平面的基天性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握平面的表示法，點(diǎn)、直線與平面的地點(diǎn)關(guān)系.2.掌握相關(guān)平面的三個(gè)公義及三個(gè)推論.3.會(huì)用符號(hào)表示圖形中點(diǎn)、線、面之間的地點(diǎn)關(guān)系.知識(shí)點(diǎn)一平面的看法思慮幾何里的“平面”有界限嗎？用什么圖形表示平面？梳理(1)平面的看法廣闊的草原、沉靜的湖面都給我們以平面的形象.和點(diǎn)、直線同樣，平面也是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的幾何看法.平面的畫法一般用水平擱置的____________作為平面的直觀圖一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了加強(qiáng)立體感，被遮擋部分用____畫出來.平面的表示方法平面往常用希臘字母α，β，γ表示，也能夠用平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)極點(diǎn)的字母表示，如圖中的平面α、平面AC等.知識(shí)點(diǎn)二點(diǎn)、線、面之間的地點(diǎn)關(guān)系思慮直線和平面都是由點(diǎn)構(gòu)成的，聯(lián)系會(huì)合的看法，點(diǎn)和直線，平面的地點(diǎn)關(guān)系，怎樣用符號(hào)來表示？直線和平面呢？梳理點(diǎn)、直線、平面之間的基本地點(diǎn)關(guān)系及語言表達(dá)地點(diǎn)關(guān)系符號(hào)表示點(diǎn)P在直線AB上P∈AB點(diǎn)C不在直線AB上C?AB點(diǎn)在平面上∈平面ACMACM點(diǎn)A不在平面AC內(nèi)A?平面AC11直線AB與直線BC交于點(diǎn)BAB∩BC＝B直線AB在平面AC內(nèi)AB?平面AC直線AA不在平面AC內(nèi)AA?平面AC11知識(shí)點(diǎn)三思慮1

平面的基天性質(zhì)直線l與平面α有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)

P.直線

l

能否在平面

α內(nèi)？有兩個(gè)公共點(diǎn)呢？思慮2察看以下圖，你能得出什么結(jié)論？思慮3察看正方體ABCD—A1B1C1D1(如下圖)，平面ABCD與平面BCC1B1有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)B、C嗎？梳理公義文字語言圖形語言符號(hào)語言作用(推論)假如一條直線上的兩點(diǎn)在平公義1面內(nèi)，那么這條直線上全部的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)假如兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其余公公義2共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的會(huì)合是的一條直線經(jīng)過公義3，有且只有一個(gè)平面經(jīng)過一條直線和推論1這條直線的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面經(jīng)過兩條推論2直線，有且只有一個(gè)平面經(jīng)過兩條推論3直線，有且只有一個(gè)平面

A∈αB∈α?P∈α?P∈β____A，B，C不共線A，B，C確立一個(gè)平面αA?l?A和l確定一個(gè)平面αa∩b＝A?a，b確立一個(gè)平面αa∥b?a，b確立一個(gè)平面α

判斷直線在平面內(nèi)；證明點(diǎn)在平面內(nèi)判斷兩個(gè)平面能否訂交；判斷點(diǎn)能否在直線上；證明點(diǎn)共線問題確立一個(gè)平面的依照.證明平面重合；證明點(diǎn)、線共面種類一點(diǎn)、直線、平面之間的地點(diǎn)關(guān)系的符號(hào)表示例1如圖，用符號(hào)表示以下圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的地點(diǎn)關(guān)系.反省與感悟(1)用文字語言、符號(hào)語言表示一個(gè)圖形時(shí)，第一認(rèn)真察看圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且互相之間的地點(diǎn)關(guān)系怎樣，試著用文字語言表示，再用符號(hào)語言表示.(2)依據(jù)符號(hào)語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的差別.追蹤訓(xùn)練1依據(jù)以下符號(hào)表示的語句，說明點(diǎn)、線、面之間的地點(diǎn)關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形：A∈α，B?α；l?α，m∩α＝A，A?l；平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.種類二點(diǎn)線共面例2如圖，已知：a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求證：PQ?α.引申研究將本例中的兩條平行線改為三條，即求證：和同一條直線訂交的三條平行直線必定在同一平面內(nèi).反省與感悟證明多線共面的兩種方法(1)歸入法：先由部分直線確立一個(gè)平面，再證明其余直線在這個(gè)平面內(nèi).重合法：先說明一些直線在一個(gè)平面內(nèi)，另一些直線在另一個(gè)平面內(nèi)，再證明兩個(gè)平面重合.追蹤訓(xùn)練2已知l∩l＝A，l∩l＝B，l∩l＝C如下圖.求證：直線l，l，l3在同一12231312平面內(nèi).種類三點(diǎn)共線、線共點(diǎn)問題命題角度1點(diǎn)共線問題例3如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，設(shè)線段A1C與平面ABC1D1交于點(diǎn)Q，求證：B，Q，D1三點(diǎn)共線.反省與感悟證明多點(diǎn)共線往常利用公義2，即兩訂交平面交線的唯一性，經(jīng)過證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi)，證明點(diǎn)在訂交平面的交線上，也可選擇此中兩點(diǎn)確立一條直線，而后證明其他點(diǎn)也在直線上.追蹤訓(xùn)練3已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線知足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如下圖.求證：P，Q，R三點(diǎn)共線.命題角度2線共點(diǎn)問題例4如下圖，在正方體－1111中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為1的中點(diǎn).求證：、ABCDABCDAACED1F，DA三線交于一點(diǎn).反省與感悟證明三線共點(diǎn)問題可把此中一條作為分別過其余兩條直線的兩個(gè)平面的交線，而后再證兩條直線的交點(diǎn)在此直線上.別的還可先將此中一條直線看作某兩個(gè)平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點(diǎn)，再證點(diǎn)重合，進(jìn)而得三線共點(diǎn).追蹤訓(xùn)練4已知：平面α，β，γ兩兩訂交于三條直線證：l1，l2，l3訂交于一點(diǎn).

l1，l

2，l

3，且

l1，l

2不平行.求1.用符號(hào)表示“點(diǎn)A在直線l上，l在平面α外”為______.平面α，β有公共點(diǎn)A，則α，β有________個(gè)公共點(diǎn).以下圖中圖形的畫法正確的選項(xiàng)是________.(填序號(hào))4.空間兩兩訂交的三條直線，能夠確立的平面數(shù)是______.如圖，a∩b＝A，a∩c＝B，a∩d＝F，b∩c＝C，c∩d＝D，b∩d＝E，求證：a，b，c，d共面.1.解決立體幾何問題第一應(yīng)過好三大語言關(guān)，即實(shí)現(xiàn)這三種語言的互相變換，正確理解會(huì)合符號(hào)所表示的幾何圖形的實(shí)質(zhì)意義，適合地用符號(hào)語言描繪圖形語言，將圖形語言用文字語言描繪出來，再變換為符號(hào)語言.文字語言和符號(hào)語言在變換的時(shí)候，要注意符號(hào)語言所代表的含義，作直觀圖時(shí)，要注意線的實(shí)虛.2.在辦理點(diǎn)線共面、三點(diǎn)共線及三線共點(diǎn)問題時(shí)初步領(lǐng)會(huì)三個(gè)公義的作用，突出先部分再整體的思想.答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思慮沒有．水平擱置的正方形的直觀圖梳理(2)正方形的直觀圖虛線知識(shí)點(diǎn)二思慮點(diǎn)和直線，平面的地點(diǎn)關(guān)系可用數(shù)學(xué)符號(hào)“∈”或“系，可用數(shù)學(xué)符號(hào)“?”或“?”表示．知識(shí)點(diǎn)三思慮1前者不在，后者在．思慮2不共線的三點(diǎn)能夠確立一個(gè)平面．思慮3不是，平面ABCD與平面BCC1B1訂交于直線BC.

?”表示，直線和平面的地點(diǎn)關(guān)梳理一個(gè)AB?α經(jīng)過這個(gè)公共點(diǎn)α∩β＝l且P∈l外訂交平行題型研究例1解在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.在(2)中，α∩β＝l，a?α，b?β，a∩l＝P，

不在同一條直線上的三點(diǎn)b∩l＝P.追蹤訓(xùn)練1解(1)點(diǎn)A在平面α內(nèi)，點(diǎn)B不在平面α內(nèi)，如圖①.直線l在平面α內(nèi)，直線m與平面α訂交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A不在直線l上，如圖②.平面ABD與平面BDC訂交于BD，平面ABC與平面ADC訂交于AC，如圖③.例2證明由于∥，因此與a確立一個(gè)平面β，因此直線a?β，點(diǎn)∈β.由于∈，PQaPQPPb?α，因此∈α.又由于a?α，因此α與β重合，因此?α.bPPQ引申研究解已知：a∥∥，∩＝，∩＝，∩＝.bclaAlbBlcC求證：a，b，c和l共面．證明：如圖，∵a∥b，∴a與b確立一個(gè)平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l(xiāng)?α.b∥c，∴b與c確立一個(gè)平面β，同理l?β.∵平面α與β都包括l和b，且b∩l＝B，由公義3的推論知：經(jīng)過兩條訂交直線有且只有一個(gè)平面，∴平面α與平面β重合，∴a，b，c和l共面．追蹤訓(xùn)練2證明方法一(歸入平面法)∵1∩2＝，∴l(xiāng)1和l2確立一個(gè)平面α.llAl2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2?α，∴B∈α.同理可證C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l(xiāng)3?α.∴直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．方法二(協(xié)助平面法)∵l∵l

1∩l2∩l

2＝A，∴l(xiāng)3＝B，∴l(xiāng)

1和2，l

l2確立一個(gè)平面3確立一個(gè)平面

α.β.∵∈2，2?α，∴∈α.AllA∵A∈l22，l?β，∴A∈β.同理可證B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共線的三個(gè)點(diǎn)A，B，C既在平面α內(nèi)，又在平面β內(nèi)，∴平面α和β重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．例3證明如圖，連接A1B，CD1，明顯B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.∴BD1?平面A1BCD1.同理BD1?平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1.又∵A1C?平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.∴Q在平面A1BCD1與ABC1D1的交線上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三點(diǎn)共線．追蹤訓(xùn)練3證明方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公義2可知：點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上．同理可證Q、R也在平面ABC與平面α的交線上．∴P、Q、R三點(diǎn)共線．方法二∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確立平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC?平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α，∴Q∈PR，∴P、Q、R三點(diǎn)共線．例4證明如圖，連接EF，D1C，A1B.∵E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)，∴EF綊1A1B.2又∵A1B綊D1C，1∴EF綊2D1C，∴E，F(xiàn)，D1，C四點(diǎn)共面，∴D1F與CE訂交，設(shè)交點(diǎn)為P.又D1F?平面A1D1DA，CE?平面ABCD，∴P為平面A1D1DA與平面ABCD的公共點(diǎn)．又平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，依據(jù)公義2，可得P∈DA，即CE、D1F、DA訂交于一點(diǎn)．追蹤訓(xùn)練4證明如圖，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.l1?β，l2?β，且l1，l2不平行，∴l(xiāng)1與l2必訂交．設(shè)l1∩l2＝P，則P∈l1?α，P∈l2