./全等三角形知識點總結知識點總結一、全等圖形、全等三角形：1.全等圖形：能夠完全的兩個圖形就是全等圖形。2.全等圖形的性質：全等多邊形的、分別相等。3.全等三角形：三角形是特殊的多邊形,因此,全等三角形的對應邊、對應角分別相等。同樣,如果兩個三角形的邊、角分別對應相等,那么這兩個三角形全等。說明：全等三角形對應邊上的高,中線相等,對應角的平分線相等；全等三角形的周長,面積也都相等。這里要注意：〔1周長相等的兩個三角形,不一定全等；〔2面積相等的兩個三角形,也不一定全等。二、全等三角形的判定：1.一般三角形全等的判定〔1三邊對應相等的兩個三角形全等〔"邊邊邊"或""。〔2兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等<"邊角邊"或"">?！?兩個角和它們的夾邊分別對應相等的兩個三角形全等<"角邊角"或"">?！?有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等<"角角邊"或"">。2.直角三角形全等的判定利用一般三角形全等的判定都能證明直角三角形全等．斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等<"斜邊、直角邊"或"">．注意：兩邊一對角<SSA>和三角<AAA>對應相等的兩個三角形不一定全等。3.性質1、全等三角形的對應角相等、對應邊相等。

2、全等三角形的對應邊上的高對應相等。

3、全等三角形的對應角平分線相等。

4、全等三角形的對應中線相等。

5、全等三角形面積相等。

6、全等三角形周長相等。

<以上可以簡稱:全等三角形的對應元素相等>三、角平分線的性質及判定：性質定理：角平分線上的點到該角兩邊的距離相等。判定定理：到角的兩邊距離相等的點在該角的角平分線上。四、證明兩三角形全等或利用它證明線段或角相等的基本方法步驟：

1.確定已知條件〔包括隱含條件,如公共邊、公共角、對頂角、角平分線、中線、高、等腰三角形、等所隱含的邊角關系；2.回顧三角形判定公理,搞清還需要什么；3.正確地書寫證明格式〔順序和對應關系從已知推導出要證明的問題。初二數(shù)學第十一章全等三角形綜合復習切記："有三個角對應相等"和"有兩邊及其中一邊的對角對應相等"的兩個三角形不一定全等。例1.如圖,四點共線,,,,。求證：。例2.如圖,在中,是∠ABC的平分線,,垂足為。求證：。例3.如圖,在中,,。為延長線上一點,點在上,,連接和。求證：。例4.如圖,//,//,求證：。例5.如圖,分別是外角和的平分線,它們交于點。求證：為的平分線。例6.如圖,是的邊上的點,且,,是的中線。求證：。例7.如圖,在中,,,為上任意一點。求證：。同步練習一、選擇題：1.能使兩個直角三角形全等的條件是<> A.兩直角邊對應相等 B.一銳角對應相等 C.兩銳角對應相等 D.斜邊相等2.根據(jù)下列條件,能畫出唯一的是<> A.,, B.,, C.,, D.,3.如圖,已知,,增加下列條件：①；②；③；④。其中能使的條件有<> A.4個 B.3個 C.2個 D.1個4.如圖,,,交于點,下列不正確的是<> A. B. C.不全等于 D.是等腰三角形5.如圖,已知,,,則等于<> A. B. C. D.無法確定二、填空題：6.如圖,在中,,的平分線交于點,且,,則點到的距離等于__________；7.如圖,已知,,是上的兩點,且,若,,則____________；8.將一張正方形紙片按如圖的方式折疊,為折痕,則的大小為_________；9.如圖,在等腰中,,,平分交于,于,若,則的周長等于____________；10.如圖,點在同一條直線上,//,//,且,若,,則___________；三、解答題：11.如圖,為等邊三角形,點分別在上,且,與交于點。求的度數(shù)。12.如圖,,,為上一點,,,交延長線于點。求證：。答案例1.思路分析：從結論入手,全等條件只有；由兩邊同時減去得到,又得到一個全等條件。還缺少一個全等條件,可以是,也可以是。由條件,可得,再加上,,可以證明,從而得到。解答過程：,在與中∴<HL>,即在與中<SAS>解題后的思考：本題的分析方法實際上是"兩頭湊"的思想方法：一方面從問題或結論入手,看還需要什么條件；另一方面從條件入手,看可以得出什么結論。再對比"所需條件"和"得出結論"之間是否吻合或具有明顯的聯(lián)系,從而得出解題思路。小結：本題不僅告訴我們如何去尋找全等三角形及其全等條件,而且告訴我們如何去分析一個題目,得出解題思路。例2.思路分析：直接證明比較困難,我們可以間接證明,即找到,證明且。也可以看成將"轉移"到。那么在哪里呢？角的對稱性提示我們將延長交于,則構造了△FBD,可以通過證明三角形全等來證明∠2=∠DFB,可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C。解答過程：延長交于在與中<ASA又。解題后的思考：由于角是軸對稱圖形,所以我們可以利用翻折來構造或發(fā)現(xiàn)全等三角形。例3.思路分析：可以利用全等三角形來證明這兩條線段相等,關鍵是要找到這兩個三角形。以線段為邊的繞點順時針旋轉到的位置,而線段正好是的邊,故只要證明它們全等即可。解答過程：,為延長線上一點在與中<SAS>。解題后的思考：利用旋轉的觀點,不但有利于尋找全等三角形,而且有利于找對應邊和對應角。小結：利用三角形全等證明線段或角相等是重要的方法,但有時不容易找到需證明的三角形。這時我們就可以根據(jù)需要利用平移、翻折和旋轉等圖形變換的觀點來尋找或利用輔助線構造全等三角形。例4.思路分析：關于四邊形我們知之甚少,通過連接四邊形的對角線,可以把原問題轉化為全等三角形的問題。解答過程：連接//,//,在與中<ASA>。解題后的思考：連接四邊形的對角線,是構造全等三角形的常用方法。例5.思路分析：要證明"為的平分線",可以利用點到的距離相等來證明,故應過點向作垂線；另一方面,為了利用已知條件"分別是和的平分線",也需要作出點到兩外角兩邊的距離。解答過程：過作于,于,于平分,于,于平分,于,于,,且于,于為的平分線。解題后的思考：題目已知中有角平分線的條件,或者有要證明角平分線的結論時,常過角平分線上的一點向角的兩邊作垂線,利用角平分線的性質或判定來解答問題。例6.思路分析：要證明"",不妨構造出一條等于的線段,然后證其等于。因此,延長至,使。解答過程：延長至點,使,連接在與中<SAS>,又,在與中<SAS>又。解題后的思考：三角形中倍長中線,可以構造全等三角形,繼而得出一些線段和角相等,甚至可以證明兩條直線平行。例7.思路分析：欲證,不難想到利用三角形中三邊的不等關系來證明。由于結論中是差,故用兩邊之差小于第三邊來證明,從而想到構造線段。而構造可以采用"截長"和"補短"兩種方法。解答過程：法一：在上截取,連接在與中<SAS>在中,,即AB－AC>PB－PC。法二：延長至,使,連接在與中<SAS>在中,。解題后的思考：當已知或求證中涉及線段的和或差時,一般采用"截長補短"法。具體作法是：在較長的線段上截取一條線段等于一條較短線段,再設法證明較長線段的剩余線段等于另外的較短線段,稱為"截長"；或者將一條較短線段延長,使其等于另外的較短線段,然后證明這兩條線段之和等于較長線段,稱為"補短"。小結：本題組總結了本章中常用輔助線的作法,以后隨著學習的深入還要繼續(xù)總結。我們不