：

學(xué)生可以畫出樹狀圖：

每種結(jié)果的概率都相等，都是1/4，所以兩次朝上面相同和不同的概率都是1/2。學(xué)生將得到這個游戲?qū)﹄p方是公平的，由此體會概率的意義和作用。這里需要強調(diào)的是，義務(wù)教育階段概率課程更重要的目標(biāo)是體會概率的意義和作用，而不僅僅是計算一些事件發(fā)生的概率。因此，不能將這部分內(nèi)容處理成單純計算的內(nèi)容，而應(yīng)關(guān)注在實際問題中學(xué)生對概率意義的理解。至于概率的古典定義學(xué)生在具體實例中了解即可，不用一般地給出。2．頻率估計概率在第三學(xué)段中，《標(biāo)準(zhǔn)》還提出了“知道通過大量地重復(fù)試驗，可以用頻率來估計概率”的要求。實際上，隨機(jī)現(xiàn)象表面看無規(guī)律可循，出現(xiàn)哪一個結(jié)果事先無法預(yù)料，但當(dāng)我們大量重復(fù)實驗時，實驗的每一個結(jié)果都會呈現(xiàn)出其頻率的穩(wěn)定性。學(xué)生將在具體的實驗活動中，對頻率與概率之間的這種關(guān)系進(jìn)行體會，知道大量重復(fù)實驗時頻率可作為事件發(fā)生概率的估計值。為此，可以設(shè)計下面的活動：[案例7]（1）每人擲一枚均勻的硬幣10次，分別記錄下正面朝上和反面朝上的次數(shù)；

（2）將全班數(shù)據(jù)逐次進(jìn)行匯總，并完成圖9（用線連接各點）：圖9

硬幣正面朝上的頻率統(tǒng)計圖（3）在圖9中，用彩色筆畫出表示頻率為1/2的直線，你發(fā)現(xiàn)了什么？

（4）表1是歷史上數(shù)學(xué)家所做的擲硬幣的實驗數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)支持你的發(fā)現(xiàn)嗎？表1

歷史上數(shù)學(xué)家所做的擲硬幣的實驗數(shù)據(jù)實驗者投擲次數(shù)n正面出現(xiàn)次數(shù)k正面出現(xiàn)的頻率k/n蒲豐

4040

20480.5069德·摩根

4092

20480.5005費勒10000

49790.4979皮爾遜12000

60190.5016皮爾遜24000120120.5005羅曼諾夫斯基80640396990.4923

條件允許的話，還可以在計算器上利用隨機(jī)數(shù)或計算機(jī)上模擬擲硬幣的實驗，以提供大量的實驗數(shù)據(jù)，更好地使學(xué)生體會頻率與概率的關(guān)系。但需要指出的是，利用計算器或計算機(jī)模擬概率實驗，應(yīng)建立在學(xué)生親身實踐這些實驗并獲得比較豐富的直觀經(jīng)驗的基礎(chǔ)上。進(jìn)一步，可以鼓勵學(xué)生利用頻率與概率的關(guān)系解釋生活中的一些問題。例如，可以引導(dǎo)學(xué)生討論“明天的降水概率為80%”的涵義，學(xué)生通過討論將知道明天下雨的可能性比較大，雖然有可能明天不下雨，但帶傘應(yīng)是非常明智的作法。還可以根據(jù)情況向?qū)W生介紹，明天降水概率為80%意味著：在100次類似于明天的天氣條件（如氣溫、濕度、氣壓）下，歷史記錄告訴我們，大約有80天會下雨。至于頻率穩(wěn)定在概率的具體數(shù)學(xué)涵義，不宜作為義務(wù)教育階段學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)容。在了解了頻率與概率的關(guān)系后，學(xué)生就知道了大量重復(fù)實驗時頻率可以作為事件發(fā)生概率的估計值，并可以利用這種方法來估計一些事件發(fā)生的概率?？聪旅娴囊粋€例子：[案例8]小明用瓶蓋設(shè)計了一個游戲：任意擲出一個瓶蓋，如果蓋面著地則甲勝；如果蓋口著地則乙勝。你認(rèn)為這個游戲?qū)?、乙雙方公平嗎？做一做這個游戲。這個問題需要全班合作盡可能多地獲取實驗數(shù)據(jù)，并分別計算蓋面著地和蓋口著地的頻率，以此確定這個游戲是否公平。學(xué)生在實驗的過程中，將進(jìn)一步體會隨機(jī)現(xiàn)象的特點（某次實驗結(jié)果的不確定性和大量實驗結(jié)果的規(guī)律性）。

第三節(jié)需要處理好的幾個問題統(tǒng)計與概率的研究對象是數(shù)據(jù)和隨機(jī)現(xiàn)象，這與數(shù)與代數(shù)是不同的。因此，教學(xué)中就應(yīng)該注重這部分內(nèi)容獨特的思想方法和教育價值。

一、把握核心概念進(jìn)行教學(xué)如前所述，數(shù)據(jù)分析觀念是統(tǒng)計與概率內(nèi)容的核心概念。而由于這部分內(nèi)容與實際生活有著密切的聯(lián)系，因此發(fā)展學(xué)生應(yīng)用意識也是重要的目標(biāo)。因此，教學(xué)應(yīng)緊緊圍繞數(shù)據(jù)分析觀念、應(yīng)用意識展開。1．發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念在《標(biāo)準(zhǔn)》中，數(shù)據(jù)分析觀念包含著三層意思：第一，經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析的過程，體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息；第二，掌握數(shù)據(jù)分析的基本方法，根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；第三，通過數(shù)據(jù)分析，感受數(shù)據(jù)的隨機(jī)性。關(guān)于發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念，在第一節(jié)已經(jīng)詳細(xì)敘述，并且還將在下面的第二、第三、第四點涉及，這里就不贅述了。2．發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識教學(xué)中應(yīng)注重設(shè)計貼近學(xué)生生活的情境，使他們經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)的過程，逐步發(fā)展應(yīng)用意識。在教師新課程實踐中，已經(jīng)積累了在統(tǒng)計教學(xué)中發(fā)展學(xué)生應(yīng)用意識的教學(xué)策略，主要體現(xiàn)在以下幾個方面。（1）設(shè)計問題情境使學(xué)生體會需要收集數(shù)據(jù)例如，可以設(shè)計學(xué)生所熟悉的“組織體育比賽”等活動。為了更好地組織比賽，需要調(diào)查全班同學(xué)最喜歡的體育活動，由此鼓勵學(xué)生收集數(shù)據(jù)，運用統(tǒng)計圖表示數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)作出決定：“你認(rèn)為你們班最好組織什么比賽”，以體會統(tǒng)計的必要性。在這里需要注意的是，“組織什么比賽好呢”，需要教師引導(dǎo)學(xué)生就“好”開展討論，以確定“好”的標(biāo)準(zhǔn)，如組織的比賽是使盡可能多的學(xué)生喜歡，那么我們就需要“去問同學(xué)最喜歡什么活動。”總之，教師需要自己善于收集和積累生活中的數(shù)據(jù)，并根據(jù)學(xué)生的特點加以有效改造，設(shè)計成學(xué)生可以學(xué)習(xí)的情境。來看下面的一個例子。[案例9]折線統(tǒng)計圖的應(yīng)用片段1：上課伊始，教師請同學(xué)們欣賞一首詩:春風(fēng)吹細(xì)柳，夏日荷花紅。秋季楓葉美，冬雪壓青松。請同學(xué)們說一說這首詩描寫的是什么情景？描寫四季不同的情景還可以用什么形式？學(xué)生們談到可以是音樂、美術(shù)。教師又請同學(xué)們欣賞了春夏秋冬的四季的景色，如下圖。導(dǎo)入：數(shù)學(xué)知識是怎樣表現(xiàn)四季和溫度的不同的變化的呢？然后鼓勵學(xué)生思考如何運用數(shù)學(xué)知識表現(xiàn)四季和溫度的不同變化。由此引入到可以用每月平均氣溫來進(jìn)行刻畫，以體會數(shù)據(jù)的作用以及數(shù)學(xué)刻畫問題和其他學(xué)科的不同。片段2：在學(xué)生對折線統(tǒng)計圖進(jìn)行了初步練習(xí)和應(yīng)用后，提供給北京和悉尼月平均氣溫的折線圖，如圖10。

圖10鼓勵學(xué)生能從上圖中獲取兩座城市每月的平均氣溫，以及氣溫的變化情況。進(jìn)一步，教師鼓勵學(xué)生思考：“悉尼為什么在2000年9月15日——10月1日召開夏季奧運會？北京將在2008年召開夏季奧運會，請你為召開的夏季奧運會定一個時間，并說出理由?！痹谟懻撝袑W(xué)生又一次感受到數(shù)據(jù)是人們做出決策的重要依據(jù)。（2）分析數(shù)據(jù)能幫助人們做什么還可以在數(shù)據(jù)整理完畢以后，有一個反思的過程，討論這些數(shù)據(jù)能夠幫助我們解決什么問題？下面提供一個案例。[案例10]老師組織大家調(diào)查班級同學(xué)的身高情況，把數(shù)據(jù)調(diào)查出來以后，進(jìn)行了分析。最后老師鼓勵學(xué)生思考：看到這些身高的數(shù)據(jù)，它們能幫助我們解決什么問題。生1：我可以了解到我們班同學(xué)的身高情況。我可以知道我自己的身高在班內(nèi)處于什么情況。生2：我們班有8歲的有9歲的，我今年8歲，看到9歲同學(xué)的身高就可以先預(yù)測一下我到9歲時大概多高。生3：學(xué)?？梢愿鶕?jù)我們班的身高情況確定我們課桌椅的高度。在這個案例中，數(shù)據(jù)收集完畢以后教師組織了一個討論，除了根據(jù)身高數(shù)據(jù)分析誰高誰矮以外，這些數(shù)據(jù)能幫助人們解決什么問題。所以，有的學(xué)生想到能幫助自己預(yù)測身高，還有的同學(xué)想到桌椅高度與身高的數(shù)據(jù)有關(guān)系。盡管孩子的想法不一定完全符合實際，但可貴的是在此過程中他們再一次認(rèn)識到了數(shù)據(jù)的作用。（3）收集和積累統(tǒng)計應(yīng)用的例子無論是教材中的例子也好，還是在生活中遇到的例子也好，教師應(yīng)該鼓勵學(xué)生積累起來并適時展示交流，學(xué)生就能體會到統(tǒng)計在方方面面的應(yīng)用。比如，2008年北京奧運會結(jié)束了，奧運會里有哪些運用統(tǒng)計的例子，教師可以鼓勵學(xué)生以此為情境收集數(shù)據(jù)。又如，現(xiàn)在商場很多地方都會設(shè)計一些摸獎游戲，有心的教師可以把它們做一些適當(dāng)?shù)母膭樱M(jìn)到我們的課堂教學(xué)中，這不僅僅為統(tǒng)計與概率的學(xué)習(xí)提供了現(xiàn)實的素材，還可以引導(dǎo)學(xué)生對生活中的一些現(xiàn)象樹立正確的認(rèn)識。還有一點是非常重要的，就是適當(dāng)?shù)淖鲆恍┱{(diào)研，了解學(xué)生感興趣的素材。（4）開展一些實踐活動我們必須要認(rèn)識到應(yīng)用意識的培養(yǎng)，絕不能僅僅靠課堂教學(xué)，而且課堂教學(xué)由于時間和空間的限制，往往很難完整地展示統(tǒng)計調(diào)查全過程，所以在教學(xué)中可以適當(dāng)?shù)脑O(shè)計一些實踐活動，將課內(nèi)外結(jié)合起來。《標(biāo)準(zhǔn)》中在綜合實踐中列舉的一些例子，如案例22、案例78，在教學(xué)中都可以采用。

二、切忌將統(tǒng)計的學(xué)習(xí)處理成單純數(shù)字計算和繪圖技能

如前所述，統(tǒng)計的核心是數(shù)據(jù)分析，統(tǒng)計教學(xué)的重要目標(biāo)是鼓勵學(xué)生從數(shù)據(jù)中提取盡可能多的有效信息，體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息。為了更好地提取信息，學(xué)生需要學(xué)習(xí)一些整理、描述、分析數(shù)據(jù)的方法。對于這些的學(xué)習(xí)，應(yīng)注重對其的理解及在實際問題中的應(yīng)用，而不知識單純地計算或繪圖。例如，《標(biāo)準(zhǔn)》提出“體會平均數(shù)的作用…”、“理解平均數(shù)的意義，…，了解它們是數(shù)據(jù)集中趨勢的描述”、“體會刻畫數(shù)據(jù)離散程度的意義”、“了解頻數(shù)和頻數(shù)分布的意義，…，能利用頻數(shù)直方圖解釋數(shù)據(jù)中蘊涵的信息”等。但是在實際教學(xué)中，確實存在著注重計算、繪圖而忽視運用方法提取信息、體會方法價值的。以平均數(shù)教學(xué)比例，有人做過調(diào)查，學(xué)生學(xué)習(xí)了平均數(shù)會進(jìn)行計算，但當(dāng)遇到真正的數(shù)據(jù)需要分析時，他們卻很少想到用平均數(shù)。所以說，平均數(shù)教學(xué)關(guān)鍵之一是發(fā)展他們的數(shù)據(jù)分析觀念，使他們想到用平均數(shù)，愿意用平均數(shù)來刻畫數(shù)據(jù)。我們來看下面的一個案例，學(xué)生在學(xué)習(xí)了平均數(shù)以后，師生共同討論了三條信息，來體會平均數(shù)的意義和價值\o""[11]。[案例11]體會平均數(shù)的意義1．利用節(jié)約用水信息深入理解平均數(shù)的意義。師：我這也有條信息，我們一起看看。（1）出示：節(jié)約用水圖。師：為什么要節(jié)約用水？（根據(jù)學(xué)生回答評價學(xué)生的節(jié)能意識）那我們來看看我們國家的淡水情況。（2）出示：我國淡水資源總量為28000億立方米，僅次于巴西、俄羅斯和加拿大，居世界第四位。師：找一名同學(xué)讀一讀。看到這條信息你有什么感覺？（學(xué)生可能產(chǎn)生疑問：水并不少，世界100多個國家，我們排第四名。）（3）我們再來看看下面這條信息。出示：我國人均水資源只有2300立方米，在世界上名列第121位，是全球人均水資源最貧乏的國家之一。師：請大家靜靜的讀一讀這條信息，你發(fā)現(xiàn)了什么？（這里想讓學(xué)生通過名次下降或貧乏再次提起對平均數(shù)的理解?！柏毞Α边@個詞是什么意思？有那么多水，怎么用貧乏來形容我們國家了呢？）總結(jié)：言之有理，看來同學(xué)們對平均數(shù)的理解越來越深刻了，光比總量是不行的，還要看我們的人均水資源。好，那對于我們國家來說，就更應(yīng)該去節(jié)約用水了。2.出示：兒童乘車免票線“長個”了的標(biāo)題。師：你知道什么叫“兒童乘車免票線”嗎？沒錯，就是這條線，我們來看看（圖略）。經(jīng)過市發(fā)改委與相關(guān)部門研究決定，將北京市六歲以下兒童1.1米乘車免票線提高到了1.2米。師：為什么要提高？（學(xué)生自然會想到：孩子們都長高了。）師：我們怎么去確定這個標(biāo)準(zhǔn)的呢？

（學(xué)生可能會回答：我們可以調(diào)查一下。）師：調(diào)查誰？如果數(shù)據(jù)來了，有高的、有矮的，如何處理？（這里要明確調(diào)查六歲兒童的身高，滲透抽樣調(diào)查的想法。學(xué)生結(jié)合平均數(shù)的理解，回答調(diào)查完了可以計算平均數(shù)。）師：總結(jié)：我們同學(xué)真了不起，既能準(zhǔn)確理解平均數(shù)的意義，又能想到可操作的辦法。那我們一起看看實際是怎樣做的。據(jù)統(tǒng)計，目前我市6歲男童身高的平均值為119.3厘米，女童身高平均值為118.7厘米。和你們想的一樣，市發(fā)改委就是參照了我市6歲兒童的平均身高，才確定了免票線的高度?？磥?，這平均數(shù)的作用真是不小，連確定免票線的高度都可以參照它。3.

那你們能利用平均數(shù)幫我解決判斷一件事情嗎？出示據(jù)統(tǒng)計，周一至周五晚高峰時，平均每小時需要通過1號橋的車輛為1756輛，需要通過2號橋的車輛965輛（兩個橋的寬度等條件差不多）。王老師回家這兩條路都可以，并且駕車路程差不多你們覺得我走哪好？那我走那一定快嗎？為什么？（學(xué)生建議教師走2號橋，但偶爾也不一定快）總結(jié)：同學(xué)們理解得很好，平均數(shù)可以用來作參考，但是它反映的只是一般情況，并不能反映出某種特殊情況。理解平均數(shù)有三個角度：算法理解、概念理解、統(tǒng)計理解。對于統(tǒng)計教學(xué)，概念理解和統(tǒng)計理解是非常重要的。在上面的案例中，第一個信息，首先提出我國為什么要節(jié)約用水，引發(fā)學(xué)生思考，然后出示我國的淡水資源情況，使學(xué)生體會我國的淡水總量很多，世界排第四位，最后出示我國的人均水資源情況。在這個過程中，學(xué)生體會到了在水資源這個問題上，我們光看總量不能說明問題，還要看人均水資源，從而體會了平均數(shù)的價值。第二個信息，兒童乘車免票線問題。這個環(huán)節(jié)不但能夠使學(xué)生再次體會平均數(shù)的價值，而且還滲透了抽樣的想法。第三個信息，走哪條路。學(xué)生根據(jù)平均需要通過的車輛，幫助老師選擇路線并且進(jìn)行分析，使學(xué)生可以體會到，一方面，平均數(shù)可以用來做重要依據(jù)；另一方面，它反映的只是一般情況，并不排除某種特殊情況。從而既體會平均數(shù)的意義，又體會了數(shù)據(jù)的隨機(jī)性。

三、注重結(jié)果判斷原則的不同“統(tǒng)計學(xué)是通過數(shù)據(jù)來推斷數(shù)據(jù)產(chǎn)