--#-/18=，/、5(-1)n=，/、5(-1)n-1x2n-1 、_5 1而s(x)= ,s(x)= (-1)n-1x2n-2 ,1 2n-1 1 1+x2n=1所以s'(x)-s'(0)=Jxs"(t)dt=Jx01n=11dt=arctanx，又s'(0)=0,于是s'(x)=arctanx.同理1=tarctantx-Jx—t—dt=xarctanx-LnG+=tarctant0 01+12 2又s(0)=0所以s(x)=xarctanx--lnG+x2)1 1 2故s(x)=2x2arctanx-xlnG+x2).xe(-1,1).由于所給幕級(jí)數(shù)在x=±1處都收斂，且s(x)=2x2arctanx-xIn(L+x2)在x=±1處都連續(xù)，所以s(x)在x=±1成立即s(x)=2x2arctanx-xInG+x2),xe[-1,1].〔20〕〔本題滿分13分〕設(shè)4維向量組a1=(1+d1，1，1上*=(2,2+a，2,2%,a3=(3,3,3+a，3)T,a4=(4,4,4,4+a上問(wèn)a為何值時(shí)aa為何值時(shí)a,a,a,a線性相關(guān)?當(dāng)a,a,a,a線性相關(guān)時(shí)，求其一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用12 3 412 3 4該極大線性無(wú)關(guān)組線性表出.［分析］因?yàn)橄蛄拷M中的向量個(gè)數(shù)和向量維數(shù)相同，所以用以向量為列向量的矩陣的行列式為零來(lái)確定參數(shù)a；用初等變換求極大線性無(wú)關(guān)組.［詳解］記以.a2,a3,a4為列向量的矩陣為A，則+a11+a1112+a2233+a3444+a于是當(dāng)|A|=0,即a=0或a=-10時(shí),a^a2,a3,a4線性相關(guān).當(dāng)a=0時(shí)，顯然a1是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組,且a2=27a3=3a1%=4a1；當(dāng)a=-10時(shí),-9111-91112-82233-73444-6-9由于此時(shí)A-9由于此時(shí)A有三階非零行列式112-8233-7=-400豐0，所以％02弋為極大線性無(wú)關(guān)組，且a+a+a+a=0，即a=-a-a-a.TOC\o"1-5"\h\z1 2 3 4 4 1 2 3〔21〕〔本題滿分13分〕設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的各行元素之和均為3,向量a=(-1,2,-1%,a=(0,-1,1%是線性方程組1 2Ax=0的兩個(gè)解.＜1＞求A的特征值與特征向量；＜n＞求正交矩陣Q和對(duì)角矩陣A，使得QTAQ=A；(.3_ —〔m〕求A與A--E，其中E為3階單位矩陣.1 27［分析］由矩陣A的各行元素之和均為3與矩陣乘法可得矩陣A的一個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量；由齊次線性方程組Ax=0有非零解可知A必有零特征值,其非零解是0特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量.將A的線性無(wú)一一一..1.3_)關(guān)的特征向量正交化可得正交矩陣Q；由QtAQ=A可得到A和A--E.1 2［詳解］＜I＞因?yàn)榫仃嘇的各行元素之和均為3,所以則由特征值和特征向量的定義知，九=3是矩陣A的特征值，a=(1,1,1)t是對(duì)應(yīng)的特征向量.對(duì)應(yīng)九二3的全部特征向量為ka，其中k為不為零的常數(shù).又由題設(shè)知Aa=0,Aa=0,即Aa=0.a,Aa=0.a，而且a,a線性無(wú)關(guān)，所以九二0是121212矩陣A的二重特征值，a,a是其對(duì)應(yīng)的特征向量，對(duì)應(yīng)九二0的全部特征向量為ka+ka，其中1211 2212k1，k2為不全為零的常數(shù)?＜H＞因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以a與a,a正交，所以只需將a,a正交.12取P1二aP=a2 2(aP=a2 2(a,P)R-MP1二

1 11J-35

2<-1>1)1了11)2令Q=h,n,nL則Q-1=Qt，由a是實(shí)對(duì)稱矩陣必可相似對(duì)角化,得1 2 3一3 1)1了11)2令Q=h,n,nL則Q-1=Qt，由a是實(shí)對(duì)稱矩陣必可相似對(duì)角化,得1 2 3一3 一QtAQ= 0=A.03〔m〕由＜n＞知Qtaq= 0=a，所以0—彘21&[303J&j0j13忑1飛婢j(1l11n1111j(3A20j-((3A612j(3A62

l2j(3A6(3A62E,l2j(3A6(3A6-(3A6則A--E=Q-IEQT=-E.l2j l2j l2j〔22〕〔本題滿分13分〕設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

1,—1<x<02f(f(x)=\X,0<x<24 ,0,其他令Y=X2,F(x,y)為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù).求Y的概率密度f(wàn)y(y)；<n>Cov(x,r)；<m>［分析］求一維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度一般先求分布，然后求導(dǎo)得相應(yīng)的概率密度或利用公式計(jì)算.［詳解］⑴設(shè)r<n>Cov(x,r)；<m>［分析］求一維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度一般先求分布，然后求導(dǎo)得相應(yīng)的概率密度或利用公式計(jì)算.［詳解］⑴設(shè)r的分布函數(shù)為f(y)，即f(y)二尸(r<y)=p(x2<y)，則1)當(dāng)y<0時(shí),Fr(y)=0；2)當(dāng)0<y<1時(shí)，F(xiàn)(y)=P(X2<y)=P

Y<X<Jy2dx+3)當(dāng)1<y<4時(shí),F(y)=P(X2<y)=PY=J0—dx+J'y—dx=—yy+——12 04 4U2[1<X<4)當(dāng)y-4,Fy(y)=L所以,0<y<1f(y)=F'(y)=<,1<y<4.0,其他〔II〕Cov(0,其他〔II〕Cov(X,Y)=Cov(X,X2)=E(X—EX)(X2—EX2)=EX3—EXEX2而EX=J0xdx+J2xdx=1EX2」0x2dx+—12 04 4' —122X2, 52—dx=一6'EX3=J0—1為+EX3=J0—1為+J2X3dx=704 8所以Cov(X,Y)=71528463(1<m>F― 4V21,Y<421,X2<42」21dx=1.—12 42016年考研各科目專用題庫(kù)復(fù)習(xí)和考試軟件說(shuō)明：本人已于2015年順利通過(guò)了考研.由于考研的科目很多,題目更多,因此不能全部將各科試題上傳,為了幫助各位順利過(guò)關(guān),本人叫朋友將考研的全部試題［政治、數(shù)學(xué)等］弄成一個(gè)復(fù)習(xí)、考試軟件,非常好用,只要把題目的部分關(guān)鍵文字輸進(jìn)去就馬上得到答案,也可以隨時(shí)查找真題,哪一年的試題等等,功能很強(qiáng)大.但先要下載,然后雙擊即可安裝,不喜勿看.點(diǎn)擊"軟件下載"［按住Ctrl鍵點(diǎn)擊即可 ］軟件截圖：〔23〕〔本題滿分13分〕設(shè)總體X的概率密度為其中9是未知參數(shù)(0<0<1),X,X...,X為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記N為樣本值x,X…,X中小1 2n 12n于1的個(gè)數(shù).〔I〕求9的矩估計(jì)；〔II〕求9的最大似然估計(jì)［分析］利用矩估計(jì)法和最大似然估計(jì)法計(jì)算.［詳解］〔I〕因?yàn)镋X=J+“xf(x;9)dx=J1x9dx+J2x(［詳解］〔I〕因?yàn)镋X—J 0 1 23八一八 < 3 :令-―0=X，可得9的矩估計(jì)為9=-—X.〔II〕