三角函數(shù)經(jīng)典練習(xí)題三角函數(shù)經(jīng)典練習(xí)題1．在直角三角形中，兩銳角為A、B，則（B） A．有最大值和最小值0 B．有最大值，但無最小值 C．既無最大值也無最小值 D．有最大值1，但無最小值 提示：，注意到角度的取值范圍，所以選B．2．已知集合，，則是區(qū)間（A） A． B． C． D． 提示：即，所以選A．3．函數(shù)是（B） A．周期為的偶函數(shù) B．周期為的奇函數(shù) C．周期為2的偶函數(shù)D．周期為2的奇函數(shù) 提示：= ，所以選B．4．函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程為（B） A． B． C． D． 提示：，所以選C．9．已知是第三象限的角，且，那么（A） A． B． C． D． 提示：在第一．二象限，∴，由，解得，取算術(shù)根即得，所以選A．10．使得成立，且的個(gè)數(shù)是（B） A．5 B．4 C．3 D．2 提示：函數(shù)的周期為，因此在4個(gè)周期長的區(qū)間里使的必有4個(gè)，所以選B．11．若是第三象限的角，且，則（D） A． B． C． D． 提示：，，代入求得，所以選D．12．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的（D） A．最大值是1，最小值是 B．最大值是1，最小值是 C．最大值是2，最小值是 D．最大值是2，最小值是 提示：，且，所以選D．13．函數(shù)的最小正周期是（B） A． B． C． D． 提示：用誘導(dǎo)公式．和．差角公式得，所以選B．14．已知點(diǎn)P（）在第一象限，則在內(nèi)的取值范圍是（B） AB． C．D． 提示：，且在指定范圍內(nèi)，利用三角函數(shù)線分析，選B．15．若，則（B） A． B． C． D． 提示：即在內(nèi)，所以選B．16．已知，那么下列命題成立的是（D） A．若是第一象限的角，則 B．若是第二象限的角，則 C．若是第三象限的角，則 D．若是第四象限的角，則 提示：當(dāng)是第四象限的角時(shí)，由已知可設(shè)，，其中，由誘導(dǎo)公式和正切函數(shù)的單調(diào)性知，即，所以選D．17．函數(shù)的最大值是（B） A． B． C． D． 提示：，所以選B．18．設(shè)是一個(gè)鈍角三角形的兩個(gè)銳角，下列四個(gè)不等式中不正確的是（D） A B． C． D． 提示：，∴， ，所以選D．19．振動(dòng)量的周期．振幅依次是（A） A． B． C． D． 提示：由概念知振幅為3，由得周期，所以選A．20．若A．B是銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，則點(diǎn)P在（B） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 提示：，∴，∴，同理，所以選B．21．若，，，則（B） A． B． C． D． 提示：，，由正弦函數(shù)的單調(diào)性得，所以選B．22．下列命題中正確的命題是（D） A．若點(diǎn)P為角終邊上的一點(diǎn)，則 B．同時(shí)滿足的角有且只有一個(gè) C．當(dāng)時(shí)，的值恒正 D．滿足條件的角的集合是Z} 提示：由，得，所以選D．23．若，則在（B）A．第一．二象限 B．第一．三象限 C．第一．四象限 D．第二．四象限 提示：與同號(hào)，所以選B．24．在△ABC中，若，則△ABC的形狀一定是（C） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形 提示：∵，∴，展開化簡得，所以選C．25．設(shè)是某港口水的深度y（米）關(guān)于時(shí)間t（時(shí)）的函數(shù)，其中．下表是該港口某一天從0時(shí)至24時(shí)記錄的時(shí)間t與水深y的關(guān)系：t03691215182124y1215．112．19．111．914．911．98．912．1 經(jīng)長期觀察，函數(shù)的圖象可以近似地看成函數(shù)的圖象．下面的函數(shù)中，最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)是（A） A． B． C． D． 提示：當(dāng)時(shí)，有，時(shí)，，這只有A適合，故選A．26．已知的值為（D） A．B．C．D． 提示：已知條件中的角度是欲求式中角度的2倍，能否整體利用已知條件進(jìn)行變換是解題的一個(gè)思考點(diǎn)： =27．的值等于（B） A． B． C． D． 提示：即．28．下列等式正確的是（D） A．B． C．D． 提示：．29．若ΔABC內(nèi)角滿足，，則角A的取值范圍是（C） A． B． C． D． 提示：已知，∴，又，綜合得．30．函數(shù)是奇函數(shù)，則的一個(gè)值是（D） A． B． C． D． 提示：．xy01xy0131xy01xy01xxy01xxy01A． B． C． D． 提示：時(shí)，，時(shí)，．32．給出下列三角函數(shù)：①；②；③； ④；⑤；其中函數(shù)值為的是（C） A．①② B．①③④ C．②③⑤ D．①③⑤ 提示：根據(jù)誘導(dǎo)公式逐一檢驗(yàn)得，或?qū)τ谌∫幌盗刑厥庵禉z驗(yàn)．33．若是第二象限角，是第三象限的角，則的值是（B） A． B． C． D． 提示：即，，求得，．34．設(shè)一個(gè)半徑為10的水輪，水輪的圓心距水面為7，已知水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈，水輪上的點(diǎn)P到水面的距離與時(shí)間（秒）之間滿足函數(shù)關(guān)系，若，則其中的（A） A． B． C． D． 提示：A=10，轉(zhuǎn)動(dòng)的頻率為（圈/秒），∴周期，而，故得．35．函數(shù)以2為最小正周期，且能在x=2時(shí)取最大值，則的一個(gè)值是（A） A． B． C． D． 提示：，且，∴，反代即得．36．函數(shù)是成立的（D） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件 提示：注意角的取值范圍變化．37．函數(shù)的最小值為（B） A．2 B．0 C． D． 提示：，∴，且．38．將函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度，再把圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），則所得到的解析式為（B） A．B． C．D． 提示：左移得，即，再將變?yōu)椋?9．函數(shù)的最小正周期是（A） A． B． C． D． 提示：，選A．40．已知?jiǎng)t_______． [答案] 提示：．41．設(shè)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________． [答案] 提示：對已知的第一式平方，變形得，且，而第二式即，∴，即，∴，或；綜合得．42．函數(shù)的最小正周期為__________． [答案] 提示：．43．關(guān)于三角函數(shù)的圖像，有下列命題： ①與的圖像關(guān)于y軸對稱； ②與的圖像相同； ③與的圖像關(guān)于y軸對稱；④與的圖像關(guān)于軸對稱； 其中正確命題的序號(hào)是___________．[答案]②④ 提示：逐一作圖判斷．44．已知一扇形的中心角為，其所在的圓的半徑為R．（1）若，R=10cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；（2）若扇形的周長為定值，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形有最大的面積？這一最大面積是多少？ [解析]計(jì)算弧長和扇形面積都存在有由角度和弧度制表示的兩種公式，顯然，用弧度表示的相應(yīng)公式易于記憶、便于使用，其核心公式是周長公式和圓的面積公式，對于一般扇形，作相應(yīng)的計(jì)算只需將兩個(gè)核心公式中的換之以扇形的圓心角的弧度數(shù)即可： （1）設(shè)弧長為，弓形面積為，則∵，R=10，∴， ； （2）∵扇形周長，∴，∴， 由，得，∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，扇形取得最大面積.45．已知，求． [解答] =．46．已知函數(shù)的最大值為，最小值為，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最大值和最小正周期． [解答]由已知條件得解得∴，其最大值為2，最小正周期為， 在區(qū)間[]（）上是增函數(shù)， 在區(qū)間[]（）上是減函數(shù)．47．已知求的值． [解答]利用和角、差角公式展開，并借助分式的性質(zhì)， 分子分母同除以可得 原式＝＝．48．已知是方程的兩個(gè)根． （1）證明對于任意實(shí)數(shù)，都有； （2）若，求實(shí)數(shù)的值． [解答]（1）， ， 即， ， 即； （2）由（1）可得，∴， 即，∴，或．49．已知為常數(shù)） （1）若求的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）若時(shí)，最大值為4，求的值． [解答]（1）， 當(dāng)， 即當(dāng)為單調(diào)增函數(shù)， 同理，當(dāng)； （2）當(dāng)．50．如圖扇形AOB的半徑為1，中心角為，PQRS是扇形的內(nèi)接矩形，問P在怎樣位置時(shí)，矩形PQRS的面積最大？并求出這個(gè)最大值． [解答]設(shè)∠)， 則， ， 其中，所以當(dāng)即時(shí)S有最大值．51．判定函數(shù)的奇偶性，并求函數(shù)的最值． [解析]判斷函數(shù)的奇偶性，先看定義域，然后考查f(x)同f(-x)是否具有相等或相反的關(guān)系，為方便運(yùn)算，常常根據(jù)題目本身的特點(diǎn)而轉(zhuǎn)化，為考查是否為0，甚至也可考查與的比值，觀察本題的特點(diǎn)是對數(shù)函數(shù)，不妨先考查,求最值時(shí)若注意到sinx的有界性以及函數(shù)的單調(diào)性，則最值易求： 函數(shù)的定義域?yàn)镽,又＋ 令 在[-1,1]上是增函數(shù)．, ．[點(diǎn)評]（1）函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是判定函數(shù)奇偶性的必要條件；（2）要掌握利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值的方法．52．已知函數(shù) （1）將表示為的多項(xiàng)式； （2）求曲線與至少有一個(gè)公共點(diǎn)的實(shí)數(shù)k的取值．（注． [解析]這是一道帶指令性的三角形問題，欲為關(guān)于的多項(xiàng)式，必須考慮去分母，這就需要在做出一定變換之后，能夠約分，注意到有下列解法： （1） （2）令 ＝-1（舍），或則－1＜＜1，－3＜k＜1． [點(diǎn)評]第（1）問的求解方程不止上面給出的一種，還可以嘗試通分后用和差化積變分子的方法去做；而第（2）問也可以由一元二次方程的實(shí)根分布理論來指導(dǎo)求解．53．如圖，在矩形中，，，此矩形沿地面上一直線滾動(dòng)，在滾動(dòng)過程中始終與地面垂直，設(shè)直線與地面所成角為，矩形周邊上最高點(diǎn)離地面的距離為．求： （1）的取值范圍；（2）的解析式；（3）的值域．AABDDBCAAAADBCDBCCCDB [解答]（1）與地面所成的角，就是直線與平面所成的角的范圍為． （2）連，則，過作地面的垂線，垂足為， 在中，，， ． （3），，， 即的值域?yàn)椋?4．已知奇函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R，且在上是增函數(shù)．是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使對所有的均成立？若存在，求出適合條件的實(shí)數(shù)的值或范圍；若不存在，說明理由． [解答]為奇函數(shù)，． ， ，即． 在上是增函數(shù)，且為奇函數(shù)， 在上也為增函數(shù)． ，即， 即． ． 令，則滿足條件的應(yīng)該使不等式對任意的均成立． 設(shè)， 則或或， 解之得，或， 故滿足條件的存在，取值范圍是．55．在ABC中，為角A,B,C所對的三條邊． （1）求t=sinA+sinB時(shí)，t的取值范圍； （2）化簡（用（1）中t表示）． [解答]（1）為直角三角形，, 又, ． （2） ．56．等比數(shù)列中，，其中． （1）問：是數(shù)列的第幾項(xiàng)？（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和． [解答]（1）設(shè)數(shù)列的公比是，則有所以， 從而通項(xiàng)． 又， 故是數(shù)列的第5項(xiàng)． （2），又，可得， 于是，即，．57．已知函數(shù)的圖像上有一個(gè)最低點(diǎn)，如果圖像上每點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，然后向左平移1個(gè)單位可得的圖像，又知的所有正根依次為一個(gè)公差為3的等差數(shù)列，求的解析式，最小正周期和單調(diào)減區(qū)間．[解答]（其中滿足點(diǎn)同象限）， 由于是圖像上最低點(diǎn)，所以 所以， 將上述函數(shù)圖像上每點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，然后向左平移1個(gè)單位可得． 由于的所有正根依次成等差數(shù)列，即曲線與直線的相鄰交點(diǎn)間的距離都相等，根據(jù)三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，直線要么與曲線相切，即過的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，要么過曲線的拐點(diǎn)，又是圖像上的最低點(diǎn)，故與曲線在最高點(diǎn)相切． 當(dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)周期應(yīng)為公差3，這與上面已知周期6矛盾，故舍去． 若過曲線的拐點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)周期6恰為公差3的2倍，符合題意．所以，由得， 即函數(shù)的減區(qū)間為．58．設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的最大值和最小正周期． [解析]雖然本題并沒有要求我們化簡所給函數(shù)的解析式，但可以看出化簡是解決問題的一條必由之路.同樣我們也不能預(yù)測化簡的具體結(jié)果，但總的目標(biāo)應(yīng)該是相對清楚的，那就是設(shè)法不斷地“化繁為簡”.從函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)看，首先可以想到的方法是“降低解析式的次數(shù)，減少所含的三角函數(shù)的名數(shù)”． 原式 ， 即最大值為，最小正周期為．59．證明：. [解析]觀察欲證等式兩邊，可以考慮遵循從左到右的“化切為弦”的證明路線，也可以考慮運(yùn)用從右到左的“化倍角關(guān)系為單角關(guān)系”的證明思路. 方法一：左邊 右邊； 方法二：右邊 左邊．60．已知函數(shù)，求該函數(shù)的定義域、最小正周期和最大、最小值． [解答] ， 由和有意義知且，即函數(shù)的定義域?yàn)?，且的最小正周期是，最大值是，最小值是．61．設(shè)，，已知函數(shù)的最小值和最大值分別是和0，求實(shí)數(shù)的值． [解析]這是一道三角函數(shù)最值問題的逆問題，可以按照求函數(shù)最值的思路求解，用表示出所求函數(shù)的最大值和最小值后，對照已知條件建立方程組求解. , 令，則，且，有， 10當(dāng)，即時(shí)， ，，此時(shí)解得，； 20當(dāng)，即時(shí)， ，，此時(shí)的解應(yīng)該舍去； ∴，即為所求.DCEAB62題圖62．有一農(nóng)民在自留地里建造了一個(gè)長10m，深0.5m，橫截面為等腰梯形的封閉式引水槽（如圖所示）.已知該引水槽側(cè)面材料每m2造價(jià)40元，底面材料每m2造價(jià)50元，頂蓋材料每m2DCEAB62題圖 （1）把建造引水