1.2.2《組合》第一頁，共53頁。教學目標

1.理解組合的意義，掌握組合數的計算公式；2.能正確認識組合與排列的聯系與區(qū)別教學重點：理解組合的意義，掌握組合數的計算公式第二頁，共53頁。問題一：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某天的一項活動，其中1名同學參加上午的活動，1名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？問題二：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某天一項活動，有多少種不同的選法？甲、乙；甲、丙；乙、丙3情境創(chuàng)設第三頁，共53頁。從已知的3個不同元素中每次取出2個元素,并成一組問題二從已知的3個不同元素中每次取出2個元素,按照一定的順序排成一列.問題一排列組合有順序無順序第四頁，共53頁。一般地，從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.排列與組合的概念有什么共同點與不同點？

概念講解組合定義:?第五頁，共53頁。組合定義:一般地，從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．排列定義:一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.共同點:都要“從n個不同元素中任取m個元素”不同點:排列與元素的順序有關，而組合則與元素的順序無關.概念講解第六頁，共53頁。思考一:aB與Ba是相同的排列還是相同的組合?為什么?思考二:兩個相同的排列有什么特點?兩個相同的組合呢?１）元素相同；２）元素排列順序相同.元素相同概念理解

構造排列分成兩步完成，先取后排；而構造組合就是其中一個步驟.思考三:組合與排列有聯系嗎?第七頁，共53頁。判斷下列問題是組合問題還是排列問題?

(1)設集合A={a,b,c,d,e}，則集合A的含有3個元素的子集有多少個?(2)某鐵路線上有5個車站，則這條鐵路線上共需準備多少種車票?有多少種不同的火車票價？組合問題排列問題(3)10人聚會，見面后每兩人之間要握手相互問候,共需握手多少次?組合問題組合問題組合是選擇的結果，排列是選擇后再排序的結果.第八頁，共53頁。1.從a,b,c三個不同的元素中取出兩個元素的所有組合分別是:ab,ac,bc

2.已知4個元素a,b,c,d,寫出每次取出兩個元素的所有組合.abcd

bcd

cd

ab,ac,ad,bc,bd,cd(3個)(6個)概念理解第九頁，共53頁。從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號表示.如:從a,b,c三個不同的元素中取出兩個元素的所有組合個數是:如:已知4個元素a、b、c、d,寫出每次取出兩個元素的所有組合個數是：概念講解組合數注意：

是一個數，應該把它與“組合”區(qū)別開來．第十頁，共53頁。1.寫出從a,b,c,d四個元素中任取三個元素的所有組合abc，abd，acd，bcd.bcddcbacd練一練第十一頁，共53頁。組合排列abcabdacdbcdabcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb（三個元素的）1個組合，對應著6個排列你發(fā)現了什么?第十二頁，共53頁。對于，我們可以按照以下步驟進行第十三頁，共53頁。組合數公式排列與組合是有區(qū)別的，但它們又有聯系．一般地，求從n個不同元素中取出m個元素的排列數，可以分為以下2步：第1步，先求出從這n個不同元素中取出m個元素的組合數．第2步，求每一個組合中m個元素的全排列數．根據分步計數原理，得到：因此：

這里m,n是自然數，且mn，這個公式叫做組合數公式．概念講解第十四頁，共53頁。組合數公式:從n個不同元中取出m個元素的排列數第十五頁，共53頁。例1、計算：⑴

⑵

例2.甲、乙、丙、丁4支足球隊舉行單循環(huán)賽，（1）列出所有各場比賽的雙方；（2）列出所有冠亞軍的可能情況.（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁

乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙（1）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：例題分析（3）已知：，求n的值

⑴35

(2)120第十六頁，共53頁。例3第十七頁，共53頁。1.理解組合的定義，區(qū)別排列與組合之間的關系.●思悟小結（2）同是從n個元素中取m個元素，但是組合一旦取完就結束，而排列還要繼續(xù)進行排序（1）有序與無序的區(qū)別2.理解組合數的的定義與公式作業(yè)P27習題1.22、9（1）（2）第十八頁，共53頁。3.10名學生，7人掃地，3人推車，那么不同的分工方法有

種；組合應用【練習】1.用m、n表示2.從8名乒乓球選手中選出3名打團體賽，共有

種不同的選法；如果這三個選手又按照不同順序安排，有

種方法.第十九頁，共53頁。例1.在產品檢驗中，常從產品中抽出一部分進行檢查.現有100件產品，其中3件次品，97件正品.要抽出5件進行檢查，根據下列各種要求，各有多少種不同的抽法？(1)無任何限制條件；(2)全是正品；(3)只有2件正品；(4)至少有1件次品；(5)至多有2件次品；(6)次品最多.解答：（1）（2）（3）（4），或（5）（6）第二十頁，共53頁。1.有10道試題，從中選答8道，共有

種選法、又若其中6道必答，共有

不同的種選法.2.某班有54位同學，正、副班長各1名，現選派6名同學參加某科課外小組，在下列各種情況中，各有多少種不同的選法？（1）無任何限制條件；（2）正、副班長必須入選；（3）正、副班長只有一人入選；（4）正、副班長都不入選；（5）正、副班長至少有一人入選；（5）正、副班長至多有一人入選；練習：小結：至多至少問題常用分類的或排除法.第二十一頁，共53頁。例2從數字1,2,5,7中任選兩個練習有不同的英文書5本,不同的中文書7本,從中選出兩本書.(1)若其中一本為中文書,一本為英文書.問共有多少種選法?(1)可以得到多少個不同的和?(2)可以得到多少個不同的差?(2)若不限條件,問共有多少種選法?6個12個35種66種第二十二頁，共53頁。例4有12名劃船運動員,其中3人只會劃左舷,4人只會劃右舷,其它5人既會劃左舷,又會劃右舷,現要從這12名運動員中選出6人平均分在左右舷參加劃船比賽,有多少種不同的選法?例3在∠MON的邊OM上有5個異于O點的點,ON上有4個異于O點的點,以這十個點(含O)為頂點,可以得到多少個三角形?NOMABCDEFGHI·········第二十三頁，共53頁。練習如圖,在以AB為直徑的半圓周上有異于A,B的六個點C1,C2,C3,

C4,C5,C6,

AB上有異于A,B的四個點D1,D2,D3,D4,問(1)以這10個點中的3個點為頂點可作多少個三角形?(2)以圖中12個點(包括A,B)中的四個為頂點,可作多少個四邊形?ABD1D2D3D4﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒﹒C1C2C3C4C5C6第二十四頁，共53頁。練習（1）求的值

組合數的性質（1）（2）（2）求滿足的x值（3）求證：①②（4）求的值1617005或2511第二十五頁，共53頁。1.排列與組合之間的區(qū)別在于有無順序。組合中常見的問題有：選派問題、抽樣問題、圖形問題、集合問題、分組問題，解答組合問題的關鍵是用好組合的定義和兩個基本原理，只選不排，合理分類、分步.2.理解組合數的性質3.解受條件限制的組合題，通常有直接法（合理分類）和間接法（排除法）.●思悟小結P27習題1.210、11第二十六頁，共53頁。習題課第二十七頁，共53頁。組合與組合數通過前面的學習，我們已經知道了組合的定義，組合數及其一些性質和組合與排列的關系。今天我們將在此基礎上，繼續(xù)學習它們的一些應用（一）組合數的公式及其性質：組合數性質1：2：特別地：第二十八頁，共53頁。701,或5練習一（5）求的值（1）（2）（3）（4）511第二十九頁，共53頁。求證：例題解讀證明：因為左邊=注意階乘的變形形式：=左邊，評注：所以等式成立第三十頁，共53頁。練習精選：證明下列等式：（1）（2）第三十一頁，共53頁。例1．6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：（1）分給甲、乙、丙三人，每人2本；例題解讀：解：（1）根據分步計數原理得到：種第三十二頁，共53頁。例1．6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：(2)分為三份，每份2本；解析：(2)分給甲、乙、丙三人，每人兩本有種方法，這個過程可以分兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設有x種方法；第二步再將這三份分給甲、乙、丙三名同學有種方法．根據分步計數原理所以．

可得：例題解讀：因此，分為三份，每份兩本一共有15種方法所以．第三十三頁，共53頁。點評：本題是分組中的“均勻分組”問題．一般地：將mn個元素均勻分成n組（每組m個元素）,共有種方法第三十四頁，共53頁。例1．6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：（3）分為三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分給甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；解：（3）這是“不均勻分組”問題，一共有種方法．（4）在（3）的基礎上再進行全排列，所以一共有種方法．例題解讀：第三十五頁，共53頁。例1．6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：（5）分給甲、乙、丙三人，每人至少1本解：（5）可以分為三類情況：①“2、2、2型”的分配情況，有種方法；②“1、2、3型”的分配情況，有種方法；③“1、1、4型”，有種方法，所以，一共有90+360+90＝540種方法．例題解讀：第三十六頁，共53頁。元素相同問題隔板策略例.有10個運動員名額，再分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。在９個空檔中選６個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應地分給７個班級，每一種插板方法對應一種分法共有___________種分法。一班二班三班四班五班六班七班將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數為第三十七頁，共53頁。例2、（1）10個優(yōu)秀指標分配給6個班級，每個班級至少一個，共有多少種不同的分配方法？（2）10個優(yōu)秀指標分配到1、2、3三個班，若名額數不少于班級序號數，共有多少種不同的分配方法？分析：（1）這是同種元素的“不平均分組”問題.本小題可構造數學模型，用5個隔板插入10個指標中的9個空隙，既有種方法。按照第一個隔板前的指標數為1班的指標，第一個隔板與第二個隔板之間的指標數為2班的指標，以此類推，因此共有種分法.例題解讀：第三十八頁，共53頁。（2）先拿3個指標分給二班1個，三班2個，然后，問題轉化為7個優(yōu)秀指標分給三個班，每班至少一個.由（1）可知共有種分法注：第一小題也可以先給每個班一個指標，然后，將剩余的4個指標按分給一個班、兩個班、三個班、四個班進行分類，共有種分法.例題解讀：第三十九頁，共53頁。例3．（1）四個不同的小球放入四個不同的盒中，一共有多少種不同的放法？（2）四個不同的小球放入四個不同的盒中且恰有一個空盒的放法有多少種？解：（1）根據分步計數原理：一共有種方法；（2）（捆綁法）第一步：從四個不同的小球中任取兩個“捆綁”在一起看成一個元素有種方法；第二步：從四個不同的盒中任取三個將球放入有種方法，所以，一共有＝144種方法例題解讀第四十頁，共53頁。例4．馬路上有編號為1，2，3，…，10的十盞路燈，為節(jié)約用電又不影響照明，可以把其中3盞燈關掉，但不可以同時關掉相鄰的兩盞或三盞，在兩端的燈都不能關掉的情況下，有多少種不同的關燈方法？解：（插空法）本題等價于在7只亮著的路燈之間的6個空檔中插入3只熄掉的燈，故所求方法總數為種方法例題解讀：第四十一頁，共53頁。例5．

（遼寧卷9）一生產過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．現從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有（）A．24種 B．36種C．48D．72種

B例題解讀：第四十二頁，共53頁。例6．（海南卷9）甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面。不同的安排方法共有（）A.20種 B.30種C.40種D.60種

A第四十三頁，共53頁。例7．（重慶卷16)某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如題（16）圖所示的6個點A、B、C、A1、B1、C1上各裝一個燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個的安裝方法共有

種（用數字作答）.

216第四十四頁，共53頁。1．5個人分4張同樣的足球票，每人至多分一張，而且票必須分完，那么不同的分法種數是

．2．某學生要邀請10位同學中的6位參加一項活動，其中有2位同學要么都請，要么都不請，共有

種邀請方法.3.一個集合有5個元素，則該集合的非空真子集共有

個.4.平面內有兩組平行線，一組有m條，另一組有n條，這兩組平行線相交，可以構成

個平行四邊形.5．空間有三組平行平面，第一組有m個，第二組有n個，第三組有t個，不同兩組的平面都相交，且交線不都平行，可構成

個平行六面體9830課堂練習：第四十五頁，共53頁。6.高二某班第一小組共有12位同學，現在要調換座位，使其中有3個人都不坐自己原來的座位，其他9人的座位不變，共有

種不同的調換方法7.某興趣小組有4名男生，5名女生：（1）從中選派5名學生參加一次活動，要求必須有2名男生，3名女生，且女生甲必須在內，有

種選派方法；（2）從中選派5名學生參加一次活動，要求有女生但人數必須少于男生，有____種選派方法；（3）分成三組，每組3人，有_______種不同分法.3645280課堂練習：第四十六頁，共53頁。8.九張卡片分別寫著數字0，1，2，…，8，從中取出三張排成一排組成一個三位數，如果6可以當作9使用，問可以組成多少個三位數？解：可以分為兩類情況：①若取出6，則有種方法；②若不取6，則有種方法，根據分類計數原理，一共有+＝602種方法課堂練習：第四十七頁，共53頁。9.某餐廳供應盒飯，每位顧客可以在餐廳提供的菜肴中任選2葷2素共4種不同的品種.現在餐廳準備了5種不同的葷菜，若要保證每位顧客有200種以上的不同選擇，則餐廳至少還需準備不同的素菜_____種.(結果用數值表示)7【解題回顧】由于化為一元二次不等式n2－n－40≥0求解較繁，考慮到n為正整數，故解有關排列、組合的不等式時，常用估算法.第四十八頁，共53頁。10.某電視臺邀請了6位同學的父母共12人，請這12位家長中的4位介紹對子女的教育情況，如