第1頁（共1頁）人教版八年級數(shù)學下冊第十八章《平行四邊形》培優(yōu)練習（含答案）1．如圖，四邊形AOBC為正方形，E為AC的中點，連接OE，OE＝．（1）求點C的坐標；（2）F為AC上一點，∠FOB＝2∠AOE，①求點F的坐標；②作點A關于OF的對稱點H，連接AH和BH，則∠AHB的度數(shù)為；BH的長度為．（直接寫出結果）2．如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E是AD上一點，連接EO并延長，交BC于點F．連接AF，CE，EF平分∠AEC．（1）求證：四邊形AFCE是菱形；（2）若∠DAC＝60°，AC＝2，求四邊形AFCE的面積．3．如圖，△ABC為等邊三角形，點P是線段AC上一動點（點P不與A，C重合），連接BP，過點A作直線BP的垂線段，垂足為點D，將線段AD繞點A逆時針旋轉60°得到線段AE，連接DE，CE．（1）求證：BD＝CE；（2）延長ED交BC于點F，求證：F為BC的中點．4．如圖，點E是平行四邊形ABCD對角線AC上一點，點F在BE延長線上，且EF＝BE，EF與CD交于點G．（1）求證：DF∥AC；（2）連接DE、CF，若AB⊥BF，若G恰好是CD的中點，求證：四邊形CFDE是菱形；（3）在（2）的條件下，若四邊形CFDE是正方形，且AB＝2，則BC＝．5．已知：如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，DE∥AC，AE∥BD．（1）求證：四邊形AODE是矩形；（2）若AB＝4，∠BCD＝120°，求菱形ABCD的面積．6．如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DE∥AC且DE＝OC，連接CE、OE，連接AE交OD于點F．（1）求證：OE＝CD；（2）若菱形ABCD的邊長為4，∠ABC＝60°，求AE的長．7．（1）如圖1，銳角△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等邊△ABE和等邊△ACD，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關系，并說明理由．【深入探究】（2）如圖2，△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝5cm，BC＝3cm，分別以AB、AC為邊向外作正方形ABNE和正方形ACMD，連接BD，求BD的長．（3）如圖3，在（2）的條件下，以AC為直角邊在線段AC的左側作等腰直角△ACD，求BD的長．8．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF．（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形；（2）當AB＝AC時，求證：四邊形ADCF矩形；（3）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCF是菱形？并證明你的結論．9．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC的中點，DE⊥AC，AE∥BD，（1）證明：△ADE≌△DCB；（2）連接BE，判斷四邊形BCDE的形狀，并證明；（3）若BC＝4，AE＝5，則四邊形ACBE的周長是多少？10．如圖1，四邊形ABCD是正方形，AB＝4，點G在BC邊上，BG＝3，DE⊥AG于點E，BF⊥AG于點F．（1）求BF和DE的長；（2）如圖2，連接DF、CE，探究并證明線段DF與CE的數(shù)量關系與位置關系．

參考答案1．解：（1）∵四邊形AOBC為正方形，∴OA＝AC＝CB＝BO，∠OAC＝∠ACB＝∠CBO＝∠BOA＝90°，∵E為AC的中點，∴AE＝EC＝x，則AC＝AO＝2x，在Rt△AOE中：，解得：x＝1，∴OA＝AC＝2，∴C（2，2）．（2）①取BC中點M，延長OM交AC延長線于點N，∵OA＝OB，∠OAE＝∠OBM，AE＝BM，∴△AOE≌△OBM（SAS），∴∠AOE＝∠BOM又∵∠FOB＝2∠AOE，∴∠FOM＝∠BOM＝∠AOE，又∵CN∥OB，∴∠BOM＝∠CNM，∴∠FOM＝∠FNO，∴FO＝FN，∵BM＝MC，∠MCN＝∠MBO＝90°，∠BOM＝∠CNM，∴△CMN≌△BMO（AAS），∴CN＝OB＝2，設CF＝x，則AF＝2﹣x，NF＝2+x＝FO，在Rt△AOF中：AF2+AO2＝OF2，∴（2﹣x）2+22＝（2+x）2，解得：x＝0.5，∴F（1.5，2）．②如圖2，連接OH，AB，則AB＝AC＝2．∵A與H關于AF對稱，∴∠AOF＝∠HOF，OH＝OA＝OB，OF垂直平分AH，作OP⊥BH于P，則∠BOP＝∠HOP，∵∠AOH+∠BOH＝∠AOB＝90°，∴∠FOP＝45°，∵∠OQH＝∠OPH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣∠FOP＝135°，∵F（1.5，2），∴AF＝1.5，∴OF＝2.5，∴AH＝2AQ＝＝＝，作BN⊥AH于N，則∠BHN＝∠HBN＝45°，∴BN＝HN＝x，∴BH＝x，AN＝AH+HN＝+x，在Rt△ANB中：AB2＝AN2+BN2，∴8＝+x2，解得，（舍），∴BH＝．2．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠AEF＝∠CFE，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OF＝OE，∵AO＝CO，∴四邊形AFCE是平行四邊形；∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠CEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，∴四邊形AFCE是菱形；（2）解：由（1）得：四邊形AFCE是菱形，∴AC⊥EF，AO＝CO＝AC＝1，∴∠AOE＝90°，∵∠DAC＝60°，∴∠AEO＝30°，∴OE＝AO＝，∴EF＝2OE＝2，∴四邊形AFCE的面積＝AC×EF＝×2×2＝2．3．（1）證明：∵線段AD繞點A逆時針旋轉60°得到線段AE，∴△ADE是等邊三角形，在等邊△ABC和等邊△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE．（2）證明：如圖，過點C作CG∥BP交DF的延長線于點G．∴∠G＝∠BDF，∵∠ADE＝60°，∠ADB＝90°，∴∠BDF＝30°，∴∠G＝30°，由（1）可知，BD＝CE，∠CEA＝∠BDA，∵AD⊥BP，∴∠BDA＝90°，∴∠CEA＝90°，∵∠AED＝60°，∴∠CED＝30°＝∠G，∴CE＝CG，∴BD＝CG，在△BDF和△CGF中，，∴△BDF≌△CGF（AAS），∴BF＝FC，即F為BC的中點．4．（1）證明：連接BD，交AC于點O，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO＝DO，∵BE＝EF，∴OE是△BDF的中位線，∴OE∥DF，即DF∥AC；（2）證明：如圖所示：由（1）得：DF∥AC，∴∠F＝∠CEG，∠GDF＝∠GCE，∵G是CD的中點，∴DG＝CG，∴△DFG≌△CEG（AAS），∴FG＝EG，∴四邊形CFDE是平行四邊形，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，又∵AB⊥BF，∴CD⊥BF，∴平行四邊形CFDE是菱形；（3）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC＝AD，CD＝AB＝2，∵四邊形CFDE是正方形，∴DE＝CE＝CD＝，BE＝EF＝CD＝2，∠DEC＝90°，∴∠AED＝90°，∵AB⊥BF，∴∠ABE＝90°，∴AE＝＝＝2，∴AD＝＝＝，∴BC＝，故答案為：．5．（1）證明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四邊形AODE是平行四邊形，∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴四邊形AODE是矩形；（2）∵∠BCD＝120°，AB∥CD，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，∵AB＝BC＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴OA＝×4＝2，OB＝，∵四邊形ABCD是菱形，∴四邊形ABCD的面積＝．6．（1）證明：∵DE＝OC，DE∥AC，∴四邊形OCED是平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，∴平行四邊形OCED是矩形．∴OE＝CD．（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝4，∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝2，∴在△ACE中，AE＝＝2．7．解：（1）BD＝CE，理由是：∵△ABE和△ACD是等邊三角形，∴AE＝AB，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝60°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD（SAS）∴BD＝CE；（2）如圖2，連接EB、EC，∵四邊形ACMD和四邊形ABNE是正方形，∴AE＝AB，AD＝AC，∠EAB＝∠DAC＝90°∴∠BAE+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE．∵∠EBA＝∠ABC＝45°∴∠EBC＝90°∵AE＝AB＝5，∠EAB＝90°，∴BE＝5，∵BC＝3∴EC＝＝＝，∴BD＝EC＝；（3）如圖3，在線段AC的右側過點A作AE⊥AB于點A，交BC的延長線于點E，連接BE．∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°，又∵∠ABC＝45°，∴∠E＝∠ABC＝45°，∴AE＝AB＝5，BE＝5，又∵∠BAE＝∠DAC＝90°，∴∠BAE﹣∠BAC＝∠DAC﹣∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE，∵BC＝3，∴BD＝CE＝（5﹣3）cm．8．解：（1）證明：∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠EDB，∠AFE＝∠EBD．∵E是AD的中點，∴AE＝DE，在△AEF和△DEB中，，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF＝DB，又∵BD＝DC，∴AF＝DC，∴四邊形ADCF為平行四邊形；（2）證明：∵AB＝AC，且AD為BC邊上的中線，∴AD⊥CD，即∠ADB＝90°，∴四邊形ADCF為矩形；（3）解：當△ABC滿足∠BAC＝90°時，則四邊形ADCF是菱形，理由如下：∵∠BAC＝90°，AD是BC邊的中線，∴AD＝DC＝BC，又∵四邊形ADCF為平行四邊形，∴四邊形ADCF是菱形．9．（1）證明：∵AE∥BD，∴∠CDB＝∠DAE，∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴DE∥BC，∵D為AC中點，∴AD＝CD，在△ADE和△DCB中，，∴△ADE≌△DCB（ASA）；（2）解：四邊形BCDE是矩形；理由如下：由（1）得：△ADE≌△DCB，∴DE＝BC＝4，BD＝AE＝5，又∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴四邊形BCDE是矩形；（3）解：在Rt△DCB中，BC＝4，BD＝5，由勾股定理得：CD＝＝3，∴AD＝CD＝3，∵四邊形BCDE是矩形，∴CD＝BE＝3，∴四邊形ACBE的周長是AC+BC+BE+AE＝3+3+4+3+5＝18．10．解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝4，∠BAD＝90°，∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AED＝∠BFA＝90°，在Rt△ABG中，AG＝＝5，∵?AG?BF＝?AB?BG，∴BF＝＝，∴AF＝＝＝，∵∠BA