拉普拉斯方程和格林函數(shù)法第1頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五（1）第一邊值問題在空間中某一區(qū)域的邊界上給定了連續(xù)函數(shù)，要求這樣一個函數(shù)上與已知函數(shù)相重合，即，

它在閉域(或記作)上連續(xù)，在內(nèi)存在二階偏導(dǎo)數(shù)且滿足拉普拉斯方程，在第一邊值問題也稱為狄利克萊(Dirichlet)問題，拉普拉斯方程的連續(xù)解稱為調(diào)和函數(shù).所以，狄氏問題也可以換一種說法：在區(qū)域

內(nèi)找一個調(diào)和函數(shù)，它在邊界

上的值為已知.第2頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五（2）第二邊值問題在某光滑的閉曲面

上給出連續(xù)函數(shù)，要求尋找這樣一個函數(shù)

在該點(diǎn)的值：它在中是調(diào)和函數(shù)，在上連續(xù)，在上任一點(diǎn)處法向?qū)?shù)存在，并且等于已知函數(shù)第二邊值值問題也稱牛曼（Neumann）問題.以上兩個邊值問題都是

區(qū)域內(nèi)部求拉普拉斯方程的解.這樣的問題稱為內(nèi)問題.第3頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五6．2格林公式設(shè)是以足夠光滑的曲面為邊界的有界區(qū)域，

在上連續(xù)的，在的奧-高公式內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù)，

則成立如下第4頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五下面來推導(dǎo)高斯公式的兩個推論.設(shè)函數(shù)和在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在內(nèi)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù).

在高斯公式中令則有第5頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五上式稱為第一格林公式，在上式中交換

位置，則得————第二格林公式第6頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五利用格林公式我們可以推出調(diào)和函數(shù)的一些基本性質(zhì).(i)調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式設(shè)是內(nèi)某一固定點(diǎn)，求調(diào)和函數(shù)在這點(diǎn)的值，為此，構(gòu)造一個函數(shù)通常稱它為三維拉普拉斯方程的基本解

為中心，以充分小的正數(shù)為半徑的球面由于在內(nèi)有奇異點(diǎn),我們作一個以第7頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五在內(nèi)挖去所包圍的球域得到區(qū)域（如圖），在內(nèi)是連續(xù)可微的.為調(diào)和函數(shù)

在公式(4.9)中取取，并以代替該公式中的，得#第8頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五因為在內(nèi)而在球面上

因此同理可得第9頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五將此兩式代入(#)可得現(xiàn)在令

則得第10頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五(ii)牛曼內(nèi)問題有解的必要條件設(shè)是在以為邊界的區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，為所給的調(diào)和函數(shù)，取，就得到上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在公式(6.9)中取在由此可得牛曼內(nèi)問題有解的必要條件為函數(shù)滿足

第11頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五(iii)平均值公式設(shè)函數(shù)在某區(qū)域內(nèi)是調(diào)和的，是內(nèi)任一點(diǎn)，表示以為中心，以為半徑，且完全落在區(qū)域內(nèi)部的球面，則成立下列平均值公式證明

將調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式應(yīng)用于球面

且有第12頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五(iv)拉普拉斯方程解的唯一性問題即證

利用格林公式討論拉普拉斯方程解的唯一性問題，可以證明如下的結(jié)論：（1）狄利克萊問題的解是唯一確定的；（2）牛曼問題的解除了相差一常數(shù)外也是唯一確定的.第13頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五以

表示定解問題的兩個解，則它們的差

必是原問題滿足零邊界條件的解，對于狄氏問題，滿足（*）對于牛曼問題，滿足（**）第14頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五在格林第一公式中取

則得由條件(*)或(**)得故在

內(nèi)必有

對于狄氏問題，由第15頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五6．3格林函數(shù)在格林第二公式中取

均為調(diào)和函數(shù)，則得

將上式與積分表達(dá)式相減得如果能選取調(diào)和函數(shù)

使?jié)M足

第16頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五于是有令則

第17頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五稱為拉普拉斯方程的格林函數(shù).如果格林函數(shù)一經(jīng)求得，并且它在閉區(qū)域

內(nèi)存在連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則狄氏問題的解若存在，這個解必然能表示為第18頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五對于泊松方程的狄氏問題而言，若存在解，這個解必可表示為求解拉普拉斯方程或泊松方程的狄氏問題就轉(zhuǎn)化為求此區(qū)域內(nèi)的格林函數(shù).第19頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五6．4兩種特殊區(qū)域的格林函數(shù)及狄氏問題的解6.4.1半空間的格林函數(shù)求解：首先找格林函數(shù)

在半空間

的

點(diǎn)置

單位正電荷，

并找出

第20頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五關(guān)于

平面的對稱點(diǎn)

如圖：在

點(diǎn)置

單位負(fù)電荷，

第21頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五則它與點(diǎn)的單位正電荷所產(chǎn)生上互相抵消，因此的電位在平面就是半空間的格林函數(shù).計算

第22頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五

第23頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五

第24頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五

6.4.2球域的格林函數(shù)設(shè)有一球心在原點(diǎn)，半徑為

的球面

在球內(nèi)連并延長至使任取一點(diǎn)點(diǎn)稱為關(guān)于球面的反演點(diǎn)

第25頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五以表示，則與是相似的，從而有

即球域的格林函數(shù)為第26頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五現(xiàn)在利用格林函數(shù)求球域內(nèi)的狄氏問題的解，

注意到于是第27頁，共32頁，2023年，2月20日，星期五在球面

上，

第28頁，共32頁，