人教版數(shù)學(xué)九年級上學(xué)期《圓》單元測試（滿分120分，考試用時120分鐘）一、選擇題1.下列說法中正確的是（）A.角的角平分線是它的對稱軸B.等腰三角形底邊上的高是它的對稱軸C.線段的垂直平分線是它的對稱軸D.圓的直徑是它的對稱軸2.已知，如圖AB，AD是⊙O的弦，∠B=30°，點C在弦AB上，連結(jié)CO并延長交⊙O于點D，∠D=35°，則∠BAD的度數(shù)是()A.60° B.65° C.70° D.75°3.若⊙O直徑為8cm，點A到圓心O的距離為3cm，則點A與⊙O的位置關(guān)系是()A.點A在圓內(nèi) B.點A在圓上 C.點A在圓外 D.不能確定4.如圖，AB是⊙O的直徑，點P是⊙O外一點，PO交⊙O于點C，連接BC、PA．若∠P=36°，PA與⊙O相切，則∠B等于()A.20° B.27° C.36° D.42°5.下列關(guān)于圓的敘述正確的有()①對角互補(bǔ)的四邊形是圓內(nèi)接四邊形；②圓的切線垂直于圓的半徑；③正多邊形中心角的度數(shù)等于這個正多邊形一個外角的度數(shù)；④過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等．A.1個 B.2個 C.3個 D.4個6.如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，過點A作⊙O的切線交對角線DB的延長線于點F，則下列結(jié)論不成立的是（）A.AE∥BD B.AB=BF C.AF∥CD D.DF=7.圓錐的母線長為9cm，底面圓的直徑為10cm，那么這個圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是()A.150° B.200° C.180° D.240°8.半徑為2、圓心角為30°的扇形的面積為（）A.2π B.π C.π D.π9.如圖，A、D是⊙O上的兩個點，BC是直徑，若∠OAC=55°，則∠D的度數(shù)是（）A.35° B.55° C.65° D.70°10.如圖，AB為⊙O的直徑，弦CF⊥AB于點E，CF=4，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，∠D=30°，則OA的長為（）A.2 B.4 C.4 D.411.如圖所示，正五邊形ABCDE放入某平面直角坐標(biāo)系后，若頂點A，B，C，D的坐標(biāo)分別是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，則點E的坐標(biāo)是()A.(2，－3) B.(2，3) C.(3，2) D.(3，－2)12.如圖，直徑AB為10的半圓，繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°，此時點B旋轉(zhuǎn)到點B′，則圖中陰影部分的面積是（）A.π B. C. D.二、填空題13.過⊙O內(nèi)點M的最長弦長為20cm，最短弦長為16cm，那么OM的長為_____cm．14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點O為圓心的圓過點A（5，0），直線y=kx-2k+3（k≠0）與⊙O交于B、C兩點，則弦BC的長的最小值為____．15.如圖，AE、AD、BC分別切⊙O于點E、D、F，若AD=5，則△ABC的周長=_____．16.已知：三角形三邊分別為10、8、6，則這個三角形的外接圓半徑是_____．17.如圖，⊙O的內(nèi)接正六邊形的半徑是4，則這個正六邊形的邊長為_____．18.如圖，半徑為1的⊙O與正五邊形ABCDE的邊AB、AE相切于點M、N，則劣弧弧MN的長度為__________．19.如圖，△ABC中，AC=AB=9，∠C=65°，以點A為圓心，AB長為半徑畫，若∠1=∠2，則的長(結(jié)果保留π)為_____．20.如圖，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=4，以O(shè)B為直徑作半圓，圓心為點C，過點C作OA的平行線分別交兩弧點D、E，則陰影部分的面積為_____．三、解答題21.十一期間，小明一家一起去旅游，如圖是小明設(shè)計的某旅游景點的圖紙（網(wǎng)格是由相同的小正方形組成的，且小正方形的邊長代表實際長度100m，在該圖紙上可看到兩個標(biāo)志性景點A，B．若建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，則點A（﹣3，1），B（﹣3，﹣3），第三個景點C（1，3）的位置已破損．（1）請在圖中畫出平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)出景點C的位置；（2）平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點為點O，△ACO是直角三角形嗎?請判斷并說明理由．22.如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，BC=4，∠A=30°，求⊙O的直徑．23.如圖，正方形ABCD邊長為2，點E在邊AD上(不與A，D重合)，點F在邊CD上，且∠EBF=45°，若△ABE的外接圓⊙O與CD邊相切．(1)求⊙O的半徑長；(2)求△BEF面積．24.某小區(qū)一塊長方形的綠地的造型如圖所示(單位：m)，其中兩個扇形表示綠地，兩塊綠地用五彩石隔開，那么需鋪多大面積的五彩石?(保留π)25.如圖，半圓O的直徑AB=18，將半圓O繞點B順針旋轉(zhuǎn)45°得到半圓O′，與AB交于點P．（1）求AP長．（2）求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留π）26.如圖，△ABC中，∠ACB=90°，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D、E、F．連接DF并延長交BC的延長線于點G．(1)求證：AF=GC；(2)若BD=6，AD=4，求⊙O的半徑；(3)在(2)的條件下，求圖中由弧EF與線段CF、CE圍成的陰影部分面積．

參考答案一、選擇題1.下列說法中正確的是（）A.角的角平分線是它的對稱軸B.等腰三角形底邊上高是它的對稱軸C.線段的垂直平分線是它的對稱軸D.圓的直徑是它的對稱軸【答案】C【解析】【分析】利用角平分線的對稱性、等腰三角形的對稱性、線段的對稱性及圓的對稱性分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：A、角的平分線所在直線是它的對稱軸，故錯誤；B、等腰三角形底邊上的高所在的直線是它的對稱軸，故錯誤；C、線段的垂直平分線是它的對稱軸，正確；D、圓的直徑所在的直線是它的對稱軸，故錯誤，故選C．【點睛】本題考查角平分線、等腰三角形、線段及圓的對稱性，解題關(guān)鍵是能夠了解有關(guān)圖形的對稱性．2.已知，如圖AB，AD是⊙O的弦，∠B=30°，點C在弦AB上，連結(jié)CO并延長交⊙O于點D，∠D=35°，則∠BAD的度數(shù)是()A.60° B.65° C.70° D.75°【答案】B【解析】【分析】由圓周角定理可得∠BOD=2∠BAD；由三角形外角的性質(zhì)可得∠BOD=∠BAD+∠B+∠D；由此即可求得∠BAD的度數(shù).【詳解】∵圓周角∠BAD與圓心角∠BOD對應(yīng)弧都是弧BD，∴∠BOD=2∠BAD，又∵∠BOD=∠BAD+∠B+∠D，∴2∠BAD=∠BAD+∠B+∠D，∴∠BAD=∠B+∠D=30°+35°=65°，故選B.【點睛】本題考查了圓周角定理，熟知圓周角定理的內(nèi)容是解決問題的關(guān)鍵.3.若⊙O的直徑為8cm，點A到圓心O的距離為3cm，則點A與⊙O的位置關(guān)系是()A.點A在圓內(nèi) B.點A在圓上 C.點A在圓外 D.不能確定【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點到圓心的距離與圓的半徑大小的比較，確定點A與⊙O的位置關(guān)系．【詳解】解：∵OA=3cm＜4cm，∴點A在⊙O內(nèi)．故選A．【點睛】】本題考查點與圓的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是根據(jù)點到圓心的距離比圓的半徑小，可以確定點A在圓內(nèi)．4.如圖，AB是⊙O的直徑，點P是⊙O外一點，PO交⊙O于點C，連接BC、PA．若∠P=36°，PA與⊙O相切，則∠B等于()A.20° B.27° C.36° D.42°【答案】B【解析】【分析】由AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，∠P=36°，可求得∠POA的度數(shù)，又由圓周角定理，可求得∠B的度數(shù)，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)，即可求得答案．【詳解】∵AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，∴OA⊥PA，即∵∴∵OC=OB，∴故選B.【點睛】考查切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及圓周角定理，熟記直徑所對的圓周角是直角.5.下列關(guān)于圓敘述正確的有()①對角互補(bǔ)的四邊形是圓內(nèi)接四邊形；②圓的切線垂直于圓的半徑；③正多邊形中心角的度數(shù)等于這個正多邊形一個外角的度數(shù)；④過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等．A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】利用確定圓的條件得到對角互補(bǔ)的四邊形有外接圓可對①進(jìn)行判斷；利用切線的性質(zhì)對②進(jìn)行判斷；根據(jù)正多邊形中心角的定義和多邊形外角和對③進(jìn)行判斷；根據(jù)切線長定理對④進(jìn)行判斷．【詳解】解：對角互補(bǔ)的四邊形是圓內(nèi)接四邊形，所以①正確；圓的切線垂直于過切點的半徑，所以②錯誤；正多邊形中心角的度數(shù)等于這個正多邊形一個外角的度數(shù)，所以③正確；過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等，所以④正確．故選C．【點睛】本題考查正多邊形與圓、切線的性質(zhì)和確定圓的條件，解題關(guān)鍵是熟練掌握正多邊形的有關(guān)概念．6.如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，過點A作⊙O的切線交對角線DB的延長線于點F，則下列結(jié)論不成立的是（）A.AE∥BD B.AB=BF C.AF∥CD D.DF=【答案】D【解析】【分析】連接OA、OB、AD，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)求出各個角的度數(shù)，再逐個判斷即可．【詳解】解：A、∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠BAE=∠ABC=∠C=∠EDC=∠E，BC=CD，∴∠CBD=∠CDB=×（180°-∠C）=36°，∴∠ABD=108°-36°=72°，∴∠EAB+∠ABD=180°，∴AE∥BD，正確；故本選項不符合題意；B、連接OA、OB，

∵五邊形ABCDE是正五邊形，∵OA=OB，∵FA切⊙O于A，∴∠OAF=90°，∴∠FAB=90°-54°=36°，∵∠ABD=72°，∴∠F=72°-36°=36°=∠FAB，∴AB=BF，故本選項不符合題意；C、∵∠F=∠CDB=36°，∴AF∥CD，故本選項不符合題意；

D、連接AD，過A作AH⊥DF于H，則∠AHF=∠AHD=90°，

∵∠EDC=108°，∠CDB=∠EDA=36°，∴∠ADF=108°-36°-36°=36°=∠F，

∴AD=AF，∴FH=DH，當(dāng)∠F=30°時，AF=2AH，F(xiàn)H=DH=AH，

此時DF=AF，∴此時∠F=36°時，DF≠AF，故本選項符合題意；

故選：D．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、正多邊形與圓、等腰三角形的性質(zhì)和判定、平行線的判定、解直角三角形等知識點，能綜合運用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．7.圓錐的母線長為9cm，底面圓的直徑為10cm，那么這個圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是()A.150° B.200° C.180° D.240°【答案】B【解析】【分析】因為展開圖的扇形的弧長等于圓錐底面周長，根據(jù)弧長公式列方程即可．【詳解】解：，

解得n=200°．

故選B．【點睛】本題考查的知識點是圓錐的側(cè)面展開圖與底面周長之間的關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟記圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．8.半徑為2、圓心角為30°的扇形的面積為（）A.2π B.π C.π D.π【答案】D【解析】【分析】直接利用扇形的面積公式，求解即可.【詳解】解：，故答案為D.【點睛】本題考查了扇形面積的計算，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是熟記扇形的面積公式.9.如圖，A、D是⊙O上的兩個點，BC是直徑，若∠OAC=55°，則∠D的度數(shù)是（）A.35° B.55° C.65° D.70°【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AOC，根據(jù)圓周角定理解答．【詳解】解：∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=55°，∴∠AOC=180°﹣∠OCA﹣∠OAC=70°，由圓周角定理得，∠B=∠AOC=35°，∴∠D=∠B=35°，故選A．【點睛】本題考查的是圓周角定理，掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等是解題的關(guān)鍵．10.如圖，AB為⊙O的直徑，弦CF⊥AB于點E，CF=4，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，∠D=30°，則OA的長為（）A.2 B.4 C.4 D.4【答案】B【解析】【分析】由∠D=30°，利用切線的性質(zhì)可得∠COB的度數(shù)，利用等邊三角形的判定和性質(zhì)及切線的性質(zhì)可得∠BCD，易得BC=BD，由垂徑定理得CE的長，在直角三角形COE中，利用銳角三角函數(shù)易得OC的長，得BD的長．【詳解】解：連結(jié)CO，BC，∵CD切⊙O于C，∴∠OCD=90°，又∵∠D=30°，∴∠COB=60°，∴△OBC是等邊三角形，即BC=OC=OB，∴∠BCD=90°﹣∠OCB=30°，∴BC=DB，又∵直徑AB⊥弦CF，∴直徑AB平分弦CF，即CE=，在Rt△OCE中，sin∠COE==，∴OC==4，∴OA=OC=4．故選B．【點睛】本題主要考查考了切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)及判定，銳角三角函數(shù)等，作出適當(dāng)?shù)妮o助線，得出相等的線段是解答此題的關(guān)鍵．11.如圖所示，正五邊形ABCDE放入某平面直角坐標(biāo)系后，若頂點A，B，C，D的坐標(biāo)分別是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，則點E的坐標(biāo)是()A.(2，－3) B.(2，3) C.(3，2) D.(3，－2)【答案】C【解析】【詳解】∵點A坐標(biāo)為（0，a），∴點A在該平面直角坐標(biāo)系的y軸上，∵點C、D的坐標(biāo)為（b，m），（c，m），∴點C、D關(guān)于y軸對稱，∵正五邊形ABCDE是軸對稱圖形，∴該平面直角坐標(biāo)系經(jīng)過點A的y軸是正五邊形ABCDE的一條對稱軸，∴點B、E也關(guān)于y軸對稱，∵點B的坐標(biāo)為（﹣3，2），∴點E的坐標(biāo)為（3，2），故選C..【點睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系的點坐標(biāo)特征及正五邊形的軸對稱性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過頂點坐標(biāo)確認(rèn)正五邊形的一條對稱軸即為平面直角坐標(biāo)系的y軸．12.如圖，直徑AB為10的半圓，繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°，此時點B旋轉(zhuǎn)到點B′，則圖中陰影部分的面積是（）A.π B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得出AB=AB′=10，∠BAB′=60°，根據(jù)圖形得出圖中陰影部分的面積S=+π×102-π×102，求出即可．【詳解】解：如圖，∵AB=AB′=10，∠BAB′=60°∴圖中陰影部分的面積是：S=S扇形B′AB+S半圓﹣S半圓，=，=π．故選B．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，扇形的面積的應(yīng)用，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生的計算能力和觀察圖形的能力，題目比較好，難度適中．二、填空題13.過⊙O內(nèi)點M的最長弦長為20cm，最短弦長為16cm，那么OM的長為_____cm．【答案】6【解析】【分析】過點A最長弦長為直徑，最短弦長與此圓直徑垂直.【詳解】過點M的最長的弦為過點M的直徑，最短的弦為與這條直徑垂直的弦,如圖，連接OA，OA=20÷2=10，∵OM⊥AB，∴AM=AB=，∴,故答案為6cm.【點睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)及概念，找清各邊的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點O為圓心的圓過點A（5，0），直線y=kx-2k+3（k≠0）與⊙O交于B、C兩點，則弦BC的長的最小值為____．【答案】24【解析】【分析】易知直線y=kx-3k+4過定點D（3，4），運用勾股定理可求出OD，由條件可求出半徑OB，由于過圓內(nèi)定點D的所有弦中，與OD垂直的弦最短，因此只需運用垂徑定理及勾股定理就可解決問題．【詳解】對于直線y=kx-3k+4=k（x-3）+4，當(dāng)x=3時，y=4，故直線y=kx-3k+4恒經(jīng)過點（3，4），記為點D．過點D作DH⊥x軸于點H，則有OH=3，DH=4，OD==5．∵點A（13，0），∴OA=13，∴OB=OA=13．由于過圓內(nèi)定點D的所有弦中，與OD垂直的弦最短，如圖所示，因此運用垂徑定理及勾股定理可得：BC的最小值為2BD=2=2×=2×12=24．故答案為24．【點睛】本題主要考查了直線上點的坐標(biāo)特征、垂徑定理、勾股定理等知識，發(fā)現(xiàn)直線恒經(jīng)過點（3，4）以及運用”過圓內(nèi)定點D的所有弦中，與OD垂直的弦最短”這個經(jīng)驗是解決該選擇題的關(guān)鍵．15.如圖，AE、AD、BC分別切⊙O于點E、D、F，若AD=5，則△ABC的周長=_____．【答案】10【解析】【分析】由切線長定理可得AD=AC，DB=BF，CE=CF，則可求得△ABC的周長．【詳解】解：∵AE，AD，BC分別切⊙O于點E、D和點F，∴AD=AC，DB=BF，CE=CF，∴AB+BC+AC=AB+BF+CF+AC=AB+BD+CE+AC=AD+AE=2AD=10，故答案為10．【點睛】本題主要考查切線的性質(zhì)，掌握切線長定理是解題的關(guān)鍵，即從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等．16.已知：三角形的三邊分別為10、8、6，則這個三角形的外接圓半徑是_____．【答案】5．【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出三角形的形狀，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：∵62+82=102，∴此三角形是直角三角形，∴這個三角形外接圓的半徑==5．故答案為5．【點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，熟知直角三角形斜邊的中點即為外接圓的圓心是解答此題的關(guān)鍵．17.如圖，⊙O的內(nèi)接正六邊形的半徑是4，則這個正六邊形的邊長為_____．【答案】4【解析】【分析】連接OA，OB，證出△BOA是等邊三角形，【詳解】解：如圖所示，連接OA、OB∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠AOB=60°，∵OA=OB，∴△AOB是等邊三角形，∴AB=OA=OB=4故答案為4【點睛】本題考查正六邊形和圓，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握正六邊形的性質(zhì)．18.如圖，半徑為1的⊙O與正五邊形ABCDE的邊AB、AE相切于點M、N，則劣弧弧MN的長度為__________．【答案】【解析】試題分析：連接OM，ON，首先根據(jù)切線的性質(zhì)和正五邊形的性質(zhì)求得圓心角的度數(shù)，然后利用弧長公式進(jìn)行計算．試題解析：如圖：連接OM，ON，∵⊙O與正五邊形ABCDE的邊AB、AE相切于點M、N，∴OM⊥AB，ON⊥AC，∵∠A=108°，∴∠MON=72°，∵半徑為1，∴劣弧的長度為：．考點：正多邊形和圓19.如圖，△ABC中，AC=AB=9，∠C=65°，以點A為圓心，AB長為半徑畫，若∠1=∠2，則的長(結(jié)果保留π)為_____．【答案】【解析】分析】先由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=AC=9，∠CAB=60°．再由∠1=∠2得到∠CAB=∠DAE=60°，然后根據(jù)弧長公式解答即可．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，AB=AC=9，∵∠C=65°，∴∠CAB=50°．∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，∴∠CAB=∠DAE=50°，∴弧DE的長為=π，故答案為π.【點睛】本題考查了扇形的弧長，等邊三角形的性質(zhì)，找到圓心角∠DAE的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．20.如圖，在扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=4，以O(shè)B為直徑作半圓，圓心為點C，過點C作OA的平行線分別交兩弧點D、E，則陰影部分的面積為_____．【答案】π﹣2【解析】【分析】根據(jù)題意和圖形，作出合適的輔助線，即可求得陰影部分的面積．【詳解】解：連接OE，如圖，∵CE∥OA，∴∠BCE=90°，∵OE=4，OC=2，∴CE=OC=2，∴∠CEO=30°，∠BOE=60°，∴S陰影部分=S扇形BOE﹣S△OCE﹣S扇形BCD=﹣×2×2﹣=π﹣2．故答案為π﹣2【點睛】本題考查扇形面積的計算、等邊三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．三、解答題21.十一期間，小明一家一起去旅游，如圖是小明設(shè)計的某旅游景點的圖紙（網(wǎng)格是由相同的小正方形組成的，且小正方形的邊長代表實際長度100m，在該圖紙上可看到兩個標(biāo)志性景點A，B．若建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，則點A（﹣3，1），B（﹣3，﹣3），第三個景點C（1，3）的位置已破損．（1）請在圖中畫出平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)出景點C的位置；（2）平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點為點O，△ACO是直角三角形嗎?請判斷并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）△ACO是直角三角形．【解析】【分析】(1)根據(jù)A點坐標(biāo)向右平移3個單位得到的點在y軸，向下平移1個單位得到的點在x軸，可得平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)C點坐標(biāo)，可得答案；(2)根據(jù)勾股定理求出△ACO的三條邊，然后利用勾股定理的逆定理判斷是直角三角形.【詳解】（1）如圖:（2）△ACO是直角三角形．理由如下：∵A（﹣3，1），C（1，3），∴OA==，OC==，AC==2，∵OA2+OC2=AC2，∴△AOC是直角三角形，∠AOC=90°．故答案為（1）見解析；（2）△ACO是直角三角形.【點睛】本題考查了坐標(biāo)確定位置、勾股定理與逆定理，利用A點坐標(biāo)確定平面直角坐標(biāo)系是解題關(guān)鍵.22.如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，BC=4，∠A=30°，求⊙O的直徑．【答案】8【解析】【分析】連接OB，OC，根據(jù)圓周角定理得到∠BOC=60°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接OB，OC，∵∠A=30°，∴∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等邊三角形，∴OC=BC=4，∴⊙O的直徑=8．【點睛】本題考查三角形的外接圓與外心，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確的作出輔助線．23.如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E在邊AD上(不與A，D重合)，點F在邊CD上，且∠EBF=45°，若△ABE的外接圓⊙O與CD邊相切．(1)求⊙O的半徑長；(2)求△BEF的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）將△BCF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△BAP，過點B作BQ⊥EF，設(shè)⊙O與CD相切于點M，連接OM，延長MO交AB于點N，由已知得出△BPE≌△BFE，進(jìn)而得出△AEB≌△QEB，利用中位線出AE的長，由勾股定理求出BE，即可得出半徑；

（2）由C△EFD=4，利用勾股定理得出DF的長，即可求出△BEF的面積．【詳解】解：（1）將△BCF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△BAP，過點B作BQ⊥EF，設(shè)⊙O與CD相切于點M，連接OM，延長MO交AB于點N，如圖所示：在△BPE與△BFE中，，∴△BPE≌△BFE（SAS），∴∠AEB=∠BEQ，PE=EF，在△AEB和△QEB中，，∴△AEB≌△QEB（AAS），∴BQ=AB=2，由PE=EF可知，C△EFD=ED+DF+EF=ED+DF+PE=ED+DF+PA+AE=ED+AE+DF+FC=4，設(shè)AE=a，則DE=2﹣a，BE=，∵O為BE中點，且MN∥AD，∴ON=AE=，∴OM=2﹣，又BE=2OM，∴=4﹣a，解得a=，∴ED=，BE==，∴⊙O的半徑長=BE=；（2）∵C△EFD=4，設(shè)DF=b，∴EF=4﹣b﹣=﹣b，在Rt△EDF中，（）2+b2=（﹣b）2，解得b=，∴EF=﹣=，∴S△BEF=××2=．【點睛】本題主要考查切線的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線，利用三解形全等及方程靈活的求解．24.某小區(qū)一塊長方形的綠地的造型如圖所示(單位：m)，其中兩個扇形表示綠地，兩塊綠地用五彩石隔開，那么需鋪多大面積的五彩石?(保留π)【答案】【解析】【分析】圖中五彩石的面積=矩形的面積-2個扇形的面積．【詳解】解：圖中矩形的面積=a（a+b）m2．大扇形的面積==（m2）．小扇形面積==（m2）．則圖中五彩石部分的面積為：a（a+b）﹣﹣=a2+ab﹣b