第六章近似方法§1引言§2非簡并定態(tài)微擾理論§3簡并微擾理論§4變分法§1§2§3§4返回（一）近似方法的重要性

前幾章介紹了量子力學(xué)的基本理論，使用這些理論解決了一些簡單問題。如：（1）一維無限深勢阱問題；（2）線性諧振子問題；（3）勢壘貫穿問題；（4）氫原子問題。 這些問題都給出了問題的精確解析解。 然而，對于大量的實際物理問題，Schrodinger方程能有精確解的情況很少。通常體系的Hamilton量是比較復(fù)雜的，往往不能精確求解。因此，在處理復(fù)雜的實際問題時，量子力學(xué)求問題近似解的方法（簡稱近似方法）就顯得特別重要?！?引言返回（二）近似方法的出發(fā)點近似方法通常是從簡單問題的精確解（解析解）出發(fā)，來求較復(fù)雜問題的近似（解析）解。（三）近似解問題分為兩類（1）體系Hamilton量不是時間的顯函數(shù)——定態(tài)問題1.定態(tài)微擾論；2.變分法。（2）體系Hamilton量顯含時間——狀態(tài)之間的躍遷問題1.與時間t有關(guān)的微擾理論；2.常微擾?！?非簡并定態(tài)微擾理論返回（一）微擾體系方程（二）態(tài)矢和能量的一級修正（三）能量的二階修正（四）微擾理論適用條件（五）討論（六）實例

微擾法不是量子力學(xué)所特有的方法，在處理天體運行的天體物理學(xué)中，計算行星運行軌道時，就是使用微擾方法。計算中需要考慮其他行星影響的二級效應(yīng)。 例如，地球受萬有引力作用繞太陽轉(zhuǎn)動，可是由于其它行星的影響，其軌道需要予以修正。在這種情況下，計算所使用的方法是：首先把太陽和地球作為二體系統(tǒng)，求出其軌道，然后研究這個軌道受其它行星的影響而發(fā)生的變化?？删_求解的體系叫做未微擾體系，待求解的體系叫做微擾體系。假設(shè)體系Hamilton量不顯含時間，而且可分為兩部分：（一）微擾體系方程

H(0)

所描寫的體系是可以精確求解的，其本征值En(0)

，本征矢|ψn(0)>滿足如下本征方程：另一部分H’是很小的（很小的物理意義將在下面討論）可以看作加于H(0)

上的微小擾動?，F(xiàn)在的問題是如何求解微擾后Hamilton量H的本征值和本征矢，即如何求解整個體系的Schrodinger方程：當(dāng)H’=0時，|ψn>=|ψn

(0)>,En=En

(0)

；當(dāng)H’≠0時，引入微擾，使體系能級發(fā)生移動，由En

(0)→En，狀態(tài)由|ψn

(0)>→|ψn>。為了明顯表示出微擾的微小程度，將其寫為：其中λ是很小的實數(shù)，表征微擾程度的參量。因為En、|ψn>都與微擾有關(guān)，可以把它們看成是λ的函數(shù)而將其展開成λ的冪級數(shù)：其中En(0),λEn(1),λ2En(1),...分別是能量的0級近似，能量的一級修正和二級修正等；而|ψn

(0)>,λ|ψn

(1)>,λ2|ψn

(2)>,...分別是狀態(tài)矢量0級近似，一級修正和二級修正等。代入Schrodinger方程得：乘開得：根據(jù)等式兩邊λ同冪次的系數(shù)應(yīng)該相等，可得到如下一系列方程式:整理后得：上面的第一式就是H(0)的本征方程，第二、三式分別是|ψn(1)>和|ψn(2)>所滿足的方程，由此可解得能量和態(tài)矢的第一、二級修正。現(xiàn)在我們借助于未微擾體系的態(tài)矢|ψn(0)>和本征能量En(0)來導(dǎo)出擾動后的態(tài)矢|ψn

>和能量En的表達(dá)式。(1)能量一級修正λEn(1)根據(jù)力學(xué)量本征矢的完備性假定，H(0)的本征矢|ψn(0)>是完備的，任何態(tài)矢量都可按其展開，|ψn(1)>也不例外。因此我們可以將態(tài)矢的一級修正展開為：akn(1)=<ψk(0)|ψn(1)>代回前面的第二式并計及第一式得：左乘<ψm(0)|（二）態(tài)矢和能量的一級修正考慮到本征基矢的正交歸一性：考慮兩種情況1.m=n2.m≠n準(zhǔn)確到一階微擾的體系能量：其中能量的一級修正等于微擾Hamilton量在0級態(tài)矢中的平均值（2）態(tài)矢的一級修正|ψn(1)>為了求出體系態(tài)矢的一級修正，我們先利用擾動態(tài)矢|ψn>的歸一化條件證明上式展開系數(shù)中ann(1)=0（可以取為0）?；趞ψn>的歸一化條件并考慮上面的展開式，證：由于歸一，所以ann

(1)

的實部為0。ann

(1)是一個純虛數(shù)，故可令ann

(1)=i

（為實）。

上式結(jié)果表明，展開式中，ann(1)|ψn(0)>項的存在只不過是使整個態(tài)矢量|ψn>增加了一個相因子，這是無關(guān)緊要的。所以我們可取

=0，即ann(1)=0。這樣一來，與求態(tài)矢的一階修正一樣，將|ψn(2)>按|ψn(0)>展開：與|ψn(1)>展開式一起代入關(guān)于2的第三式（三）能量的二階修正左乘態(tài)矢

<ψm(0)|1.當(dāng)m=n時在推導(dǎo)中使用了微擾矩陣的厄密性正交歸一性2.當(dāng)m≠n時能量的二級修正在計及二階修正后，擾動體系能量本征值由下式給出：總結(jié)上述，在非簡并情況下，受擾動體系的能量和態(tài)矢量分別由下式給出：欲使二式有意義，則要求二級數(shù)收斂。由于不知道級數(shù)的一般項，無法判斷級數(shù)的收斂性，我們只能要求級數(shù)已知項中，后項遠(yuǎn)小于前項。由此我們得到微擾理論適用條件是：這就是本節(jié)開始時提到的關(guān)于H’

很小的明確表示式。當(dāng)這一條件被滿足時，由上式計算得到的一級修正通?？山o出相當(dāng)精確的結(jié)果。（四）微擾理論適用條件微擾適用條件表明：（2）|En(0)

–Ek(0)|要大，即能級間距要寬。例如：在庫侖場中，體系能量（能級）與量子數(shù)n2成反比，即En=-μZ2e2/22n2(n=1,2,3,...)由上式可見，當(dāng)n大時，能級間距變小，因此微擾理論不適用于計算高能級（n大）的修正，而只適用于計算低能級（n?。┑男拚?。（1）|H’kn|=|<ψk(0)|H’|ψn(0)>|要小，即微擾矩陣元要?。槐砻鲾_動態(tài)矢|ψn>可以看成是未擾動態(tài)矢|ψk(0)>的線性疊加。（2）展開系數(shù)H’kn/(En(0)-Ek(0))表明第k個未擾動態(tài)矢|ψk(0)>對第n個擾動態(tài)矢|ψn>的貢獻(xiàn)有多大。展開系數(shù)反比于擾動前狀態(tài)間的能量間隔，所以能量最接近的態(tài)|ψk(0)>混合的也越強。因此態(tài)矢一階修正無須計算無限多項。（3）由En=En(0)+Hnn可知，擾動后體系能量是由擾動前第n態(tài)能量En(0)加上微擾Hamilton量H’在未微擾態(tài)|ψn(0)>中的平均值組成。該值可能是正或負(fù)，引起原來能級上移或下移。（4）對滿足適用條件微擾的問題，通常只求一階微擾其精度就足夠了。如果一級能量修正H’nn=0就需要求二級修正，態(tài)矢求到一級修正即可。（5）在推導(dǎo)微擾理論的過程中，我們引入了小量λ，令：H’=λH(1)只是為了便于將擾動后的定態(tài)Schrodinger方程能夠按λ的冪次分出各階修正態(tài)矢所滿足的方程，僅此而已。一旦得到了各階方程后，λ就可不用再明顯寫出，把H(1)

理解為H’

即可，因此在以后討論中，就不再明確寫出這一小量。（1）在一階近似下：（五）討論例1.一電荷為e的線性諧振子，受恒定弱電場ε作用。電場沿x正向，用微擾法求體系的定態(tài)能量和波函數(shù)。解：（1）電諧振子Hamilton量將Hamilton量分成H0+H’

兩部分，在弱電場下，上式最后一項很小，可看成微擾。（2）寫出H0的本征值和本征函數(shù)E(0),ψn(0)（3）計算En(1)上式積分等于0是因為被積函數(shù)為奇函數(shù)所致。（六）實例（4）計算能量 二級修正欲計算能量二級修正，首先應(yīng)計算H’kn矩陣元。利用線性諧振子本征函數(shù)的遞推公式：對諧振子有；En(0)-En-1(0)=ω,En(0)-En+1(0)=-ω，代入由此式可知，能級移動與n無關(guān)，即與擾動前振子的狀態(tài)無關(guān)。（6）討論：1.電諧振子問題亦可在粒子數(shù)表象中求解微擾矩陣元計算二級修正：代入能量二級修正公式：2.電諧振子的精確解實際上這個問題是可以精確求解的，只要我們將體系Hamilton量作以下整理：其中x’=x–[eε/μω2]，可見，體系仍是一個線性諧振子。它的每一個能級都比無電場時的線性諧振子的相應(yīng)能級低{e2ε2/2μω2}，而平衡點向右移動了{(lán)eε/μω2}距離。

由于勢場不再具有空間反射對稱性，所以波函數(shù)沒有確定的宇稱。這一點可以從下式擾動后的波函數(shù)ψn已變成ψn(0),ψn+1(0),ψn-1(0)的疊加看出。例2.設(shè)Hamilton量的矩陣形式為：（1）設(shè)c<<1，應(yīng)用微擾論求H本征值到二級近似；（2）求H的精確本征值；（3）在怎樣條件下，上面二結(jié)果一致。解：（1）c<<1，可取0級和微擾Hamilton量分別為：H0是對角矩陣，是HamiltonH0在自身表象中的形式。所以能量的0級近似為：E1(0)=1E2(0)=3E3(0)=-2由非簡并微擾公式得能量一級修正：能量二級修正為：準(zhǔn)確到二級近似的能量本征值為：設(shè)H的本征值是E，由久期方程可解得：解得：(3)將準(zhǔn)確解按c(<<1)展開：

比較（1）和（2）之解，可知，微擾論二級近似結(jié)果與精確解展開式不計c4及以后高階項的結(jié)果相同。(2)精確解：第六章近似方法（一）簡并微擾理論（二）實例（三）討論§3簡并微擾理論返回假設(shè)En(0)是簡并的，那末屬于H(0)的本征值En(0)有k個歸一化本征函數(shù)：|n1>,|n2>,......,|nk><n|n>=滿足本征方程：于是我們就不知道在k個本征函數(shù)中究竟應(yīng)取哪一個作為微擾波函數(shù)的0級近似。所以在簡并情況下，首先要解決的問題是如何選取0級近似波函數(shù)的問題，然后才是求能量和波函數(shù)的各級修正。0級近似波函數(shù)肯定應(yīng)從這k個|n>中挑選，而它應(yīng)滿足上節(jié)按冪次分類得到的方程：共軛方程（一）簡并微擾理論根據(jù)這個條件，我們選取0級近似波函數(shù)|ψn(0)>的最好方法是將其表示成k個|n>的線性組合，因為反正0級近似波函數(shù)要在|n>(=1,2,...,k)中挑選。|ψn(0)>已是正交歸一化系數(shù)c

由一次冪方程定出左乘<n|得：得：上式是以展開系數(shù)c為未知數(shù)的齊次線性方程組，它有不含為零解的條件是系數(shù)行列式為零，即

解此久期方程可得能量的一級修正En(1)的k個根：En(1),=1,2,...,k.因為En=En(0)+E(1)n

所以，若這k個根都不相等，那末一級微擾就可以將k度簡并完全消除；若En(1)有幾個重根，則表明簡并只是部分消除，必須進(jìn)一步考慮二級修正才有可能使能級完全分裂開來。為了確定能量En

所對應(yīng)的0級近似波函數(shù)，可以把E(1)n

之值代入線性方程組從而解得一組c(=1,2,...,k.)系數(shù)，將該組系數(shù)代回展開式就能夠得到相應(yīng)的0級近似波函數(shù)。為了能表示出c

是對應(yīng)與第

個能量一級修正En

(1)的一組系數(shù)，我們在其上加上角標(biāo)

而改寫成c

。這樣一來，線性方程組就改寫成：例1.氫原子一級Stark效應(yīng)（1）Stark效應(yīng)氫原子在外電場作用下產(chǎn)生譜線分裂現(xiàn)象稱為Stark效應(yīng)。我們知道電子在氫原子中受到球?qū)ΨQ庫侖場作用，造成第n個能級有n2度簡并。但是當(dāng)加入外電場后，由于勢場對稱性受到破壞，能級發(fā)生分裂，簡并部分被消除。Stark效應(yīng)可以用簡并情況下的微擾理論予以解釋。（2）外電場下氫原子Hamilton量取外電場沿z正向。通常外電場強度比原子內(nèi)部電場強度小得多，例如,強電場≈107伏/米，而原子內(nèi)部電場≈1011

伏/米，二者相差4個量級。所以我們可以把外電場的影響作為微擾處理。（二）實例（3）H0的本征值和本征函數(shù)下面我們只討論n=2的情況，這時簡并度n2=4。屬于該能級的4個簡并態(tài)是：（4）求H’

在各態(tài)中的矩陣元由簡并微擾理論知,求解久期方程,須先計算出微擾Hamilton量H’

在以上各態(tài)的矩陣元。我們碰到角積分<Yl'm'|cosθ|Ylm>需要利用如下公式：于是:欲使上式不為0，由球諧函數(shù)正交歸一性要求量子數(shù)必須滿足如下條件：僅當(dāng)Δ=±1,Δm=0時，H’的矩陣元才不為0。因此矩陣元中只有H’12,H’21不等于0。因為所以（5）能量一級修正將H’

的矩陣元代入久期方程：解得4個根：由此可見，在外場作用下，原來4度簡并的能級E2(0)在一級修正下，被分裂成3條能級，簡并部分消除。當(dāng)躍遷發(fā)生時，原來的一條譜線就變成了3條譜線。其頻率一條與原來相同，另外兩條中一條稍高于一條稍低于原來頻率。（6）求0級近似波函數(shù)分別將E2(1)的4個值代入方程組：得四元一次線性方程組E2(1)=E21

(1)=3eεa0

代入上面方程，得：所以相應(yīng)于能級E2(0)+3eεa0的0級近似波函數(shù)是：E2(1)=E22(1)=-3eεa0

代入上面方程，得：所以相應(yīng)于能級E(0)2-3eεa0的0級近似波函數(shù)是：E2(1)=E23(1)=E24(1)=0，代入上面方程，得：因此相應(yīng)與E2(0)的0級近似波函數(shù)可以按如下方式構(gòu)成：我們不妨仍取原來的0級波函數(shù)，即令：（7）討論上述結(jié)果表明，若氫原子處于0級近似態(tài)ψ1(0),ψ2(0),ψ3(0),ψ4(0),那末，氫原子就好象具有了大小為3ea0的永久電偶極矩一般。對于處在ψ1(0),ψ2(0)態(tài)的氫原子，其電矩取向分別與電場方向平行和反平行；而對于處在ψ3(0),ψ4(0)態(tài)的氫原子，其電矩取向分別與電場方向垂直。例2.有一粒子，其Hamilton量的矩陣形式為：H=H0+H’， 其中求能級的一級近似和波函數(shù)的0級近似。解：H0的本征值問題是三重簡并的，這是一個簡并微擾問題。E(1)[(E(1))2-α2]=0解得：E(1)=0,±α.記為：E1(1)=-αE2(1)=0E3(1)=+α故能級一級近似：簡并完全消除(1)求本征能量由久期方程|H’-E(1)I|=0得：(2)求解0級近似波函數(shù)將E1(1)=–α代入方程，得：由歸一化條件：則將E2(1)=0代入方程，得：則由歸一化條件：（1）新0級波函數(shù)的正交歸一性1.正交性取復(fù)共厄改記求和指標(biāo)，

，

（三）討論對應(yīng)于En=En(0)+En(1)和En=En(0)+En(1)的0級近似本征函數(shù)分別為：由(3)式上式表明，新0級近似波函數(shù)滿足正交條件。2.歸一性對于同一能量，即角標(biāo)

=，則上式變?yōu)椋篍q.(3)和Eq.(4)合記之為：由于新0級近似波函數(shù)應(yīng)滿足歸一化條件，（2）在新0級近似波函數(shù)|ψn(0)>為基矢的k維子空間中，H’從 而H的矩陣形式是對角化的。證：上式最后一步利用了Eq.(5)關(guān)系式。所以H’在新0級近似波函數(shù)為基矢的表象中是對角化的。[證畢]因為H0在自身表象中是對角化的，所以在新0級近似波函數(shù)為基矢的表象中也是對角化的。當(dāng)

=

時，上式給出如下關(guān)系式：也就是說，能量一級修正是H’在新0級波函數(shù)中的平均值。這一結(jié)論也是預(yù)料之中的事。求解簡并微擾問題，從本質(zhì)上講就是尋找一么正變換矩陣S，使H’從而

H對角化。求解久期方程和線性方程組就是尋找這一么正變換矩陣的方法。例如：前面講到的例2應(yīng)用簡并微擾論解得的新0級近似波函數(shù)是：這是新0級近似波函數(shù)在原簡并波函數(shù)φii=1,2,3.為基矢所張開的子空間中的矩陣表示，即我們求解就是為了尋找一個么正變換S，使原來的H=H0+H’

在以φi

為基矢的表象中的表示變到ψ(0)為基矢的表象中，從而使H對角化。根據(jù)表象理論，若ψ(0)在以φi為基矢的表象中的形式由下式給出，則由φ表象到ψ(0)表象的么正變換矩陣為：其逆矩陣H’從φ表象變到ψ(0)表象由下式給出：假定H0的本征函數(shù)n滿足：H0的定態(tài)波函數(shù)可以寫為：n=nexp[-iεnt/]滿足左邊含時S-方程：定態(tài)波函數(shù)n構(gòu)成正交完備系，整個體系的波函數(shù)可按n展開：代入因H’(t)不含對時間t的偏導(dǎo)數(shù)算符,故可與an(t)對易。相消（二）含時微擾理論以m*左乘上式后對全空間積分該式是通過展開式改寫而成的Schrodinger方程的另一種形式。仍是嚴(yán)格的。求解方法同定態(tài)微擾中使用的方法：（1）引進(jìn)一個參量，用

H’代替H’（在最后結(jié)果中再令

=1）；（2）將an(t)展開成下列冪級數(shù)；（3）代入上式并按冪次分類；(4)解這組方程，我們可得到關(guān)于an

的各級近似解，近而得到波函數(shù)的近似解。實際上，大多數(shù)情況下，只求一級近似就足夠了。（最后令

=1，即用H’mn代替

H’mn，用am(1)代替am(1)。）零級近似波函數(shù)am(0)不隨時間變化，它由未微擾時體系所處的初始狀態(tài)所決定。假定t0時，體系處于H0的第k個本征態(tài)k。而且由于exp[-int/]|t=0=1，于是有：比較等式兩邊得比較等號兩邊同冪次項得：因an(0)不隨時間變化，所以an(0)(t)=an(0)(0)=nk。t0后加入微擾，則第一級近似：an(0)(t)=nk§2量子躍遷幾率返回（一）躍遷幾率（二）一階常微擾（三）簡諧微擾（四）實例（五）能量和時間測不準(zhǔn)關(guān)系體系的某一狀態(tài)t時刻發(fā)現(xiàn)體系處于m

態(tài)的幾率等于|am(t)|2am(0)(t)=mk末態(tài)不等于初態(tài)時mk=0，則所以體系在微擾作用下由初態(tài)k躍遷到末態(tài)m的幾率在一級近似下為：（一）躍遷幾率（1）含時Hamilton量設(shè)H’

在0tt1這段時間之內(nèi)不為零，但與時間無關(guān)，即：（2）一級微擾近似am(1)H’mk與t無關(guān)(0tt1)（二）一階常微擾（3）躍遷幾率和躍遷速率極限公式：則當(dāng)t→∞時上式右第二個分式有如下極限值：于是：躍遷速率：（4）討論1.上式表明，對于常微擾，在作用時間相當(dāng)長的情況下，躍遷速率將與時間無關(guān)，且僅在能量εm≈εk，即在初態(tài)能量的小范圍內(nèi)才有較顯著的躍遷幾率。在常微擾下，體系將躍遷到與初態(tài)能量相同的末態(tài)，也就是說末態(tài)是與初態(tài)不同的狀態(tài)，但能量是相同的。2.式中的δ(εm-εk)反映了躍遷過程的能量守恒。3.黃金定則設(shè)體系在εm附近dεm范圍內(nèi)的能態(tài)數(shù)目是ρ(εm)dεm，則躍遷到εm附近一系列可能末態(tài)的躍遷速率為：（1）Hamilton量t=0時加入一個簡諧振動的微小擾動：為便于討論，將上式改寫成如下形式F是與t無關(guān)只與r有關(guān)的算符（2）求am(1)(t)H’(t)在H0的第k個和第m個本征態(tài)φk和φm之間的微擾矩陣元是：（三）簡諧微擾（2）幾點分析(I)當(dāng)ω=ωmk時，微擾頻率ω與Bohr頻率相等時，上式第二項分子分母皆為零。求其極限得：第二項起主要作用(II)當(dāng)ω=ωmk時，同理有：第一項起主要作用(III)當(dāng)ω≠±ωmk時，兩項都不隨時間增大

總之，僅當(dāng)ω=±ωmk=±(εm

–εk)/

或εm=εk±ω時，出現(xiàn)明顯躍遷。這就是說，僅當(dāng)外界微擾含有頻率ωmk時，體系才能從φk態(tài)躍遷到φm態(tài)，這時體系吸收或發(fā)射的能量是ωmk。這說明我們討論的躍遷是一種共振現(xiàn)象。 因此我們只需討論ω≈±ωmk的情況即可。（3）躍遷幾率當(dāng)ω=ωmk

時，略去第一項，則此式與常微擾情況的表達(dá)式類似，只需作代換：H'mk→Fmk,ωmk→ωmk-ω，常微擾的結(jié)果就可直接引用，于是得簡諧微擾情況下的躍遷幾率為：同理，對于ω=-ωmk

有：二式合記之：（4）躍遷速率或：（5）討論1.δ(εm-εk±ω)描寫了能量守恒：εm-εk±ω=0。2.εk>εm時，躍遷速率可寫為：也就是說，僅當(dāng)εm=εk-ω時躍遷幾率才不為零，此時發(fā)射能量為ω的光子。3.當(dāng)εk<εm時，4.將式中角標(biāo)m,k對調(diào)并注意到F的厄密性，即得體系 由m態(tài)到k態(tài)的躍遷幾率：即體系由Φm→Φk的躍遷幾率等于由Φk→Φm的躍遷幾率。例1.設(shè)t=0時，電荷為e的線性諧振子處于基態(tài)。在t>0時，附加一與振子振動方向相同的恒定外電場，求諧振子處在任意態(tài)的幾率。解：t=0時，振子處于基態(tài)，即k=0。式中m,1符號表明，只有當(dāng)m=1時，am(1)(t)≠0，（四）實例所以結(jié)論：外加電場后，諧振子從基態(tài)ψ0躍遷到ψ1態(tài)的幾 率是W0→1，而從基態(tài)躍遷到其他態(tài)的幾率為零。例2.量子體系其本征能量為：E0,E1,...,En,...，相應(yīng)本征態(tài)分別是：|0>,|1>,...,|n>,...，在t≤0時處于基態(tài)。在t=0時刻加上微擾：試證：長時間后，該體系處于另一能量本征態(tài)|1> 的幾率為：并指出成立的條件。證：因為

m=1,k=0，所以：代入上式得：當(dāng)t→∞(t>>τ)時：此式成立條件就是微擾法成立條件，|a1(1)|2<<1，即現(xiàn)在討論初態(tài)Φk是分立的，末態(tài)Φm是連續(xù)的情況(εm>εk)。在t≥t1時刻，Φk→Φm的躍遷幾率則為：（1）由圖可見，躍遷幾率的貢獻(xiàn)主要來自主峰范圍內(nèi)，即在-2π/t1<ωmk

–ω<2π/t1區(qū)間躍遷幾率明顯不為零，而此區(qū)間外幾率很小。2/t4/t-2/t-4/tmk-|Fmk|2t/2Wkm0（五）能量和時間測不準(zhǔn)關(guān)系（2）能量守恒不嚴(yán)格成立，即在躍遷過程中，εm=εk+ω或ωmk=ω不嚴(yán)格成立，它們只是在上圖原點處嚴(yán)格成立。因為在區(qū)間[-2π/t1,2π/t1]，躍遷幾率都不為零，所以既可能有ωmk=ω，也可能有ω-2π/t1<ωmk<ω+2π/t1。上面不等式兩邊相減得：Δωmk≈(1/t1)也就是說ωmk有一個不確定范圍。由于k能級是分立的，εk是確定的，注意到ωmk=1/(εm-εk)，所以ωmk的不確定來自于末態(tài)能量εm的不確定，即：若微擾過程看成是測量末態(tài)能量εm的過程，t1是測量的時間間隔，那末上式表明，能量的不確定范圍Δεm與時間間隔之積有的數(shù)量級。上式有著普遍意義，一般情況下，當(dāng)測量時間為Δt，所測得的能量不確定范圍為ΔE時，則二者有如下關(guān)系：此式稱為能量和時間的測不準(zhǔn)關(guān)系。由此式可知，測量能量越準(zhǔn)確（ΔE?。?，則用于測量的時間Δt就越長。 (一)引言（二）光的吸收與受激發(fā)射（三）選擇定則（四）自發(fā)輻射（五）微波量子放大器和激光器§3光的發(fā)射和吸收返回光的吸收和受激發(fā)射：在光的照射下，原子可能吸收光而從較低能級躍遷到較高能級，反之亦反，我們分別稱之為光的吸收和受激發(fā)射。自發(fā)輻射：若原子處于較高能級（激發(fā)態(tài)），即使沒有外界光照射，也能躍遷到較低能級而發(fā)射光子的現(xiàn)象稱為自發(fā)輻射。對于原子和光的相互作用（吸收和發(fā)射）所產(chǎn)生的現(xiàn)象，徹底地用量子理論解釋，屬于量子電動力學(xué)的范圍，這里不作討論。本節(jié)采用較簡單地形式研究這個問題。光吸收發(fā)射的半徑典處理：（1）對于原子體系用量子力學(xué)處理；（2）對于光用經(jīng)典理論處理，即把光看成是電磁波。這樣簡單化討論只能解釋吸收和受激發(fā)射而不能解釋自發(fā)輻射。(一)引言（1）兩點近似1.忽略光波中磁場的作用照射在原子上的光波，其電場E和磁場B對原子中電子的作用分別為（CGS）：二者之比：即，光波中磁場與電場對電子作用能之比，近似等于精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)α，所以磁場作用可以忽略。BE（二）光的吸收與受激發(fā)射2.電場近似均勻考慮沿z軸傳播的單色偏振光，即其電場可以表示為：電場對電子的作用僅存在于電子活動的空間，即原子內(nèi)部。所以我們所討論的問題中，z的變化范圍就是原子尺度≈a≈10-10m，而λ≈10-6m。故電場中的可略于是光波電場可改寫為：所以在原子范圍內(nèi)可以近似認(rèn)為電場是均勻的。（2）微擾Hamilton量電子在上述電場中的電勢能是：（3）求躍遷速率ωk→m(I)對光的吸收情況，εk<εm。單位時間由 Φk

態(tài)躍遷到Φm

態(tài)的幾率用下式給出：(II)求E0根據(jù)電動力學(xué)，光波能量密度(CGS)平均是對一個周期進(jìn)行(III)

躍遷速率（4）自然光情況上式適用條件：單色偏振光，即一個頻率，一個方向（x向電場）。對自然光：非單色、非偏振光，我們必須作如下兩點改進(jìn)。（I）去掉單色條件考慮在某一頻率范圍連續(xù)分布的光，能量密度是ω的函數(shù)--I(ω)。在ω→ω+dω間隔內(nèi)，其能量密度為：I(ω)dω，所以（II）去掉偏振光條件對各向同性的非偏振光，原子體系在單位時間內(nèi)由Φk→Φm態(tài)的躍遷幾率應(yīng)該是上式對所有偏振方向求平均，即：這是我們略去了光波中磁場的作用，并將電場近似地用Ex=E0cosωt表示后得到的結(jié)果，這種近似稱為偶極近似。上式是吸收情況，對于受激發(fā)射情況，同理可得：（1）禁戒躍遷從上面的討論可知，原子在光波作用下由Φk

態(tài)躍遷到Φm

態(tài)的幾率：禁戒躍遷：

當(dāng)|rmk|2=0時，在偶極近似下，躍遷幾率等于零，即躍遷不能發(fā)生。我們稱這種不能實現(xiàn)的躍遷為禁戒躍遷。

顯然，要實現(xiàn)Φk→Φm的躍遷，必須滿足|rmk|2≠0的條件，或|xmk|,|ymk|,|zmk|不同時為零。由此我們導(dǎo)出光譜線的選擇定則。（2）選擇定則(I)波函數(shù)和rmk在原子有心力場中運動的電子波函數(shù)Ψnlm=Rnl(r)Ylm(,)=|nlm>=|nl>|lm>（三）選擇定則為方便計，在球坐標(biāo)下計算矢量r的矩陣元。于是可見矩陣元計算分為兩類：(II)計算<l'm'|cosθ|lm>利用球諧函數(shù)的性質(zhì)I：則積分欲使矩陣元不為零，則要求：(III)計算<l'm'|sine±i|lm>利用球諧函數(shù)的性質(zhì)II：則積分欲使矩陣元不為零，則要求：(IV)選擇定則綜合(II)、(III)兩點得偶極躍遷選擇定則：

這就是電偶極輻射角量子數(shù)和磁量子數(shù)得選擇定則，在量子力學(xué)建立之前，它是通過光譜分析中總結(jié)出來的經(jīng)驗規(guī)則。徑向積分<n’l’|r|nl>在n、n'取任何數(shù)值時均不為零，所以關(guān)于主量子數(shù)沒有選擇定則。（3）嚴(yán)格禁戒躍遷

若偶極躍遷幾率為零，則需要計算比偶極近似更高級的近似。在任何級近似下，躍遷幾率都為零的躍遷稱為嚴(yán)格禁戒躍遷。光輻射、吸收光子產(chǎn)生與湮滅量子電動力學(xué)電磁場量子化在前面的討論中，我們將光子產(chǎn)生與湮滅問題轉(zhuǎn)化為在電磁場作用下原子在不同能級之間的躍遷問題，從而用非相對論量子力學(xué)進(jìn)行了研究。這種簡化的物理圖象不能合理自恰的解釋自發(fā)發(fā)射現(xiàn)象這是因為，若初始時刻體系處于某一定態(tài)（例如某激發(fā)能級），根據(jù)量子力學(xué)基本原理，在沒有外界作用下，原子的Hamilton是守恒量，原子應(yīng)該保持在該定態(tài)，是不會躍遷到較低的能級上去的。 Einstein曾提出了一個半唯象的理論，來簡化處理自發(fā)發(fā)射問題。他借助于物體與輻射場在達(dá)到平衡時的熱力學(xué)關(guān)系，建立了自發(fā)發(fā)射與吸收及受激發(fā)射之間的關(guān)系。（四）自發(fā)輻射（1）吸收系數(shù)設(shè)原子在強度為I(ω)的光照射下，從Φk

態(tài)到Φm

態(tài)（εm>εk）的躍遷速率為：吸收系數(shù)與微擾論得到的公式比較得：（2）受激發(fā)射系數(shù)對于從Φm態(tài)到Φk態(tài)（εm>εk）的受激發(fā)射躍遷速率，Einstein類似給出：受激發(fā)射系數(shù)與相應(yīng)得微擾論公式比較得：由于r是厄密算符，所以從而有：受激發(fā)射系數(shù)等于吸收系數(shù)，它們與入射光的強度無關(guān)。（3）自發(fā)發(fā)射系數(shù)1.自發(fā)發(fā)射系數(shù)Amk的意義2.Amk，Bmk和Bkm之間的關(guān)系在光波作用下，單位時間內(nèi)，體系從εm能級躍遷到εk能級的幾率是：從εk能級躍遷到εm能級的幾率是：自發(fā)發(fā)射受激發(fā)射當(dāng)這些原子與電磁輻射在絕對溫度T下處于平衡時，必須滿足右式條件：自發(fā)發(fā)射系數(shù)的物理意義：在沒有外界光地照射下，單位時間內(nèi)原子從Φm態(tài)到Φk態(tài)（εm>εk）的躍遷幾率。εk能級上的原子的數(shù)目εm能級上的原子的數(shù)目3.求能量密度由上式可以解得能量密度表示式：Bkm=Bmk求原子數(shù)Nk和Nm據(jù)麥克斯韋--玻爾