2.2.3直線的一般式方程合肥第八中學陳風云一、內容及內容解析1.內容直線的一般式方程.2.內容解析直線的一般式方程揭示了直線方程的代數(shù)本質，任意一個二元一次方程表示一條直線，任意一條直線都可以用一個二元一次方程表示，點斜式方程、兩點式方程都可以化為一般式方程.直線方程的建立過程本質上是將確定直線的幾何要素代數(shù)化的過程，坐標法是教學的核心，同時還蘊含著數(shù)形結合、特殊與一般、分類與整合、化歸與轉化等數(shù)學思想方法.基于以上分析，確定本節(jié)課教學重點：了解二元一次方程與直線的對應關系，掌握直線的一般形式.二、目標和目標解析1.目標（1）了解直線的一般式方程的形式特征，理解直線的一般式方程與二元一次方程的關系；（2）能正確地進行直線的一般式方程與特殊形式的方程的轉化；（3）能運用直線的一般式方程解決有關問題.2.目標解析達成上述目標的標志是:(1)學生通過對一般式方程的分析，把一般式方程轉化為點斜式方程后，認識到任意一個二元一次方程都表示一條直線，任意一條直線都可以用一個二元一次方程表示.(2)學生會根據確定直線的幾何要素寫出直線方程，能說出直線的點斜式、斜截式，兩點式、截距式方程中相關要素的幾何意義，能進行不同形式方程的轉化.(3)能解決直線相關的簡單問題.三、教學問題診斷分析高中二年級的學生邏輯思維有了較好基礎，注意力能夠集中較長時間，學習目的明確，內驅力是主要的學習動力。學生比較熟悉該內容的大部分，但是對直線與方程的關系的理解存在模糊認識。另外在高中數(shù)學教學中，處理字母系數(shù)的方程的問題仍是一個難點，由于學生思維定勢的影響，學生接受字母系數(shù)的直線方程還是有一定的困難，有時還會產生畏難情緒，會直接影響教學效果?！笆谌艘贼~，不如授人以漁”，根據新課標中倡導探究式學習的基本理念，因此，在直線方程的一般形式的教學中，采用探究式學習和提問式相結合的模式，引導他們自己動手，開動腦筋，交流合作，分析討論，得出解決問題的方法，使傳授知識和培養(yǎng)學生能力融為一體.基于以上分析，確定本節(jié)課難點為能根據所給條件求直線方程，并能在幾種形式間相互轉化.教學支持條件分析：多媒體技術教學過程設計引導語：前面在平面直角坐標系中，我們定義了直線的傾斜角和斜率來刻畫直線的方向，以斜率為核心我們探究了直線的點斜式方程，方程為？當這個點特殊化，我們得到斜截式方程，方程為？當用兩點坐標表示直線斜率時，我們就有了兩點式方程，以及它的特殊形式截距式方程，方程為？可見點斜式方程是其他形式方程的基礎。這節(jié)課我們將繼續(xù)探究直線的一般式方程。1.結構導圖2.問題情境：你能求出下列直線的方程嗎？（1）過點P(-2,3)，斜率為2；（2）經過點(1,3)，(-1,2)；（3）在x軸上的截距為2，在y軸上的截距為3；師生活動：學生在草稿紙上嘗試完成，提問一個學生，教師在黑板板書。設計意圖：復習前面所學內容，梳理四種方程之間的關系，明確直線的點斜式方程是其他方程的基礎，利用具體實例創(chuàng)設情景，為學習直線一般式方程做鋪墊.問題探究，構建新知：問題：大家觀察一下，從方程形式上看，他們都是關于x,y的什么方程?（提示幾元幾次啊？）追問：在初中,方程的一般形式有什么特征？（例如：一元一次方程，一元二次方程一般形式中等式右側為0）這幾個直線方程可以統(tǒng)一為等號右側為0的形式嗎？師生活動：學生發(fā)現(xiàn)這三條直線的方程都是關于x,y的二元一次方程.并引導學生把方程轉化為一般形式AX+BY+C=0.設計意圖：利用三條具體直線方程引導學生發(fā)現(xiàn)直線方程的形式特征，引入二元一次方程一般形式。問題：直線與二元一次方程有什么關系呢？追問：平面直角坐標系中的任意一條直線都可以用一個關于x,y的二元一次方程表示嗎？師生活動：給學生思考談論的時間后，讓學生說說自己想法。教師追問：（x0,y0），k是什么？斜率不存在時，這種情況能不能看成關于x,y的二元一次方程？教師板書證明過程。問題：任意一個二元一次方程AX+BY+C=0都表示直線嗎？追問：前面我們已經學習了四種表示直線的方程了，那我們如何判斷這個方程是否表示直線呢？師生活動：通過追問，明確思考的方向就是看這個方程能否轉變?yōu)槲覀円阎闹本€方程形式，給學生時間思考討論，請學生分享結果，注意對A,B分情況討論.教師引導，并在黑板上板書證明過程。追問：方程AX+BY+C=0，對系數(shù)什么要求呢？師生活動：學生理解系數(shù)的要求，教師板書AB不同時為0.設計意圖：通過兩個探究，我們知道平面直角坐標系中的任意一條直線都可以用關于x,y的二元一次方程表示，同時任意一個二元一次方程都表示直線，建立直線與二元一次方程的對應關系，明確直線的一般式方程.4.鞏固應用過渡語：二元一次方程Ax+By+C=0可以表示平面直角坐標系中所有的直線，那一些特殊的直線，比如平行于坐標軸，經過原點，如何用二元一次方程表示呢？探究：在方程Ax+By+C=0中，A，B，C為何值時，方程表示的直線：(1)平行于x軸;(2)與x軸重合;(3)平行于y軸;(4)與y軸重合;(5)過原點;師生活動：給學生思考談論的時間，讓學生說說自己的思路方式1：通過前面的學習，我們知道這樣的直線有什么特征？每一個點的縱坐標y是非零的常數(shù)，橫坐標x可以取任意實數(shù)；每一個點的縱坐標y是零，橫坐標x可以取任意實數(shù)；每一個點的橫坐標x是非零常數(shù)，y是任意實數(shù)；每一個點的橫坐標x是零，y是任意實數(shù)（5）（0，0）使直線方程成立.方式2：方程Ax+By+C=0，平行于x軸就是斜率為0，在y軸上的截距不為0x軸就是斜率為0，在y軸上的截距為0平行于y軸就是斜率不存在，且不過原點y軸就是斜率不存在，且過原點設計意圖：通過這個探究，我們再次體會平面直角坐標系中的直線可以用二元一次方程來表示,二元一次方程表示直線.問題：有了直線的一般式方程，那么它與直線的其他形式的方程是否可以互相轉化呢？例1已知直線經過點A(6,-4),斜率為?4/3,求直線的點斜式和一般式方程.師生活動：學生思考,分享思路，強調如何轉化為一般式方程（一般式方程的特征，等號右側為0)設計意圖：因為點斜式方程式是其他三種形式方程的基礎，所以我們引導學生體會直線的點斜方程可以轉化為一般式方程。變式：把直線l的一般式方程4x+3y?12=0化成斜截式，并畫出圖形.師生活動：讓一位學生在黑板上完成變式，規(guī)范做圖.學生分析自己的解答思路，追問學生如何取點的，教師點評：在直線坐標系中畫直線時，我們通常都是找出直線與兩條坐標軸的交點，然后連接這兩個點，引入截距式方程.設計意圖：體會直線方程的幾種形式是可以互相轉化的。轉化的方向就是湊成相應的方程形式。練習.把直線l的一般式方程x－2y+6=0化成截距式，并畫出圖形.師生活動：引導學生用二種方式得到截距式方程：從方程出發(fā)，抓住截距式方程的特征，適當變形把等式一側變?yōu)?。抓截距的幾何意義，方程中令x=0,得y=3；y=0,得x=-6，得到截距，寫出截距式方程；設計意圖：方式2中，強調令x=0,得y=3；y=0,得x=-6是方程的二組解，在平面直角坐標系中，二元一次方程的每組解對應著一個點，所有解得集合就是點的集合，點的集合形成幾何圖形直線。從幾何角度進一步感受一個二元一次方程表示一條直線。再次強調直線與二元一次方程的對應關系。課堂小結（1）本節(jié)課我們的探究過程是什么？（2）直線的一般式方程是什么？如何與其他形式的方程進行轉化？（3）本節(jié)課的學習過程體現(xiàn)了哪些數(shù)學思想？6.作業(yè)布置：一.基礎鞏固：教材66頁練習2，教材67頁習題2.2第8題二.綜合運用：教材67頁習題2.2第10題三.拓廣探索：教材68頁習題2.2第14題設計意圖：強化本節(jié)課內容，納入知識體系。體會直線與二元一次方程的對應關系。提煉數(shù)學核心素養(yǎng)，經過本節(jié)課的學習，我們就完成了直線方程的學習，下節(jié)課我們將利用方程，定量的去研究點與直線的相關性質。六．目標檢測設計A組適用普通高中學生1．若直線與直線互相垂直，則實數(shù)的值（

）A． B．1 C． D．22．平行于直線且過點的直線方程為（

）A． B． C． D．3．已知直線過點且與直線平行，則直線的方程為（

）A． B．C． D．4.在直線方程中，當時，，求此直線的方程．B組適用重點高中學生1．設，過定點的動直線和過定點的動直線相交于點不重合），則面積的最大值是（