第二節(jié)直線與圓的位置關(guān)系

1.圓周角和圓心角定理(1)圓周角定理：圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的_______的一半.(2)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于_________的度數(shù).推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角_____；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也_____.推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是_____；90°的圓周角所對(duì)的弦是_____.圓心角它所對(duì)弧相等相等直角直徑2.圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理定理1：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角_____.

定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的___________.

定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)_____.

推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓.(1)性質(zhì)(2)判定互補(bǔ)內(nèi)角的對(duì)角共圓3.圓的切線的性質(zhì)與判定及弦切角定理(1)圓的切線的性質(zhì)與判定.性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的_____.推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過_____.推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過_____.判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且_____于這條半徑的直線是圓的切線.(2)弦切角定理.弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的_______.半徑切點(diǎn)圓心垂直圓周角4.與圓有關(guān)的比例線段定理內(nèi)容相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積_____

割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積_____

切割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，_______是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)

切線長(zhǎng)定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的_______相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分_________的夾角相等相等切線長(zhǎng)切線長(zhǎng)兩條切線判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”).(1)圓心角等于圓周角的2倍.()(2)相等的圓周角所對(duì)的弧也相等.()(3)任意一個(gè)四邊形、三角形都有外接圓.()(4)等腰梯形一定有外接圓.()(5)弦切角所夾弧的度數(shù)等于弦切角的度數(shù).()【解析】(1)錯(cuò)誤，若弧不一樣，則圓心角與圓周角的關(guān)系不確定.(2)錯(cuò)誤，只有同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧才相等．(3)錯(cuò)誤，任意一個(gè)四邊形不一定有外接圓，但任意一個(gè)三角形一定有外接圓.(4)正確，可以推出等腰梯形的對(duì)角互補(bǔ)，所以有外接圓.(5)錯(cuò)誤,弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角，所夾的弧的度數(shù)等于該弧所對(duì)圓心角的度數(shù)，所以弦切角所夾弧的度數(shù)等于弦切角度數(shù)的2倍.答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×考向1圓周角定理【典例1】(1)(2012·中山模擬)如圖，AB為⊙O的直徑，弦AC，BD交于點(diǎn)P，若AB＝3，CD＝1，則sin∠CBD＝______.(2)(2012·汕頭模擬)點(diǎn)A，B，C是圓O上的點(diǎn)，且AB＝2，BC＝∠CAB＝則∠ABC=______．【思路點(diǎn)撥】(1)連接AD，結(jié)合圓周角定理、正弦定理得到再利用AD=ABsin∠ABD求解．(2)連接CO，把∠CAB＝轉(zhuǎn)化為∠BOC＝利用等腰三角形BOC求出半徑，可得△AOB為等腰直角三角形，再利用圓周角定理轉(zhuǎn)化即可.【規(guī)范解答】(1)連接AD，因?yàn)锳B是圓O的直徑，所以∠ADB＝∠ACB＝90°.又∠ACD＝∠ABD，∠CBD＝∠CAD，所以在△ACD中，由正弦定理得：又CD＝1，所以sin∠CAD＝又∠CBD＝∠CAD，所以sin∠CBD＝答案：(2)連接CO，因?yàn)椤螩AB＝所以優(yōu)弧BC所對(duì)的圓心角為從而∠BOC＝在等腰三角形BOC中可求得半徑OB＝因?yàn)锳B＝2，所以△AOB為等腰直角三角形，所以∠AOB=所以∠AOC=∠ABC=∠AOC=答案：【拓展提升】圓周角定理常用的三種轉(zhuǎn)化(1)圓周角與圓周角之間的轉(zhuǎn)化.(2)圓周角與圓心角之間的轉(zhuǎn)化.(3)弧的度數(shù)與圓心角和圓周角之間的轉(zhuǎn)化.【變式訓(xùn)練】(1)如圖所示，圓的內(nèi)接三角形ABC的角平分線BD與AC交于點(diǎn)D，與圓交于點(diǎn)E，連接AE，已知ED＝3，BD＝6，則線段AE的長(zhǎng)＝______.【解析】∵∠E＝∠E，BE平分∠ABC，∠EAD=∠EBC，所以∠EAD＝∠EBA，∴△EDA∽△EAB，∴即AE2＝ED·BE＝3×9＝27，∴AE＝答案：(2)(2012·汕頭模擬)如圖，已知PA，PB是圓O的切線，A，B分別為切點(diǎn)，C為圓O上不與A，B重合的另一點(diǎn)，若∠ACB=120°，則∠APB=______.【解析】如圖所示，連接OA，OB,∵∠ACB=120°.∴優(yōu)弧AB所對(duì)的圓心角為240°，從而∠AOB=120°.又PA,PB是圓O的切線，∴∠OAP=∠OBP=90°，∴∠APB=60°.答案：60°考向2圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)【典例2】(1)如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，CD上，設(shè)ED與AF相交于點(diǎn)G，若B，C，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓．且AG＝1，GF＝2，DG＝則GE＝______.(2)如圖所示，已知AP是⊙O的切線，P為切點(diǎn)，AC是⊙O的割線，與⊙O交于B，C兩點(diǎn)，圓心O在∠PAC的內(nèi)部，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)．若∠OAM=25°，則∠APM=______．【思路點(diǎn)撥】(1)連接EF，由AD∥BC及B，C，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，可判斷A，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，再利用相交弦定理求GE.(2)連接OP，OM，可證A，P，O，M四點(diǎn)共圓，由∠OAM＝∠OPM即可求解.【規(guī)范解答】(1)如圖所示，連接EF.∵B，C，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，∴∠ABC＝∠EFD.∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°.∴∠BAD＋∠EFD＝180°.∴A，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓．由相交弦定理，可得AG·GF＝DG·GE.因此GE＝答案：(2)連接OP，OM.∵AP與⊙O相切于點(diǎn)P，∴OP⊥AP.∵M(jìn)是⊙O的弦BC的中點(diǎn)，∴OM⊥BC，∴∠OPA＋∠OMA＝180°,∴A，P，O，M四點(diǎn)共圓．∴∠OAM＝∠OPM=25°,∴∠APM＝90°-25°=65°.答案：65°【拓展提升】圓內(nèi)接四邊形的重要結(jié)論(1)內(nèi)接于圓的平行四邊形是矩形.(2)內(nèi)接于圓的菱形是正方形.(3)內(nèi)接于圓的梯形是等腰梯形.【變式訓(xùn)練】(1)(2012·廣州模擬)如圖，⊙O中，直徑AB和弦DE互相垂直，C是DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BC與圓O交于F，若∠CFE=40°，則∠DEB=______.【解析】∵AB⊥DE，∴∠BDE=∠DEB,根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理，∠BDE=∠CFE,∴∠DEB=∠CFE=40°.答案：40°(2)如圖所示，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AP和過C的切線互相垂直，垂足為P，過B的切線交過C的切線于T，PB交⊙O于Q，若∠BTC＝120°，AB＝4，則PQ·PB＝______.【解析】連接OC，AC，則OC⊥PC，則O，C，T,B四點(diǎn)共圓，∵∠BTC＝120°，∴∠COB＝60°，故∠AOC＝120°.由AO＝OC＝2，知AC＝在Rt△APC中，∠ACP＝60°，因此PC＝根據(jù)切割線定理得PQ·PB＝PC2＝3.答案：3考向3圓的切線的性質(zhì)與判定、弦切角定理【典例3】(1)(2012·廣東高考)如圖，圓O的半徑為1，A，B，C是圓周上的三點(diǎn)，滿足∠ABC=30°，過點(diǎn)A作圓O的切線與OC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，則PA=______.(2)如圖所示，AB是⊙O的直徑，⊙O過BC的中點(diǎn)D，DE⊥AC.若∠ADE＝50°，則∠ABD＝______.【思路點(diǎn)撥】(1)連接OA，AC從而可得△AOC為等邊三角形，∠PAC=30°,△PAC為等腰三角形，再由AC=CP=1可得結(jié)果.(2)連接OD，證明DE是圓O的切線，再利用弦切角定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可.

【規(guī)范解答】(1)連接AO，AC，因?yàn)椤螦BC=30°,∴∠CAP=30°,∠AOC=60°.又∵OA=OC，∴△AOC為等邊三角形，則∠ACP=120°,∴∠APC=30°,∴△ACP為等腰三角形，且AC=CP=1,∴AP=2×1×sin60°=答案：(2)連接OD.∵BD＝CD，OA＝OB，∴OD是△ABC的中位線,∴OD∥AC.又∵∠DEC＝90°，∴∠ODE＝90°.又∵D在圓周上，∴DE是⊙O的切線．因此∠ABD＝∠ADE＝50°.答案：50°【互動(dòng)探究】若例(2)條件不變，則∠BAC=______.【解析】∵OD⊥DE，∠ADE=50°，∴∠ADO=40°.∵OD=OA，∴∠DAO=∠ADO=40°.∵OD∥AE，∴∠DAE=∠ADO=40°，∴∠BAC=∠DAE+∠DAO=40°+40°=80°.答案：80°【拓展提升】證明直線是圓的切線的常用方法(1)若已知直線與圓有公共點(diǎn)，則需證明圓心與公共點(diǎn)的連線垂直于已知直線即可.(2)若已知直線與圓沒有明確的公共點(diǎn)，則需證明圓心到直線的距離等于圓的半徑．【提醒】在求解有關(guān)角與長(zhǎng)度的問題時(shí)，注意運(yùn)用初中階段所學(xué)的知識(shí)，如平行線的判定與性質(zhì)、中垂線的性質(zhì)、等腰三角形的三線合一、直角三角形的性質(zhì)等，只有這樣才能更靈活地解決問題.【變式備選】(1)如圖所示，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過C點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為D.若∠BAC＝35°，則∠CAD＝______.【解析】連接OC.∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴OC∥AD.由此得∠ACO＝∠CAD.∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠ACO.∴∠CAD＝∠BAC.又∠BAC＝35°，故∠CAD＝35°.答案：35°(2)(2013·聊城模擬)如圖，AB是圓O的直徑，直線CE與圓O相切于點(diǎn)C，AD⊥CE于點(diǎn)D，若圓O的面積為4π,∠ABC=30°,則AD的長(zhǎng)為______.【解析】∵CD是圓O的切線，∴∠ABC=∠ACD=30°.∵⊙O的面積為4π,∴圓的半徑為2,∴在直角三角形ABC中，AB=4，AC=2，在直角三角形ACD中，AD=ACsin30°=2×=1.答案：1考向與圓有關(guān)的比例線段【典例】(1)(2012·天津高考)如圖，已知AB和AC是圓的兩條弦，過點(diǎn)B作圓的切線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作BD的平行線與圓相交于點(diǎn)E，與AB相交于點(diǎn)F，AF=3，F(xiàn)B=1，EF=則線段CD的長(zhǎng)為______.(2)如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，PA是⊙O的切線，PB交AC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D.若PA=PE，∠ABC=60°，PD=1，PB=9，則PA=______，EC=______.【思路點(diǎn)撥】(1)利用相交弦定理求CF,再利用切割線定理和比例線段有關(guān)知識(shí)列方程求解.(2)利用切割線定理求PA的長(zhǎng)度，再判斷△PAE為等邊三角形，最后用相交弦定理求EC.【規(guī)范解答】(1)因?yàn)锳F·FB=CF·EF,所以CF=2,∴∴BD=∵CF∥BD，∴設(shè)CD=x,則AD=4x,∴BD2=x·4x，∴x=答案：(2)由切割線定理可知PA2=PD·PB=