平穩(wěn)時間序列預測法第1頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四目錄基本概念ARMA模型建模流程第2頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四平穩(wěn)時間序列：設時間序列來自一個隨機過程，如果此隨機過程的隨機特征不隨時間變化，則我們稱過程是平穩(wěn)的。實際應用中一般要求平穩(wěn)性為“寬平穩(wěn)”?；靖拍畹?頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四寬平穩(wěn)：基本概念第4頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四如果時間序列式平穩(wěn)的，我們就可以用具有確定參數(shù)方程將時間序列模型化。并且利用以往的序列對模型的參數(shù)進行估計。ARMA模型是一個研究平穩(wěn)時間序列的模型基本概念第5頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四白噪聲序列：序列由獨立同分布的隨機變量構成。對所有都有基本概念第6頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四白噪聲序列式最簡單的平穩(wěn)序列，在不同點上的協(xié)方差為0。該特性稱之為“無記憶性”，意味著人們無法根據(jù)其過去的特點推斷其未來的特點，其變化沒有規(guī)律可循。在時間序列的分析中，當模型的殘差序列為白噪聲序列時，可認為模型達到了較好的效果，剩余的殘差中已沒有可提取的信息?；靖拍畹?頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四自相關函數(shù)與偏自相關函數(shù)①自相關函數(shù)過程的第j階自相關系數(shù)即，自相關函數(shù)記為ACF(j)?；靖拍畹?頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四②偏自相關函數(shù)偏自相關系數(shù)度量了消除中間滯后項影響后兩滯后變量之間的相關關系。偏自相關函數(shù)記為PACF(j)基本概念第9頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四③自相關函數(shù)和偏自相關函數(shù)的聯(lián)系2階以上的偏自相關函數(shù)計算公式較為復雜，這里不再給出?？勺孕胁殚喯嚓P書籍?；靖拍畹?0頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四ARMA模型自回歸移動平均模型（autoregressivemovingaveragemodels,簡記為ARMA模型），由因變量對它的滯后值以及隨機誤差項的現(xiàn)值和滯后值回歸得到。包括移動平均過程（MA）、自回歸過程（AR）、自回歸移動平均過程（ARMA）。ARMA模型第11頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四AR（p）模型自回歸（AR）模型表示為：

其中為為白噪音過程。ARMA模型第12頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四MA（q）模型移動平均（MA）模型表示為：

其中為為白噪音過程。ARMA模型第13頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四ARMA（p,q）模型將AR模型與MA模型連起來：

其中為為白噪音過程。ARMA模型第14頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四AR、MA模型的相互轉化結論一：平穩(wěn)的AR(p)過程可以轉化為一個MA(∞)過程，可采用遞歸迭代法完成轉化結論二：特征方程根都落在單位圓外的MA(q)過程具有可逆性平穩(wěn)性和可逆性的概念在數(shù)學語言上是完全等價的，所不同的是，前者是對AR過程而言的，而后者是對MA過程而言的。ARMA模型第15頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四以上三個模型都要滿足一下條件：第一，平穩(wěn)性。序列時平穩(wěn)的。第二，殘差符合白噪聲。第三，AR的平穩(wěn)與MA的可逆ARMA模型第16頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四ARIMA模型將ARMA模型推廣到非平穩(wěn)的序列，就是ARIMA模型。非平穩(wěn)的序列通過若干次處理，如：取對數(shù)，差分等可化為平穩(wěn)的序列。經(jīng)過d階差分后得到平穩(wěn)序列的ARMA(p,q)模型就是原序列的ARIMA(p,d,q)模型ARMA模型第17頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四ARIMA的建模流程圖：建模流程原始序列周期帶周期成分不帶周期成分平穩(wěn)差分白噪聲結束ARMA模型第18頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四周期性檢驗：譜分析譜分析方法把時間序列看成是由多種不同頻率的規(guī)則波（正弦波或余弦波）迭加而成。在頻率域上比較不同頻率波的方差大小，從而找出波動的主要周期。對某一時間序列的譜分析，有兩種方法：

一是功率譜分析，

二是最大熵譜分析。建模流程第19頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四功率譜分析在時域中,如果假設標準化時間函數(shù)自相關系數(shù)為

則功率譜與自相關系數(shù)

通過傅里葉變換可建立如下關系：建模流程第20頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四功率譜估計法第一步，計算樣本自相關系數(shù)：建模流程第21頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四功率譜估計法第二步，計算功率譜：建模流程第22頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四的最大值即為主要周期。功率譜在分析時間序列的周期時存在如下問題：(1)功率譜不能兼顧高頻和低頻段的需要;(2)某些短周期振動易在一些周期長度為它們整數(shù)倍的長周期中表現(xiàn)出來,又混在長周期中;(3)所取樣本較短時,不利于譜的分辯,可能得出的周期與實際有偏離。建模流程第23頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四SPSS中的功率譜分析：觀察譜周期圖；做Fisher峰值檢驗；有效的峰值處就是周期；建模流程第24頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四平穩(wěn)性檢驗一般地，以時間序列數(shù)據(jù)為依據(jù)的實證研究工作都必須假定有關的時間序列時平穩(wěn)的，否則回導致謬誤回歸問題的出現(xiàn)。先給出兩種非平穩(wěn)序列現(xiàn)象：d階單整和協(xié)整，這兩類非平穩(wěn)序列經(jīng)過變換可以達到平穩(wěn)。建模流程第25頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四d階單整：是指非平穩(wěn)序列經(jīng)過d階差分后可以達到平穩(wěn)。協(xié)整：若兩個或多個非平穩(wěn)的變量序列，其線性組合后的序列呈平穩(wěn)，則稱這些序列見有協(xié)整關系。建模流程第26頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四先來看一個隨機游動過程：

為白噪聲序列可以看出：期望是常數(shù)，方差卻隨時間變化，是非平穩(wěn)過程。建模流程第27頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四單位根過程：其中，是一個平穩(wěn)過程，且

，可見，隨機游動過程是單位根過程的一個特例。建模流程第28頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四單位根檢驗：目前使用比較廣泛的是Dickey-FullerTest（DF檢驗）是Dickey和Fuller在20世紀70年代到20世紀80年代的一系列文章中建立起來的。他是基于參數(shù)的最小二乘估計，在單位根過程中，有給定樣本構造統(tǒng)計量，易操作，可應用于多種不同形式。建模流程第29頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四單位根檢驗：1987年Engle提出了ADF(AugmentedDickey-Fuller)檢驗以修正DF檢驗中自相關問題，并指出具有高階自相關的序列應用ADF檢驗。ADF檢驗方法加入了漂移項與實踐趨勢項，更具科學性。建模流程第30頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四DF檢驗的假設：假設模型·樣本觀測值來自模型因此，在原假設成立時，服從一個隨機游動過程；在備擇假設成立時，服從一個平穩(wěn)的一階自回歸模型。建模流程第31頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四在原假設成立的條件下，參數(shù)

的最小二乘估計為：T為樣本容量。建模流程第32頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四接下來構造統(tǒng)計量：和其中建模流程第33頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四對于上述兩種檢驗Dickey和Fuller分別給出了檢驗的臨界值，對于給定的樣本容量T和顯著性水平α，將樣本觀察值帶入兩個統(tǒng)計量中，和臨界值對比，如果統(tǒng)計量大于臨界值，則拒絕原假設即認為服從平穩(wěn)的一階自回歸模型。建模流程第34頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四利用Eviews做單位根檢驗：建模流程第35頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四前面通過周期性檢驗確定周期，通過單位根檢驗判斷序列是否平穩(wěn)。對平穩(wěn)的序列畫出ACF和PACF圖，判斷是不是白噪聲。如果不是白噪聲序列，則根據(jù)ACF和PACF圖嘗試給ARMA模型進行初步定階。建模流程第36頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四自相關圖與偏自相關圖：根據(jù)自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)畫成的圖，可以簡單直觀的從圖中讀出粗略信息。下面介紹幾種序列的大致圖形。建模流程第37頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四建模流程第38頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四建模流程第39頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四建模流程第40頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四建模流程第41頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四建模流程第42頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四建模流程平穩(wěn)的時間序列其自相關圖和偏自相關圖應該很快的落入95%的置信區(qū)間。第43頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四建模流程拖尾與結尾：首先拖尾與結尾都是針對平穩(wěn)的時間序列。拖尾：是一種衰減的趨勢，很快落入?yún)^(qū)間內，通常呈衰減的正弦波或指數(shù)形式。截尾：在某一階后突然變得很小。第44頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四建模流程模型理論上的ACF理論上的PACF白噪聲序列全為0全為0AR(p)拖尾p階截尾MA(q)q階截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾（不截尾）拖尾（不截尾）第45頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四建模流程截尾性檢驗：對于自相關系數(shù)對每一個時，計算，取

或，考察滿足或第46頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四建模流程如果時都明顯不為0，而

均近似于0，并滿足上述不等式相應的比例，則可近似的判定是階截尾，平穩(wěn)的時間序列為MA(q)模型。第47頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四建模流程截尾性檢驗：對于偏自相關系數(shù)類似地，可考察可近似判定為階截尾，平穩(wěn)的時間序列為AR(p)模型。第48頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四建模流程以上給出了兩種定階的方法，一種簡便但偏主觀，一種復雜但較客觀。無論哪種定階方法都不是一蹴而就的，都需要反復的分析與嘗試。如：每做完一次模型的建立，都需要進行殘差分析，看看殘差是否是白噪聲序列。如果不是，說明模型沒有提取完所有的序列信息。第49頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四建模流程利用信息準則定階：信息準則法在模型的選擇中起到很重要的作用，可以用于ARMA(p,q)模型的定階，實際上就是ARMA(p,q)模型的篩選。這里給出兩種準則：AIC準則和BIC準則。第50頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四建模流程

第51頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四建模流程

第52頁，共54頁，2023年，2月20日，星期四建模流程利用準則的決策矩陣：從中選出AIC(p,q)最小的最為最終ARMA(p,q)模型MA(0)MA(1)……MA(q)AR(0)AIC(0,0)AIC(0