第六章振動(dòng)與波振動(dòng)：物理量隨時(shí)間t

作周期性變化波：振動(dòng)在空間的傳播，同時(shí)也是能量的傳播。1一、彈簧振子模型小幅振動(dòng)滿足胡克定律：物體所受的合外力與和位移成正比，方向始終指向平衡位置，稱為線性回復(fù)力。第一節(jié)簡(jiǎn)諧振動(dòng)2令微分方程的解:即：這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律符合余弦（或正弦）函數(shù)形式，叫做簡(jiǎn)諧振動(dòng)(simpleharmonicvibration)。系統(tǒng)在類(lèi)似的線性回復(fù)力作用下，一定是做簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律：（動(dòng)力學(xué)方程）3★簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程A—振幅(amplitude)離開(kāi)平衡位置的最大位移，由系統(tǒng)開(kāi)始振動(dòng)的初始狀態(tài)決定。三個(gè)重要的特征量—角頻率

（或稱圓頻率）(angularfrequency)在2π秒時(shí)間內(nèi)完成全振動(dòng)的次數(shù)0—初相

(initialphase)反映初始時(shí)刻振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，一般?。?，2π）或（-π，+π

）4★振動(dòng)的相位(phase)稱為振動(dòng)的相位，t=0時(shí)刻的相位為初相★速度和加速度速度和加速度與位移的變化規(guī)律相同（均為簡(jiǎn)諧振動(dòng)），速度的相位超前位移π/2，加速度與位移反相。5★振動(dòng)曲線xtoA-AT6

取決于振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，稱為固有角頻率前述的彈簧振子例子：★決定三個(gè)重要的特征量（A，ω，0）的因素A

，0

決定于系統(tǒng)的初始條件(t=0時(shí)刻的位移和速度)φ0在（0，2π）或（-π，π）內(nèi)為多值函數(shù)，注意取舍！7例1：?jiǎn)螖[(simplependulum)在小幅振動(dòng)時(shí)：Ol

smgT令：8例2：復(fù)擺(complexpendulum)令*（C點(diǎn)為質(zhì)心）9xP二、旋轉(zhuǎn)矢量圖示法矢量繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)矢量的模為A，t=0時(shí)，旋轉(zhuǎn)矢量與x軸正方向的夾角為0，旋轉(zhuǎn)矢量的角速度為

。矢量端點(diǎn)在x軸上的投影點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)！可以用旋轉(zhuǎn)矢量描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)：旋轉(zhuǎn)矢量的模即振幅，轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度即角頻率，初始時(shí)刻與x軸正方向之間的夾角即初相位；旋轉(zhuǎn)矢量在x軸上時(shí)對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的最大位移，旋轉(zhuǎn)矢量垂直于x軸時(shí)對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的平衡位置。O10例題

質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為12cm，周期為2s。當(dāng)t=0時(shí),位移為6cm，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)。求：（1）振動(dòng)表達(dá)式；（2）質(zhì)點(diǎn)從x=-6cm向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需要的時(shí)間。解：（1）設(shè)振動(dòng)表達(dá)式為根據(jù)已知條件：A=0.12m,T=2s由初始條件用解析法求初相

011m振動(dòng)表達(dá)式為已知t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)向x軸正方向運(yùn)動(dòng)則12由初始條件用旋轉(zhuǎn)矢量法求初相

0當(dāng)t=0時(shí),位移為6cm，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)Ox13x（2）質(zhì)點(diǎn)從x=-6cm向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需要的時(shí)間。O由質(zhì)點(diǎn)從x=-6cm向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)可知此時(shí)的相位為2π/3。第一次回到平衡位置時(shí)的相位為3π/2。第一次回到平衡位置所需要的時(shí)間：14例題兩質(zhì)點(diǎn)作同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅相等。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)1在x1=A/2處，向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)2在x2=0處，向x軸正方向運(yùn)動(dòng)。求這兩質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的相位差。解：Ox質(zhì)點(diǎn)1的振動(dòng)超前質(zhì)點(diǎn)2的振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)1的振動(dòng)落后質(zhì)點(diǎn)2的振動(dòng)15三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量振子動(dòng)能振子勢(shì)能簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的總能量與振幅的平方成正比。16txtE17第二節(jié)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成一、相同方向上同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成聲源1聲源2PP點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)就是兩個(gè)同方向振動(dòng)的合成x18同方向、同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成仍是簡(jiǎn)諧振動(dòng)：x兩個(gè)x方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的角頻率都是19★合振動(dòng)的振幅與初相x20★振動(dòng)的相互加強(qiáng)與相互減弱1、若兩振動(dòng)同相2、若兩振動(dòng)反相合振幅最大，即振動(dòng)加強(qiáng)合振幅最小，即振動(dòng)減弱如果則，質(zhì)點(diǎn)靜止合振幅21例題兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線（如圖所示）

（1）求合振動(dòng)的振幅；（2）求合振動(dòng)的振動(dòng)表達(dá)式。兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)同方向，同頻率=2π/T，反相合振動(dòng)振幅：合振動(dòng)初相：xTt解合振動(dòng)的振動(dòng)表達(dá)式：22二、兩個(gè)同方向、不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成合成的旋轉(zhuǎn)矢量的長(zhǎng)度和轉(zhuǎn)動(dòng)角速度將不斷改變，合成后的運(yùn)動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，如圖所示:ty2123考慮兩個(gè)頻率較大且非常接近、振幅相等、初相位相同的振動(dòng)合成問(wèn)題：因?yàn)轭l率差很小，所以上述表達(dá)式可看成振幅隨時(shí)間緩慢變化的近似諧振動(dòng)——拍現(xiàn)象?！锱?beat)、拍頻(beatfrequency)24★拍振動(dòng)曲線x1x2xttt減弱減弱加強(qiáng)拍頻：振動(dòng)的振幅變化的頻率。25三、相互垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成兩個(gè)頻率相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)在相互垂直的兩個(gè)方向上合成：yx求兩者的合振動(dòng)：消去t得到上式為橢圓方程，注意上式與兩者的相位差有關(guān)。26同頻率不同相位差的合運(yùn)動(dòng)軌跡27兩個(gè)相互垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率成簡(jiǎn)單整數(shù)比，此時(shí)的合振動(dòng)具有穩(wěn)定封閉的軌跡圖形：李薩如圖形李薩如圖形(LissajousFigure)兩個(gè)頻率不同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)在相互垂直的兩個(gè)方向上合成：28第三節(jié)阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振Ox一、阻尼振動(dòng)（dampedvibration）29小阻尼(β<ω0)過(guò)阻尼(β>ω0)臨界阻尼(β=ω0)★阻尼振動(dòng)曲線當(dāng)物體處于臨界阻尼時(shí)，達(dá)到平衡位置的時(shí)間最短。30系統(tǒng)受周期性外力的作用：二、受迫振動(dòng)(ForceVibration)Ox31A無(wú)阻尼有阻尼共振：當(dāng)策動(dòng)力的頻率等于特定值時(shí)，振幅A取極大值，產(chǎn)生共振。32第四節(jié)簡(jiǎn)諧波的產(chǎn)生和傳播機(jī)械波：機(jī)械振動(dòng)在介質(zhì)中的傳播電磁波：交變電磁場(chǎng)在空間的傳播★波動(dòng)★兩類(lèi)波的共同特征都是振動(dòng)狀態(tài)的傳播都是能量傳播都能發(fā)生反射、折射、干涉、衍射33一、機(jī)械波(mechanicalwave)的產(chǎn)生兩個(gè)條件：波源（振動(dòng)）+彈性介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波動(dòng)的傳播方向垂直，交替出現(xiàn)波峰和波谷。橫波(TransverseWave)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波動(dòng)的傳播方向平行，疏密相間。簡(jiǎn)諧波(HarmonicWave)介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)都作簡(jiǎn)諧振動(dòng)縱波(Longitudinalwave)34★機(jī)械波的傳播特征波動(dòng)是振動(dòng)狀態(tài)的傳播。介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)在平衡位置附近振動(dòng)，并未“隨波逐流”。波動(dòng)是相位的傳播。在波的傳播方向上，各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位依次落后。波動(dòng)是能量的傳播。35二、波長(zhǎng)、周期、頻率和波的傳播速度波長(zhǎng)：在波的傳播方向上兩個(gè)相鄰的、相位差為2π的振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)之間的距離。xy

波的周期T：波前進(jìn)一個(gè)波長(zhǎng)的距離所需的時(shí)間。波的頻率：周期的倒數(shù)周期和頻率反映了波動(dòng)在時(shí)間上的周期性。波長(zhǎng)反映了波動(dòng)在空間上的周期性。36波速u(mài)

：波速由介質(zhì)的性質(zhì)決定，而波的頻率與介質(zhì)的性質(zhì)無(wú)關(guān)，由波源決定。波在一個(gè)時(shí)間周期T內(nèi)向外傳播了一個(gè)空間周期λ，因此波速為：37三、惠更斯