二次函數(shù)的幾何變換和解析式的確定

適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級初中三年級

適用區(qū)域新人教版課時時長（分鐘）60

二次函數(shù)的平移

二次函數(shù)的翻折

知識點二次函數(shù)圖像的旋轉(zhuǎn)

二次函數(shù)解析式的確定

二次函數(shù)的三種形式的互化

1、會根據(jù)幾何變換前后二次函數(shù)圖像的特征量，求函數(shù)解析式。

教學(xué)目標(biāo)2、能靈活的根據(jù)圖像變化恰當(dāng)?shù)倪x取適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼馕鍪?，體會二次函數(shù)的圖像變化與解析式變化之

間的關(guān)系；

3、會用多種方法求函數(shù)解析式

函數(shù)解析式的確定；

教學(xué)重點

求二次函數(shù)圖像經(jīng)過幾何變換后的解析式

教學(xué)難點選擇適當(dāng)?shù)姆绞角蠖魏瘮?shù)的解析式

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)

我們逐步地學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的特殊形式和一般形式的解析式以及圖像和性質(zhì)：

1.二次函數(shù)基本形式：yax2（b、c為0時）的性質(zhì)：

2.yax2c的性質(zhì)：上加下減。

3.yaxh2的性質(zhì)：左加右減。

4.yaxh2k的性質(zhì)：

二次函數(shù)yax2bxc

今天學(xué)習(xí)二次函數(shù)圖像的變換以及解析式的確定

二、知識講解

考點1二次函數(shù)圖象的平移變換

（1）具體步驟：

先利用配方法把二次函數(shù)化成ya(xh)2k的形式，確定其頂點(h,k)，然后做出二次函數(shù)yax2的圖像，

將拋物線yax2平移，使其頂點平移到(h,k).具體平移方法如圖所示：

（2）平移規(guī)律：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“左加右減”；“上加下減”。

考點2二次函數(shù)圖象的對稱變換

二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達

1.關(guān)于x軸對稱

yax2bx關(guān)于cx軸對稱后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxh2k關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是yaxh2k；

2.關(guān)于y軸對稱

yax2bx關(guān)于cy軸對稱后，得到的解析式是yax2bxc；

yaxh2k關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是yaxh2k；

3.關(guān)于原點對稱

yax2bx關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是cyax2bxc；

yaxh2關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是kyaxh2k；

4.關(guān)于頂點對稱

b2

yax2bx關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是cyax2bxc；

2a

yaxh2k關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是yaxh2k．

5.關(guān)于點m，n對稱

yaxh2k關(guān)于點m，n對稱后，得到的解析式是yaxh2m22nk

根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此a永遠(yuǎn)不變．求拋物線的對稱

拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋

物線）的頂點坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式．

考點3二次函數(shù)解析式的確定：

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，

選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：

1.已知拋物線上三點的坐標(biāo)，一般選用一般式；

2.已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲担话氵x用頂點式；

3.已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；

4.已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點，常選用頂點式．

三、例題精析

【例題1】

【題干】拋物線y=﹣2x2經(jīng)過平移到y(tǒng)=﹣2x2﹣4x﹣5，平移方法是（）

A．向左平移1個單位，再向上平移3各單位

B．向左平移1個單位，再向下平移3個單位

C．向右平移1個單位，再向上平移3個單位

D．向右平移1個單位，再向下平移3個單位

【答案】B

【解析】試題分析：把y=﹣2x2﹣4x﹣5轉(zhuǎn)化為頂點式形式并寫出頂點坐標(biāo)，然后根據(jù)頂點的變化確定出平移方法是

解題的關(guān)鍵．

∵y=﹣2x2﹣4x﹣5=﹣2（x+1）2﹣3，

∴y=﹣2x2﹣4x﹣5的頂點坐標(biāo)為（﹣1，﹣3），

∴拋物線y=﹣2x2向左平移1個單位，再向下平移3個單位得到y(tǒng)=﹣2x2﹣4x﹣5．

故選B．

考點:二次函數(shù)圖象與幾何變換.

【例題2】

【題干】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過平移得到拋物線，其對稱軸與兩段拋物線所

圍成的陰影部分的面積為（）

A．2B．4C．8D．16

【答案】B

【解析】試題分析：如圖，過點C作CA⊥y，

∵拋物線y=x2?2x=（x2-4x）=（x2-4x+4）-2=（x-2）2-2，

∴頂點坐標(biāo)為C（2，-2），

對稱軸與兩段拋物線所圍成的陰影部分的面積為：2×2=4，

考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換．

【例題3】

【題干】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點，其中A?點坐標(biāo)為（－1，0），點C

（0，5），點D（1，8）在拋物線上，M為拋物線的頂點．求

（1）拋物線的解析式；

（2）求△MCB的面積．

【答案】（1）y=-x2+4x+5．（2）15．

【解析】試題分析：（1）由A、C、D三點在拋物線上，根據(jù)待定系數(shù)可求出拋物線解析式；

（2）把BC邊上的高和邊長求出來，就可以得出面積．

（1）∵A（-1，0），C（0，5），D（1，8）三點在拋物線y=ax2+bx+c上，

則有0=a-b+c5=c8=a+b+c

解方程得a=-1，b=4，c=5所以拋物線解析式為y=-x2+4x+5．

（2）∵y=-x2+4x+5

=-（x-5）（x+1）

=-（x-2）2+9

∴M（2，9），B（5，0）

即BC=．

由B、C兩點坐標(biāo)得直線BC的解析式為：l：x+y-5=0，

則點M到直線BC的距離為d=，

則S△MCB=×BC×d=15．

考點：1．二次函數(shù)綜合題；2．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；3．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

【例題4】

【題干】如圖，拋物線y=x2通過平移得到拋物線m，拋物線m經(jīng)過點B（6，0）和O（0，0），它的頂點為A，

以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，在第四象限內(nèi)與拋物線y=x2交于點C，連接AC，則圖中陰影部分的面積為

【答案】﹣12．

【解析】試題分析：先求出拋物線m的解析式，得到頂點A的坐標(biāo)，求出OA的長度，根據(jù)拋物線的對稱性，可知

陰影部分的面積=半圓的面積﹣△AOC的面積．

試題解析：∵拋物線m經(jīng)過點B（6，0）和O（0，0），

∴拋物線m的對稱軸為直線x=3，

∵拋物線y=x2通過平移得到拋物線m，

∴設(shè)拋物線m的解析式為y=（x﹣3）2+k，

將O（0，0）代入，得（0﹣3）2+k=0，

解得k=4，

∴拋物線m的解析式為y=（x﹣3）2+4，頂點A的坐標(biāo)為（3，4），

由勾股定理，得OA=5．

連接OA、OC，由圓的對稱性或垂徑定理，可知C的坐標(biāo)為（3，﹣4），

陰影部分的面積=半圓的面積﹣△AOC的面積=?π?52﹣×8×3=﹣12．

考點:二次函數(shù)圖象與幾何變換．

四、課堂運用

【基礎(chǔ)】

1、在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=3x2先向右平移1個單位，再向上平移2個單位，得到的拋物線的解析式是（）

A．y=3（x+1）2+2B．y=3（x+1）2﹣2

C．y=3（x﹣1）2+2D．y=3（x﹣1）2﹣2

【答案】C

【解析】試題分析：∵拋物線y=3x2的對稱軸為直線x=0，頂點坐標(biāo)為（0，0），

∴拋物線y=3x2向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到的拋物線的對稱軸為直線x=1，頂點坐標(biāo)為（1，2），

∴平移后拋物線的解析式為y=3（x﹣1）2+2．

故選C．

考點：二次函數(shù)圖象的變換

2、將函數(shù)變形為的形式，正確的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C.

【解析】試題分析：；

故選C.

考點:二次函數(shù)的三種形式.

3、.在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=x2-x-6向上（下）或向左（右）平移m個單位，使平移后的拋物線恰好經(jīng)過原

點，則|m|的最小值（）

A．1B．2C．3D．6

【答案】B.

【解析】試題分析：當(dāng)x=0時，y=-6，故函數(shù)圖象與y軸交于點C（0，-6），

當(dāng)y=0時，x2-x-6=0，即（x+2）（x-3）=0，

解得x=-2或x=3，

即A（-2，0），B（3，0）；

由圖可知，函數(shù)圖象至少向右平移2個單位恰好過原點，

故|m|的最小值為2．

故選B

考點:二次函數(shù)圖象與幾何變換．

【鞏固】

1、已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（2，－3），B（－1，0）．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）觀察函數(shù)圖象，要使該二次函數(shù)的圖象與軸只有一個交點，應(yīng)把圖象沿軸向上平移幾個單位？

【答案】(1)y=x2-2x-3；(2)4.

【解析】試題分析：（1）把點A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求出a、b的值，即可得解；

（2）先求出原二次函數(shù)圖象的頂點點坐標(biāo)，然后根據(jù)向上平移橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)加解答．

試題解析：（1）∵二次函數(shù)y=ax2+bx-3的圖象經(jīng)過點A（2，-3），B（-1，0），

∴，

解得，

故二次函數(shù)解析式為y=x2-2x-3；

（2）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4

∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，-4）

故要使該二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，應(yīng)把圖象沿y軸向上平移4個單位.

考點:1.待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；2.二次函數(shù)圖象與幾何變換.

2、若二次函數(shù)配方后為，則.

【答案】.

【解析】試題分析：∵，

∴

考點：配方法

3、拋物線關(guān)于x軸對稱的拋物線的解析式是．

【答案】.

【解析】試題分析：∵拋物線的開口向上，頂點坐標(biāo)為（0，），

∴根據(jù)關(guān)于x軸對稱的性質(zhì)，拋物線關(guān)于x軸對稱的拋物線開口向下，頂點坐標(biāo)為（0，1），

∴拋物線關(guān)于x軸對稱的拋物線的解析式是.

考點：1.二次函數(shù)的性質(zhì)；2.關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)特征

【拔高】

1、如圖，已知拋物線與x軸分別交于O、A兩點，它的對稱軸為直線x=a，將拋物線向上平移4個

單位長度得到拋物線，則圖中兩條拋物線、對稱軸與y軸所圍成的圖形（圖中陰影部分）的面積為

A．4B．6C．8D．16

【答案】C.

【解析】試題分析：先求出l的頂點坐標(biāo)，再根據(jù)平移的性質(zhì)求出l的頂點坐標(biāo)，C的坐標(biāo)，求出平行四邊形OFEC

12

的面積即可．

在拋物線l：y=x2-2x中，

1

l的頂點F的坐標(biāo)為（2，-4），

1

由于拋物線l向上平移4個單位長度得到拋物線l，

12

故E點坐標(biāo)為（2，0），

C點坐標(biāo)為（0，4）．

故平行四邊形OFEC的面積為4×2=8．

故選C.

考點:二次函數(shù)圖象與幾何變換．

2、在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點（0，），（3，4）．

（1）求拋物線的表達式及對稱軸；

（2）設(shè)點關(guān)于原點的對稱點為，點是拋物線對稱軸上一動點，記拋物線在，之間的部分為圖象（包含，

兩點）．若直線與圖象有公共點，結(jié)合函數(shù)圖像，求點縱坐標(biāo)的取值范圍．

【答案】(1)拋物線的表達式為，對稱軸(2)t的取值范圍是

【解析】試題分析：（1）將所給的點的坐標(biāo)代入就可求得解析式，利用對稱軸公式就可以

（2）先確定點C的坐標(biāo)，當(dāng)D點為拋物線的頂點時，此時t最小，當(dāng)D為BC與對稱軸的交點時，此時的t最大

試題解析：(1)∵經(jīng)過點A（0，-2），B（3，4）．

代入得：

∴拋物線的表達式為

對稱軸

(2)由題意可知C（-3，-4）

二次函數(shù)的最小值為-4

由圖象可以看出D點縱坐標(biāo)最小值即為-4，最大值即BC與對稱軸交點

直線BC的解析式為

當(dāng)X=1時，

所以t的取值范圍是

考點：1、二次函數(shù)；2、中心對稱；3、數(shù)形結(jié)合

3、已知關(guān)于x一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根

（1）求k取值范圍；

（2）當(dāng)k最小的整數(shù)時，求拋物線的頂點坐標(biāo)以及它與x軸的交點坐標(biāo)；

（3）將（2）中求得的拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分不變，得到一個新圖象．請你

畫出這個新圖象，并求出新圖象與直線有三個不同公共點時m值．

【答案】（1）k＞-1；（2）（1，-4）；（-1，0），（3，0）；（3）畫圖見解析，1或．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，可知根的判別式△

＞0，即可求出k的取值范圍.

（2）根據(jù)k的取值范圍可得當(dāng)k=0時，為k最小的整數(shù)，進而可求出頂點坐標(biāo)以及它與x軸的交點坐標(biāo).

（3）由（2）畫出此函數(shù)圖象后，可發(fā)現(xiàn)，若直線與新函數(shù)有3個交點，可以有兩種情況：

①直線經(jīng)過原二次函數(shù)與x軸的交點A（即左邊的交點），可將A點坐標(biāo)代入直線的解析式中，即可求出m的值；

②原二次函數(shù)圖象x軸以下部分翻折后，所得部分圖象仍是二次函數(shù)，該二次函