北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊第四章同步測試題及答案4.1成比例線段1.已知三條線的比如下，可以組成三角形的是（）A.5：20：30B.10：20：30C.15：15：30D.20：30：302.下列四條線段中，不能成比例的是（）A.a＝3，b＝6，c＝2，d＝4B.a＝1，b＝2，c＝6，d＝3C.a＝4，b＝6，c＝5，d＝10D.a＝2，b＝5，c＝15，d＝233.在比例尺為1：n的某市地圖上，A，B兩地相距5cm，則A，B之間的實(shí)際距離為（）A.15ncmB.125n2cmC.4.若x5=y7,則A.57B.75.如果ab＝cA.ac＝dbB.acbd＝cbC.a+1b＝6.若a:b:c=3:5:7,且3a+2b-4c=9,則a+b+c的值等于（）A.-3B.-5C.-7D.-157.已知M是線段AB延長線上一點(diǎn)，且AM：BM＝5：2則AB：BM為（）A.3：2B.2：3C.3：5D.5：28.某班同學(xué)要測量學(xué)校升國旗的旗桿高度，在同一時(shí)刻，量得某同學(xué)的身高是1.5米，影長是1米，且旗桿的影長為8米，則旗桿的高度是（）A.12米B.11米C.10米D.9米9.若a?bb＝47，則10.若ab＝cd＝25（b＋d≠0），則a+c11.已知a+2b2a?b=912.如果兩地相距250km，那么在1：10000000的地圖上它們相距____cm。13.在Rt△ABC中，斜邊AB＝205，ACBC14.在△ABC中，AB＝12，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)D在AB上，若AE＝6，EC＝4，ADDB（1）求AD的長；（2）試問DBAB

答案1.【答案】D【解析】設(shè)一份為1，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：選項(xiàng)A，5+20＜30，不能組成三角形；選項(xiàng)B，10+20=30，不能組成三角形；選項(xiàng)C，15+15=30，不能組成三角形；選項(xiàng)D，20+30＞30，能組成三角形.故選D.2.【答案】C【解析】∵36=24，故選項(xiàng)A中的線段成比例；∵12=22，623=22，故選項(xiàng)3.【答案】C【解析】設(shè)A、B之間的實(shí)際距離為xcm，則1：n=5：x，解得x=5ncm，故選C．點(diǎn)睛：本題考查了比例尺的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)比例尺的性質(zhì)列方程，解方程即可，注意統(tǒng)一單位．4.【答案】A【解析】已知x5=y7,根據(jù)比例的性質(zhì)可得x5.【答案】D【解析】已知ab=cd成立，根據(jù)比例的性質(zhì)可得選項(xiàng)A、B、C都不成立；選項(xiàng)D，由a+2bb＝c+2dd可得a點(diǎn)睛：本題主要考查了比例的性質(zhì)，熟練運(yùn)用比例的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.6.【答案】D【解析】已知a:b:c=3:5:7，設(shè)a=3k，b=5k，c=7k，由3a+2b-4c=9可得9k+10k-28k=9，解得k=-1，所以a=-3，b=-5，c=-7，即可得a+b+c=-15，故選D.7.【答案】A【解析】設(shè)AM＝5k，BM=2k，則AB=AM-BM=3k，所以AB∶BM=3k∶2k=3∶2，故選A.8.【答案】A【解析】因?yàn)樵谕粫r(shí)刻同一地點(diǎn)任何物體的高與其影子長比值是相同的，所以同學(xué)的身高與其影子長的比值等于旗桿的高與其影子長的比值．設(shè)旗桿的高度為x，根據(jù)在同一時(shí)刻同一地點(diǎn)任何物體的高與其影子長比值是相同的，得：1.51=x點(diǎn)評：解題關(guān)鍵是知道在同一時(shí)刻同一地點(diǎn)任何物體的高與其影子長比值是相同的．9.【答案】11【解析】已知a-bb＝47，根據(jù)比例的性質(zhì)可得a?bb10.【答案】2【解析】已知（b+d≠0），根據(jù)等比性質(zhì)可得.11.【答案】19【解析】∵，∴5(2a+3b)=12(a+2b),整理得2a=-9b，所以，=4.5.12.【答案】2.5【解析】根據(jù)圖上距離=實(shí)際距離×比例尺，可得圖上距離=250×110000000=0.000025千米13.【答案】AC=45BC=200.【解析】根據(jù)ACBC=940可設(shè)AC=9x，BC=40x，根據(jù)勾股定理列出方程求得x的值，即可得AC、BC的值.設(shè)AC=9x，BC=40x，根據(jù)勾股定理可得AC14.【答案】(1)AD=365【解析】（1）設(shè)AD=x，則BD=AB-AD=（12-x）cm，根據(jù)比例式列出方程求得x的值，即可得AD的長；(2)根據(jù)所求得的數(shù)據(jù)計(jì)算即可得結(jié)論.解：(1)設(shè)AD=x,則BD=AB-AD=（12-x）cm，x：12-x=6：4，解得x=7.2，∴AD=7.2；(2)能,由AB＝12，AD＝365，故DB＝24于是DBAB又ECAC=4104.2平行線分線段成比例一.填空題：1.如圖，梯形ABCD，AD//BC，延長兩腰交于點(diǎn)E，若AD=2，BC=6，AB=4，則EDEC=2.如圖，ΔABC中，EF//BC，AD交EF于G，已知EG=2，GF=3，BD=5，則DC=.3.如圖，梯形ABCD中，DC//AB，DC=2，AB=3.5，且MN//PQ//AB，DM=MP=PA，則MN＝________，PQ＝________4.如圖，菱形ADEF，AB=7，AC=5，BC=6，則BE＝________.5.如圖，EA//FC，EB//FD，則AB與CD的位置關(guān)系是________.6.如圖，D是BC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)，BM的延長線交AC于N，則AN:NC＝________。二.選擇題7.如圖，H為平行四邊形ABCD中AD邊上一點(diǎn)，且AH=12DH，AC和BH交于點(diǎn)K，則A.1:2B.1:1C.1:3D.2:38.如圖，ΔABC中，D在AB上，E在AC上，下列條件中，能判定DE//BC的是（）A.AD?AC=AE?ABB.AD?AE=EC?DBC.AD?AB=AE?ACD.BD?AC=AE?AB9.如圖，中，DE//BC，BE與CD交于點(diǎn)O，AO與DE、BC交于N、M，則下列式子中錯(cuò)誤的是（）A.DNBM=ADABB.AD10.如圖，l1//l2//l3，l4與交于點(diǎn)P，PA=a，AB=b，BC=cA.abB.bdC.aeD.ce11.如圖，中，ADDB=AEECA.12B.13C.1三.解答題：12.如圖，已知菱形BEDF內(nèi)接于，點(diǎn)E、D、F分別在AB、AC和BC上，若AB=15，BC=12，求菱形邊長。13.如圖，已知中，DE//BC，AD=8，AC=6，BD=AE，求BD的長。14.如圖，中，AD是角平分線，DE//AC交AB于E，已知AB=12，AC=8，求DE。15.在中，BD是AC邊上的中線，，且AE與BD相交于點(diǎn)F，試說明：ABBC=EF16.如圖F為平行四邊形ABCD的AD延長線上一點(diǎn)，BF分別交CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE。

答案一.填空題：1.【答案】13【解析】∵AD∥BC，∴EDEC=ADBC=2.【答案】15【解析】∵EF∥BC，∴EGBD=AGAD，GFDC=AG3.【答案】2.53【解析】如圖，過點(diǎn)D作DE∥BC，分別交MN、PQ、AB于點(diǎn)H、F、E三點(diǎn)，∵M(jìn)N//PQ//AB∥DC，∴DC∥HN∥FQ∥EB，∴BE=FQ=HN=DC=2，（夾在平行線間的平行線段相等），∴AE=AB-BE=3.5-2=1.5.∵M(jìn)N//PQ//AB，∴MHAE=DMAD，PFAE=DP=1，∴MN=MH+HN=0.5+2=2.5，PQ=PF+FQ=1+2=3.點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是通過作DE∥BC（也可作CE∥AD）交MN于點(diǎn)H，從而把MN分成MH和HN兩段來求.（1）利用“夾在平行間的平行線段相等”可求得HN=DC=BE=2；（2）在左側(cè)的△DAE中利用“平行線分線段成比例定理”可解得MH的長；兩者結(jié)合即可求得MN的長.4.【答案】3.5【解析】∵四邊形ADEF是菱形，∴AD=DE，DE∥AC.∴BDAB=DEAC，設(shè)DE=x，則AD=x，BD=AB-AD=7?x，∴7?x7=x5，解得：5.【答案】平行【解析】∵EA//FC，EB//FD，∴,，∴OAAC=OBBD，∴6.【答案】1:2【解析】如圖，過點(diǎn)D作DE∥BN，交AC于點(diǎn)E，∵D是BC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)，∴NEEC=BDDC=1點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是過BC的中點(diǎn)D作DE∥BN交AC于點(diǎn)E，從而可在△BCN和△ADC中分別利用“平行線分線段成比例定理”結(jié)合點(diǎn)D、M分別是BC、AD的中點(diǎn)證得：AN=NE=EC，從而求得AN：NC的值.二.選擇題7.【答案】C【解析】∵AH=12DH，∴AHAD=13，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC∴AK：KC=1：3，故選B．8.【答案】A【解析】A選項(xiàng)中，由AD?AC=AE?AB可得：ADAB=AEAC，由此可得DE//BC，因此可以選A.B選項(xiàng)中，由AD?AE=EC?DB可得：ADDB=ECAE，由此不能得到DE//BC，因此不能選B.C選項(xiàng)中，由AD?AB=AE?AC可得：ADAE=ACAB，由此不能得到DE//BC，因此不能選C.D選項(xiàng)中，由9.【答案】D【解析】∵DE//BC，∴,,,.∴上述結(jié)論中，A、B、C成立，錯(cuò)誤的是D.故選D.10.【答案】D【解析】∵l1//l2//l3，∴AB:BC=DE:EF，又∵AB=b，BC=c，DE=e，EF=f11.【答案】B【解析】∵ADDB=AEEC=12，三.解答題：12.【答案】菱形邊長為203【解析】設(shè)菱形的邊長為x，由四邊形BEDF是菱形可得：DF∥AB，由此可得DFAB=CF解：∵四邊形BEDF是菱形，∴BE=ED=DF=BF，設(shè)菱形邊長為x，∵DF∥AB，∴DFAB=CF解得：x=203，即：菱形的邊長為：13.【答案】4.【解析】由DE∥BC可得AD:AB=AE:AC，結(jié)合BD=AE，AD=8，AC=6，可得8：（8+BD）=BD:6，解此方程可得BD的長.解：∵DE∥BC，∴AD:AB=AE:AC，又∵BD=AE，AD=8，AC=6，∴AB=8+BD，∴8：(8+BD)=BD：6即BD2+8BD-48=0.解得：BD=4或BD=-12（不合題意，舍去）.14.【答案】4.8.【解析】如圖，由AD平分∠BAC可得∠1=∠2；由DE∥AC可得∠1=∠3；兩者結(jié)合可得∠1=∠2，從而可得DE=AE，則BE=AB-DE=12-DE；由DE∥AC可得DEAC=BEAB，結(jié)合已知可得：DE8解：∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵DE∥AC，∴∠1=∠3，DEAC∴∠1=∠2，∴DE=AE，則BE=AB-DE=12-DE，∴DE8=12-DE點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是“能由AD平分∠BAC，DE∥AC證得：AE=DE”，從而可用含DE的式子把BE表達(dá)出來，再由平行線分線段成比例就可列式解出DE.15.【答案】詳見解析.【解析】過點(diǎn)E作EM∥BD交AC于點(diǎn)M，則由此可得：BEBC=DMDC，EFAF=DMAD，結(jié)合解：過點(diǎn)E作EM∥BD交AC于點(diǎn)M，∴BEBC=DM又∵AD=DC，∴BEBC又∵BE=AB，∴ABBC16.【答案】16.【解析】利用平行四邊形的性質(zhì)得出△AFE∽△CBE，△DFG∽△CBG，再利用相似三角形的性質(zhì)即可解答．解：設(shè)BE=x，∵EF=32，GE=8，∴FG=32-8=24，∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴EFEB=AFBC∵DG∥AB，∴△DFG∽△CBG，∴DFBC=248+x解得：x=±16（負(fù)數(shù)舍去），故BE=16．4.3相似多邊形一、選擇題1.用一個(gè)2倍放大鏡照一個(gè)△ABC，下面說法中錯(cuò)誤的是（）A.△ABC放大后，是原來的2倍B.△ABC放大后，各邊長是原來的2倍C.△ABC放大后，周長是原來的2倍D.△ABC放大后，面積是原來的4倍2.我國國土面積約為960萬平方千米，畫在比例尺為1：1000萬的地圖上的面積約是（）A.960平方千米B.960平方米C.960平方分米D.960平方厘米3.如圖，一張矩形紙片ABCD的長AB=a，寬BC=b．將紙片對折，折痕為EF，所得矩形AFED與矩形ABCD相似，則a：b=（）A.2：1B.2：1C.3：3D.3：24.兩個(gè)相似多邊形的一組對分別是3cm和4.5cm，如果它們的面積之和是78cmA.44.8B.42C.52D.545.若兩個(gè)相似多邊形的面積之比為1：4，則它們的周長之比為（）A.1：4B.1：2C.2：1D.4：16.如圖所示，兩個(gè)等邊三角形，兩個(gè)矩形，兩個(gè)正方形，兩個(gè)菱形各成一組，每組中的一個(gè)圖形在另一個(gè)圖形的內(nèi)部，對應(yīng)邊平行，且對應(yīng)邊之間的距離都相等，那么兩個(gè)圖形不相似的一組是（）A.B.C.D.7.某塊面積為4000m2的多邊形草坪，在嘉興市政建設(shè)規(guī)劃設(shè)計(jì)圖紙上的面積為25A.4cmB.5cmC.10cmD.40cm8.一個(gè)多邊形的邊長分別為2，3，4，5，6，另一個(gè)多邊形和這個(gè)多邊形相似，且最短邊長為6，則最長邊長為（）A.18B.12C.24D.309.若兩個(gè)相似多邊形的面積之比為1：4，則它們的周長之比為（）A.1：4B.1：2C.2：1D.4：110.如果兩個(gè)相似多邊形面積的比為1：5，則它們的相似比為（）A.1：25B.1：5C.1：2.5D.111.對一個(gè)圖形進(jìn)行放縮時(shí)，下列說法中正確的是（）A.圖形中線段的長度與角的大小都保持不變B.圖形中線段的長度與角的大小都會(huì)改變C.圖形中線段的長度保持不變、角的大小可以改變D.圖形中線段的長度可以改變、角的大小保持不變12.下面給出了一些關(guān)于相似的命題，其中真命題有（）（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六邊形都相似．A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)13.如果兩個(gè)相似多邊形的面積比為16：9，那么這兩個(gè)相似多邊形的相似比為（）A.16：9B.4：3C.2：3D.256：8114.下列判斷正確的是（）A.所有的直角三角形都相似B.所有的等腰直角三角形都相似C.所有的菱形都相似D.所有的矩形都相似15.如圖，用放大鏡將圖形放大，這種圖形的改變是（）A.相似B.平移C.軸對稱D.旋轉(zhuǎn)二、填空題16.若兩個(gè)相似多邊形的對應(yīng)邊之比為5：2，則它們的周長比是_____．17.圖中的兩個(gè)四邊形相似，則x+y=______，a=______．18.若兩個(gè)相似多邊形的面積比是16：25，則它們的周長比等于______．19.如圖，在長8cm，寬4cm的矩形中截去一個(gè)矩形（陰影部分）使留下的矩形與原矩形相似，那么留下的矩形的面積為______cm220.如圖，E、F分別是平行四邊形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)，若四邊形AEFB與四邊形ABCD相似，AB=4，則AD的長度為______．三、解答題21.如圖，四邊形ABCD和四邊形EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH的長度．22.兩個(gè)相似五邊形，一組對應(yīng)邊的長分別為3cm和4.5cm，如果它們的面積之和是78cm2，則這兩個(gè)五邊形面積各是多少cm23.把一個(gè)長方形（如圖）劃分成兩個(gè)全等的長方形．若要使每一個(gè)小長方形與原長方形相似，問原長方形應(yīng)滿足什么條件？24.如圖，把矩形ABCD對折，折痕為MN，矩形DMNC與矩形ABCD相似，已知AD＝2，求AB25.我們通常用到的一種復(fù)印紙，整張稱為A1紙，對折一分為二裁開成為A2紙，再一分為二成為A3

答案一、選擇題1.【答案】A【解析】用一個(gè)4倍放大鏡照△ABC，放大后與原三角形相似且相似比為1：4，相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比等于相似比、對應(yīng)周長的比等于相似比，面積比等于相似比的平方，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選A．考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì)．2.【答案】D【解析】相似多邊形的面積比等于相似比的平方，據(jù)此求解，注意統(tǒng)一單位．960萬平方千米=9.6×1016平方厘米，設(shè)畫在地圖上的面積約為x平方厘米，則x:9.6×1016=(1:1000萬)2，解得x=960.則畫在地圖上的面積約為960平方厘米.故選D.3.【答案】B【解析】根據(jù)折疊性質(zhì)得到AF=AB=a，再根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得到=，即=，然后利用比例的性質(zhì)計(jì)算即可．∵矩形紙片對折，折痕為EF，∴AF=AB=a，∵矩形AFED與矩形ABCD相似，∴=，即=，∴（）2=2，∴=．故選B．考點(diǎn)：相似多邊形的性質(zhì)．4.【答案】D【解析】設(shè)較大多邊形的面積為Scm2，則較小多邊形的面積為：（78-S）cm2.∵兩個(gè)相似多邊形的一組對應(yīng)邊長分別為3cm和4.5cm，∴(4.5:3)2=S:(78?S)，解得S=54（cm2）.故選D.點(diǎn)睛：本題是一道關(guān)于相似圖形的題目，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似圖形的性質(zhì).5.【答案】B【解析】根據(jù)相似多邊形的面積之比等于相似比的平方，周長之比等于相似比，就可求解．∵兩個(gè)相似多邊形面積比為1:4，∴周長之比為14=1:2.故選：6.【答案】B【解析】由題意得，A中三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，兩三角形相似；C，D中正方形，菱形四條邊均相等，所以對應(yīng)邊成比例，有因?yàn)榻且蚕嗟龋哉叫?，菱形相?而B中矩形四個(gè)角相等，但對應(yīng)邊不一定成比例，所以B中矩形不是相似多邊形.故選B.7.【答案】C【解析】設(shè)這塊草坪在設(shè)計(jì)圖紙上的長度是xcm，4000m2=40000000m2，40m=4000cm，根據(jù)題意得：40000000：250=(4000：x)2，解得：x=10，即這塊草坪在設(shè)計(jì)圖紙上的長度是10cm.故選C.8.【答案】A【解析】根據(jù)題意找出最短邊與最長邊，然后根據(jù)相似多邊形對應(yīng)邊成比例列式計(jì)算即可．設(shè)這個(gè)多邊形的最長邊是x，則2：6=6：x，解得x=18.故選A.9.【答案】B【解析】根據(jù)相似多邊形的面積之比等于相似比的平方，周長之比等于相似比，就可求解．∵兩個(gè)相似多邊形面積比為1:4，∴周長之比為14=1:2.故選：10.【答案】D【解析】根據(jù)相似多邊形的面積的比等于相似比的平方解答即可：∵兩個(gè)相似多邊形面積的比為1：5，∴它們的相似比為1：5考點(diǎn)：相似多邊形的性質(zhì)．11.【答案】D【解析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等，可知對一個(gè)圖形進(jìn)行收縮時(shí)，圖形中線段的長度改變，角的大小不變，故選D．點(diǎn)睛：本題主要考查相似圖形的性質(zhì).理解相似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.12.【答案】C【解析】（1）所有菱形的對應(yīng)角不一定相等，故菱形不一定都相似；（2）等腰直角三角形都相似，正確；（3）正方形都相似，正確；（4）矩形對應(yīng)邊比值不一定相等，不矩形不一定都相似；故符合題意的有2個(gè)．故選：B．考點(diǎn)：1．相似圖形；2．命題與定理．13.【答案】B【解析】根據(jù)相似多邊形的面積比等于相似比的平方，可得相似比為4:3，故本題選B．考點(diǎn)：相似多邊形的性質(zhì)14.【答案】B【解析】A.所有的直角三角形只有直角相等，所以不一定都相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.所有的等腰直角三角形都相似正確，故本選項(xiàng)正確；C.所有的菱形只有對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角不一定相等，所以不一定相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.所有的矩形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊不一定成比例，則不一定相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤。故選B.15.【答案】A【解析】根據(jù)軸對稱變換、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、相似變換的特點(diǎn)，結(jié)合圖形即可得出答案．根據(jù)相似圖形的定義知，用放大鏡將圖形放大，屬于圖形的形狀相同，大小不相同，所以屬于相似變換.故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查相似的概念.熟記各種圖形變換的概念是解題的關(guān)鍵.二、填空題16.【答案】5：2【解析】∵兩個(gè)相似多邊形的對應(yīng)邊的比是5:2，∴這兩個(gè)多邊形的周長比是5:2.故答案為：5:2.17.【答案】(1).63(2).85°【解析】由于兩個(gè)四邊形相似，它們的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等，所以18:4=x:8=y:6，解得x=36，y=27，則x+y=36+27=63.a=360°?(77°+83°+115°)=85°.故答案為63，85°.18.【答案】4：5【解析】∵兩個(gè)相似多邊形面積的比為16:25，∴兩個(gè)相似多邊形的相似比等于4:5，∴這兩個(gè)相似多邊形周長的比是4:5.故答案為：4:5.19.【答案】8．【解析】本題需先設(shè)留下的矩形的寬為x，再根據(jù)留下的矩形與矩形相似，列出方程即可求出留下的矩形的面積．設(shè)留下的矩形的寬為x，∵留下的矩形與矩形相似，∴x：4=4：8，解得，x=2，∴留下的矩形的面積為：2×4=8(cm2).故答案為：8.20.【答案】4【解析】設(shè)AE=x，則AD=2x，∵四邊形ABCD與矩四邊形ABFE是相似的，∴AE：AB=AB：AD，∴AB2=2x2，∴AB=2x=4，∴x=22，∴AD=42，故答案為：42.點(diǎn)睛：本題主要考查相似的性質(zhì).利用相似的性質(zhì)建立方程是解題的關(guān)鍵.三、解答題21.【答案】∠α=83°，∠β=81°，EH=28cm．【解析】利用相似多邊形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的成相等，對應(yīng)角相等，即可求解.解：∵四邊形ABCD和四邊形EFGH相似，∴∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°，∠β=360°-（83°+78°+118°）=81°，EH：AD=HG：DC，∴EH21∴EH=28（cm）．答：∠α=83°，∠β=81°，EH=28cm.22.【答案】較小五邊形與較大五邊形的面積分別是24cm2，54cm【解析】根據(jù)相似多邊形相似比即對應(yīng)邊的比，面積的比等于相似比的平方，即可解決．解：設(shè)較小五邊形與較大五邊形的面積分別是xcm2，則xy=（3根據(jù)面積之和是78cm2，得到4解得：y=54，則x=4即較小五邊形與較大五邊形的面積分別是24cm2，54cm23.【答案】原長方形的長與寬之比為2：【解析】根據(jù)相似多邊形的對應(yīng)邊的比相等，建立方程解之即可得出結(jié)論.解：設(shè)AE=ED=a，AB=b，∵每一個(gè)小長方形與原長方形相似，∴ab=b2a∵a，b均為正數(shù)，∴b=2∴ADAB∴原長方形的長與寬之比為2：24.【答案】AB=1．【解析】先根據(jù)AD的值可求出MD的長，再根據(jù)矩形DMNC與矩形ABCD相似得出矩形對應(yīng)邊的比例式，求出AB的長即可．解：∵AD=2，∴MD=NC=22∵矩形DMNC與矩形ABCD相似，∴NCAB=MNAD∴AB=1.25.【答案】1.414【解析】分別設(shè)A1紙的長為a，寬為b，A2紙的長為b，寬為a2，再由相似多邊形的對應(yīng)邊成比例列出比例式，求出a解：設(shè)A1紙的長為a,寬為b,A2紙的長為b,寬為a2∵A1紙與A2紙是相似的矩形，∴A1、A2紙的長與寬對應(yīng)邊的比相等,即a：b=b：a2∴ab=2答：這種紙的長與寬的比值是1.414.點(diǎn)睛：本題主要考查相似的性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于要利用相似的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比相等，來建立比例式.4.4探索三角形相似的條件一、選擇題1.如圖，小正方形的邊長均為1，則下列圖形中的三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）A.B.C.D.2.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，如果DE∥BC，且∠DCE=∠B，那么下列說法中，錯(cuò)誤的是（）A.△ADE∽△ABCB.△ADE∽△ACDC.△ADE∽△DCBD.△DEC∽△CDB3.在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角頂角O在AB邊的中點(diǎn)上，這塊三角板繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，兩條直角邊始終與AC、BC邊分別相交于E、F，連接EF，則在運(yùn)動(dòng)過程中，△OEF與△ABC的關(guān)系是（）A.一定相似B.當(dāng)E是AC中點(diǎn)時(shí)相似C.不一定相似D.無法判斷4.下列各組條件中，一定能推得△ABC與△DEF相似的是（）A.∠A=∠E且∠D=∠FB.∠A=∠B且∠D=∠FC.∠A=∠E且ABAC=EFEDD.∠A=5.如圖，在△ABC與△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC與△ADE相似，還需滿足下列條件中的（）A.ACAD=ABAEB.AC6.如圖，小正方形的邊長均為1，則圖中三角形（陰影部分）與△ABC相似的是（）A.B.C.D.7.如圖，△ACD和△ABC相似需具備的條件是（）A.ACCD=ABBCB.CDAD=BCAC8.如圖，正方形ABCD的邊長為2，BE=CE，MN=1，線段MN的兩端點(diǎn)在CD、AD上滑動(dòng)，當(dāng)DM為（）時(shí)，△ABE與以D、M、N為頂點(diǎn)的三角形相似．

A.55B.255C.55或259.如圖所示，在?ABCD中，BE交AC，CD于G，F(xiàn)，交AD的延長線于E，則圖中的相似三角形有（）A.3對B.4對C.5對D.6對10.如圖，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在邊AB上取點(diǎn)P，使得△PAD與△PBC相似，則這樣的P點(diǎn)共有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)11.如圖，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A.B.C.D.12.如圖，點(diǎn)F在平行四邊形ABCD的邊AB上，射線CF交DA的延長線于點(diǎn)E，在不添加輔助線的情況下，與△AEF相似的三角形有（）A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)二、填空題13.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC，AE平分∠BAD，則△ABC∽__，△BAD∽△ACD（寫出一個(gè)三角形即可）．14.如圖，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，還需添加一個(gè)條件，你添加的條件是______．（只需寫一個(gè)條件，不添加輔助線和字母）15.如圖，已知點(diǎn)E在AC上，若點(diǎn)D在AB上，則滿足條件______（只填一個(gè)條件），使△ADE與原△ABC相似．16.如圖，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，點(diǎn)M在AB邊上，且AM=3，過點(diǎn)M作直線MN與AC邊交于點(diǎn)N，使截得的三角形與原三角形相似，則MN=__．17.如圖，在矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P為CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ADP與△BCP相似時(shí)，DP=______．18.過△ABC（AB＞AC）的邊AC邊上一定點(diǎn)M作直線與AB相交，使得到的新三角形與△ABC相似，這樣的直線共有__條．三、解答題19.如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AM的垂線，交CB的延長線于點(diǎn)D．求證：△DBA∽△DAC．20.如圖，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，△ACD和△BCE都是等邊三角形，連接AE，BD，設(shè)AE交CD于點(diǎn)F．（1）求證：△ACE≌△DCB；（2）求證：△ADF∽△BAD．21.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在DC的延長線上，且CE=13CD，過點(diǎn)B作BF∥DE交AE的延長線于點(diǎn)F，交AC的延長線于點(diǎn)G（1）求證：AB=BG；（2）若點(diǎn)P是直線BG上的一點(diǎn)，試確定點(diǎn)P的位置，使△BCP與△BCD相似．22.如圖，在△ABC中，AB=AC=1，BC=5?12，在AC邊上截取AD=BC，連接（1）通過計(jì)算，判斷AD2與AC?CD的大小關(guān)系；（2）求∠ABD的度數(shù)．23.如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點(diǎn)，AE=ED，DF=14DC，連接EF并延長交BC的延長線于點(diǎn)G（1）求證：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的邊長為4，求BG的長．

答案一、選擇題1.【答案】B【解析】小正方形的邊長是1，所以小正方形對角線得到等腰直角三角形.由圖知，題目中三角形鈍角是135°，而觀察圖像，選項(xiàng)A，C，D的鈍角顯而易見不等于135°，而選項(xiàng)B中的鈍角是135°，故選B.2.【答案】C【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，∵∠DCE=∠B，∴∠ADE=∠DCE，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD；∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，∴△DEC∽△CDB；∵∠B=∠ADE，但是∠BCD＜∠AED，且∠BCD≠∠A，∴△ADE與△DCB不相似；正確的判斷是A、B、C，錯(cuò)誤的判斷是D；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定方法；熟練掌握相似三角形的判定方法，由兩角相等得出三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．3.【答案】A【解析】連接OC，∵∠C=90°，AC=BC，∴∠B=45°，∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，∴OC=OB，∠ACO=∠BCO=45°，∵∠EOC+∠COF=∠COF+∠BOF=90°，∴∠EOC=∠BOF，在△COE和△BOF中，∠OCE=∠BOC=OB∠EOC=∠FOB，∴△COE≌△BOF（ASA），∴OE=OF，∴△OEF是等腰直角三角形，∴∠OEF=∠OFE=∠A=∠B=45°，∴△OEF∽△△考點(diǎn)：1.相似三角形的判定;2.全等三角形的判定與性質(zhì);3.等腰直角三角形性質(zhì)．4.【答案】C【解析】A、∠D和∠F不是兩個(gè)三角形的對應(yīng)角，故不能判定兩三角形相似，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∠A=∠B，∠D=∠F不是兩個(gè)三角形的對應(yīng)角，故不能判定兩三角形相似，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、由ABAC＝EFED可以根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可以判斷出△ABC與△DEF相似，故此選項(xiàng)正確；

D、∠A=∠E且ABBC點(diǎn)睛：三角形相似的判定方法：（1）平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；（2）三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；（3）兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；（4）兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．5.【答案】C【解析】∵∠BAC=∠D，ACAD＝ABDE，∴△ABC∽△ADE6.【答案】B【解析】設(shè)小正方形的邊長為1，根據(jù)已知可求出△ABC三邊的長，同理可求出陰影部分的各邊長，從而根據(jù)相似三角形的三邊對應(yīng)成比例即可得到答案．∵小正方形的邊長均為1，∴△ABC三邊分別為2，，同理：A中各邊的長分別為：，3，；B中各邊長分別為：，1，；C中各邊長分別為：1、2，；D中各邊長分別為：2，，；∵只有B項(xiàng)中的三邊與已知三角形的三邊對應(yīng)成比例，且相似比為.故選B．考點(diǎn)：相似三角形的判定．7.【答案】C【解析】本題主要考查的就是三角形相似的判定，本題根據(jù)有一個(gè)角相等，且對應(yīng)角的兩邊對應(yīng)成比例，則兩個(gè)三角形相似可以得出答案.根據(jù)題意可得∠A為公共角，則要使三角形相似則必須滿足.點(diǎn)晴：本題主要考查的就是三角形相似的判定定理，在有一個(gè)角相等的情況下，必須是角的兩邊對應(yīng)成比例，如果不是角的兩邊對應(yīng)成比例，則這兩個(gè)三角形不相似；相似還可以利用有兩個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.8.【答案】C【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC.∵BE=CE，∴AB=2BE.又∵△ABE與以D.

M、N為頂點(diǎn)的三角形相似，∴①DM與AB是對應(yīng)邊時(shí)，DM=2DN，∴DM2+DN2=MN2=1，∴DM2+14DM2=1，解得DM=255；②DM與BE是對應(yīng)邊時(shí),DM=12DN，∴DM2+DN2=MN2=1，即DM2+4DM2=1，解得DM=55.∴DM為255或55時(shí)，點(diǎn)睛：本題考查了相似三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，掌握相似三角形的對應(yīng)邊的比相等時(shí)解題的關(guān)鍵，注意分情況討論思想與屬性結(jié)合思想在本題中的應(yīng)用.9.【答案】D【解析】由AD∥BC，可知△AGE∽△CGB，△DFE∽△CFB，△ABC∽△CDA，由AB∥CD，可知△ABG∽△CFG，△ABF∽△CFB，△EDF∽△EAB．共有6對，故選D10.【答案】C【解析】設(shè)AP=x，則BP=7-x，然后根據(jù)對應(yīng)關(guān)系，分情況為：①當(dāng)△ADP∽△BCP時(shí)，可得ADBC=APBP，即23=x7?x，解得x=145，這時(shí)有一個(gè)P點(diǎn)；②當(dāng)點(diǎn)睛：此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，解題時(shí)，先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，和相似三角形的對應(yīng)關(guān)系，列出相應(yīng)的比例式，求解即可.11.【答案】C【解析】A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、兩三角形的對應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似，故本選項(xiàng)正確；D、兩三角形對應(yīng)邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選C．12.【答案】C【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，∴與△AEF相似的三角形有2個(gè)．故選C．考點(diǎn)：相似三角形的判定；平行四邊形的性質(zhì)．二、填空題13.【答案】△DBA．【解析】△ABC∽DBA，理由是：∵AD⊥BC，∠BAC=90°，∴∠ADB=∠BAC，∵∠B=∠B，∴△ABC∽△DBA.14.【答案】AB∥DE（答案不唯一）．【解析】在△ABC和△DEF中，已經(jīng)有一個(gè)條件：∠A=∠D，根據(jù)三角形相似的判定方法中的：（1）有兩個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；（2）有兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；可知：只需再添加“一對對應(yīng)角相等”或“夾∠A、∠D的兩邊成比例”即可得到：△ABC∽△DEF，因此本題的答案不是唯一的，如添加的一個(gè)條件可以是：①∠B=∠DEF或②∠ACB=∠F或③AB∥DE或④AC∥DF或⑤AB：DE=AC：DF.15.【答案】∠B=∠AED．【解析】已知點(diǎn)E在AC上，若點(diǎn)D在AB上，則滿足條件∠B=∠AED（只填一個(gè)條件），使△ADE與原△ABC相似.16.【答案】4或6．【解析】作出圖形，然后分①點(diǎn)N在AC上，分AM和AB與AC是對應(yīng)邊兩種情況，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可；②點(diǎn)N在BC上，求出BM，再分BM和AB與BC是對應(yīng)邊，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可．如圖所示，①點(diǎn)N在AC上，若AM和AB是對應(yīng)邊，∵△AMN∽△ABC，∴AMAB=MNAB，即39=MN12，解得MN=4，若AM和AC是對應(yīng)邊，∵△AMN∽△ACB，∴AMAC=MN“點(diǎn)睛”本題考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形的對應(yīng)邊成比例，難點(diǎn)在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．17.【答案】1或4或2.5．【解析】本題主要考查的就是動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的三角形相似的問題.設(shè)DP=x，則CP=5-x，本題需要分兩種情況情況進(jìn)行討論，①、ADBC=DPCP，解得：x=2.5；②、ADCP=DPBC，即點(diǎn)晴：本題主要考查的就是三角形相似的問題和動(dòng)點(diǎn)問題，首先將各線段用含x的代數(shù)式進(jìn)行表示，然后看是否有相同的角，根據(jù)對應(yīng)角的兩邊對應(yīng)成比例將線段寫成比例式的形式，然后分別進(jìn)行計(jì)算得出答案。在解答這種問題的時(shí)候千萬不能出現(xiàn)漏解的現(xiàn)象，每種情況都要考慮到位.18.【答案】2【解析】如圖所示，過M作MN∥BC交AB于N，△ANM∽△ABC；過M作∠AMD=∠B，交AB于D，△AMD∽△ABC；因此符合條件的直線共有2條.三、解答題19.【答案】證明見解析.【解析】證明：∵∠BAC=90°，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，∴AM=CM，∴∠C=∠CAM，∵DA⊥AM，∴∠DAM=90°，∴∠DAB=∠CAM，∴∠DAB=∠C，∵∠D=∠D，∴△DBA∽△DAC．20.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】有兩組邊對應(yīng)相等，并且它們所夾的角也相等，那么這兩個(gè)三角形全等；有兩組角分別相等，且其中一組角所對的邊對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．（1）根據(jù)全等三角形的判定定理SAS證得結(jié)論；（2）利用（1）中全等三角形的對應(yīng)角相等，平行線的判定與性質(zhì)以及兩角法證得結(jié)論．解：（1）∵△ACD和△BCE都是等邊三角形，∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°∴∠ACE=∠DCB=120°．∴△ACE≌△DCB（SAS）；（2）∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB．∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，∴DC∥BE，∴∠CDB=∠DBE，∴∠CAE=∠DBE，∴∠DAF=∠DBA．∴△ADF∽△BAD．考點(diǎn)：相似三角形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．21.【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)PB=2.5或325時(shí)，△BCP與△BCD【解析】（1）利用平行分線段成比例定理得出ADBD=ACCG=AEEF，進(jìn)而得出△ABC≌△GBC（SAS），即可得出答案；（2）分別利用第一種情況：若∠CDB=（1）證明：∵BF∥DE，∴ADBD∵AD=BD，∴AC=CG，AE=EF，在△ABC和△GBC中：AC=CG∠ACB=∠GCB∴△ABC≌△GBC（SAS），∴AB=BG；（2）當(dāng)BP長為52或325時(shí)，△BCP與△∵AC=3，BC=4，∴AB=5，∴CD=2.5，∴∠DCB=∠DBC，∵DE∥BF，∴∠DCB=∠CBP，∴∠DBC=∠CBP，第一種情況：若∠CDB=∠CPB，如圖1：在△BCP與△BCD中∠CDB=∠CPB∠DBC=∠PBC∴△BCP≌△BCD（AAS），∴BP=CD=2.5；第二種情況：若∠PCB=∠CDB，過C點(diǎn)作CH⊥BG于H點(diǎn)．如圖2：∵∠CBD=∠CBP，∴△BPC∽△BCD，∵CH⊥BG，∴∠ACB=∠CHB=90°，∠ABC=∠CBH，∴△ABC∽△CBH，∴ABCB∴BH=165，BP=32綜上所述：當(dāng)PB=2.5或325時(shí)，△BCP與△BCD22.【答案】（1）AD2=AC?CD．（2）36°．【解析】（1）通過計(jì)算得到AD2=3?52，再計(jì)算AC·CD，比較即可得到結(jié)論；（2）由AD2=AC?CD，得到BC2=AC?CD，即BCAC=CDBC，從而得到△ABC∽△BDC，故有ABBD=ACBC，從而得到BD=BC=AD，故∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=解：（1）∵AD=BC=，∴AD2=(5?1∵AC=1，∴CD=1?5?12=3?5（2）∵AD2=AC?CD，∴BC2=AC?CD，即BCAC=CDBC，又∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴ABBD=ACBC，又∵AB=AC，∴設(shè)∠A=∠ABD=x，則∠BDC=∠A+∠ABD=2x，∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x，∴∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得：x=36°，∴∠ABD=36°．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)．23.【答案】（1）證明見解析；（2）10.【解析】（1）利用正方形的性質(zhì)，可得∠A=∠D，根據(jù)已知可得，根據(jù)有兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得CG的長，即可求得BG的長．（1）證明：∵ABCD為正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD為正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的邊長為4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．考點(diǎn)：相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)；平行線分線段成比例．*4.5相似三角形判定定理的證明1.下列命題中是真命題的是()A.有一個(gè)角相等的直角三角形都相似B.有一個(gè)角相等的等腰三角形都相似C.有一個(gè)角是120°的等腰三角形都相似D.兩邊成比例且有一角相等的三角形都相似2.如圖，在△ABC中，如果DE與BC不平行，那么下列條件中，不能判斷△ADE∽△ACB的是()A.∠ADE＝∠CB.∠AED＝∠BC.ADAB=3.如圖，若點(diǎn)A，B，C，P，Q，甲，乙，丙，丁都是方格紙的格點(diǎn)，為使△ABC∽△PQR，則點(diǎn)R應(yīng)是甲，乙，丙，丁4點(diǎn)中的()A.甲點(diǎn)B.乙點(diǎn)C.丙點(diǎn)D.丁點(diǎn)4.如圖，已知∠1＝∠2＝∠3，則下列表達(dá)式正確的是()A.ABAD=DEBCB.ACAE5.如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，CD邊上的點(diǎn)，連接BE，AF，它們相交于點(diǎn)O，延長BE交CD的延長線于點(diǎn)H，則圖中相似三角形共有()A.2對B.3對C.4對D.5對6.如圖，P是正方形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，且BP＝3PC，Q是DC的中點(diǎn)，則AQ∶QP等于________．7.如圖，在?ABCD中，AB＝10，AD＝6，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，在AB上取一點(diǎn)F，使△CBF與△CDE相似，則BF的長是________．8.如圖，正方形ABCD邊長是2，BE＝CE，MN＝1，線段MN的端點(diǎn)M，N分別在CD，AD上滑動(dòng)，當(dāng)DM＝______________時(shí)，△ABE與以D，M，N為頂點(diǎn)的三角形相似．9.如圖，在直角三角形ABC中(∠C＝90°)，放置邊長分別為3，4，x的三個(gè)正方形，則x的值為（）A．5B．6C．7D．1210.在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC邊上的高，并且AD2＝BD·DC，則∠BCA的度數(shù)為______________．11.如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長都是1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．△ACB和△DCE的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，ED的延長線交AB于點(diǎn)F.(1)求證：△ACB∽△DCE；(2)求證：EF⊥AB.12.如圖，在△ABC和△ADE中，ABAD13.如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．(1)求證：AC2＝AB·AD；(2)求證：CE∥AD；(3)若AD＝4，AB＝6，求ACAF14.在△ABC中，點(diǎn)P是AB上的動(dòng)點(diǎn)(P異于點(diǎn)A，B)，過點(diǎn)P的一條直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，我們不妨稱這種直線為過點(diǎn)P的△ABC的相似線．如圖，∠A＝36°，AB＝AC，當(dāng)點(diǎn)P在AC的垂直平分線上時(shí)，過點(diǎn)P的△ABC的相似線最多有________條．15.如圖，正方形ABCD的邊長為1，AB邊上有一動(dòng)點(diǎn)P，連接PD，線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到線段PE，且PE交BC于點(diǎn)F，連接DF，過點(diǎn)E作EQ⊥AB的延長線于點(diǎn)Q.(1)求線段PQ的長；(2)點(diǎn)P在何處時(shí)，△PFD∽△BFP，并說明理由．答案1.【答案】C【解析】A.有一個(gè)角（直角除外）相等的直角三角形都相似，故原命題錯(cuò)誤；B.頂角相等的等腰三角形都相似，故原命題錯(cuò)誤；C.有一個(gè)角是120°的等腰三角形都相似，正確；D.兩邊成比例且夾角相等的三角形都相似，故原命題錯(cuò)誤.故選C．2.【答案】C【解析】∵∠DAE=∠CAB，∴當(dāng)∠AED=∠B或∠ADE=∠C時(shí)，△ABC∽△AED；當(dāng)ADAC考點(diǎn)：相似三角形的判定．3.【答案】C【解析】∵△RPQ∽△ABC，∴ΔRPQ的高ΔABC的高=PQ考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì)．4.【答案】C【解析】∵∠A=∠A，∠ADE=∠B，∴△AED∽△ACB，∴ADAB5.【答案】C【解析】已知在ABCD中，E、F分別是AD、CD邊上的點(diǎn)，連接BE、AF，他們相交于G，延長BE交CD的延長線于點(diǎn)H，根據(jù)相似三角形的判定可得△AGB∽△HGF，△HED∽△HBC，△HED∽△EBA，△AEB∽△HBC，共4對．故答案選C．考點(diǎn)：相似三角形的判定．6.【答案】2∶1【解析】在正方形ABCD中，AD=CD=BC=AB．∵BP=3PC，Q是CD的中點(diǎn)，∴CPDQ=CQ∠QCP=90°，∴△ADQ∽△QCP，∴AQQP=7.【答案】1.8【解析】∵在平行四邊形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中點(diǎn)，∴CD=10，BC=6，DE=3．∵△CBF∽△CDE，∴BF：DE=BC：DC，∴BF=6÷10×3=1.8．8.【答案】55或2【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∵BE=CE，∴AB=2BE，又∵△ABE與以D,M,N為頂點(diǎn)的三角形相似，∴①DM與AB是對應(yīng)邊時(shí)，DM=2DN.∴DM2+DN2=MN2=1.∴DM2+14DM2=1,∴DM為255或55時(shí)，△ABE與以D,M,N為頂點(diǎn)的三角形相似，故答案為：9.【答案】C【解析】∵在Rt△ABC中（∠C=90°），放置邊長分別3，4，x的三個(gè)正方形，∴△CEF∽△OME∽△PFN，∴OE：PN=OM：PF，∵EF=x，MO=3，PN=4，∴OE=x﹣3，PF=x﹣4，∴（x﹣3）：4=3：（x﹣4），∴（x﹣3）（x﹣4）=12，即x2﹣4x﹣3x+12=12，∴x=0（不符合題意，舍去），x=7．故選C．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．10.【答案】65°或115°【解析】根據(jù)已知可得到△BDA∽△ADC，注意∠C可以是銳角也可是鈍角，故應(yīng)該分情況進(jìn)行分析，從而確定∠BCA度數(shù)．（1）當(dāng)∠C為銳角時(shí)，∵AD2=BD?DC，AD是BC邊上的高得，∴=，∵∠ADC=∠ADB，∴△BDA∽△ADC，∴∠CAD=∠B=25°，∴∠BCA=65°；（2）當(dāng)∠C為鈍角時(shí)，同理可得，△BDA∽△ADC∴∠BCA=25°+90°=115°．故答案為：65°或115°．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)．11.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）從圖中得到AC=3，CD=2，BC=6，CE=4，∠ACB=∠DCE=90°，利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，可證△ACB∽△DCE；（2）由相似三角形的性質(zhì)可知，∠B=∠E，可得∠B+∠A=∠E+A=90°，即∠EFA=90°，故EF⊥AB．（1）證明：∵ACCD=32,又∵∠ACB=∠DCE=90°，∴△ACB∽△DCE；（2）∵△ACB∽△DCE，∴∠B=∠E，∵∠B+∠A=90°，∴∠E+A=90°，即∠EFA=90°，∴EF⊥AB．12.【答案】證明見解析.【解析】由在△ABC和△ADE中，ABAD=BCDE=ACAE，可證得△證明：∵在△ABC和△ADE中，ABAD∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵ABAD=AC∴△ABD∽△ACE．13.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)74【解析】（1）∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB．又∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB．∴ADAC∴AC2＝AB·AD．（2）∵E為AB的中點(diǎn)，∴CE=1∵AC平分∠DAB，∴∠CAD＝∠CAB．∴∠DAC＝∠ECA．∴CE∥AD．（3）∵CE∥AD，∴∠DAF＝∠ECF，∠ADF＝∠CEF．∴△AFD∽△CFE．∴ADCE∵CE=12AB，,又∵AD=4，∴由得,∴AFAC=414.【答案】3【解析】15.【答案】（1）1；（2）點(diǎn)P為AB邊的中點(diǎn)時(shí)，△PFD∽△BFP.【解析】（1）由題意得：PD=PE，∠DPE=90°，又由正方形ABCD的邊長為1，易證得△ADP≌△QPE，然后由全等三角形的性質(zhì)，求得線段PQ的長；（2）易證得△DAP∽△PBF，又由△PFD∽△BFP，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得證得PA=PB，則可求得答案．解：（1）根據(jù)題意得：PD=PE，∠DPE=90°，∴∠APD+∠QPE=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∴∠ADP=∠QPE，∵EQ⊥AB，∴∠A=∠Q=90°，在△ADP和△QPE中，∠A=∠Q∠ADP=∠QPE∴△ADP≌△QPE（AAS），∴PQ=AD=1.（2）∵△PFD∽△BFP，∴PBBF∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A，∴△DAP∽△PBF，∴PDPF=AP∴PA=PB，∴PA=12AB=∴當(dāng)PA=12考點(diǎn)：1、相似三角形的判定與性質(zhì)，2、正方形的性質(zhì)，3、全等三角形的判定與性質(zhì)4.6利用相似三角形測高一、選擇題1.小剛身高1.7m，測得他站立在陽光下的影子長為0.85m，緊接著他把手臂豎直舉起，測得影子長為1.1m，那么小剛舉起的手臂超出頭頂（）A.0.5mB.0.55mC.0.6mD.2.2m2.如圖，A、B兩點(diǎn)被池塘隔開，在AB外任選一點(diǎn)C，連結(jié)AC、BC分別取其三等分點(diǎn)M、N.量得MN＝38m．則AB的長是（）A.152mB.114mC.76mD.104m3.某一時(shí)刻，身髙1.6m的小明在陽光下的影長是0.4m，同一時(shí)刻同一地點(diǎn)測得某旗桿的影長是5m，則該旗桿的高度是（）A.1.25mB.10mC.20mD.8m4.如圖，小東用長為3.2m的竹竿做測量工具測量學(xué)校旗桿的高度，移動(dòng)竹竿，使竹竿、旗桿頂端的影子恰好落在地面的同一點(diǎn)．此時(shí)，竹竿與這一點(diǎn)相距8m，與旗桿相距22m，則旗桿的高為（）A.12mB.10mC.8mD.7m5.一個(gè)油桶高0.8m，桶內(nèi)有油，一根長lm的木棒從桶蓋小口插入桶內(nèi)，一端到達(dá)桶底，另一端恰好在小口處，抽出木棒量得浸油部分長0.8m，則油桶內(nèi)的油的高度是（）A.0.8mB.0.64mC.1mD.0.7m6.如圖，測量小玻璃管口徑的量具ABC，AB的長為12cm，AC被分為60等份．如果小玻璃管口DE正好對著量具上20等份處（DE∥AB），那么小玻璃管口徑DE是（

）A.8cmB.10cmC.20cmD.60cm7.如圖，某同學(xué)拿著一把有刻度的尺子，站在距電線桿30m的位置，把手臂向前伸直，將尺子豎直，看到尺子遮住電線桿時(shí)尺子的刻度為12cm，已知臂長60cm，則電線桿的高度為（

）A.2.4mB.24mC.0.6mD.6m8.如圖，在針孔成像問題中，根據(jù)圖形尺寸可知像的長是物AB長的（

）A.3倍B.不知AB的長度，無法計(jì)算C.D.9.如圖，某校宣傳欄后面2米處種了一排樹，每隔2米一棵，共種了6棵，小勇站在距宣傳欄中間位置的垂直距離3米處，正好看到兩端的樹干，其余的4棵均被擋住，那么宣傳欄的長為（

）米．（不計(jì)宣傳欄的厚度）A.4B.5C.6D.810.數(shù)學(xué)興趣小組的小明想測量教學(xué)樓前的一棵樹的高度．下午課外活動(dòng)時(shí)他測得一根長為1m的竹竿的影長是0.8m．但當(dāng)他馬上測量樹高時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上（如圖）．他先測得留在墻壁上的樹影高為1.2m，又測得地面的影長為2.6m，請你幫他算一下，下列哪個(gè)數(shù)字最接近樹高（

）m．A.3.04B.4.45C.4.75D.3.8二、填空題11.高4m的旗桿在水平地面上的影子長6m，此時(shí)測得附近一個(gè)建筑物的影長24m，則該建筑物的高是_________m.12.旗桿的影子長6米，同時(shí)測得旗桿頂端到其影子頂端的距離是10米，如果此時(shí)附近的小樹影子長3米，那么小樹高是___________米.13.為測量池塘邊兩點(diǎn)A，B之間的距離，小明設(shè)計(jì)了如下的方案：在地面取一點(diǎn)O，使AC、BD交于點(diǎn)O，且CD∥AB．若測得OB：OD=3：2，CD=40米，則A，B兩點(diǎn)之間的距離為________米．14.如圖，三角尺在燈泡O的照射下在墻上形成影子，現(xiàn)測得OA=20cm，=50cm，則這個(gè)三角尺的面積與它在墻上所形成影子圖形的面積之比是________。15.如圖，路燈點(diǎn)O到地面的垂直距離為線段OP的長．小明站在路燈下點(diǎn)A處，AP=4米，他的身高AB為1.6米，同學(xué)們測得他在該路燈下的影長AC為2米，路燈到地面的距離________米．三、解答題16.如圖，零件的外徑為16cm，要求它的壁厚x，需要先求出內(nèi)徑AB，現(xiàn)用一個(gè)交叉鉗（AD與BC相等）去量，若測得OA：OD=OB：OC=3：1，CD=5cm，你能求零件的壁厚x嗎？17.小明利用燈光下自己的影子長度來測量路燈的高度．如圖，CD和EF是兩等高的路燈，相距27m，身高1.5m的小明（AB）站在兩路燈之間（D、B、F共線），被兩路燈同時(shí)照射留在地面的影長BQ=4m，BP=5m．(1)小明距離路燈多遠(yuǎn)？(2)求路燈高度．18.一位同學(xué)想利用樹影測出樹高，他在某時(shí)刻測得直立的標(biāo)桿高1米，影長是0.9米，但他去測樹影時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹影的上半部分落在墻CD上，（如圖所示）他測得BC=2．7米，CD=1.2米。你能幫他求出樹高為多少米嗎？19.我偵察員在距敵方200米的地方發(fā)現(xiàn)敵人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物測量，機(jī)靈的偵察員食指豎直舉在右眼前，閉上左眼，并將食指前后移動(dòng)，使食指恰好將該建筑物遮住。若此時(shí)眼睛到食指的距離約為40cm，食指的長約為8cm,你能根據(jù)上述條件計(jì)算出敵方建筑物的高度嗎？請說出你的思路。

答案一、選擇題1.【答案】A【解析】根據(jù)題意可得：，解得：x=2.2，則2.2-1.7=0.5m，即小剛舉起的手臂超出頭頂0.5m.考點(diǎn)：比的性質(zhì)2.【答案】B【解析】依題意知在△ABC中，M、N分別為AC、BC三等分點(diǎn)，則可證明△CMN∽△CAB。所以可得MN：AB=1:3.所以AB=3MN=114m考點(diǎn)：相似三角形判定與性質(zhì)點(diǎn)評：本題難度較低，主要考查學(xué)生對相似三角形判定與性質(zhì)知識點(diǎn)的掌握。3.【答案】C【解析】設(shè)該旗桿的高度為xm，根據(jù)題意得，1.6：0.4=x：5，解得x=20（m）．即該旗桿的高度是20m．故選C．考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用．4.【答案】A【解析】因?yàn)锽E∥CD，所以△AEB∽△ADC，于是AEAD=BE考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì).5.【答案】B【解析】如圖在矩形中，∠C=90°，BE=0.8，AB=1，AC=0.8，由題意知，DE∥BC，∴∠AED=∠ABC，∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACB，∴AEAB=ADAC，∴AB?BEAB=AC?CDAC，6.【答案】A【解析】易知△ABC∽△DEC，利用相似三角形的相似比，列出方程求解即可．∵DE∥AB，∴CD：AC=DE：AB，∴40：60=DE：12，∴DE=8cm.故選A．考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用．7.【答案】D【解析】作AN⊥EF于N，交BC于M，∵BC∥EF，∴AM⊥BC于M，∴△ABC∽△AEF，∴BCEF∵AM=0.6，AN=30，BC=0.12，∴EF=BC?ANAM=0.12×308.【答案】C【解析】如圖，作OM⊥AB，ON⊥A′B′，∵AB∥A′B′，∴△OAB∽△OA′B′，∴ABA′B′=OMON，即ABA′B′=189.【答案】C【解析】如圖，由圖可知，∵BC∥ED，∴△ABC∽△ADE，∴AFAG＝BCDE，又DE=10米，AF=3，F(xiàn)G=2米，∴AG=AF+FG=5米，即35＝BC10.【答案】B【解析】∵留在墻壁上的樹影高為1.2m，∴這段影子在地面上的長為：1.2×0.8=0.96m，∴這棵樹全落在地面上時(shí)的影子的長為：2.6+0.96=3.56m，∴這棵樹的高度為：3.56÷0.8=4.45m.故選B．二、填空題11.【答案】16【解析】試題解析：∵建筑物的高建筑物的影子長＝旗桿高旗桿影長，即建筑物的高20＝45，∴設(shè)建筑物的高是x12.【答案】4【解析】如圖，由題意得，AC=10米，BC=6米，在Rt△ABC中，AB=102?62=8米；∵△ABC∽△A'B'C'，

∴A′B′AB=B′C′

13.【答案】60【解析】∵AB∥CD，∴△ABO∽△CD0，∴BODO=ABCD=314.【答案】4：25【解析】∵，∴三角尺的面積與它在墻上形成的影子的面積的比=．15.【答案】4.8【解析】由題意得PO∥AB，∴∠POC=∠ABC，∠OPC=∠BAC，∴△ABC∽△POC，∴POAB＝PCAC，即：三、解答題16.【答案】0.5.【解析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì).利用相似三角形的判定與性質(zhì)，列出方程，通過解方程求解即可．解：∵OA：OD=OB：OC=3：1，∠COD=∠AOB，∴△COD∽△BOA．∴AB：CD=OA：OD=3：1．∵CD=5cm，∴AB=15cm．∴2x+15=16．∴x=0.5cm．17.【答案】（1）小明距離路燈12m；（2）路燈高6m．【解析】（1）易得△QAB∽△QCD，那么可得ABCD＝BQQD，同理可得ABEF＝BP解：（1）設(shè)DB=xm，∵AB∥CD，∴∠QBA=∠QDC，∠QAB=∠QCD，∴△QAB∽△QCD∴AB同理可得AB∵CD=EF，∴BQQD∴4x+4∴x=12，即小明距離路燈12m．（2）由ABCD＝BQ∴CD=6，即路燈高6m．18.【答案】樹高為4.2米.【解析】根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長成比例即可列式求解．由題意，得解得AB=4.2.答：樹高為4.2米.考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用點(diǎn)評：本題是相似三角形的基礎(chǔ)應(yīng)用題，體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活”，難度一般.19.【答案】40m.解：40cm=0.4m，8cm=0.08m∵BC∥DE，AG⊥BC，AF⊥DE．∴△ABC∽△ADE，∴BC：DE=AG：AF，∴0.08：DE=0.4：200，∴DE=40m．答：敵方建筑物高40m．考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用點(diǎn)評：本題是相似三角形的基礎(chǔ)應(yīng)用題，體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活”，難度一般.4.7相似三角形的性質(zhì)一、選擇題1.如圖，兩個(gè)等邊三角形，兩個(gè)矩形，兩個(gè)正方形，兩個(gè)菱形各成一組，每組中的一個(gè)圖形在另一個(gè)圖形的內(nèi)部，對應(yīng)邊平行，且對應(yīng)邊之間的距離都相等，那么兩個(gè)圖形對應(yīng)邊不成比例的一組是（

）A.B.C.D.2.如圖，如圖，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格紙中的格點(diǎn)，如果△RPQ∽△ABC，那么點(diǎn)R應(yīng)是甲、乙、丙、丁四點(diǎn)中的（）A.甲B.乙C.丙D.丁3.若△ABC∽△A′B′C′，相似比為1：2，則△ABC與△A′B′C′的面積的比為（）A.1：2B.2：1C.1：4D.4：14.若兩個(gè)相似多邊形的面積之比為1：4，則它們的周長之比為（）A.1：4B.2：1C.1：2D.4：15.給形狀相同且對應(yīng)邊的比是1：2的兩塊標(biāo)牌的表面涂漆，如果小標(biāo)牌用漆半聽，那么大標(biāo)牌的用漆量是（）A.1聽B.2聽C.3聽D.4聽6.已知△ABC∽△DEF，且△ABC的三邊長分別為4，5，6，△DEF的一邊長為2，則△DEF的周長為（）A.7.5B.6C.5或6D.5或6或7.57.如果兩個(gè)相似三角形對應(yīng)角平分線的比為16：25，那么它們的面積比為（）A.4：5B.16：25C.196：225D.256：6258.兩個(gè)相似三角形的對應(yīng)邊分別是15cm和23cm，它們的周長相差40cm，則這兩個(gè)三角形的周長分別是（）A.45cm，85cmB.60cm，100cmC.75cm，115cmD.85cm，125cm9.一個(gè)三角形三邊的長分別為3，5，7，另一個(gè)與它相似的三角形的最長邊是21，則其它兩邊的和是（）A.17B.19C.21D.2410.若△ABC∽△DEF，∠A=50°，∠B=60°，則∠F的度數(shù)是（）A.50°B.60°C.70°D.80°11.如圖，△ABC∽△ADE，則下列比例式正確的是（）A.AEBE=ADDCB.AE12.將直角三角形的三條邊長同時(shí)擴(kuò)大同一倍數(shù)，得到的三角形是（）A.等腰三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.鈍角三角形13.△ABC∽△A1B1C1，且相似比為23，△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比為54，則△ABC與△A2B2CA.56B.65C.56或14.如圖，在△ABC中，AB=12，AC=15，D為AB上一點(diǎn)，且AD=23AB，在AC上取一點(diǎn)E，使以A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，則AE等于（A.325B.10C.325或15.如圖，△ADE∽△ABC，若AD=1，BD=2，則△ADE與△ABC的相似比是（

）A.1：2B.1：3C.2：3D.3：2二、填空題16.已知△ABC∽△DEF，且它們的面積之比為4：9，則它們的相似比為________．17.已知△ABC與△A1B1C1的相似比為2：3，△A1B1C1與△A2B2C2的相似比為3：5，那么△ABC與△A2B2C2的相似比為________。18.已知兩個(gè)相似多邊形的周長比為1：2，它們的面積和為25，則這兩個(gè)多邊形的面積分別是________。19.已知△ABC∽△DEF，且相似比為4：3，若△ABC中BC邊上的中線AM=8，則△DEF中EF邊上的中線DN=________。三、解答題20.如圖，把矩形ABCD對折，折痕為MN，矩形DMNC與矩形ABCD相似，已知AB=4．(1)求AD的長；(2)求矩形DMNC與矩形ABCD的相似比．21.已知：如圖，△ABC∽△ADE，AE：EC=5：3，BC=6cm，∠A=40°，∠C=45°．(1)求∠ADE的大?。?2)求DE的長．答案一、選擇題1.【答案】D【解析】根據(jù)題意得，選項(xiàng)A中兩個(gè)三角形相似，三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；選項(xiàng)B、C中，正方形、菱形分別相似，四條邊均相等，故對應(yīng)邊成比例；選項(xiàng)D中矩形四個(gè)角相等，但對應(yīng)邊不一定成比例，故選D．2.【答案】B【解析】∵△RPQ∽△ABC，∴ΔRPQ的高ΔABC的高=PQ考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì)．3.【答案】C【解析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方計(jì)算即可得解．∵△ABC∽△A′B′C′，相似比為1：2，∴△ABC與△A′B′C′的面積的比為1：4．故選：C．考點(diǎn)：相似三角形的性質(zhì)．4.【答案】C【解析】∵兩個(gè)相似多邊形面積比為1：4，等于相似比的平方，周長的比等于相似比，∴周長之比為=1：2，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，熟記相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．5.【答案】B【解析】設(shè)小標(biāo)牌的面積為S1，大標(biāo)牌的面積為S2，則S1S2=122=14，故S6.【答案】D【解析】∵△ABC∽△DEF，如果2與4是對應(yīng)邊，則△DEF的周長：△ABC的周長=2：4，即△DEF的周長：（4+5+6）=2：4，∴△DEF的周長為7.5；如果2與5是對應(yīng)邊，則△DEF的周長：△ABC的周長=2：5，即△DEF的周長：（4+5+6）=2：5，∴△DEF的周長為6；如果2與6是對應(yīng)邊，則△DEF的周長：△ABC的周長=2：6，即△DEF的周長：（4+5+6）=2：6，∴△DEF的周長5，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的周長的比等于相似比．解此題時(shí)要注意對應(yīng)邊不確定，即相似比不確定，要分情況進(jìn)行討論，否則容易漏解．7.【答案】D【解析】根據(jù)兩個(gè)相似三角形