平面圖形上的最短路徑問題知識(shí)點(diǎn)：1.兩點(diǎn)之間，線段最短2.垂線段最短3.線段垂直平分線是的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等4.三角形任意兩邊之差小于第三邊總思路：找點(diǎn)關(guān)于線的對稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”?？碱}型題：將軍飲馬、造橋選址、費(fèi)馬點(diǎn)（一）根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短題型一兩點(diǎn)在直線同側(cè)（將軍飲馬）【問題1】“將軍飲馬”作法圖形原理在直線l上求一點(diǎn)P，使PA+PB值最?。鰾關(guān)于l的對稱點(diǎn)B＇連AB＇，與l交點(diǎn)即為P．兩點(diǎn)之間線段最短．PA+PB最小值為AB＇．題型二相交直線之間一點(diǎn)或兩點(diǎn)【問題2】作法圖形原理在直線、上分別求點(diǎn)M、N，使△PMN的周長最小．分別作點(diǎn)P關(guān)于兩直線的對稱點(diǎn)P＇和P連P＇P與兩直線交點(diǎn)即為M，N．兩點(diǎn)之間線段最短．PM+MN+PN的最小值為線段的長．【問題3】作法圖形原理在直線、上分別求點(diǎn)M、N，使四邊形PQMN的周長最?。謩e作點(diǎn)Q、P關(guān)于直線、的對稱點(diǎn)Q＇和P連，與兩直線交點(diǎn)即為M，N．兩點(diǎn)之間線段最短．四邊形PQMN周長的最小值為線段的長．【問題4】作法圖形原理A為上一定點(diǎn)，B為上一定點(diǎn)，在上求點(diǎn)M，在上求點(diǎn)N，使AM+MN+NB的值最小．作點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)A＇，作點(diǎn)B關(guān)于的對稱點(diǎn)B＇，連于M，交于N．兩點(diǎn)之間線段最短．AM+MN+NB的最小值為線段的長．題型三造橋選址【問題5】“造橋選址”作法圖形原理直線∥，在、，上分別求點(diǎn)M、N，使MN⊥，且AM+MN+BN的值最小．將點(diǎn)A向下平移MN的長度單位得A＇，連交于點(diǎn)N，過N作NM⊥于M．兩點(diǎn)之間線段最短．AM+MN+BN的最小值為B+MN．【問題6】作法圖形原理在直線上求兩點(diǎn)M、N（M在左）使并使AM+MN+NB的值?。畬Ⅻc(diǎn)A向右平移個(gè)長度單位得A＇，作A＇關(guān)于的對稱點(diǎn)A連AB，交直線于點(diǎn)N，將N點(diǎn)向左平移個(gè)單位得M．兩點(diǎn)之間線段最短．AM+MN+BN的最小值為AB+MN．題型四費(fèi)馬點(diǎn)【問題7】“費(fèi)馬點(diǎn)”作法圖形原理△ABC中每一內(nèi)角都小于120°，在△ABC內(nèi)求一點(diǎn)P，使PA+PB+PC值最?。簏c(diǎn)為“費(fèi)馬點(diǎn)”即滿足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．以AB、AC為邊向外作等邊△ABD、△ACE，連CD、BE相交于P，點(diǎn)P即為所求．兩點(diǎn)之間線段最短．PA+PB+PC最小值＝CD．（二）根據(jù)垂線段最短題型五和最小【問題8】作法圖形原理在上求點(diǎn)A，在上求點(diǎn)B，使PA+AB值最?。鼽c(diǎn)P關(guān)于的對稱點(diǎn)P＇，作⊥于B，交于A．點(diǎn)到直線，垂線段最短．PA+AB的最小值為線段的長．（三）根據(jù)線段垂直平分線上點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等題型六差最小【問題9】作法圖形原理在直線l上求一點(diǎn)P，使的值最?。BAB，作AB的中垂線與直線l的交點(diǎn)即為P．垂直平分上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等．＝0．（四）根據(jù)三角形任意兩邊之差小于第三邊題型七差最大【問題10】作法圖形原理在直線l上求一點(diǎn)P，使的值最大．作直線AB，與直線l的交點(diǎn)即為P．三角形任意兩邊之差小于第三邊．≤AB．的最大值A(chǔ)B【問題11】作法圖形原理在直線l上求一點(diǎn)P，使的值最大．作B關(guān)于l的對稱點(diǎn)B＇作直線AB＇，與l交點(diǎn)即為P．三角形任意兩邊之差小于第三邊.≤AB＇最大值A(chǔ)B＇題型一兩點(diǎn)在直線同側(cè)例題1：如圖，在銳角△ABC中，AB=6，∠BAC=60°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是（）A．3B．C．D．6解：在AC上取一點(diǎn)E，使得AE=AB，過E作EN⊥AB于N′，交AD于M，連接BM，BE，BE交AD于O，則BM+MN’最小（根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短；點(diǎn)到直線垂直距離最短），∵AD平分∠CAB，AE=AB，∴EO=OB，AD⊥BE，∴AD是BE的垂直平分線（三線合一），∴E和B關(guān)于直線AD對稱，∴EM=BM，即BM+MN′=EM+MN′=EN′，∵EN’⊥AB，∴∠EN’A=90°，∵∠CAB=60°，∴∠AEN′=30°，∵AE=AB=6，∴AN’=AE=3，在△AEN’中，由勾股定理得：EN’=，即BM+MN的最小值是．故選B．鞏固練習(xí)：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上．頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），且∠AOB=30°點(diǎn)P為斜邊OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值為_________．解：作A關(guān)于OB的對稱點(diǎn)D，連接CD交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時(shí)PA+PC的值最?。逥P=PA，∴PA+PC=PD+PC=CD．∵B（3，），∴AB=，OA=3，∠B=60°．由勾股定理得：OB=2．由三角形面積公式得：×OA×AB=×OB×AM，∴AM=．∴AD=2×=3．∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°．∵∠BAO=90°，∴∠OAM=60°．∵DN⊥OA，∴∠NDA=30°．∴AN=AD=．由勾股定理得：DN=．∵C（1，0），∴CN=3-1-=．在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC=．∴PA+PC的最小值是．題型二相交直線之間一或兩點(diǎn)例題2：如圖，∠AOB=30°，∠AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，且OP=10．在OA上有一點(diǎn)Q，OB上有一點(diǎn)R．若△PQR周長最小，則最小周長是（）A．10B．15C．20D．30解：設(shè)∠POA=θ，則∠POB=30°﹣θ，作PM⊥OA與OA相交于M，并將PM延長一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB與OB相交于N，并將PN延長一倍到F，即NF=PN．連接EF與OA相交于Q，與OB相交于R，再連接PQ，PR，則△PQR即為周長最短的三角形．∵OA是PE的垂直平分線，∴EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分線，∴FR=RP，∴△PQR的周長=EF．∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°﹣θ）=60°，∴△EOF是正三角形，∴EF=10，即在保持OP=10的條件下△PQR的最小周長為10，故選A．鞏固練習(xí)：如圖，∠AOB=30°，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM=5，ON=12，點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是．解：作M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)M′，作N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N′，連接M’N’，即為MP+PQ+QN的最小值．根據(jù)軸對稱的定義可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，OM’=OM=5，ON’=ON=12，∴△ONN′為等邊三角形，△OMM′為等邊三角形，∴∠N′OM′=90°，∴在中，故答案為：13．題型三造橋選址例題3：荊州護(hù)城河在CC＇處直角轉(zhuǎn)彎，河寬相等，從A處到達(dá)B處，需經(jīng)過兩座橋DD＇、EE＇，護(hù)城河及兩橋都是東西、南北方向，橋與河岸垂直．如何確定兩座橋的位置，可使A到B點(diǎn)路徑最短？解：作AF⊥CD，且AF=河寬，作BG⊥CE，且BG=河寬，連接GF，與河岸相交于E’、D’，作DD’、EE’即為橋證明：由做法可知，AF∥DD’，AF=DD’，則四邊形AFDD’為平行四邊形于是AD=FD’同理，BE=GE’由兩點(diǎn)之間線段最短可知，GF最小即當(dāng)橋建于如圖所示位置時(shí)，ADD’E’EB最短鞏固練習(xí)：如圖，工廠A和工廠B被一條河隔開，它們到河的距離都是2km，兩個(gè)工廠水平距離是3km，河寬1km，現(xiàn)在要架一座垂直于河岸的橋，使工廠A到工廠B的距離最短（河岸是平行的）①請畫出架橋的位置（不寫畫法）②求從工廠A經(jīng)過橋到工廠B的最短路程.解：①如圖所示，AA’=1km，則MN為架橋位置②過點(diǎn)B作BE⊥AA’，交其延長線于點(diǎn)E。則則從A到B的最短路程是：AM+MN+BN=A’B+MN=5+1=6(km)題型四費(fèi)馬點(diǎn)例題4：在銳角△ABC內(nèi)求一點(diǎn)P，使PA+PB+PC為最短值.解：（1）將繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到（2）連接（3）作直線與直線相交于點(diǎn)，且使靠近的哪一點(diǎn)就是的位置題型五和最小例題5：如圖，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC邊上的中線且AD=12，是AD上的動(dòng)點(diǎn)，是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則CF+EF的最小值為．解：作E關(guān)于AD的對稱點(diǎn)M，連接CM交AD于F，連接EF，過C作CN⊥AB于N∵，，AD是BC邊上的中線∴，，AD平分∠BAC∴M在AB上，在中，∴∴∵E關(guān)于AD的對稱點(diǎn)M∴∴根據(jù)垂線段最短得出：，即，即的最小值是鞏固練習(xí)：如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上點(diǎn)，若AE=1，EM+CM的最小值為．解：連接BE，與AD交于點(diǎn)M．則BE就是EM+CM的最小值，過B作BN⊥AC于N，∵△ABC是等邊三角形，∴，∵等邊△ABC的邊長為4，∴AC=4，∵AE=1，∴，，∴，∴的最小值為，故答案為：．題型六差最小例題6：如圖，（1）若要使廠部到A、B兩村的距離相等，則應(yīng)選擇在哪里建廠？（2）若要使廠部到A、B兩村的水管最短，應(yīng)建在什么地方？【答案】（1）根據(jù)中垂線的性質(zhì)：中垂線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等知，作出AB的中垂線與河岸交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P滿足到AB的距離相等（2）作出點(diǎn)A關(guān)于河岸的對稱點(diǎn)C，連接CB，交河岸于點(diǎn)P，連接AP，則點(diǎn)P能滿足AP+PB最小鞏固練習(xí)：在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A（-2,2），B（1,4），根據(jù)要求求出P點(diǎn)的坐標(biāo)：（1）在x軸上找一點(diǎn)P，使最小；（2）在y軸上找一點(diǎn)P，使最小（3）在x軸上找一點(diǎn)P，使最大；（4）在x軸上找一點(diǎn)P，使最小解：（1）如下圖，作A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A’，連接A’B與x軸相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為試PA+PB最短的點(diǎn)，∵A（-2,2），∴A’（-2，-2）設(shè)直線A’B的解析式為：，∴∴∴直線A’B的解析式為：，當(dāng)時(shí)，∴（2）如下圖，連接AB交y軸于P，則點(diǎn)P即為使PA+PB最短的點(diǎn)設(shè)直線AB的解析式為：，∴∴∴直線A’B的解析式為：。當(dāng)時(shí)，∴（3）連接BA并延長交x軸于，則點(diǎn)即為使最大的點(diǎn)由（2）得直線AB的解析式為：當(dāng)y=0時(shí)，，∴（4）如圖，∵，∴當(dāng)AP=BP時(shí)，最小故點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，作線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求。設(shè)P（x，0），則PA’=PB即，解得:，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為題型七差最大例題7：已知：A（1，2），B（4，-2），在直線上找一點(diǎn)P，使最大，并求最大值解：∵A（1,2），B（4，-2），在直線的兩側(cè)∴作A（1,2）關(guān)于直線的對稱點(diǎn)A’∵垂直于直線且過點(diǎn)A（1,2）的直線方程設(shè)則由，得，即方程為令y=0，得x=3，即A’（3,0）∴由直線與直線交點(diǎn)為（2,1）∵過A’(3,0)和B（4，-2）的直線方程為∴由，得，即直線與直線的交點(diǎn)為此時(shí)∵∴當(dāng)P的坐標(biāo)為時(shí)，最大值為鞏固練習(xí)：已知直線c和位于直線兩側(cè)的點(diǎn)A和點(diǎn)B，在直線c上找一點(diǎn)P，使得PA和PB之差最大．畫出圖形，說明理由．解：作點(diǎn)A關(guān)于直線c的對稱點(diǎn)A′，連接A′B并延長交直線c于P，點(diǎn)P即為所求．理由：連接PA．∵，∴．在直線c上另取一點(diǎn)Pˊ，連接，得．在中，∴，∴當(dāng)點(diǎn)A′、B、P在同一條直線上時(shí)PA﹣PB的值最大．課后練習(xí)：練習(xí)1：如圖.在圖一中畫出關(guān)于y軸對稱的,并寫出三點(diǎn)的坐標(biāo)。在圖二的y軸上確認(rèn)一點(diǎn)P，使PA+PC最短。（只需保留作圖痕跡）解：（1）、、（2），作圖如下：練習(xí)2：如圖，∠AOB=30°，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，OP=10,點(diǎn)M,N分別在OA,OB上，則△PMN周長的最小值是__________.解析：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OP、OC、OD、PM、PN．

∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)為C，關(guān)于OB