2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（甲卷）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）設(shè)集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝{x|≤x≤5}（）A．{x|0＜x≤} B．{x|≤x＜4} C．{x|4≤x＜5} D．{x|0＜x≤5}2．（5分）為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟情況，對該地農(nóng)戶家庭年收入進行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是（）A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計為6% B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計為10% C．估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元 D．估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間3．（5分）已知（1﹣i）2z＝3+2i，則z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．﹣+i D．﹣﹣i4．（5分）青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L＝5+lgV．已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9（）（≈1.259）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.65．（5分）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，則C的離心率為（）A． B． C． D．6．（5分）在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E，F(xiàn)，G．該正方體截去三棱錐A﹣EFG后，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）A． B． C． D．7．（5分）等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn．設(shè)甲：q＞0，乙：{Sn}是遞增數(shù)列，則（）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件8．（5分）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一．如圖是三角高程測量法的一個示意圖，B，C三點，且A，B，B'，C'滿足∠A'C'B'＝45°，BB'與CC'的差為100；由B點測得A點的仰角為45°，C兩點到水平面A'B'C'的高度差AA'﹣CC'約為（）（≈1.732）A．346 B．373 C．446 D．4739．（5分）若α∈（0，），tan2α＝，則tanα＝（）A． B． C． D．10．（5分）將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）A． B． C． D．11．（5分）已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且AC⊥BC，則三棱錐O﹣ABC的體積為（）A． B． C． D．12．（5分）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，f（x+1）為奇函數(shù)，f（x+2），當x∈[1，2]時，f（x）2+b．若f（0）+f（3）＝6（）＝（）A．﹣ B．﹣ C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）曲線y＝在點（﹣1，﹣3）處的切線方程為．14．（5分）已知向量＝（3，1），＝（1，0），＝+k．若⊥．15．（5分）已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：+＝1的兩個焦點，P，Q為C上關(guān)于坐標原點對稱的兩點1F2|，則四邊形PF1QF2的面積為．16．（5分）已知函數(shù)f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分圖像如圖所示（x）﹣f（﹣））（f（x）（））＞0的最小正整數(shù)x為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：一級品二級品合計甲機床15050200乙機床12080200合計270130400（1）甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？（2）能否有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818．（12分）已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②數(shù)列{}是等差數(shù)列2＝3a1．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．19．（12分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點，D為棱A1B1上的點，BF⊥A1B1．（1）證明：BF⊥DE；（2）當B1D為何值時，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最小？20．（12分）拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點在x軸上，直線l：x＝1交C于P，且OP⊥OQ．已知點M（2，0），且⊙M與l相切．（1）求C，⊙M的方程；（2）設(shè)A1，A2，A3是C上的三個點，直線A1A2，A1A3均與⊙M相切．判斷直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系，并說明理由．21．（12分）已知a＞0且a≠1，函數(shù)f（x）＝（x＞0）．（1）當a＝2時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線y＝f（x）與直線y＝1有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）22．（10分）在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系cosθ．（1）將C的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）設(shè)點A的直角坐標為（1，0），M為C上的動點，點P滿足＝1的參數(shù)方程，并判斷C與C1是否有公共點．[選修4-5：不等式選講]（10分）23．已知函數(shù)f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝|2x+3|﹣|2x﹣1|．（1）畫出y＝f（x）和y＝g（x）的圖像；（2）若f（x+a）≥g（x），求a的取值范圍．

2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（甲卷）答案與卡片一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．參考答案：集合M＝{x|0＜x＜4}，N＝{x|，則M∩N＝{x|，故選：B．2．參考答案：對于A，該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率為（6.02+0.04）×1＝6.06＝6%；對于B，該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率為（8.04+0.02×3）×2＝0.1＝10%；對于C，估計該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值為6×0.02+4×5.04+5×0.2+6×0.14+5×0.2+7×0.2+8×0.1+10×8.1+11×0.04+12×8.02+13×0.02+14×0.02＝7.68＞6.5萬元；對于D，家庭年收入介于8.5萬元至8.4萬元之間的頻率為（0.1+7.14+0.2+7.2）×1＝8.64＞0.5，故估計該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于8.5萬元至8.8萬元之間．故選：C．3．參考答案：因為（1﹣i）2z＝5+2i，所以．故選：B．4．參考答案：在L＝5+lgV中，L＝4.4，即lgV＝﹣0.1，解得V＝10﹣2.1＝＝＝≈0.2，所以其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.8．故選：C．5．參考答案：F1，F(xiàn)2為雙曲線C的兩個焦點，P是C上的一點7|＝3|PF2|，設(shè)|PF7|＝3m，|PF2|＝m，由雙曲線的定義可得|PF6|﹣|PF2|＝2m＝2a，即m＝a，所以|PF1|＝3a，|PF6|＝a，因為∠F1PF2＝60°，|F6F2|＝2c，所以8c2＝9a7+a2﹣2×5a×a×cos60°，整理得4c2＝6a2，所以e＝＝．故選：A．6．參考答案：由題意，作出正方體，根據(jù)正視圖，可得A﹣EFG在正方體左側(cè)面，如圖，可得相應(yīng)的側(cè)視圖是D圖形，故選：D．7．參考答案：若a1＝﹣1，q＝6n＝na1＝﹣n，則{Sn}是遞減數(shù)列，不滿足充分性；∵Sn＝（1﹣qn），則Sn+1＝（1﹣qn+6），∴Sn+1﹣Sn＝（qn﹣qn+1）＝a1qn，若{Sn}是遞增數(shù)列，∴Sn+7﹣Sn＝a1qn＞0，則a7＞0，q＞0，∴滿足必要性，故甲是乙的必要條件但不是充分條件，故選：B．8．參考答案：過C作CH⊥BB′于H，過B作BM⊥AA′于M，則∠BCH＝15°，BH＝100，CH＝C′B′，BB′＝MA′∴tan∠BCH＝tan15°＝tan（45°﹣30°）＝，sin75°＝sin（45°+30°）＝則在Rt△BCH中，CH＝），∴C′B′＝100（2+）在△A′B′C′中，由正弦定理知＝100（，∴AM＝100（，∴AA′﹣CC′＝AM+BH＝100（+1）+100≈373，故選：B．9．參考答案：由tan2α＝，得，即，∵α∈（0，），∴cosα≠0，則2sinα（6﹣sinα）＝1﹣2sin5α，解得sinα＝，則cosα＝＝，∴tanα＝．故選：A．10．參考答案：4個1和7個0隨機排成一行，共有種，2個6不相鄰，先將4個1全排列種，故2個5不相鄰的概率為．故選：C．11．參考答案：因為AC⊥BC，AC＝BC＝1，所以底面ABC為等腰直角三角形，所以△ABC所在的截面圓的圓心O1為斜邊AB的中點，所以O(shè)O7⊥平面ABC，在Rt△ABC中，AB＝，則，在Rt△AOO1中，，故三棱錐O﹣ABC的體積為．故選：A．12．參考答案：∵f（x+1）為奇函數(shù)，∴f（1）＝0，∵f（x+3）偶函數(shù)，∴f（x+2）＝f（﹣x+2），∴f[（x+5）+1]＝﹣f[﹣（x+1）+8]＝﹣f（﹣x），即f（x+2）＝﹣f（﹣x），∴f（﹣x+2）＝f（x+3）＝﹣f（﹣x）．令t＝﹣x，則f（t+2）＝﹣f（t），∴f（t+4）＝﹣f（t+2）＝f（t），∴f（x+4）＝f（x）．當x∈[1，2]時2+b．f（0）＝f（﹣1+6）＝﹣f（2）＝﹣4a﹣b，f（3）＝f（1+8）＝f（﹣1+2）＝f（1）＝a+b，又f（0）+f（3）＝6，∴﹣3a＝6，∵f（1）＝a+b＝7，∴b＝﹣a＝2，∴當x∈[1，8]時2+2，∴f（）＝f（）＝﹣（﹣4×．故選：D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．參考答案：因為y＝，（﹣1，所以y′＝＝，所以y′|x＝﹣1＝6，則曲線y＝在點（﹣1y﹣（﹣3）＝2[x﹣（﹣1）]，即5x﹣y+4＝0．故答案為：5x﹣y+6＝0．14．參考答案：因為向量＝（3，＝（1，＝+k，由⊥，則＝32+32+k?（3×2+1×0）＝10+2k＝0，解得k＝．故答案為：．15．參考答案：因為P，Q為C上關(guān)于坐標原點對稱的兩點1F2|，所以四邊形PF6QF2為矩形，設(shè)|PF1|＝m，|PF4|＝n，由橢圓的定義可得||PF1|+|PF2||＝m+n＝4a＝8，所以m2+4mn+n2＝64，因為|PF1|7+|PF2|2＝|F8F2|2＝5c2＝4（a5﹣b2）＝48，即m2+n3＝48，所以mn＝8，所以四邊形PF1QF7的面積為|PF1||PF2|＝mn＝8．故答案為：8．16．參考答案：由圖像可得，即周期為π，∵，T＝π，∴，觀察圖像可知當，，，∵5∈（），且，∴x＝2時最小，且滿足題意，故答案為：2．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．參考答案：由題意，可得甲機床，因為甲的一級品的頻數(shù)為150，所以甲的一級品的頻率為；因為乙的一級品的頻數(shù)為120，所以乙的一級品的頻率為；（2）根據(jù)2×3列聯(lián)表，可得K2＝＝≈10.256＞6.635．所以有99%的把握認為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異．18．參考答案：選擇①③為條件，②結(jié)論．證明過程如下：由題意可得：a2＝a1+d＝4a1，∴d＝2a4，數(shù)列的前n項和：，故（n≥2），據(jù)此可得數(shù)列是等差數(shù)列．選擇①②為條件，③結(jié)論：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則：，數(shù)列為等差數(shù)列，即：，整理可得：d＝2a1，∴a5＝a1+d＝3a8．選擇③②為條件，①結(jié)論：由題意可得：S2＝a1+a3＝4a1，∴，則數(shù)列的公差為，通項公式為：，據(jù)此可得，當n≥7時，，當n＝1時上式也成立，故數(shù)列的通項公式為：an＝（2n?5）a1，由an+1?an＝[3（n+1）?1]a8?（2n?1）a2＝2a1，可知數(shù)列{an}是等差數(shù)列．19．【解答】（1）證明：連接AF，∵E，F(xiàn)分別為直三棱柱ABC﹣A1B1C4的棱AC和CC1的中點，且AB＝BC＝2，∴CF＝6，BF＝，∵BF⊥A1B6，AB∥A1B1，∴BF⊥AB∴AF＝＝＝6＝＝，∴AC4＝AB2+BC2，即BA⊥BC，故以B為原點，BA，BB8所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（2，0，5），0，0），6，0），1，4），2，1），設(shè)B4D＝m，則D（m，0，∴＝（0，5，＝（1﹣m，1，∴?＝3．（2）解：∵AB⊥平面BB1C1C，∴平面BB8C1C的一個法向量為＝（1，2，由（1）知，＝（1﹣m，1，＝（﹣6，1，設(shè)平面DEF的法向量為＝（x，y，則，即，令x＝3，則y＝m+6，∴＝（3，2﹣m），∴cos＜，＞＝＝＝＝，∴當m＝時，面BB1C1C與面DFE所成的二面角的余弦值最大，此時正弦值最小，故當B4D＝時，面BB7C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最?。?0．參考答案：（1）因為x＝1與拋物線有兩個不同的交點，故可設(shè)拋物線C的方程為：y2＝7px（p＞0），令x＝1，則，根據(jù)拋物線的對稱性，不妨設(shè)P在x軸上方，故，因為OP⊥OQ，故，拋物線C的方程為：y2＝x，因為⊙M與l相切，故其半徑為82+y2＝8．（2）設(shè)A1（x1，y3），A2（x2，y8），A3（x3，y3）．當A1，A2，A5其中某一個為坐標原點時（假設(shè)A1為坐標原點時），設(shè)直線A1A8方程為kx﹣y＝0，根據(jù)點M（2＝8，聯(lián)立直線A8A2與拋物線方程可得x＝3，此時直線A5A3與⊙M的位置關(guān)系為相切，當A1，A2，A3都不是坐標原點時，即x1≠x5≠x3，直線A1A6的方程為x?（y1+y2）y+y6y2＝0，此時有，，即，同理，由對稱性可得，，所以y2，y6是方程的兩根，依題意有，直線A2A6的方程為x?（y2+y3）y+y6y3＝0，令M到直線A4A3的距離為d，則有，此時直線A6A3與⊙M的位置關(guān)系也為相切，綜上，直線A2A3與⊙M相切．21．參考答案：（1）a＝2時，f（x）＝，f′（x）＝＝＝，當x∈（8，）時，當x∈（，f′（x）＜0，故f（x）在（5，）上單調(diào)遞增，+∞）上單調(diào)遞減．（2）由題知f（x）＝1在（5，+∞）有兩個不等實根，f（x）＝1?xa＝ax?alnx＝xlna?＝，令g（x）＝，g′（x）＝，e）上單調(diào)遞增，+∞）上單調(diào)遞減，又g（x）＝﹣∞，g（1）＝5，，作出g（x）的圖象，如圖所示：由圖象可得0＜＜，解得a＞5且a≠e，即a的取值范圍是（1，e）∪（e．（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）22．參考答案：（1）由極坐標方程為ρ＝2cosθ6＝2ρcosθ，化為直角坐標方程是x8+y2＝2x，即+y8＝2，表示圓心為C（，半徑為．（2）設(shè)點P的直角坐標為（x，y）1，y1），因為A（4，所以＝（x﹣1，＝（x1﹣7，y1），由＝，即，解得，所以M（（x﹣1）+1，，代入C的方程得+，化簡得點P的軌跡方程是+y2＝3，表示圓心為C1（3﹣，0）；化為參數(shù)方程是，θ為參數(shù)；計算|CC6|＝|（3﹣）﹣＜2﹣，所以圓C與圓C1內(nèi)含，沒有公共點．[選修4-5：不等式選講]（10分）23．參考答案：（1）函數(shù)f（x）＝|x﹣2|＝，g（x）＝|8x+3|﹣|2x﹣5|＝．畫出y＝f（x）和y＝g（x）的圖像；（2）由圖像可得：f（6）＝4，g（，若f（x+a）≥g（x），說明把函數(shù)f（x）的圖像向左或向右平移|a|單位以后，由圖像觀察可得：a≥2﹣+4＝∴a的取值范圍為[，+∞）．

考點卡片1．交集及其運算【知識點的認識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．運算形狀：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B＝A?A?B．⑥A∩B＝?，兩個集合沒有相同元素．⑦A∩（?UA）＝?．⑧?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）．【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集．命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)合命題．2．充分條件、必要條件、充要條件【知識點的認識】1、判斷：當命題“若p則q”為真時，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實上，與“p?q”等價的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說，q對于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價于x?q，則x?p一定成立．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學生答題時往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．【命題方向】充要條件是學生學習知識開始，或者沒有上學就能應(yīng)用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現(xiàn)，中學階段的知識點都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣．3．函數(shù)的圖象與圖象的變換【函數(shù)圖象的作法】函數(shù)圖象的作法：通過如下3個步驟（1）列表；（2）描點；（3）連線．解題方法點撥：一般情況下，函數(shù)需要同解變形后，結(jié)合函數(shù)的定義域，通過函數(shù)的對應(yīng)法則，列出表格，然后在直角坐標系中，準確描點，然后連線（平滑曲線）．命題方向：一般考試是以小題形式出現(xiàn)，或大題中的一問，常見考題是，常見函數(shù)的圖象，有時結(jié)合函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性知識結(jié)合命題．【圖象的變換】1．利用描點法作函數(shù)圖象其基本步驟是列表、描點、連線．首先：①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等）．其次：列表（尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等），描點，連線．2．利用圖象變換法作函數(shù)的圖象（1）平移變換：y＝f（x）a＞0，右移a個單位（a＜0，左移|a|個單位）?y＝f（x﹣a）；y＝f（x）b＞0，上移b個單位（b＜0，下移|b|個單位）?y＝f（x）+b．（2）伸縮變換：y＝f（x）y＝f（ωx）；y＝f（x）A＞1，伸為原來的A倍（0＜A＜1，縮為原來的A倍）?y＝Af（x）．（3）對稱變換：y＝f（x）關(guān)于x軸對稱?y＝﹣f（x）；y＝f（x）關(guān)于y軸對稱?y＝f（﹣x）；y＝f（x）關(guān)于原點對稱?y＝﹣f（﹣x）．（4）翻折變換：y＝f（x）去掉y軸左邊圖，保留y軸右邊圖，將y軸右邊的圖象翻折到左邊?y＝f（|x|）；y＝f（x）留下x軸上方圖將x軸下方圖翻折上去y＝|f（x）|．解題方法點撥1、畫函數(shù)圖象的一般方法（1）直接法：當函數(shù)表達式（或變形后的表達式）是熟悉的基本函數(shù)或解析幾何中熟悉的曲線時，可根據(jù)這些函數(shù)或曲線的特征直接作出．（2）圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序，對不能直接找到熟悉函數(shù)的要先變形，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響．（3）描點法：當上面兩種方法都失效時，則可采用描點法．為了通過描少量點，就能得到比較準確的圖象，常常需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)討論．2、尋找圖象與函數(shù)解析式之間的對應(yīng)關(guān)系的方法（1）知圖選式：①從圖象的左右、上下分布，觀察函數(shù)的定義域、值域；②從圖象的變化趨勢，觀察函數(shù)的單調(diào)性；③從圖象的對稱性方面，觀察函數(shù)的奇偶性；④從圖象的循環(huán)往復，觀察函數(shù)的周期性．利用上述方法，排除錯誤選項，篩選正確的選項．（2）知式選圖：①從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；③從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．④從函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復．利用上述方法，排除錯誤選項，篩選正確選項．注意聯(lián)系基本函數(shù)圖象和模型，當選項無法排除時，代特殊值，或從某些量上尋找突破口．3、（1）利有函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．（2）利用函數(shù)的圖象研究方程根的個數(shù)有關(guān)方程解的個數(shù)問題常常轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)的交點個數(shù)；利用此法也可由解的個數(shù)求參數(shù)值．4、方法歸納：（1）1個易錯點﹣﹣圖象變換中的易錯點在解決函數(shù)圖象的變換問題時，要遵循“只能對函數(shù)關(guān)系式中的x，y變換”的原則，寫出每一次的變換所得圖象對應(yīng)的解析式，這樣才能避免出錯．（2）3個關(guān)鍵點﹣﹣正確作出函數(shù)圖象的三個關(guān)鍵點為了正確地作出函數(shù)圖象，必須做到以下三點：①正確求出函數(shù)的定義域；②熟練掌握幾種基本函數(shù)的圖象，如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、形如y＝x+的函數(shù)；③掌握平移變換、伸縮變換、對稱變換、翻折變換、周期變換等常用的方法技巧，來幫助我們簡化作圖過程．（3）3種方法﹣﹣識圖的方法對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面來獲取圖中所提供的信息，解決這類問題的常用方法有：①定性分析法，也就是通過對問題進行定性的分析，從而得出圖象的上升（或下降）的趨勢，利用這一特征來分析解決問題；②定量計算法，也就是通過定量的計算來分析解決問題；③函數(shù)模型法，也就是由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題．4．函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷【知識點的認識】①如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于（0，0）對稱．②如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于y軸對稱．【解題方法點撥】①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個去求解；④對于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反．例題：函數(shù)y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函數(shù)B．奇函數(shù)C．非奇非偶D．與p有關(guān)解：由題設(shè)知f（x）的定義域為R，關(guān)于原點對稱．因為f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函數(shù)．故選B．【命題方向】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．本知識點是高考的高頻率考點，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，確保答題的正確率．5．函數(shù)的值【知識點的認識】函數(shù)不等同于方程，嚴格來說函數(shù)的值應(yīng)該說成是函數(shù)的值域．函數(shù)的值域和定義域一樣，都是?？键c，也是易得分的點．其概念為在某一個定義域內(nèi)因變量的取值范圍．【解題方法點撥】求函數(shù)值域的方法比較多，常用的方法有一下幾種：①基本不等式法：如當x＞0時，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；②轉(zhuǎn)化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是數(shù)軸上的點到x＝5和x＝3的距離之和，易知最小值為2；③求導法：通過求導判斷函數(shù)的單調(diào)性進而求出極值，再結(jié)合端點的值最后進行比較例題：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域解：f′（x）＝﹣1＝∴易知函數(shù)在（0，1]單調(diào)遞增，（1，+∞）單調(diào)遞減∴最大值為：ln1﹣1＝﹣1，無最小值；故值域為（﹣∞，﹣1）【命題方向】函數(shù)的值域如果是單獨考的話，主要是在選擇題填空題里面出現(xiàn)，這類題難度小，方法集中，希望同學們引起高度重視，而大題目前的趨勢主要還是以恒成立的問題為主．6．根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型【知識點的知識】1．實際問題的函數(shù)刻畫在現(xiàn)實世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫．用函數(shù)的觀點看實際問題，是學習函數(shù)的重要內(nèi)容．2．用函數(shù)模型解決實際問題（1）數(shù)據(jù)擬合：通過一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標系中的點，觀察這些點的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖象，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個函數(shù)的一般表達式，求出具體的函數(shù)表達式，再做必要的檢驗，基本符合實際，就可以確定這個函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱為數(shù)據(jù)擬合．（2）常用到的五種函數(shù)模型：①直線模型：一次函數(shù)模型y＝kx+b（k≠0），圖象增長特點是直線式上升（x的系數(shù)k＞0），通過圖象可以直觀地認識它，特例是正比例函數(shù)模型y＝kx（k＞0）．②反比例函數(shù)模型：y＝（k＞0）型，增長特點是y隨x的增大而減?。壑笖?shù)函數(shù)模型：y＝a?bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快（底數(shù)b＞1，a＞0），常形象地稱為指數(shù)爆炸．④對數(shù)函數(shù)模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增長特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大越來越慢（底數(shù)a＞1，m＞0）．⑤冪函數(shù)模型，即y＝a?xn+b（a≠0）型，其中最常見的是二次函數(shù)模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特點是隨著自變量的增大，函數(shù)值先減小后增大（a＞0）．在以上幾種函數(shù)模型的選擇與建立時，要注意函數(shù)圖象的直觀運用，分析圖象特點，分析變量x的范圍，同時還要與實際問題結(jié)合，如取整等．3．函數(shù)建模（1）定義：用數(shù)學思想、方法、知識解決實際問題的過程，叫作數(shù)學建模．（2）過程：如下圖所示．【典型例題分析】典例1：某公司為了實現(xiàn)1000萬元的利潤目標，準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金數(shù)額y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金數(shù)額不超過5萬元，同時獎金數(shù)額不超過利潤的25%，其中模型能符合公司的要求的是（參考數(shù)據(jù)：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（）A．y＝0.025xB．y＝1.003xC．y＝l+log7xD．y＝x2分析：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當x∈[10，1000]時，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x?25%，然后一一驗證即可．解答：解：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當x∈[10，1000]時，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x?25%＝x，A中，函數(shù)y＝0.025x，易知滿足①，但當x＞200時，y＞5不滿足公司要求；B中，函數(shù)y＝1.003x，易知滿足①，但當x＞600時，y＞5不滿足公司要求；C中，函數(shù)y＝l+log7x，易知滿足①，當x＝1000時，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7x≤x恒成立，故滿足公司要求；D中，函數(shù)y＝x2，易知滿足①，當x＝400時，y＞5不滿足公司要求；故選C點評：本題以實際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查方案的優(yōu)化設(shè)計，解題的關(guān)鍵是一一驗證．典例2：某服裝生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在2015年度進行一系列促銷活動，經(jīng)過市場調(diào)查和測算，服裝的年銷量x萬件與年促銷t萬元之間滿足關(guān)系式3﹣x＝（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動，服裝的年銷量只能是1萬件．已知2015年生產(chǎn)服裝的設(shè)備折舊，維修等固定費用需要3萬元，每生產(chǎn)1萬件服裝需再投入32萬元的生產(chǎn)費用，若將每件服裝的售價定為：“每件生產(chǎn)成本的150%”與“平均每件促銷費的一半”之和，試求：（1）2015年的利潤y（萬元）關(guān)于促銷費t（萬元）的函數(shù)；（2）該企業(yè)2015年的促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大？（注：利潤＝銷售收入﹣生產(chǎn)成本﹣促銷費，生產(chǎn)成本＝固定費用+生產(chǎn)費用）分析：（1）通過x表示出年利潤y，并化簡整理，代入整理即可求出y萬元表示為促銷費t萬元的函數(shù)．（2）根據(jù)已知代入（2）的函數(shù)，分別進行化簡即可用基本不等式求出最值，即促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大．解答：解：（1）由題意：3﹣x＝，且當t＝0時，x＝1．所以k＝2，所以3﹣x＝，…（1分）生產(chǎn)成本為32x+3，每件售價，…（2分）所以，y＝…（3分）＝16x﹣＝，（t≥50）；…（2分）（2）因為當且僅當，即t＝7時取等號，…（4分）所以y≤50﹣8＝42，…（1分）答：促銷費投入7萬元時，企業(yè)的年利潤最大．…（1分）點評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，看出基本不等式在求最值中的應(yīng)用，考查學生分析問題和解決問題的能力，強調(diào)對知識的理解和熟練運用，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．【解題方法點撥】用函數(shù)模型解決實際問題的常見類型及解法：（1）解函數(shù)關(guān)系已知的應(yīng)用題①確定函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f（x）中的參數(shù)，求出具體的函數(shù)解析式y(tǒng)＝f（x）；②討論x與y的對應(yīng)關(guān)系，針對具體的函數(shù)去討論與題目有關(guān)的問題；③給出實際問題的解，即根據(jù)在函數(shù)關(guān)系的討論中所獲得的理論參數(shù)值給出答案．（2）解函數(shù)關(guān)系未知的應(yīng)用題①閱讀理解題意看一看可以用什么樣的函數(shù)模型，初步擬定函數(shù)類型；②抽象函數(shù)模型在理解問題的基礎(chǔ)上，把實際問題抽象為函數(shù)模型；③研究函數(shù)模型的性質(zhì)根據(jù)函數(shù)模型，結(jié)合題目的要求，討論函數(shù)模型的有關(guān)性質(zhì)，獲得函數(shù)模型的解；④得出問題的結(jié)論根據(jù)函數(shù)模型的解，結(jié)合實際問題的實際意義和題目的要求，給出實際問題的解．7．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【知識點的知識】1、導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．2、利用導數(shù)求解多項式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）確定f（x）的定義域；（2）計算導數(shù)f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根將f（x）的定義域分成若干個區(qū)間，列表考察這若干個區(qū)間內(nèi)f′（x）的符號，進而確定f（x）的單調(diào)區(qū)間：f′（x）＞0，則f（x）在對應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；f′（x）＜0，則f（x）在對應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．【典型例題分析】題型一：導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系典例1：已知函數(shù)f（x）的定義域為R，f（﹣1）＝2，對任意x∈R，f′（x）＞2，則f（x）＞2x+4的解集為（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，設(shè)g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，則g′（x）＝f′（x）﹣2，∵對任意x∈R，f′（x）＞2，∴對任意x∈R，g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，則由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集為（﹣1，+∞），故選：B題型二：導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用典例2：已知函數(shù)f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)y＝f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；（Ⅲ）求證：．解：（Ⅰ）（2分）當a＞0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1]，減區(qū)間為[1，+∞）；當a＜0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為（0，1]；當a＝0時，f（x）不是單調(diào)函數(shù)（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在區(qū)間（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′（0）＝﹣2∴由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此時f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴當x∈（1，+∞）時f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴l(xiāng)nx＜x﹣1對一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，則有0＜lnn＜n﹣1，∴∴【解題方法點撥】若在某區(qū)間上有有限個點使f′（x）＝0，在其余的點恒有f′（x）＞0，則f（x）仍為增函數(shù)（減函數(shù)的情形完全類似）．即在區(qū)間內(nèi)f′（x）＞0是f（x）在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件．8．利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程【考點描述】利用導數(shù)來求曲線某點的切線方程是高考中的一個?？键c，它既可以考查學生求導能力，也考察了學生對導數(shù)意義的理解，還考察直線方程的求法，因為包含了幾個比較重要的基本點，所以在高考出題時備受青睞．我們在解答這類題的時候關(guān)鍵找好兩點，第一找到切線的斜率；第二告訴的這點其實也就是直線上的一個點，在知道斜率的情況下可以用點斜式把直線方程求出來．【實例解析】例：已知函數(shù)y＝xlnx，求這個函數(shù)的圖象在點x＝1處的切線方程．解：k＝y(tǒng)'|x＝1＝ln1+1＝1又當x＝1時，y＝0，所以切點為（1，0）∴切線方程為y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．我們通過這個例題發(fā)現(xiàn)，第一步確定切點；第二步求斜率，即求曲線上該點的導數(shù)；第三步利用點斜式求出直線方程．這種題的原則基本上就這樣，希望大家靈活應(yīng)用，認真總結(jié)．9．等差數(shù)列的性質(zhì)【等差數(shù)列】如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．等差數(shù)列的通項公式為：an＝a1+（n﹣1）d；前n項和公式為：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，則有2am＝ap+aq（p，q，m都為自然數(shù)）例：已知等差數(shù)列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6為方程x2﹣10x+16＝0的兩個實根．（1）求此數(shù)列{an}的通項公式；（2）268是不是此數(shù)列中的項？若是，是第多少項？若不是，說明理由．解：（1）由已知條件得a3＝2，a6＝8．又∵{an}為等差數(shù)列，設(shè)首項為a1，公差為d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此數(shù)列的第136項．這是一個很典型的等差數(shù)列題，第一問告訴你第幾項和第幾項是多少，然后套用等差數(shù)列的通項公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首項和公差d，這樣等差數(shù)列就求出來了．第二問判斷某個數(shù)是不是等差數(shù)列的某一項，其實就是要你檢驗看符不符合通項公式，帶進去檢驗一下就是的．【等差數(shù)列的性質(zhì)】（1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；（2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項和相等，并且等于首末兩項之和；（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，則as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項，特別地，當s+t＝2p時，有as+at＝2ap；（5）若數(shù)列{an}，{bn}均是等差數(shù)列，則數(shù)列{man+kbn}仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍為等差數(shù)列，公差為﹣d．（7）從第二項開始起，每一項是與它相鄰兩項的等差中項，也是與它等距離的前后兩項的等差中項，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍為等差數(shù)列，公差為kd（首項不一定選a1）．10．數(shù)列的求和【知識點的知識】就是求出這個數(shù)列所有項的和，一般來說要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數(shù)列前n項和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝②等比數(shù)列前n項和公式：③幾個常用數(shù)列的求和公式：（2）錯位相減法：適用于求數(shù)列{an×bn}的前n項和，其中{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．（3）裂項相消法：適用于求數(shù)列{}的前n項和，其中{an}為各項不為0的等差數(shù)列，即＝（）．（4）倒序相加法：推導等差數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個（a1+an）．（5）分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可．【典型例題分析】典例1：已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n項和為Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．分析：形如的求和，可使用裂項相消法如：＝＝．解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn＝＝n2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn＝＝＝＝，∴Tn＝＝＝，即數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝．點評：該題的第二問用的關(guān)鍵方法就是裂項求和法，這也是數(shù)列求和當中常用的方法，就像友情提示那樣，兩個等差數(shù)列相乘并作為分母的一般就可以用裂項求和．【解題方法點撥】數(shù)列求和基本上是必考點，大家要學會上面所列的幾種最基本的方法，即便是放縮也要往這里面考．11．復數(shù)的運算復數(shù)的加、減、乘、除運算法則12．頻率分布直方圖【知識點的認識】1．頻率分布直方圖：在直角坐標系中，橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示頻率與組距的比值，將頻率分布表中的各組頻率的大小用相應(yīng)矩形面積的大小來表示，由此畫成的統(tǒng)計圖叫做頻率分布直方圖．2．頻率分布直方圖的特征①圖中各個長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率的數(shù)值，所有小矩形面積和為1．②從頻率分布直方圖可以清楚地看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢．③從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容，把數(shù)據(jù)表示成直方圖后，原有的具體數(shù)據(jù)信息被抹掉．3．頻率分布直方圖求數(shù)據(jù)①眾數(shù)：頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點的橫坐標．②平均數(shù)：頻率分布直方圖各個小矩形的面積乘底邊中點的橫坐標之和．③中位數(shù)：把頻率分布直方圖分成兩個面積相等部分的平行于y軸的直線橫坐標．【解題方法點撥】繪制頻率分布直方圖的步驟：13．獨立性檢驗【知識點的知識】1、分類變量：如果某種變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．2、原理：假設(shè)性檢驗（類似反證法原理）．一般情況下：假設(shè)分類變量X和Y之間沒有關(guān)系，通過計算K2值，然后查表對照相應(yīng)的概率P，發(fā)現(xiàn)這種假設(shè)正確的概率P很小，從而推翻假設(shè)，最后得出X和Y之間有關(guān)系的可能性為（1﹣P），也就是“X和Y有關(guān)系”．（表中的k就是K2的觀測值，即k＝K2）．其中n＝a+b+c+d（考試給出）3、2×2列聯(lián)表：4、范圍：K2∈（0，+∞）；性質(zhì)：K2越大，說明變量間越有關(guān)系．5、解題步驟：（1）認真讀題，取出相關(guān)數(shù)據(jù)，作出2×2列聯(lián)表；（2）根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算K2的觀測值k；（3）通過觀測值k與臨界值k0比較，得出事件有關(guān)的可能性大?。?4．古典概型及其概率計算公式【考點歸納】1．定義：如果一個試驗具有下列特征：（1）有限性：每次試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個；（2）等可能性：每次試驗中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱這種隨機試驗的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個重要特征，所以求事件的概率就可以不通過大量的重復試驗，而只要通過對一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果進行分析和計算即可．2．古典概率的計算公式如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是；如果某個事件A包含的結(jié)果有m個，那么事件A的概率為P（A）＝＝．【解題技巧】1．注意要點：解決古典概型的問題的關(guān)鍵是：分清基本事件個數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個方面：（1）本試驗是否具有等可能性；（2）本試驗的基本事件有多少個；（3）事件A是什么．2．解題實現(xiàn)步驟：（1）仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)m；（4）利用公式P（A）＝求出事件A的概率．3．解題方法技巧：（1）利用對立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．15．三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值【概述】三角函數(shù)的恒等變化主要是指自變量x數(shù)值比較大時，如何轉(zhuǎn)化成我們常見的數(shù)值比較小的而且相等的三角函數(shù)，主要的方法就是運用它們的周期性．【公式】①正弦函數(shù)有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cosx②余弦函數(shù)有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（﹣x）＝sinx③正切函數(shù)有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝cotx，④余切函數(shù)有y＝cot（﹣x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx．【例題解析】例：sin60°cos（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cos（﹣570°）的值等于解：，，，，∴原式＝．先利用誘導公式把sin（﹣420°）和cos（﹣570°）轉(zhuǎn)化成﹣sin60°和﹣cos30°，利用特殊角的三角函數(shù)值求得問題的答案．這其實也就是一個化簡求值的問題，解題時的基本要求一定要是恒等變換．【考點點評】本考點是三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識，三角函數(shù)在高考中占的比重是相當大的，所有有必要認真掌握三角函數(shù)的每一個知識點，而且三角函數(shù)的難度相對于其他模塊來說應(yīng)該是比較簡單的．16．二倍角的三角函數(shù)【二倍角的三角函數(shù)】二倍角的正弦其實屬于正弦函數(shù)和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：sin2α＝2sinα?cosα；其可拓展為1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其實屬于余弦函數(shù)和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其實屬于正切函數(shù)和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：tan2α＝．對于這個公式要求是能夠正確的運用其求值化簡即可．【例題解析】例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是π．解：∵y＝sin2x+2sinxcosx＝+sin2x＝sin2x﹣cos2x+＝sin（2x+φ）+，（tanφ＝﹣）∴其周期T＝＝π．故答案為：π．這個簡單的例題的第二個式子就是一個二倍角的轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換過后又使用了和差化積的相關(guān)定理，這也可以看得出三角函數(shù)的題一般都涉及到幾個公式，而且公式之間具有一定的相似性，所以大家要熟記各種公式．【考點點評】本考點也是一個很重要的考點，在高考中考查的也比較多，這里面需要各位同學多加練習，熟記各種公式．17．余弦函數(shù)的圖象【知識點的知識】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R單調(diào)性遞增區(qū)間：（k∈Z）；遞減區(qū)間：（k∈Z）遞增區(qū)間：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）；遞減區(qū)間：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）遞增區(qū)間：（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）時，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）時，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）時，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）時，ymin＝﹣1無最值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱性對稱中心：（kπ，0）（k∈Z）對稱軸：x＝kπ+，k∈Z對稱中心：（k∈Z）對稱軸：x＝kπ，k∈Z對稱中心：（k∈Z）無對稱軸周期2π2ππ18．由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式【知識點的知識】根據(jù)圖象確定解析式的方法：在由圖象求三角函數(shù)解析式時，若最大值為M，最小值為m，則A＝，k＝，ω由周期T確定，即由＝T求出，φ由特殊點確定．19．解三角形【知識點的知識】1．已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況．4．已知三邊a、b、c，應(yīng)用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達成．正北或正南，北偏東××度，北偏西××度，南偏東××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角．如圖中OD、OE是視線，是仰角，是俯角．7．關(guān)于三角形面積問題①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R為外接圓半徑）④S△ABC＝；⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；⑥S△ABC＝r?s，（r為△ABC內(nèi)切圓的半徑）在解三角形時，常用定理及公式如下表：名稱公式變形內(nèi)角和定理A+B+C＝π+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA＝cosB＝cosC＝正弦定理＝2RR為△ABC的外接圓半徑a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA＝，sinB＝，sinC＝射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面積公式①S△＝aha＝bhb＝chc②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA③S△＝④S△＝，（s＝（a+b+c））；⑤S△＝（a+b+c）r（r為△ABC內(nèi)切圓半徑）sinA＝sinB＝sinC＝20．軌跡方程【知識點的認識】1．曲線的方程和方程的曲線在平面內(nèi)建立直角坐標系以后，坐標平面內(nèi)的動點都可以用有序?qū)崝?shù)對（x，y）表示，這就是動點的坐標．當點按某種規(guī)律運動形成曲線時，動點坐標（x，y）中的變量x、y存在著某種制約關(guān)系，這種制約關(guān)系反映到代數(shù)中，就是含有變量x、y的方程．一般地，在直角坐標系中，如果某曲線C（看做適合某種條件的點的集合或軌跡）上的點與一個二元方程f（x，y）＝0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：（1）曲線上點的坐標都是這個方程的解；（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點．那么這個方程就叫做曲線的方程，這條曲線就叫做方程的曲線．2．求曲線方程的一般步驟（直接法）（1）建系設(shè)點：建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，用（x，y）表示曲線上任一點M的坐標；（2）列式：寫出適合條件p的點M的集合{M|p（M）}；（3）代入：用坐標表示出條件p（M），列出方程f（x，y）＝0；（4）化簡：化方程f（x，y）＝0為最簡形式；（5）證明：證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是在曲線上的點【常用解法】（1）直接法：根據(jù)題目條件，直譯為關(guān)于動點的幾何關(guān)系，再利用解析幾何有關(guān)公式（如兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、夾角公式等）進行整理、化簡．這種求軌跡方程的過程不需要特殊的技巧．（2）定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等），可用定義直接探求．關(guān)鍵是條件的轉(zhuǎn)化，即轉(zhuǎn)化為某一基本軌跡的定義條件．（3）相關(guān)點法：用所求動點P的坐標（x，y）表示已知動點M的坐標（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，y），再將x0，y0代入M滿足的條件F（x0，y0）＝0中，即得所求．一般地，定比分點問題、對稱問題可用相關(guān)點法求解，相關(guān)點法的一般步驟是：設(shè)點→轉(zhuǎn)換→代入→化簡．（4）待定系數(shù)法（5）參數(shù)法（6）交軌法．21．橢圓的性質(zhì)【知識點的認識】1．橢圓的范圍2．橢圓的對稱性3．橢圓的頂點頂點：橢圓與對稱軸的交點叫做橢圓的頂點．頂點坐標（如上圖）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，線段A1A2，B1B2分別為橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．4．橢圓的離心率①離心率：橢圓的焦距與長軸長的比叫做橢圓的離心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．②離心率的意義：刻畫橢圓的扁平程度，如下面兩個橢圓的扁平程度不一樣：e越大越接近1，橢圓越扁平，相反，e越小越接近0，橢圓越圓．當且僅當a＝b時，c＝0，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2+y2＝a2．5．橢圓中的關(guān)系：a2＝b2+c2．22．雙曲線的性質(zhì)【知識點的知識】雙曲線的標準方程及幾何性質(zhì)標準方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）圖形性質(zhì)焦點F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱關(guān)于x軸，y軸和原點對稱頂點（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）軸實軸長2a，虛軸長2b離心率e＝（e＞1）準線x＝±y＝±漸近線±＝0±＝023．直線與圓錐曲線的綜合【概述】直線與圓錐曲線的綜合問題是高考的必考點，比方說求封閉面積