解答題概率與統(tǒng)計(jì)根據(jù)近幾年的高考情況，概率統(tǒng)計(jì)是高考的必考內(nèi)容，并且在解答題中都有出現(xiàn)，這就要求學(xué)生對(duì)于概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)必須要求達(dá)標(biāo)過關(guān)。同時(shí)兼顧基礎(chǔ)與核心素養(yǎng)的考察，包含數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理等，結(jié)合其他知識(shí)的綜合考察，如結(jié)合數(shù)列的馬爾科夫鏈，與導(dǎo)數(shù)結(jié)合的最值范圍求解。而從2025年剛考完的統(tǒng)計(jì)模塊的知識(shí)，所以2026年高考考察概率的解答題可能性更大，但不避免依然考察統(tǒng)計(jì)部分內(nèi)容。題型1超幾何分布（2025·江蘇南通·一模）近年來，盲盒經(jīng)濟(jì)在消費(fèi)市場中掀起了一陣熱潮，成為一種普遍的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象．商家通過不斷變換花樣吸引消費(fèi)者．某商店推出一款售價(jià)為1元/個(gè)且外觀相同的盲盒，每開一個(gè)盲盒，會(huì)開出3款不同顏色（分別記為紅色、黃色、藍(lán)色）的某一商品，開出紅色、黃色、藍(lán)色商品的概率分別為．(1)若某顧客一次性購買了3個(gè)盲盒，求該顧客恰好開出兩個(gè)紅色商品的概率；(2)若某顧客只想要紅色商品，與老板協(xié)商一致，每次開一個(gè)盲盒，如果開出紅色商品則停止，否則再開一個(gè)盲盒，若連續(xù)4次均未開出紅色商品，老板就贈(zèng)送一個(gè)紅色商品給他為了得到紅色商品，求該顧客的平均花費(fèi)．1、超幾何分布的特征：①考察對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)體，考察某類個(gè)體數(shù)X的概率分布；重點(diǎn)特征：④超幾何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不獨(dú)立。定義：一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，，r.其中n,N,M∈，MN，nN，m=max{0，n-N+M}，r=.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.可以將上面的超幾何分布記為X~N：總體的個(gè)體總數(shù)；M：總體中特定類別個(gè)體數(shù)（如這里的次品，正品）；n：抽取的樣本容量數(shù)學(xué)期望與方差:數(shù)學(xué)期望：E(X)=x1方差:或者：D(X)=數(shù)學(xué)期望與方差性質(zhì)：；數(shù)學(xué)期望與方差的關(guān)系：.

1、（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）現(xiàn)有4個(gè)紅球和4個(gè)黃球，將其分配到甲、乙兩個(gè)盒子中，每個(gè)盒子中4個(gè)球．(1)求甲盒子中有2個(gè)紅球和2個(gè)黃球的概率．(2)已知甲盒子中有3個(gè)紅球和1個(gè)黃球，若同時(shí)從甲、乙兩個(gè)盒子中取出個(gè)球進(jìn)行交換，記交換后甲盒子中的紅球個(gè)數(shù)為X，X的數(shù)學(xué)期望為．證明：．2．（25-26高三上·內(nèi)蒙古呼和浩特·開學(xué)考試）工廠要對(duì)2024年12月份生產(chǎn)的N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件做質(zhì)量分析，已知其中A等品占，B等品占．(1)當(dāng)時(shí)，①求出3件產(chǎn)品中恰有2件A等品的概率；②求出3件產(chǎn)品中A等品個(gè)數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)當(dāng)總量N足夠大，抽出的個(gè)體數(shù)量足夠小時(shí)，超幾何分布近似為二項(xiàng)分布．現(xiàn)在在2024年全年生產(chǎn)的產(chǎn)品范圍內(nèi)考慮從件產(chǎn)品（A，B等品比例不變）中隨機(jī)抽取3件，在超幾何分布中A等品恰有2件的概率記作；在二項(xiàng)分布中A等品恰有2件的概率記作．那么當(dāng)N至少為多少時(shí)，我們可以在誤差不超過的前提下，認(rèn)為超幾何分布近似為二項(xiàng)分布．（參考數(shù)據(jù)：，）3．（2025·云南曲靖·模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校對(duì)高中生體質(zhì)健康調(diào)研，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的體重（單位：kg）得到如下頻數(shù)分布表：分組頻數(shù)525402010(1)估計(jì)樣本的中位數(shù)；(2)從樣本和中按分層抽樣抽取學(xué)生6人，再從這6人中隨機(jī)抽取3人，其中體重在，的人數(shù)分別為，，記．（i）求的分布列及期望；（ii）求．題型2二項(xiàng)分布（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）某平臺(tái)為了研究用戶日均觀看短視頻的時(shí)長，隨機(jī)抽取了200名用戶進(jìn)行調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如下表：日均時(shí)長（分鐘）[40，50]頻數(shù)3050803010(1)估計(jì)這200名用戶日均觀看時(shí)長的第70百分位數(shù)；(2)若平臺(tái)規(guī)定“日均觀看時(shí)長不少于30分鐘的用戶為潛在高粘性用戶”，現(xiàn)從樣本中有放回地抽取次，每次抽取1人，記抽到潛在高粘性用戶的人數(shù)為.（i）當(dāng)時(shí)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ii）若平臺(tái)希望至少抽到1名潛在高粘性用戶的概率不低于，至少需抽取多少次？（參考數(shù)據(jù)：）1、二項(xiàng)分布的特征：①每一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同；②各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；③每一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果只有兩個(gè)，即發(fā)生與不發(fā)生；重點(diǎn)特征：④二項(xiàng)分布的抽取是有放回抽取，各次抽取相互獨(dú)立。定義：一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=，k=0，1，2，，n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p).數(shù)學(xué)期望和方差：如果X～B(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p).1．（2023·江蘇揚(yáng)州·揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）學(xué)校組織A，B，C，D，E五位同學(xué)參加某大學(xué)的測(cè)試活動(dòng)，現(xiàn)有甲、乙兩種不同的測(cè)試方案，每位同學(xué)隨機(jī)選擇其中的一種方案進(jìn)行測(cè)試，選擇甲方案測(cè)試合格的概率為，選擇乙方案測(cè)試合格的概率為，且每位同學(xué)測(cè)試的結(jié)果互不影響.(1)若5位同學(xué)全選擇甲方案，將測(cè)試合格的同學(xué)的人數(shù)記為X，求X的分布列及其方差；(2)若測(cè)試合格的人數(shù)的期望值不小于3，求選擇甲方案進(jìn)行測(cè)試的同學(xué)的可能人數(shù).2．（25-26高三上·陜西漢中·開學(xué)考試）已知排球比賽的規(guī)則是：每局25分，達(dá)到24分時(shí)，比賽雙方必須相差2分.才能分出勝負(fù)；每場比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊(duì)先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束）；比賽排名采用積分制，積分規(guī)則如下：比賽中，以3:0或3:1取勝的球隊(duì)積3分，負(fù)隊(duì)積0分；以3:2取勝的球隊(duì)積2分，負(fù)隊(duì)積1分.甲、乙兩隊(duì)近期將要進(jìn)行比賽，為預(yù)測(cè)它們的積分情況，收集了兩隊(duì)以往6局比賽成績：123456甲252127272325乙182525252517假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲，乙每局的比賽相互獨(dú)立．(1)估計(jì)甲隊(duì)每局獲勝的概率；(2)如果甲、乙兩隊(duì)比賽1場，求甲隊(duì)的積分的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)如果甲、乙兩隊(duì)約定比賽2場，求兩隊(duì)積分相等的概率．3．（25-26高三上·河北衡水·開學(xué)考試）已知每門大炮擊中目標(biāo)的概率都是，現(xiàn)在門大炮同時(shí)對(duì)某一目標(biāo)各射擊一次.(1)當(dāng)時(shí)，記目標(biāo)被擊中的次數(shù)為，求的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差；(2)如果使目標(biāo)至少被擊中一次的概率超過，至少需要多少門大炮？（，）題型3概率的獨(dú)立性（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）手工刺繡是中國非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，指以手工方式，用針和線把人的設(shè)計(jì)和制作添加在任何存在的織物上的一種藝術(shù)，大致分為繪制白描圖和手工著色、電腦著色，選線、配線和裁布三個(gè)環(huán)節(jié)，簡記為工序A，工序，工序.經(jīng)過試驗(yàn)測(cè)得小李在這三道工序成功的概率依次為，，.現(xiàn)某單位推出一項(xiàng)手工刺繡體驗(yàn)活動(dòng)，報(bào)名費(fèi)30元，成功通過三道工序最終的獎(jiǎng)勵(lì)金額是200元，為了更好地激勵(lì)參與者的興趣，舉辦方推出了一項(xiàng)工序補(bǔ)救服務(wù)，可以在著手前付費(fèi)聘請(qǐng)技術(shù)員，若某一道工序沒有成功，可以由技術(shù)員完成本道工序.每位技術(shù)員只完成其中一道工序，每聘請(qǐng)一位技術(shù)員需另付費(fèi)100元，制作完成后沒有接受技術(shù)員補(bǔ)救服務(wù)的退還一半的聘請(qǐng)費(fèi)用.(1)若小李聘請(qǐng)一位技術(shù)員，求他成功完成三道工序的概率；(2)若小李聘請(qǐng)兩位技術(shù)員，求他最終獲得收益的期望值.1、判斷獨(dú)立的方法：（1）、直接法：直接判斷一個(gè)事件發(fā)生能否影響另一個(gè)事件發(fā)生的概率。（2）、定義法：若P(AB)=P(A)P(B)成立，則A事件與B事件相互獨(dú)立，反之亦成立。（3）、轉(zhuǎn)化法：由事件A與事件B相互獨(dú)立知，A與B，A與B，A與B也相互獨(dú)立。2、n個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)．1．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）現(xiàn)有一種不斷分裂的細(xì)胞，每個(gè)時(shí)間周期內(nèi)分裂一次，一個(gè)細(xì)胞每次分裂能生成一個(gè)或兩個(gè)新的細(xì)胞，每次分裂后原細(xì)胞消失．設(shè)每次分裂成一個(gè)新細(xì)胞的概率為，分裂成兩個(gè)新細(xì)胞的概率為；新細(xì)胞在下一個(gè)周期內(nèi)可以繼續(xù)分裂，每個(gè)細(xì)胞分裂相互獨(dú)立．設(shè)有一個(gè)初始的細(xì)胞，從第一個(gè)周期開始分裂．(1)當(dāng)時(shí)，求個(gè)周期結(jié)束后細(xì)胞數(shù)量為個(gè)的概率；(2)設(shè)個(gè)周期結(jié)束后，細(xì)胞的數(shù)量為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．2．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）為了豐富孩子們的校園生活，某校團(tuán)委牽頭，發(fā)起體育運(yùn)動(dòng)和文化項(xiàng)目比賽，經(jīng)過角逐，甲、乙兩人進(jìn)入最后的決賽．決賽先進(jìn)行兩天，每天實(shí)行三局兩勝制，即先贏兩局的人獲得該天勝利，此時(shí)該天比賽結(jié)束．若甲、乙兩人中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天甲、乙兩人各贏一天，則第三天只進(jìn)行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為，每局比賽的結(jié)果沒有平局且結(jié)果互相獨(dú)立．(1)記第一天需要進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列及；(2)記一共進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為Y，求．3．（25-26高三上·湖北荊州·開學(xué)考試）在電競比賽中一般采用“雙敗淘汰制”，這是一種兼顧效率與公平的比賽賽制，基本原則是“失敗2次才被淘汰”“越先淘汰所獲名次越低”，且每場比賽只有勝負(fù)之分．現(xiàn)組織，，，共4個(gè)電競隊(duì)參加比賽，采用“雙敗淘汰制”，其流程如下：第一輪：抽簽隨機(jī)分成2組比賽，每組比賽的勝者進(jìn)入勝者組，敗者進(jìn)入敗者組．第二輪：勝者組、敗者組分別比賽，勝者組的勝者（記為）進(jìn)入決賽，敗者組的敗者因失敗2次被淘汰并獲得第4名．第三輪：第二輪勝者組的敗者與敗者組的勝者比賽，勝者（記為）進(jìn)入決賽，敗者被淘汰并獲得第3名．第四輪：決賽，若獲勝則比賽結(jié)束，獲得冠軍，獲得第2名；若獲勝，則需加賽一場，加賽勝者獲得冠軍，敗者獲得第2名．已知隊(duì)?wèi)?zhàn)勝其他3支隊(duì)伍的概率均為．且各場比賽互不影響．(1)求隊(duì)全勝奪冠的概率；(2)設(shè)隊(duì)在整個(gè)賽事中參賽場次為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．題型4條件概率與全概率（2025·湖北武漢·二模）有，，，，，，，八名運(yùn)動(dòng)員參加乒乓球賽事，該賽事采用預(yù)賽，半決賽和決賽三輪淘汰制決定最后的冠軍、八名運(yùn)動(dòng)員在比賽開始前抽簽隨機(jī)決定各自的位置編號(hào)，已知這七名運(yùn)動(dòng)員互相對(duì)決時(shí)彼此間的獲勝概率均為，運(yùn)動(dòng)員與其它運(yùn)動(dòng)員對(duì)決時(shí)，獲勝的概率為，每場對(duì)決沒有平局，且結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求這八名運(yùn)動(dòng)員各自獲得冠軍的概率；(2)求與對(duì)決過且最后獲得冠軍的概率；(3)求與對(duì)決過且最后獲得冠軍的概率．1．條件概率(1)條件概率的定義

一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0，我們稱P(B|A)=為事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.(2)性質(zhì)

設(shè)P(A)>0，Ω為樣本空間，則

①P(B|A)∈[0,1]，P(Ω|A)=1；

②如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)；

③設(shè)和B互為對(duì)立事件，則P()=1-P(B|A).2．概率的乘法公式由條件概率的定義，對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)=P(A)·P(B|A).3．求條件概率的常用方法(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得.4．全概率公式(1)全概率公式

一般地，設(shè)是一組兩兩互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2,，n，則對(duì)任意的事件，有P(B)=.我們稱此公式為全概率公式.

5．貝葉斯公式設(shè)是一組兩兩互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2,，n，則對(duì)任意的事件，P(B)>0，有.1．（2025·四川瀘州·模擬預(yù)測(cè)）某工廠有兩條生產(chǎn)線加工同一型號(hào)的零件，生產(chǎn)線加工的次品率分別為，生產(chǎn)出來的零件混放在一起，已知生產(chǎn)線加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的.(1)現(xiàn)從該廠隨機(jī)抽取一個(gè)零件，計(jì)算它是次品的概率；(2)如果取到的一個(gè)零件是次品，計(jì)算它是生產(chǎn)線加工的概率；（精確到小數(shù)點(diǎn)后第三位，采用四舍五入法）(3)從混放在一起的零件中隨機(jī)抽取3個(gè)，若取到1個(gè)次品，對(duì)責(zé)任人罰款5元；若取到1個(gè)正品則對(duì)同一責(zé)任人獎(jiǎng)勵(lì)10元，用表示該責(zé)任人由3個(gè)零件獲得的金額，求的期望及方差.2．（2024福建三明·統(tǒng)考三模）在二十大報(bào)告中，體育?健康等關(guān)鍵詞被多次提及，促進(jìn)群眾體育和競技體育全面發(fā)展，加快建設(shè)體育強(qiáng)國是全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國家的一個(gè)重要目標(biāo).某校為豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，加強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)健康，擬舉行羽毛球團(tuán)體賽，賽制采取局勝制，每局都是單打模式，每隊(duì)有名隊(duì)員，比賽中每個(gè)隊(duì)員至多上場一次且是否上場是隨機(jī)的，每局比賽結(jié)果互不影響.經(jīng)過小組賽后，最終甲、乙兩隊(duì)進(jìn)入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲隊(duì)種子選手對(duì)乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為，甲隊(duì)其余名隊(duì)員對(duì)乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為.（注：比賽結(jié)果沒有平局）(1)求甲隊(duì)最終獲勝且種子選手上場的概率；(2)已知甲隊(duì)獲得最終勝利，求種子選手上場的概率.3、（2025浙江）北京時(shí)間4月30日晩，2023年國際象棋世界冠軍賽在哈薩克斯坦首都阿斯塔納閉幕，來自溫州的國際象棋男子特級(jí)大師丁立人最終擊敗涅波姆尼齊亞，加冕世界棋王.這是中國棋手首次奪得國際象棋男子世界冠軍.某小學(xué)為了提高同學(xué)學(xué)習(xí)國際象棋的興趣，舉行了二年級(jí)國際象棋男子團(tuán)體賽，各班級(jí)均可以報(bào)送一支5人隊(duì)伍.比賽分多輪進(jìn)行，每輪比賽每隊(duì)都需選定4名選手，每輪比賽選手可不同.比賽沒有平局，每輪比賽結(jié)束，得勝班級(jí)得1分，反之0分.晉級(jí)賽規(guī)則如下：第一輪隨機(jī)為各隊(duì)伍匹配對(duì)手；從第二輪比賽開始，積分相同的隊(duì)伍之間再由抽簽決定對(duì)手.具體比賽程序如下圖.這樣進(jìn)行三輪對(duì)抗之后，得2分及以上的班級(jí)晉級(jí)，反之淘汰.晉級(jí)的隊(duì)伍再進(jìn)行相應(yīng)的比賽.

(1)二（1）班選派了A，B，C，D，E五名選手，在第一輪比賽中，已知選手A參加了比賽，請(qǐng)列舉出該班級(jí)所有可能的首發(fā)隊(duì)員的樣本空間；(2)現(xiàn)共有8支參賽隊(duì)伍，且實(shí)力相當(dāng)，二（3）班在第一輪比賽輸給了二（4）班，則兩隊(duì)在第三輪重新遇上的概率為多少?(3)某班級(jí)在籌備隊(duì)員時(shí)，班內(nèi)已推選水平較為穩(wěn)定的選手4名，很多同學(xué)紛紛自薦最后一個(gè)名額.現(xiàn)共有5名自薦選手，分別為五級(jí)棋士2名、六級(jí)棋士2名和七級(jí)棋士1名，五、六、七級(jí)棋士被選上的概率分別為0.8，0.6，0.5，最后一名選手會(huì)在這5名同學(xué)中產(chǎn)生.現(xiàn)任選一名自薦同學(xué)，計(jì)算該同學(xué)被選上的概率，并用表示選出的該同學(xué)的級(jí)別，求X的分布列.題型5概率的決策分析（2025·廣東·一模）甲參加圍棋比賽，采用三局兩勝制，若每局比賽甲獲勝的概率為，輸?shù)母怕蕿?，每局比賽的結(jié)果是獨(dú)立的．(1)當(dāng)時(shí)，求甲最終獲勝的概率；(2)為了增加比賽的趣味性，設(shè)置兩種積分獎(jiǎng)勵(lì)方案．方案一：最終獲勝者得3分，失敗者得分；方案二：最終獲勝者得1分，失敗者得0分，請(qǐng)討論選擇哪種方案，使得甲獲得積分的數(shù)學(xué)期望更大．解答思路：①某種情況下的期望值較好——數(shù)學(xué)期望進(jìn)行比較分析，②某種情況比較穩(wěn)定——方差進(jìn)行比較，方差越大情況波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定。③某種情況優(yōu)于其他情況的概率——直接概率比較。1、（2025·吉林長春·模擬預(yù)測(cè)）在一個(gè)摸球游戲中，有一個(gè)裝有許多彩色球的不透明盒子，盒子中的球分為三種顏色：紅色?藍(lán)色和綠色，各球除顏色可能不同外，其余均相同.每次游戲，參與者需要從盒子中隨機(jī)取球.已知盒子中紅色球?藍(lán)色球和綠色球的數(shù)量分別為個(gè)?個(gè)和個(gè)，且總球數(shù)為個(gè).(1)若規(guī)定每次取一個(gè)球，取球后不將球放回盒子中，且連續(xù)取兩次.求取出一個(gè)紅色球和一個(gè)藍(lán)色球的概率；(2)若規(guī)定每次取一個(gè)球，取球后將球放回盒子中，且連續(xù)取三次.設(shè)三次中恰好有兩次取出的球顏色相同的概率為，當(dāng)時(shí)，求；(3)在（2）的條件下，若游戲組織者規(guī)定，當(dāng)三次取球中出現(xiàn)紅色球的次數(shù)大于等于兩次時(shí).參與者獲勝；否則，游戲組織者獲勝.請(qǐng)判斷此游戲是否公平，并通過計(jì)算說明理由.2．（22-23高二下·福建南平·期末）某公司舉辦公司員工聯(lián)歡晩會(huì)，為活躍氣氛，計(jì)劃舉行摸獎(jiǎng)活動(dòng)，有兩種方案：方案一：不放回從裝有個(gè)紅球和個(gè)白球的箱子中隨機(jī)摸出個(gè)球，每摸出一紅球獎(jiǎng)勵(lì)元：方案二：有放回從裝有個(gè)紅球和個(gè)白球的箱子中隨機(jī)摸出個(gè)球，每摸出一紅球獎(jiǎng)勵(lì)元，分別用隨機(jī)變量、表示某員工按方案一和方案二抽獎(jiǎng)的獲獎(jiǎng)金額.(1)求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望：(2)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)分析，為使公司員工獲獎(jiǎng)金額相對(duì)均衡，應(yīng)選擇哪種方案?請(qǐng)說明理由.3．（2025·河北保定·二模）某零件廠銷售部以箱為單位銷售某種零件，每箱零件的定價(jià)為500元，低于200箱按原價(jià)銷售，不低于200箱有兩種優(yōu)惠方案．方案一：以200箱為基準(zhǔn)，每多100箱免12箱的金額．方案二：通過雙方議價(jià)，買方能以每箱優(yōu)惠的價(jià)格成交的概率為0.3，以每箱優(yōu)惠的價(jià)格成交的概率為0.4，以每箱優(yōu)惠的價(jià)格成交的概率為0.3．(1)買方甲要在該廠購買200箱這種零件，并選擇方案二，求甲以低于萬元的金額購買這200箱零件的概率．(2)買方乙要在該廠購買400箱這種零件，以購買總價(jià)的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，試問乙選擇哪種優(yōu)惠方案更劃算？請(qǐng)說明你的理由．(3)買方丙要在該廠購買960箱這種零件，由于購買的箱數(shù)超過500，該廠的銷售部讓丙綜合使用這兩種方案作為第三種方案，即一部分用方案一（箱數(shù)必須是100的正整數(shù)倍），另一部分使用方案二（箱數(shù)不限），試問丙應(yīng)該如何使用方案三，才能獲得最多的優(yōu)惠？說明你的理由．題型6正態(tài)分布（2025·浙江·三模）固態(tài)電池是純電動(dòng)汽車搭載的新一代電池，與使用電解液的傳統(tǒng)液態(tài)鋰離子電池相比，固態(tài)電池具有安全性能高、能量密度大等特點(diǎn)．某公司試生產(chǎn)了一批新型固態(tài)電池，為了了解該批次固態(tài)電池的“循環(huán)壽命”x（循環(huán)壽命是指：電池的容量下降到初始容量的某一閾值時(shí)，完成充放電循環(huán)的次數(shù)）的情況，從這批固態(tài)電池中隨機(jī)抽取了100組進(jìn)行了測(cè)試，并統(tǒng)計(jì)繪制了下表：循環(huán)壽命x（千次）組數(shù)y515ab5已知循環(huán)壽命x（千次）的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）．(1)求a，b的值；(2)根據(jù)測(cè)試數(shù)據(jù)可以認(rèn)為“循環(huán)壽命”x近似服從正態(tài)分布，經(jīng)計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的估計(jì)值為0.7．用樣本數(shù)據(jù)的平均值作為的值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的估計(jì)值作為的值．（?。┤粢?guī)定：循環(huán)壽命的電池為一等品；的電池為優(yōu)等品．求試生產(chǎn)的電池的一等品率和優(yōu)等品率的估計(jì)值（結(jié)果用百分?jǐn)?shù)表示）；（ⅱ）在該型電池的生產(chǎn)中，稱發(fā)生概率低于0.27%的事件為小概率事件，在質(zhì)量控制時(shí)，如果小概率事件未發(fā)生，則認(rèn)為該批產(chǎn)品合格；否則可以認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格．若這100組電池中，循環(huán)壽命x的最大值和最小值分別為6.5和2.3．請(qǐng)判斷該批固態(tài)電池是否合格？并說明理由．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則，，．正態(tài)分布：1、定義：.正態(tài)分布密度函數(shù)，式中的實(shí)數(shù)μ，（>0）是參數(shù)，分別表示個(gè)體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，則成隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X~N(μ,σ2特點(diǎn)：①曲線是單峰的，其關(guān)于x=μ②曲線在x=μ處達(dá)到峰值③當(dāng)x無線增大時(shí)，曲線無限接近x值⑤對(duì)任意的σ>0，曲線與x軸圍成的面積總為1；

⑥在參數(shù)σ取固定值時(shí)，正態(tài)曲線的位置由μ確定，且隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；

⑦當(dāng)μ取定值時(shí)，正態(tài)曲線的形狀由σ確定，當(dāng)σ較小時(shí)，峰值高，曲線“瘦高”，表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；當(dāng)σ較大時(shí)，峰值低，曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較分散，如圖乙所示.3σ原則：P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827；

P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545；

P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.

均值與方差：若，則E(X)=μ，D(X)=σ2.1．（2025·湖南·模擬預(yù)測(cè)）某企業(yè)的甲、乙兩條生產(chǎn)線都生產(chǎn)M型零件，一天中，甲、乙兩條生產(chǎn)線分別生產(chǎn)320件和1280件M型零件，為了解該企業(yè)M型零件的生產(chǎn)質(zhì)量，現(xiàn)利用分層隨機(jī)抽樣，從一天中生產(chǎn)的M型零件中隨機(jī)抽取40件，測(cè)量其尺寸（單位：mm），所得尺寸數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：平均尺寸標(biāo)準(zhǔn)差甲生產(chǎn)線p件M型零件806乙生產(chǎn)線q件M型零件704(1)求這40件M型零件尺寸的平均數(shù)；(2)求這40件M型零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差；(3)假設(shè)該企業(yè)一天中生產(chǎn)的M型零件尺寸服從正態(tài)分布，其中用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值.試估計(jì)：這一天生產(chǎn)的M型零件中，尺寸小于的零件是否低于40件?參考數(shù)據(jù)：①n個(gè)數(shù)，，，…，的方差為；②若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則，，；③.2、（2025·陜西寶雞·二模）某企業(yè)對(duì)某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進(jìn)行試產(chǎn)．其芯片質(zhì)量按等級(jí)劃分為五個(gè)層級(jí)，分別對(duì)應(yīng)如下五組質(zhì)量指標(biāo)值：、、、、．根據(jù)長期檢測(cè)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)芯片的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取件作為樣本，統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)根據(jù)檢測(cè)結(jié)果，樣本中芯片質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，可得到X服從的正態(tài)分布．求和的值；(2)從樣本中質(zhì)量指標(biāo)值在和的芯片中隨機(jī)抽取件，記其中質(zhì)量指標(biāo)值在的芯片件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)將指標(biāo)值不低于的芯片稱為等品．通過對(duì)芯片長期檢測(cè)發(fā)現(xiàn)，在生產(chǎn)線任意抽取一件芯片，它為等品的概率為，用第（1）問結(jié)果試估計(jì)的值．（附：①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表；②參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．）3．（25-26高三上·重慶·階段練習(xí)）近期我校被評(píng)為全國首批智能研修平臺(tái)規(guī)?；瘧?yīng)用領(lǐng)航培育校，中央電教館在我校舉辦項(xiàng)目啟動(dòng)活動(dòng)，并特設(shè)南開專場活動(dòng).為了了解AINK人工智能對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的助力情況，學(xué)校組織了高一學(xué)生參加“AINK人工智能”知識(shí)競賽（滿分100分），并從中隨機(jī)抽查了100名學(xué)生的成績（單位:分），將他們的成績分成以下6組:，，，，，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下面的頻數(shù)分布表所示.組別頻數(shù)101520301510已知高一學(xué)生的這次競賽成績近似服從正態(tài)分布，其中近似取為樣本平均數(shù)的整數(shù)部分，近似取為樣本標(biāo)準(zhǔn)差的整數(shù)部分，并已求得（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.(1)從高一年級(jí)隨機(jī)抽取一個(gè)學(xué)生的競賽成績，試估計(jì)他的競賽成績?cè)趨^(qū)間內(nèi)的概率（結(jié)果保留一位小數(shù)）.(2)現(xiàn)從高一年級(jí)隨機(jī)選取名同學(xué)的競賽成績，根據(jù)（1）的結(jié)果，若他們的成績均在范圍內(nèi)的概率不低于，求的最大值（為正整數(shù)）參考數(shù)據(jù):，若，則.題型7統(tǒng)計(jì)中的回歸分析（2025·浙江金華·一模）近些年汽車市場發(fā)生了翻天覆地的變化，新能源汽車發(fā)展迅速，下表統(tǒng)計(jì)了2021年到2024年某地新能源汽車銷量（單位：千輛）年份2021202220232024年份代號(hào)1234銷量336993129附：相關(guān)系數(shù)；回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，(1)試根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的值判斷該地汽車銷量與年份代號(hào)的線性相關(guān)性強(qiáng)弱（，則認(rèn)為與的線性相關(guān)性較強(qiáng)，，則認(rèn)為與的線性相關(guān)性較弱）；（精確到0.001）(2)建立關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該地2025年的新能源汽車銷量．線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程與最小二乘法：將稱為關(guān)于的線性回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線．這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做b，a的最小二乘估計(jì)，其中經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定過點(diǎn).殘差分析對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的稱為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差?？坍嫽貧w效果的方式(1)殘差圖法

作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖.在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地落在以取值為0的橫軸為對(duì)稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)，說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高.

(2)殘差平方和法

殘差平方和為，殘差平方和越小，模型擬合效果越好.

(3)利用刻畫擬合效果

=.

越大，模型的擬合效果越好，越小，模型的擬合效果越差.非線性回歸方程：根據(jù)題目提示轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，即非一次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)，然后根據(jù)線性回歸方程的公式求解參數(shù)。見的非線性函數(shù)轉(zhuǎn)換方法：①、冪函數(shù)型兩邊取常用對(duì)數(shù)，，即，令，原方程變?yōu)椋缓蟀淳€性回歸模型求出，．②、指數(shù)函數(shù)型（且，）兩邊取自然對(duì)數(shù)，，即，令，原方程變?yōu)?，然后按線性回歸模型求出，．③、反比例函數(shù)型型令，原方程變?yōu)?，然后按線性回歸模型求出，．④、二次函數(shù)型令，原方程變?yōu)?，然后按線性回歸模型求出，．⑤、對(duì)數(shù)函數(shù)型令，原方程變?yōu)?，然后按線性回歸模型求出，．1．（25-26高三上·湖北·階段練習(xí)）隨機(jī)抽取某集團(tuán)公司旗下五家超市，得到廣告支出x（萬元）與銷售額y（萬元）的數(shù)據(jù)如下：廣告支出x（萬元）24568銷售額y（萬元）2030506070(1)計(jì)算x，y的相關(guān)系數(shù)r，并判斷是否可以認(rèn)為廣告支出與銷售額具有較高的線性相關(guān)程度？（若，則線性相關(guān)程度一般；若，則線性相關(guān)程度較高，）(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)若廣告支出15（萬元），則銷售額約為多少萬元？參考公式：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式，相關(guān)系數(shù)r的公式分別為，，.2．（24-25山東·階段練習(xí)）為了促進(jìn)鋰電產(chǎn)業(yè)發(fā)展，市創(chuàng)新研究院課題組對(duì)企業(yè)研發(fā)經(jīng)費(fèi)的投入和企業(yè)當(dāng)年的銷售收入的關(guān)系進(jìn)行了研究，他們收集了上一年不同企業(yè)銷售收入y（單位：10萬元）與一定范圍內(nèi)的研發(fā)經(jīng)費(fèi)x（單位：10萬元）的數(shù)據(jù)，根據(jù)收集的13組觀測(cè)數(shù)據(jù)，得到如下的散點(diǎn)圖，分別利用或建立y關(guān)于x的回歸方程，令，得到如下數(shù)據(jù)，且與的相關(guān)系數(shù)分別為，，且．10.15108.403.040.1614.00－2.1011.670.2121.22(1)用相關(guān)系數(shù)說明哪種模型建立y與x的回歸方程更合適；(2)根據(jù)（1）的結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)已知企業(yè)的利潤z滿足，試根據(jù)回歸方程求出企業(yè)利潤的最大值．參考數(shù)據(jù)和公式：，，，對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為，，相關(guān)系數(shù)．3．（24-25·山東濰坊·期中）某科技公司研發(fā)了一種新型電池，測(cè)試該新型電池從滿電狀態(tài)，每使用1小時(shí)其電量衰減情況，得到剩余電量y（庫侖）與使用時(shí)間t（小時(shí)）的散點(diǎn)圖，其中t為正整數(shù)．(1)利用散點(diǎn)圖，判斷與哪個(gè)更適宜作為回歸模型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)在（1）的條件下，（i）求出剩余電量y與使用時(shí)間t的回歸方程（精確到0.01）；（ⅱ）當(dāng)電池剩余電量低于0.3庫侖時(shí)，電池報(bào)警提示需要充電，否則影響電池使用壽命，請(qǐng)利用所求回歸方程，預(yù)判該新型電池從滿電狀態(tài)使用12小時(shí)后，是否會(huì)報(bào)警提示，并說明理由．參考數(shù)據(jù)：記4512.021.5520.2028545.073.42參考公式：．題型8統(tǒng)計(jì)中的獨(dú)立性檢驗(yàn)（2025·湖南·模擬預(yù)測(cè)）近日，2025年湖南省城市足球聯(lián)賽（被球迷稱為“湘超”）如火如荼地進(jìn)行，引發(fā)廣泛關(guān)注．某地區(qū)隨機(jī)抽取了部分市民，調(diào)查他們對(duì)賽事的關(guān)注情況，得到如下表格：性別不關(guān)注賽事關(guān)注賽事男性25150女性5075(1)列出列聯(lián)表并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為關(guān)注“湘超”賽事與性別有關(guān)？(2)現(xiàn)從被調(diào)查的關(guān)注賽事的市民中，按照性別比例采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取3名市民參加“湘超”賽事知識(shí)問答．已知男性、女性市民順利完成知識(shí)問答的概率分別為，，每個(gè)人是否順利完成相互獨(dú)立．求在有且僅有2人順利完成的條件下，這2人的性別不同的概率．附：．0.10.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.8281．獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)假定通過簡單隨機(jī)抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，如下表所示.XY合計(jì)Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計(jì)a+cb+dn=a+b+c+d則.(2)利用的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”，簡稱獨(dú)立性檢驗(yàn).

(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值.2．獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題的解題策略解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，一定要按照獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟得出結(jié)論.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)公式計(jì)算；(3)通過比較與臨界值的大小關(guān)系來作統(tǒng)計(jì)推斷.1．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）為了研究“長期長跑”與“半月板損傷”之間的關(guān)系，研究人員在長跑愛好者中隨機(jī)抽取了1000人進(jìn)行調(diào)查，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示：組別半月板的健康狀況合計(jì)半月板正常半月板損傷長期長跑40360400非長期長跑460140600合計(jì)5005001000(1)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷“長期長跑”與“半月板損傷”之間是否相關(guān)；(2)若按照半月板的健康狀況，使用分層隨機(jī)抽樣的方法從長期長跑的愛好者中隨機(jī)抽取人，再從這人中隨機(jī)挑選人，記抽到的人中半月板損傷的人數(shù)為，求的分布列與均值.附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8282．（2025·陜西西安·一模）鄂爾多斯某地一景區(qū)為了吸引游客，進(jìn)行了馬術(shù)實(shí)景劇的展演.景區(qū)為了解游客對(duì)其開展的“馬術(shù)實(shí)景劇”活動(dòng)的滿意度，隨機(jī)抽取400人進(jìn)行調(diào)查，得到如下2×2列聯(lián)表：調(diào)查結(jié)果組別不滿意滿意合計(jì)本地游客80120200外地游客60140200合計(jì)140260400(1)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析滿意情況是否與游客的來源有關(guān)；(2)在本地游客的樣本中用分層抽樣的方法選出5人，再從這5人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的訪談，求這3人中滿意人數(shù)X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828題型9概率中的證明題（2025·河北保定·模擬預(yù)測(cè)）在某活動(dòng)中，參與者以抽獎(jiǎng)的形式獲得某種獎(jiǎng)品，每次抽獎(jiǎng)均分為中獎(jiǎng)和不中獎(jiǎng)兩種結(jié)果.現(xiàn)在利用偽隨機(jī)算法進(jìn)行若干次抽獎(jiǎng)，假定中獎(jiǎng)后就不再繼續(xù)抽獎(jiǎng).設(shè)）是第一次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的概率，此后若前次抽獎(jiǎng)均未中獎(jiǎng)，則進(jìn)行第次抽獎(jiǎng)時(shí)中獎(jiǎng)的概率滿足其中時(shí)一定中獎(jiǎng).設(shè)中獎(jiǎng)時(shí)共抽獎(jiǎng)次.(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)證明：當(dāng)時(shí)，；(3)當(dāng)時(shí)，求的分布列和期望.解題方法與思路：掌握概率中的一些基礎(chǔ)公式的積累和變形如：P(A如：P(A)=P(AB)+P(AB)（其中事件若事件A與事件B為互斥事件或者對(duì)立事件，則P(AB)=0，在對(duì)立事件中P(A)+P(B)=1對(duì)于所給證明形式進(jìn)行遞進(jìn)式的推導(dǎo)與化簡整理1、（2025·四川·一模）某保險(xiǎn)公司隨機(jī)選取了200名不同駕齡的投保司機(jī)，調(diào)查他們投保后一年內(nèi)的索賠情況，結(jié)果如下：單位：人一年內(nèi)是否索賠駕齡合計(jì)不滿10年10年以上是10515否9095185合計(jì)100100200(1)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析表中的數(shù)據(jù)，能否據(jù)此推斷司機(jī)投保后一年內(nèi)是否索賠與司機(jī)的駕齡有關(guān)？(2)保險(xiǎn)公司的大數(shù)據(jù)顯示，每年投保的新司機(jī)索賠的概率為，投保的老司機(jī)索賠的概率均為．假設(shè)投保司機(jī)中新司機(jī)的占比為.隨機(jī)選取一名投保司機(jī)，記事件“這名司機(jī)在第年索賠”為，事件“這名司機(jī)是新司機(jī)”為.已知.（i）證明：；（ii）證明：，并給出該不等式的直觀解釋.附：，2．（2025·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）人工智能程序通過深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模擬人腦的機(jī)制來學(xué)習(xí)、判斷、決策．工程師分別用人類圍棋對(duì)弈的近100萬、500萬、1000萬種不同走法三個(gè)階段來升級(jí)人工智能程序，三個(gè)階段的程序依次簡記為甲、乙、丙．(1)測(cè)試階段，讓某圍棋手與甲、乙、丙三個(gè)程序各比賽一局，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，，．記該棋手連勝兩局的概率為，試判斷該棋手在第二局與哪個(gè)程序比賽最大，并寫出判斷過程．(2)工程師讓甲和乙進(jìn)行圍棋比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負(fù)者得0分，沒有平局，比賽進(jìn)行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽．已知每局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．①若比賽最多進(jìn)行6局，求比賽結(jié)束時(shí)比賽局?jǐn)?shù)的分布列及期望的最大值；②若比賽不限制局?jǐn)?shù)，記“甲贏得比賽”為事件，證明：．3．（24-25高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）某大型企業(yè)準(zhǔn)備把某一型號(hào)的零件交給甲工廠或乙工廠生產(chǎn)．經(jīng)過調(diào)研和試生產(chǎn)，質(zhì)檢人員抽樣發(fā)現(xiàn)：甲工廠試生產(chǎn)的一批零件的合格品率為80%；乙工廠試生產(chǎn)的另一批零件的合格品率為90%；若將這兩批零件混合放在一起，則合格品率為88%．(1)設(shè)甲工廠試生產(chǎn)的這批零件有m件，乙工廠試生產(chǎn)的這批零件有n件．求證：；(2)從混合放在一起的零件中隨機(jī)抽取3個(gè)，用頻率估計(jì)概率，記這3個(gè)零件中來自甲工廠的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)為了爭取獲得該零件的生產(chǎn)訂單，甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標(biāo)．已知在甲工廠提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率大于在甲工廠不提高質(zhì)量指標(biāo)的條件下，該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)的概率．設(shè)事件“甲工廠提高了生產(chǎn)該零件的質(zhì)量指標(biāo)”，事件“該大型企業(yè)把零件交給甲工廠生產(chǎn)”，已知，證明：．題型10概率與數(shù)列結(jié)合1、（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）某學(xué)校有甲，乙兩個(gè)餐廳，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，前一天選擇餐廳甲就餐第二天仍選擇餐廳甲就餐的概率為，第二天選擇餐廳乙就餐的概率為；前一天選擇餐廳乙就餐第二天仍選擇餐廳乙就餐的概率為，第二天選擇餐廳甲就餐的概率為．若學(xué)生第一天選擇餐廳甲就餐的概率是，選擇餐廳乙就餐的概率是，記某同學(xué)第天選擇餐廳甲就餐的概率為．(1)記某班3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及期望；(2)學(xué)校為緩解就餐壓力，決定每天從各年級(jí)抽調(diào)21人到甲乙兩個(gè)餐廳參加志愿服務(wù)，請(qǐng)求出的通項(xiàng)公式，根據(jù)以上數(shù)據(jù)合理分配甲，乙兩個(gè)餐廳志愿者人數(shù)，并說明理由．2、（2025·湖南·一模）張明在暑假為了鍛煉身體，制定了一項(xiàng)堅(jiān)持晨跑的計(jì)劃：30天晨跑訓(xùn)練．規(guī)則如下：張明從第1天開始晨跑，若第天晨跑，則他第天晨跑的概率為，且他不能連續(xù)兩天沒有晨跑．設(shè)他第天晨跑的概率為．(1)求的值；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)若都是離散型隨機(jī)變量，則，記張明前天晨跑的天數(shù)為，求．解題方法與思路：求通項(xiàng)公式：關(guān)鍵是找出概率Pn或數(shù)學(xué)期望E(X求和：注意是數(shù)列中的倒序求和、錯(cuò)位相減、列項(xiàng)求和；利用等差、等比數(shù)列性質(zhì)，研究單調(diào)性、最值或者求極限。1、（23-24高三上·河北邢臺(tái)·期末）杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物為一組名為“江南憶”的三個(gè)吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“蓮蓮”，聚焦共同的文化基因，蘊(yùn)含獨(dú)特的城市元素．本次亞運(yùn)會(huì)極大地鼓舞了中國人民參與運(yùn)動(dòng)的熱情．某體能訓(xùn)練營為了激勵(lì)參訓(xùn)隊(duì)員，在訓(xùn)練之余組織了一個(gè)“玩骰子贏禮品”的活動(dòng)，他們來到一處訓(xùn)練場地，恰有20步臺(tái)階，現(xiàn)有一枚質(zhì)地均勻的骰子，游戲規(guī)則如下：擲一次骰子，出現(xiàn)3的倍數(shù)，則往上爬兩步臺(tái)階，否則爬一步臺(tái)階，再重復(fù)以上步驟，當(dāng)隊(duì)員到達(dá)第7或第8步臺(tái)階時(shí)，游戲結(jié)束．規(guī)定：到達(dá)第7步臺(tái)階，認(rèn)定失?。坏竭_(dá)第8步臺(tái)階可贏得一組吉祥物．假設(shè)平地記為第0步臺(tái)階．記隊(duì)員到達(dá)第步臺(tái)階的概率為（），記．(1)投擲4次后，隊(duì)員站在的臺(tái)階數(shù)為第階，求的分布列；(2)①求證：數(shù)列（）是等比數(shù)列；②求隊(duì)員贏得吉祥物的概率．2、（2024高三·全國·專題練習(xí)）某商場為促銷設(shè)計(jì)了一項(xiàng)回饋客戶的抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：有放回的從裝有大小相同的6個(gè)紅球和4個(gè)黑球的袋中任意抽取一個(gè)，若第一次抽到紅球則獎(jiǎng)勵(lì)50元的獎(jiǎng)券，抽到黑球則獎(jiǎng)勵(lì)25元的獎(jiǎng)券；第二次開始，每一次抽到紅球則獎(jiǎng)券數(shù)額是上一次獎(jiǎng)券數(shù)額的2倍，抽到黑球則獎(jiǎng)勵(lì)25元的獎(jiǎng)券，記顧客甲第n次抽獎(jiǎng)所得的獎(jiǎng)券數(shù)額的數(shù)學(xué)期望為．(1)求及的分布列．(2)寫出與的遞推關(guān)系式，并證明為等比數(shù)列；(3)若顧客甲一共有6次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求該顧客所得的所有獎(jiǎng)券數(shù)額的期望值．（考數(shù)據(jù)：?）3、（23-24高三上·浙江溫州·期末）現(xiàn)有標(biāo)號(hào)依次為1，2，…，n的n個(gè)盒子，標(biāo)號(hào)為1號(hào)的盒子里有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，其余盒子里都是1個(gè)紅球和1個(gè)白球．現(xiàn)從1號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入2號(hào)盒子，再從2號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入3號(hào)盒子，…，依次進(jìn)行到從號(hào)盒子里取出2個(gè)球放入n號(hào)盒子為止．(1)當(dāng)時(shí)，求2號(hào)盒子里有2個(gè)紅球的概率；(2)當(dāng)時(shí)，求3號(hào)盒子里的紅球的個(gè)數(shù)的分布列；(3)記n號(hào)盒子中紅球的個(gè)數(shù)為，求的期望．題型11概率與導(dǎo)數(shù)集合（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）某檢測(cè)中心在化驗(yàn)血液時(shí)有兩種化驗(yàn)方法：①逐份化驗(yàn)法：將血液樣本逐份進(jìn)行化驗(yàn)，則份血液樣本共需要化驗(yàn)次.②混合化驗(yàn)法：將份血液樣本分別取樣混合在一起化驗(yàn).若化驗(yàn)結(jié)果呈陰性，則這份血液均為陰性，此時(shí)共化驗(yàn)1次；若化驗(yàn)結(jié)果呈陽性，為了確定陽性血液，就需要再采取逐份化驗(yàn)，故此時(shí)共需要化驗(yàn)次.(1)現(xiàn)有5份血液樣本，其中有2份為陽性血液，現(xiàn)采取逐份化驗(yàn)法進(jìn)行化驗(yàn)，求恰好化驗(yàn)2次就把全部陽性樣本檢測(cè)出來的概率；(2)現(xiàn)有10份血液樣本，每份呈陽性的概率為，采用5份為一組的混合化驗(yàn)法進(jìn)行化驗(yàn)，記這10份血液樣本需要化驗(yàn)的總次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列；.(3)現(xiàn)有份血液樣本，每份呈陽性的概率為，記采用逐份化驗(yàn)法時(shí)需要化驗(yàn)的次數(shù)為，采用份為一組的混合化驗(yàn)法時(shí)需要化驗(yàn)的總次數(shù)為，當(dāng)時(shí)，求的最大值.（參考數(shù)據(jù)：）解題方法與思路：（1）根據(jù)題目所求或題干給出的條件確定自變量及其取值范圍；（2）根據(jù)題意構(gòu)建函數(shù)模型，寫出函數(shù)的解析式；（3）對(duì)構(gòu)造的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)或利用函數(shù)單調(diào)性，求解目標(biāo)函數(shù)的最值或最優(yōu)解．1．（2025·江西上饒·一模）2024年7月26日至8月11日在法國巴黎舉行了夏季奧運(yùn)會(huì)．為了普及奧運(yùn)知識(shí)，大學(xué)舉辦了一次奧運(yùn)知識(shí)競賽，競賽分為初賽與決賽，初賽通過后才能參加決賽．(1)初賽從6道題中任選2題作答，2題均答對(duì)則進(jìn)入決賽．已知這6道題中小王能答對(duì)其中4道題，求小王在已經(jīng)答對(duì)一題的前提下，仍未進(jìn)入決賽的概率；(2)大學(xué)為鼓勵(lì)大學(xué)生踴躍參賽并取得佳績，決定對(duì)進(jìn)入決賽的參賽大學(xué)生給予一定的獎(jiǎng)勵(lì)．獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：對(duì)于進(jìn)入決賽的每名大學(xué)生允許連續(xù)抽獎(jiǎng)3次，中獎(jiǎng)1次獎(jiǎng)勵(lì)120元，中獎(jiǎng)2次獎(jiǎng)勵(lì)180元，中獎(jiǎng)3次獎(jiǎng)勵(lì)360元，若3次均未中獎(jiǎng)，則只獎(jiǎng)勵(lì)60元，假定每次中獎(jiǎng)的概率均為，且每次是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立．（Ⅰ）記一名進(jìn)入決賽的大學(xué)生恰好中獎(jiǎng)1次的概率為，求的極大值；（Ⅱ）大學(xué)數(shù)學(xué)系共有9名大學(xué)生進(jìn)入了決賽，若這9名大學(xué)生獲得的總獎(jiǎng)金的期望值不小于1120元，試求此時(shí)的取值范圍．2、（2025·河北邯鄲·一模）某班舉辦詩詞大賽，比賽規(guī)則如下：參賽選手第一輪回答4道題，若答對(duì)3道或4道，則通過初賽，否則進(jìn)行第二輪答題，第二輪答題的數(shù)量為第一輪答錯(cuò)的題目數(shù)量，且題目與第一輪的題不同，若全部答對(duì)，則通過初賽，否則淘汰.已知甲同學(xué)參加了這次詩詞大賽，且甲同學(xué)每道題答對(duì)的概率均為.假設(shè)甲同學(xué)回答每道題相互獨(dú)立，兩輪答題互不影響.(1)已知.①求甲同學(xué)第一輪答題后通過初賽的概率；②求甲同學(xué)答對(duì)1道題的概率.(2)記甲同學(xué)的答題個(gè)數(shù)為，求的最大值.3．（2025·黑龍江齊齊哈爾·三模）泊松分布是一種離散型概率分布，常用于描述在固定時(shí)間或空間內(nèi)某事件發(fā)生的次數(shù)，廣泛應(yīng)用于通信，交通，生物學(xué)，金融和質(zhì)量控制等領(lǐng)域．若隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布（記作），則其概率分布為．(1)當(dāng)時(shí)，泊松分布可以用正態(tài)分布來近似；當(dāng)時(shí)，泊松分布基本上就等于正態(tài)分布，此時(shí)可認(rèn)．若，估計(jì)的值；(2)某人工智能公司制造微型芯片的次品率為，各芯片是否為次品相互獨(dú)立，以記產(chǎn)品中的次品數(shù)．①若，求在1000個(gè)產(chǎn)品中至少有2個(gè)次品的概率；②若，求在1000個(gè)產(chǎn)品中至少有2個(gè)次品的概率；通過①，②的計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律；(3)若，且，在保留小數(shù)點(diǎn)后一位的時(shí)候，求證：的最大值為0.1．參考數(shù)據(jù)：若，則，，，，，題型12概率中的最值問題（2025·北京·三模）投壺是中國古代傳統(tǒng)禮儀游戲，起源于春秋戰(zhàn)國時(shí)期，盛行于漢唐.參與者將無鏃箭矢投向特定壺具，以入壺?cái)?shù)量和姿態(tài)評(píng)判勝負(fù)，兼具競技與禮儀功能.為發(fā)揚(yáng)傳統(tǒng)文化，某校利用午休時(shí)間舉辦投壺比賽老師預(yù)設(shè)口徑不同的三個(gè)壺，學(xué)生可以根據(jù)自身情況，選擇不同壺進(jìn)行挑戰(zhàn).為方便統(tǒng)計(jì)，投壺時(shí)，僅統(tǒng)計(jì)“投中”與“未投中”兩種結(jié)果.活動(dòng)中，高三年級(jí)500名學(xué)生體驗(yàn)了投壺，每位學(xué)生都只選擇一個(gè)壺進(jìn)行挑戰(zhàn).現(xiàn)將投壺結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表.壺1壺2壺3投中未投中投中未投中投中未投中高三年級(jí)4016090606090假設(shè)用頻率估計(jì)概率(1)若從所有選擇投壺2的學(xué)生中，隨機(jī)選擇一位學(xué)生，求這位學(xué)生在活動(dòng)中投中壺2的概率.(2)投壺活動(dòng)結(jié)束后，高三學(xué)生自發(fā)組織“過關(guān)比賽”比賽中，學(xué)生手拿三支箭，從壺1開始，按照壺1、壺2、壺3的次序，進(jìn)行投壺挑戰(zhàn).每次投壺時(shí)，學(xué)生投一支箭，若投中，學(xué)生按照順序投下一個(gè)投壺；若未投中，學(xué)生需要繼續(xù)投該壺，直到投中或箭矢耗盡當(dāng)學(xué)生投完三支箭，挑戰(zhàn)結(jié)束.某位高三學(xué)生即將參賽，假設(shè)用高三年級(jí)學(xué)生投中各壺的頻率估計(jì)這位學(xué)生投中各壺的概率，求這位學(xué)生在“過關(guān)比賽”中僅投中一次的概率.為鍛煉投壺技巧，某高三同學(xué)投壺2，一共投20次.假設(shè)每次投壺的結(jié)果互不影響，用高三年級(jí)學(xué)生投中壺2的頻率估計(jì)這位學(xué)生投中壺2的概率，那么在投完20次之后，這位同學(xué)投中壺2多少次的概率最大?（只需寫出結(jié)論）.解題方法與思路：利用定義發(fā)判斷單調(diào)性求最值利用導(dǎo)數(shù)法判斷單調(diào)性求最值利用函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性求最值二項(xiàng)分布中最值問題：記，則當(dāng)時(shí)，，pk遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減.故最大值在時(shí)取得（此時(shí)，兩項(xiàng)均為最大值；若非整數(shù)，則k取的整數(shù)部分時(shí)，最大且唯一）.1．（2025·云南昭通·一模）為提升大學(xué)生環(huán)保意識(shí)，牢固樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，某生物多樣性保護(hù)與綠色發(fā)展基金會(huì)舉辦了“2024年大學(xué)生環(huán)保知識(shí)競賽”．為了了解大學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的掌握情況，隨機(jī)抽取2000名大學(xué)生的競賽成績（單位：分），并以此繪制了如圖的頻率分布直方圖．(1)從競賽成績?cè)趦?nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取80名學(xué)生，用表示這80名學(xué)生中恰有名學(xué)生競賽成績?cè)诘母怕?，其中?，2，…，80．以樣本的頻率估計(jì)概率．①從這80名學(xué)生中任取一人，求這個(gè)學(xué)生的競賽成績?cè)诘母怕?；②?dāng)最大時(shí)，求．(2)若學(xué)生中男生人，其成績平均數(shù)記為，記方差為，女生為人，其成績平均數(shù)為，記方差為，把總體樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，方差記為，證明：．2．（2025·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）3月14日為國際數(shù)學(xué)日，也稱為節(jié)，為慶祝該節(jié)日，某中學(xué)舉辦了數(shù)學(xué)文化節(jié)活動(dòng)，其中一項(xiàng)活動(dòng)是“數(shù)學(xué)知識(shí)競賽”，競賽規(guī)則是：兩人一組，每一輪競賽中，小組兩人分別答3道題，若答對(duì)題目不少于5道題，則獲得1個(gè)積分．已知甲、乙兩名同學(xué)一組，甲同學(xué)和乙同學(xué)對(duì)每道題答對(duì)的概率分別是和，且每道題答對(duì)與否互不影響．(1)若，，求甲、乙同學(xué)這一組在一輪競賽中獲得1個(gè)積分的概率；(2)若，且每輪比賽互不影響，進(jìn)行n輪比賽后，甲、乙同學(xué)這一組獲得的積分為X分．若恒成立，求n的最小值．3、（2025·福建·模擬預(yù)測(cè)）為慶?！拔逡弧眹H勞動(dòng)節(jié)，某校舉辦“五一”文藝匯演活動(dòng)，本次匯演共有40個(gè)參賽節(jié)目，經(jīng)現(xiàn)場評(píng)委評(píng)分，分成六組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，第六組，得到如下頻率分布直方圖：(1)估計(jì)所有參賽節(jié)目評(píng)分的第85百分位數(shù)（保留1位小數(shù)）；(2)若評(píng)分結(jié)束后只對(duì)所有評(píng)分在區(qū)間的節(jié)目進(jìn)行評(píng)獎(jiǎng)（每個(gè)節(jié)目都能獲獎(jiǎng)，只有一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)），其中每個(gè)節(jié)目獲評(píng)為一等獎(jiǎng)的概率為，獲評(píng)為二等獎(jiǎng)的概率為，每個(gè)節(jié)目的評(píng)獎(jiǎng)結(jié)果相互獨(dú)立．（?。┰O(shè)參評(píng)節(jié)目中恰有2個(gè)一等獎(jiǎng)的概率為，求的極大值點(diǎn)；（ⅱ）以（?。┲凶鳛閜的值，若對(duì)這部分評(píng)獎(jiǎng)節(jié)目進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，已知一等獎(jiǎng)節(jié)目獎(jiǎng)金為500元，若要使得總獎(jiǎng)金期望不超過1400元，請(qǐng)估計(jì)二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的最大值．1．（2025·重慶·模擬預(yù)測(cè)）某校為慶祝建校百年，由學(xué)校團(tuán)委、學(xué)生會(huì)組織開展“奮斗進(jìn)程”校史知識(shí)競賽活動(dòng)，每位參賽者均需要回答個(gè)題目，可以從個(gè)組題目和若干個(gè)組題目中，共選擇3個(gè)題目作答.A組題目每正確回答1個(gè)得10分，B組題目每正確回答1個(gè)得分，不能正確回答的題目均不得分，參賽者總得分為3個(gè)題目得分之和.已知小王恰能正確回答A組題中的4個(gè)題目，B組題目每個(gè)正確回答的概率均為，且能否正確回答A組和B組題目互不影響.(1)已知小王兩組題目均有選擇，以他至少答對(duì)1個(gè)題目的概率為依據(jù)，試確定他分別選擇兩組題目的數(shù)量的策略；(2)記小王總得分為.（i）若選擇的3個(gè)題目均為A組題目，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（ii）試確定，使小王在選擇3個(gè)題目時(shí)，無論怎樣調(diào)整A、B組題目數(shù)量，其總得分保持期望穩(wěn)定，并說明理由.（參考公式：，其中、為隨機(jī)變量）2．（2025·上海普陀·二模）某區(qū)為推進(jìn)教育數(shù)字化轉(zhuǎn)型，通過聚合區(qū)域?qū)W校的教育資源，依托AI技術(shù)搭建了區(qū)域智慧題庫系統(tǒng)，形成了“通識(shí)過關(guān)—綜合拓展—?jiǎng)?chuàng)新提升”三層動(dòng)態(tài)原庫，且三層題量之比為，設(shè)該題庫中任意1道題被選到的可能性都相同.(1)現(xiàn)有4人參加一項(xiàng)比賽，若每人分別獨(dú)立地從該題庫中隨機(jī)選取一道題作答，求這4人中至少有2人的選題來自層的概率；(2)現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法，使用智能組卷系統(tǒng)從該題庫中選取12道題生成試卷，若某老師要從生成的這份12道題的試卷中隨機(jī)選取3道題做進(jìn)一步改編，記該老師選到層題的題數(shù)為，求的分布與期望．3．（2025·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）甲公司設(shè)計(jì)的健身可以幫助用戶制訂健身計(jì)劃，用戶按使用頻率可分為“活躍用戶”和“普通用戶”．根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，活躍用戶有能完成健身計(jì)劃，普通用戶僅能完成健身計(jì)劃．記活躍用戶與普通用戶的人數(shù)比值為．(1)若，從未完成健身計(jì)劃的用戶中隨機(jī)抽取人，求該用戶是普通用戶的概率；(2)甲公司從每個(gè)完成健身計(jì)劃的用戶處可獲得60元收益，從每個(gè)未完成健身計(jì)劃的用戶處可獲得20元收益，對(duì)每個(gè)活躍用戶要承擔(dān)元維護(hù)成本，對(duì)每個(gè)普通用戶要承擔(dān)元維護(hù)成本．設(shè)一個(gè)用戶給甲公司帶來的凈利潤(凈利潤收益維護(hù)成本)為元，當(dāng)滿足什么關(guān)系時(shí)，的數(shù)學(xué)期望與值無關(guān)？4．（2025·遼寧沈陽·模擬預(yù)測(cè)）進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，設(shè)每次成功的概率為，將試驗(yàn)進(jìn)行到首次成功時(shí)結(jié)束，以表示試驗(yàn)次數(shù)，則稱服從以為參數(shù)的幾何分布，記為，其中，．(1)若，（i）求和；（ii）；(2)若，，，求證：．5．（2025·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）小忠、小勇、小勤三人進(jìn)行乒乓球運(yùn)動(dòng)，贏一球得1分，輸球不得分．每局先得2分者獲勝，此局結(jié)束，負(fù)者換下．每一顆球，小忠勝小勇的概率為，小勇勝小勤的概率為（其中是每局中前一顆球打完時(shí)小勇得分減去小勤得分的值，規(guī)定：打第一顆球時(shí)）．小忠與小勇打一局，小忠得1分而下場的概率為．(1)求；(2)若小勇與小勤打了一局，求小勇的得分的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)若小勇和小勤首先上場打球，假設(shè)打每顆球和換人的用時(shí)均為30秒，小勇可以主動(dòng)認(rèn)輸，認(rèn)輸也會(huì)用時(shí)30秒（也算作在場上），認(rèn)輸后在下一顆球中，小勇勝小勤的概率為，其它兩人不能主動(dòng)認(rèn)輸．小勇要在接下來的6分鐘時(shí)間（含第6分鐘）使自己一直在場上的概率最大，他應(yīng)該努力達(dá)成何種狀態(tài)，說明其狀態(tài)并求出最大概率．6．（2025·江西南昌·二模）為宣揚(yáng)中國文化，某校組織古詩詞知識(shí)比賽.比賽分為兩階段，第一階段為基礎(chǔ)知識(shí)問答，每位選手都需要回答3個(gè)問題，答對(duì)其中至少2個(gè)問題，進(jìn)入第二階段，否則被淘汰；第二階段分高分組、和低分組，第一階段3個(gè)問題都答對(duì)的選手進(jìn)入高分組，共回答4個(gè)問題，每答對(duì)一個(gè)得20分，答錯(cuò)不得分；第一階段答對(duì)2個(gè)問題的選手進(jìn)入低分組，共回答4個(gè)問題，每答對(duì)一個(gè)得10分，答錯(cuò)不得分.第一階段，每個(gè)問題選手甲答對(duì)的概率都是；第二階段，若選手甲進(jìn)入高分組，每個(gè)問題答對(duì)的概率都是，若選手甲進(jìn)入低分組，每個(gè)問題答對(duì)的概率都是.(1)求選手甲第一階段不被淘汰的概率；(2)求選手甲在該次比賽得分?jǐn)?shù)為40分的概率；(3)已知該次比賽選手甲進(jìn)入了高分組，記選手甲在該次比賽中得分?jǐn)?shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和期望值.7．（2025·江蘇常州·模擬預(yù)測(cè)）某校為慶祝建校百年，學(xué)校組織建校百年校友體育賽，賽事間隙舉行了一次有關(guān)三大球類運(yùn)動(dòng)的知識(shí)競賽，海量題庫中籃球?足球?排球三類相關(guān)知識(shí)題量占比分別為．甲校友回答籃球、足球、排球這三類問題中每個(gè)題的正確率分別為．(1)若甲校友在該題庫中任選一題作答，求他回答正確的概率；(2)若甲校友從這三類題中各任選一題作答，每回答正確一題得3分，回答錯(cuò)誤得分．設(shè)該校友回答三題后的總得分為分，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)知識(shí)競賽規(guī)則：隨機(jī)從題庫中抽取道題目，答對(duì)題目數(shù)不少于道，即可獲得獎(jiǎng)勵(lì)．現(xiàn)以獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率大小為依據(jù)，若甲校友在和之中選其一，則他應(yīng)如何選擇？并說明理由．8．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）為了解一種新藥治療某疾病的效果，在獲得有關(guān)部門批準(zhǔn)后，制藥公司在若干醫(yī)院進(jìn)行試驗(yàn)，每個(gè)醫(yī)院選10個(gè)病人服用此藥，規(guī)定：若這10個(gè)病人中至少有5人痊愈，則認(rèn)為這種藥有效，否則認(rèn)為這種藥無效.(1)甲醫(yī)院參加試驗(yàn)的10個(gè)病人服用該藥后有6人痊愈，乙醫(yī)院參加試驗(yàn)的10個(gè)病人服用該藥后有7人痊愈，現(xiàn)隨機(jī)從甲、乙兩醫(yī)院中選擇一個(gè)醫(yī)院，然后從參加試驗(yàn)的10個(gè)病人中隨機(jī)抽取2人，求恰好抽到痊愈、未痊愈的病人各1人的概率；(2)假設(shè)這種新藥的治愈率為80%，且每個(gè)病人服藥后是否痊愈相互獨(dú)立，求某醫(yī)院經(jīng)過試驗(yàn)認(rèn)定該藥無效的概率；（結(jié)果精確到0.0001）(3)若已知這種病的自然痊愈率為10%，根據(jù)（2）的結(jié)果解釋規(guī)定是否合理.參考數(shù)據(jù)：512×62201≈32000000.9（2025·貴州黔東南·模擬預(yù)測(cè)）某商場推出了購物抽獎(jiǎng)活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：如圖，在點(diǎn)A，B，C，D，E處各安裝了一盞燈，每次只有一處的燈亮起.初始狀態(tài)是點(diǎn)A處的燈亮起，程序運(yùn)行次數(shù)的上限為（，），然后按下開始按扭，程序開始運(yùn)行，第1次是與A相鄰點(diǎn)處的其中一盞燈隨機(jī)亮起，第n次是與第次燈亮處相鄰點(diǎn)的其中一盞燈隨機(jī)亮起.若在運(yùn)行過程中，點(diǎn)A處的燈再次亮起，則游戲結(jié)束，否則運(yùn)行n次后游戲自動(dòng)結(jié)束.在程序運(yùn)行過程中，若點(diǎn)A處的燈再次亮起，則顧客獲獎(jiǎng).已知顧客小明參與了該購物抽獎(jiǎng)活動(dòng).(1)求程序運(yùn)行2次小明獲獎(jiǎng)的概率；(2)若，求小明獲獎(jiǎng)的概率；(3)若，記游戲結(jié)束時(shí)程序運(yùn)行的次數(shù)為X，求X的分布列與期望.10．（2025·陜西商洛·模擬預(yù)測(cè)）在雙碳戰(zhàn)略之下，新能源汽車發(fā)展成為乘用車市場轉(zhuǎn)型升級(jí)的重要方向，2024年我國新能源汽車銷量繼續(xù)走高．為了解新能源汽車車主對(duì)新能源汽車的滿意程度，某市某品牌的新能源汽車經(jīng)銷商從購買了該品牌新能源汽車的車主中隨機(jī)選取了100人進(jìn)行問卷調(diào)查，并根據(jù)其滿意度評(píng)分（單位：分，總分100分）制作了如下的頻數(shù)分布表：滿意度評(píng)分頻數(shù)101520301510(1)計(jì)算滿意度評(píng)分的樣本平均數(shù)和樣本中位數(shù)；（每組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）(2)根據(jù)頻數(shù)分布表可以認(rèn)為該市該品牌新能源汽車車主對(duì)新能源汽車的滿意度評(píng)分近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，并求得．若該市恰有1萬名該品牌的新能源汽車車主，試估計(jì)這些車主中滿意度評(píng)分位于區(qū)間的人數(shù)；(3)為提升新能源汽車的銷量，該品牌4S店針對(duì)購買該品牌新能源汽車的顧客設(shè)置了抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié)，抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：每人可參加2次抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都從裝有3個(gè)紅球、3個(gè)白球（形狀、大小、質(zhì)地完全相同）的抽獎(jiǎng)箱里一次性摸出3個(gè)球，若摸出3個(gè)紅球，則返還2000元現(xiàn)金；若摸出2個(gè)紅球，則返還1000元現(xiàn)金，其余情況不返還任何現(xiàn)金（兩次抽獎(jiǎng)返現(xiàn)金額疊加）．已知小王參加了抽獎(jiǎng)，記他獲得的返現(xiàn)金額為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則.11．（2025·四川綿陽·模擬預(yù)測(cè)）某汽車公司擬對(duì)“東方紅”款高端汽車發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行科技改造，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到科技改造投入（億元）與科技改造直接收益（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：23468101321222324251322314250565868.56867.56668當(dāng)時(shí)，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型①；模型②：；(1)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)時(shí)模型①、②的相關(guān)指數(shù)，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)對(duì)“東方紅”款汽車發(fā)動(dòng)機(jī)科技改造的投入為16億元時(shí)的直接收益.回歸模型模型①模型②回歸方程182.479.2（附1：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)）(2)科技改造后，“東方紅”款汽車發(fā)動(dòng)機(jī)的熱效率X大幅提高，X服從正態(tài)分布，公司對(duì)科技改造團(tuán)隊(duì)的獎(jiǎng)勵(lì)方案如下：若發(fā)動(dòng)機(jī)的熱效率不超過50%，不予鼓勵(lì)；若發(fā)動(dòng)機(jī)的熱效率超過50%但不超過53%，每臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)獎(jiǎng)勵(lì)2萬元；若發(fā)動(dòng)機(jī)的熱效率超過53%，每臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)獎(jiǎng)勵(lì)4萬元.求每臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)獲得獎(jiǎng)勵(lì)的分布列和數(shù)學(xué)期望.（附2：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.）12．（2025·湖北襄陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，某人設(shè)計(jì)了一個(gè)類似于高爾頓板的游戲：將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的中間入口處，小球?qū)⒆杂上侣?，小球在下落的過程中，將次遇到黑色障礙物，已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí)，向左、右兩邊下落的概率都是，最后落入袋或袋中.一次游戲中小球落入袋記分，落入袋記分，游戲可以重復(fù)進(jìn)行.游戲過程中累計(jì)得分的概率為.(1)求、、；(2)求出的通項(xiàng)公式.13、（2025·四川綿陽·模擬預(yù)測(cè)）甲乙兩人參加單位組織的知識(shí)答題活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲乙各答一個(gè)題，已知甲、乙第一輪答對(duì)的概率都為．甲如果第輪答對(duì)，則他第輪也答對(duì)的概率為，如果第輪答錯(cuò)，則他第輪也答錯(cuò)的概率為；乙如果第輪答對(duì)，則他第輪也答對(duì)的概率為，如果第輪答錯(cuò)，則他第輪也答錯(cuò)的概率為．在每輪活動(dòng)中，甲乙答對(duì)與否互不影響．(1)若前兩輪活動(dòng)中第二輪甲乙都答對(duì)求兩人第一輪也都答對(duì)的概率；(2)求證：，甲在第輪答對(duì)的概率為定值；14（2025·黑龍江·二模）為引導(dǎo)鄉(xiāng)村老年人參與全民健身活動(dòng)，積極倡導(dǎo)和踐行健康生活方式，某鄉(xiāng)村開展“趣味套圈圈玩出‘年輕態(tài)’”志愿者服務(wù)活動(dòng)，旨在豐富老年人的精神文化生活，營造尊老、愛老、敬老的濃厚和諧鄰里氛圍.活動(dòng)開始，志愿者為大家講解游戲規(guī)則：參加活動(dòng)的每位老年人均可領(lǐng)2個(gè)圈圈且均需用完，一個(gè)圈圈只能套一次獎(jiǎng)品（獎(jiǎng)品為一瓶洗發(fā)水），每次套中獎(jiǎng)品與否相互獨(dú)立，套中的獎(jiǎng)品可被老年人帶走.已知王大爺每次套中獎(jiǎng)品的概率為，張大爺每次套中獎(jiǎng)品的概率為.(1)若，王大爺套完兩次后，記王大爺套中的獎(jiǎng)品的個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)王大爺、張大爺都套完兩次后，求兩人總共套中的獎(jiǎng)品個(gè)數(shù)為3的概率的最大值.15（2025·黑龍江哈爾濱·一模）“冰雪同夢(mèng)，亞洲同心”，年第九屆亞冬會(huì)在哈爾濱舉辦，本次賽事共有個(gè)大項(xiàng)，個(gè)分項(xiàng)，個(gè)小項(xiàng)，有來自個(gè)國家和地區(qū)，多名運(yùn)動(dòng)員參賽，是一場令人回味無窮的冬季體育盛會(huì)，亞冬會(huì)圓滿結(jié)束后，我校團(tuán)委組織學(xué)生參加與亞冬會(huì)有關(guān)的知識(shí)競賽.為鼓勵(lì)同學(xué)們積極參加此項(xiàng)活動(dòng)，比賽規(guī)定：答對(duì)一題得兩分，答錯(cuò)一題得一分，選手不放棄任何一次答題機(jī)會(huì).已知小明報(bào)名參加比賽，每道題回答是否正確相互獨(dú)立，且每次答對(duì)的概率不一定相等.(1)若前三道試題，小明每道試題答對(duì)的概率均為，①設(shè)，記小明答完前三道題得分為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；②若小明答完前四道題得分的概率為，求小明答完前四題時(shí)至少答對(duì)三題的概率的最小值；(2)若小明答對(duì)每道題的概率均為，因?yàn)樾∶鞔饘?duì)第一題或前兩題都答錯(cuò)，均可得到兩分，稱此時(shí)小明答題累計(jì)得分為，記小明答題累計(jì)得分為的概率為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.1．（2025·北京·高考真題）某次考試中，只有一道單項(xiàng)選擇題考查了某個(gè)知識(shí)點(diǎn)，甲、乙兩校的高一年級(jí)學(xué)生都參加了這次考試.為了解學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，隨機(jī)抽查了甲、乙兩校高一年級(jí)各100名學(xué)生該題的答題數(shù)據(jù)，其中甲校學(xué)生選擇正確的人數(shù)為80，乙校學(xué)生選擇正確的人數(shù)為75.假設(shè)學(xué)生之間答題相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.(1)估計(jì)甲校高一年級(jí)學(xué)生該題選擇正確的概率(2)從甲、乙兩校高一年級(jí)學(xué)生中各隨機(jī)抽取1名，設(shè)X為這2名學(xué)生中該題選擇正確的人數(shù)，估計(jì)的概率及X的數(shù)學(xué)期望；(3)假設(shè)：如果沒有掌握該知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生就從題目給出的四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇一個(gè)作為答案；如果掌握該知識(shí)點(diǎn)，甲校學(xué)生選擇正確的概率為，乙校學(xué)生選擇正確的概率為.設(shè)甲、乙兩校高一年級(jí)學(xué)生掌握該知識(shí)點(diǎn)的概率估計(jì)值分別為，，判斷與的大?。ńY(jié)論不要求證明）.2．（2025·全國一卷·高考真題）為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過超聲波檢查的人群中隨機(jī)調(diào)查了1000人，得到如下列聯(lián)表：超聲波檢查結(jié)果組別正常不正常合計(jì)患該疾病20180200未患該疾病78020800合計(jì)8002001000(1)記超聲波檢查結(jié)果不正常者患該疾病的概率為p，求p的估計(jì)值；(2)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析超聲波檢查結(jié)果是否與患該疾病有關(guān).附，0.0500.0100.0013.8416.63510.8283．（2025·全國二卷·高考真題）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球練習(xí)，每個(gè)球勝者得1分，負(fù)者得0分．設(shè)每個(gè)球甲勝的概率為，乙勝的概率為q，，且各球的勝負(fù)