6.1

一維周期勢場中電子的波函數(shù)應(yīng)滿足Bloch定理若晶格常數(shù)為a，電子的波函數(shù)是：a)c)b)f

是某個確定的函數(shù)。試求出電子在這些狀態(tài)時的波矢k。且a=4b，是常數(shù)。1)畫出此勢能曲線，并計算勢能的平均值；2)用近自由電子模型，計算晶體的第一個和第二個帶隙寬度

6.2電子在周期場中的勢能函數(shù)解：（1）

勢能的平均值勢能的平均值令在近自由電子近似模型中，勢能函數(shù)的第n個傅里葉系數(shù)

第一個帶隙寬度第二個帶隙寬度6.3設(shè)有二維正方晶格，晶體勢場為用近自由電子近似的微擾論，近似求出布里淵區(qū)頂角處（/a

，/a

）的能隙。解：Un：面心立方晶格

——s態(tài)原子能級相對應(yīng)的能帶函數(shù)6.3用緊束縛近似求出面心立方晶格和體心立方晶格s態(tài)原子能級相對應(yīng)的能帶

函數(shù)——任選取一個格點為原點——最近鄰格點有12個——s原子態(tài)波函數(shù)具有球?qū)ΨQ性12個最鄰近格點的位置——類似的表示共有12項——歸并化簡后得到面心立方s態(tài)原子能級相對應(yīng)的能帶——對于體心立方格子，任選取一個格點為原點——有8個最鄰近格點——最近鄰格點的位置——類似的表示共有8項——歸并化簡后得到體心立方s態(tài)原子能級相對應(yīng)的能帶

只計入最近鄰格點原子的相互作用時，s態(tài)原子能級相對應(yīng)的能帶函數(shù)表示為1)用緊束縛近似方法求出與原子s態(tài)能級相對應(yīng)的能帶函數(shù)2)求出其能態(tài)密度函數(shù)的表達(dá)式3)如每個原子s態(tài)中只有一個電子，計算T=0K時的費密能級和處的能態(tài)密度6.5一維單原子鏈，原子間距a，總長度為L＝Na對于一維情形,任意選取一個格點為原點——有兩個最近鄰的格點，坐標(biāo)為：a和－a能態(tài)密度函數(shù)的計算對于一維格子，波矢為具有相同的能量，此外考慮到電子自旋有2種取向，在dk區(qū)間的狀態(tài)數(shù)能態(tài)密度T=0K的費密能級計算總的電子數(shù)其中T=0K的費密能級T=0K費密能級處的能態(tài)密度6.7

對原子間距為a的由同種原子構(gòu)成的二維密堆積結(jié)構(gòu)，

(1)畫出前3個布里淵區(qū)；

(2)求出每原子有一個自由電子時的費米波矢；

(3)給出第一布里淵區(qū)內(nèi)接圓的半徑；

(4)求出內(nèi)接圓為費米圓時每原子的平均自由電子數(shù)；

(5)平均每原子有兩個自由電子時，在簡約布里淵區(qū)中畫出費米圓的圖形。式中a為晶格常數(shù)。計算:1）電子在波矢k的狀態(tài)時的速度；2）能帶底部和能帶頂部電子的有效質(zhì)量6.11設(shè)一維晶體的電子能帶可以寫成解：電子在波矢k狀態(tài)時的速度電子的有效質(zhì)量能帶底部能帶頂部有效質(zhì)量有效質(zhì)量導(dǎo)出k=0點上的有效質(zhì)量張量，并找出主軸方向。6.13若已知電子的有效質(zhì)量設(shè)矩陣P的本征值為，則解得主軸的取法，要求三個主軸方向可取為5.1設(shè)N個電子組成簡并的自由電子氣，體積V，證明T=0K時有每個電子平均能量金屬中電子總數(shù)證：自由電子能態(tài)密度T=0K時，費米分布函數(shù)電子平均能量5.2He3的自旋為1/2，是費米子。液體He3的絕對零度附近的密度為81Kgm-3，計算費米能EF和費米溫度TF解：He3一個原子含兩個質(zhì)子和一個中子，原子量為3，自由電子數(shù)為2式中n是電子濃度費米能EF為費米溫度TF為5.3

若把Ag看成具有球形費米面的單價金屬，計算以下各量（1）費米能和費米溫度（2）費米球半徑（3）費米速度（4）費米球面的橫截面積（5）在室溫及低溫時電子的平均自由程Ag的密度=10.5g/cm3原子量=107.87電阻率=1.61×10-6

·cm（295K）

0.038×10-6

·cm（20K）解：（1）Ag的費米能為費米溫度為（2）費米球半徑（3）費米速度（4）費米球面的橫截面積（5）在室溫及低溫時電子的平均自由程電子平均自由程為近自由電子近似情況下295K時20K時2.7

在三維晶體中利用德拜模型(ωD

是