三角形的有關(guān)證明1已知：AB=4，AC=2，D是BC中點，111749AD是整數(shù)，求ADAADBC解：延長AD到E,使AD=DE∵D是BC中點∴BD=DC在△ACD和△BDE中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD＜4+21＜AD＜3∴AD=22已知：D是AB中點，∠ACB=90°，求證：DADABC∵DP=DC,DA=DB∴ACBP為平行四邊形又∠ACB=90∴平行四邊形ACBP為矩形∴AB=CP=1/2AB

3已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F(xiàn)是CD中點，求證：∠1=∠2

ABABCDEF21∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴三角形BCF全等于三角形EDF(邊角邊)∴BF=EF,∠CBF=∠DEF連接BE在三角形BEF中,BF=EF∴∠EBF=∠BEF?！摺螦BC=∠AED。∴∠ABE=∠AEB。∴AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴三角形ABF和三角形AEF全等。

∴∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。4已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求證：EF=ACBACDF21E

過C作CG∥EF交AD的延長線于點G

CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD

DE＝DC

∠FDE＝∠GDC（對頂角）

∴△EFD≌△CGD

EF＝CG

∠CGD＝∠EFD

又，EF∥AB

∴，∠EFD＝∠1

∠1=∠2

∴∠CGD＝BACDF21E5已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求證：∠B=2∠CAA證明：延長AB取點E，使AE＝AC，連接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD（SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C6已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE

證明：在AE上取F，使EF＝EB，連接CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB≌△CEF∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE7已知：AB=4，AC=2，D是BC中點，AD是整數(shù)，求ADAADBC解：延長AD到E,使AD=DE

∵D是BC中點

∴BD=DC

在△ACD和△BDE中

AD=DE

∠BDE=∠ADC

BD=DC

∴△ACD≌△BDE

∴AC=BE=2

∵在△ABE中

AB-BE＜AE＜AB+BE

∵AB=4

即4-2＜2AD＜4+2

1＜AD＜3

∴AD=28已知：D是AB中點，∠ACB=90°，求證：DABC

解：延長AD到E,使AD=DE

∵D是BC中點

∴BD=DC

在△ACD和△BDE中

AD=DE

∠BDE=∠ADC

BD=DC

∴△ACD≌△BDE

∴AC=BE=2

∵在△ABE中

AB-BE＜AE＜AB+BE

∵DABC9已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F(xiàn)是CD中點，求證：∠1=∠2AABCDEF21證明：連接BF和EF?！連C=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF?！嗳切蜝CF全等于三角形EDF(邊角邊)?！郆F=EF,∠CBF=∠DEF。連接BE。在三角形BEF中,BF=EF?！唷螮BF=∠BEF。又∵∠ABC=∠AED?！唷螦BE=∠AEB?！郃B=AE。在三角形ABF和三角形AEF中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF?！嗳切蜛BF和三角形AEF全等?！唷螧AF=∠EAF(∠1=∠2)。10已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求證：EF=ACBACDF21E

過C作CG∥EF交AD的延長線于點G

CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD

DE＝DC

∠FDE＝∠GDC（對頂角）

∴△EFD≌△CGD

EF＝CG

∠CGD＝∠EFD

又EF∥AB

∴∠EFD＝∠1

∠1=∠2

∴∠CGD＝BACDF21E11已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求證：∠B=2∠CACACDB證明：延長AB取點E，使AE＝AC，連接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD（SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C12.如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分別平分∠ABC、∠BCD，且點E在AD上。求證：BC=AB+DC。

在BC上截取BF=AB，連接EF而：AC=AB∴△AEC≌△AGB∴EC=BG=DG∴BE=2CE

25、如圖：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求證：△AED≌△BFC。證明：∵DF=CE，

∴DF-EF=CE-EF，

即DE=CF，

在△AED和△BFC中，

∵AD=BC，∠D=∠C，DE=CF

∴△AED≌△BFC（SAS）

26、（10分）如圖：AE、BC交于點M，F(xiàn)點在AM上，BE∥CF，BE=CF。求證：AM是△ABC的中線。證明：∵BE‖CF∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM∵BE=CF∴△BEM≌△CFM∴BM=CM∴AM是△ABC的中線.27、（10分）如圖：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中點。求證：BD⊥AC?！摺鰽BD和△BCD的三條邊都相等

∴△ABD=△BCD∴∠ADB=∠CD

∴∠ADB=∠CDB=90°

∴BD⊥AC28、（10分）AB=AC，DB=DC，F(xiàn)是AD的延長線上的一點。求證：BF=CF在△ABD與△ACD中AB=ACBD=DCAD=AD∴△ABD≌△ACD∴∠ADB=∠ADC∴∠BDF=∠FDC在△BDF與△FDC中BD=DC∠BDF=∠FDCDF=DF∴△FBD≌△FCD∴BF=FC29、（12分）如圖：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求證：AF=DE。∵AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB∴△ABE=△CDF∵∠DCB=∠ABFAB=DCBF=CE△ABF=△CDE∴AF=DE30.公園里有一條“Z”字形道路ABCD，如圖所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F(xiàn)，M，且BE＝CF，M在BC的中點，試說明三只石凳E，F(xiàn)，M恰好在一條直線上.證明：連接EF

∵AB∥CD

∴∠B=∠C

∵M是BC中點

∴BM=CM

在△BEM和△CFM中

BE=CF

∠B=∠C

BM=CM

∴△BEM≌△CFM（SAS）

∴CF=BE

31．已知：點A、F、E、C在同一條直線上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求證：△ABE≌△CDF．∵AF=CE,FE=EF.

∴AE=CF.

∵DF//BE,

∴∠AEB=∠CFD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

∵BE=DF

∴：△ABE≌△CDF（SAS）32.已知：如圖所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分別是DC、BC的中點，求證：AE＝AF。DDBCcAFE連接BD；

∵AB=ADBC=D

∴∠ADB=∠ABD∠CDB=∠ABD;兩角相加，∠ADC=∠ABC；

∵BC=DCE\F是中點

∴DE=BF；

∵AB=ADDE=BF

∠ADC=∠ABC

∴AE=AF。

33．如圖，在四邊形ABCD中，E是AC上的一點，∠1=∠2，∠3=∠4，求證:∠5=∠6．證明：在△ADC，△ABC中∵AC=AC，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA∴△ADC≌△ABC（兩角加一邊）∵AB=AD，BC=CD在△DEC與△BEC中∠BCA=∠DCA，CE=CE，BC=CD∴△DEC≌△BEC（兩邊夾一角）∴∠DEC=∠BEC34．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求證：△ABC≌△DEF．∵AD=DF

∴AC=DF

∵AB//DE

∴∠A=∠EDF

又∵BC//EF

∴∠F=∠BCA

∴△ABC≌△DEF（ASA）35．已知：如圖，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分別為D、E，BD、CE相交于點F，求證：BE=CD．AACBDEF證明：

∵BD⊥AC∴∠BDC=90°∵CE⊥AB∴∠BEC=90°∴∠BDC=∠BEC=90°∵AB=AC

∴∠DCB=∠EBC∴BC=BC

∴Rt△BDC≌Rt△BEC（AAS)

∴BE=CD36如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求證：DE=DF．AEBDCFAEBDCF∴∠EAD=∠FAD∵DE⊥AB，DF⊥AC∴∠BFD=∠CFD=90°∴∠AED與∠AFD=90°在△AED與△AFD中∠EAD=∠FADAD=AD∠AED=∠AFD∴△AED≌△AFD（AAS）∴AE=AF在△AEO與△AFO中∠EAO=∠FAOAO=AOAE=AF∴△AEO≌△AFO（SAS）

∴∠AOE=∠AOF=90°∴AD⊥EF37.已知：如圖,ACBC于C,DEAC于E,ADAB于A,BC=AE．若AB=5,求AD的長？DDCBAE∵AD⊥AB

∴∠BAC=∠ADE

又∵AC⊥BC于C，DE⊥AC于E

根據(jù)三角形角度之和等于180度

∴∠ABC=∠DAE

∵BC=AE，△ABC≌△DAE（ASA）

∴AD=AB=538．如圖：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分別為E、F，ME=MF。求證：MB=MC證明：

∵AB=AC∴∠B=∠C∵ME⊥AB，MF⊥AC∴∠BEM=∠CFM=90°在△BME和△CMF中∵∠B=∠C∠BEM=∠CFM=90°ME=MF∴△BME≌△CMF（AAS）∴MB=MC．40．在△ABC中，，，直線經(jīng)過點，且于，于.(1)當直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：①≌；②；(2)當直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，說明理由.（1）

①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．∴∠CAD=∠BCE．∵AC=BC，∴△ADC≌△CEB．②∵△ADC≌△CEB，∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE．又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE．∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE41．如圖所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求證：（1）EC=BF；（2）EC⊥BFAAEBMCF（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE=∠CAF=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC，即∠EAC=∠BAF，在△ABF和△AEC中，∵AE=AB，∠EAC=∠BAF，AF=AC，∴△ABF≌△AEC（SAS），∴EC=BF；（2）如圖，根據(jù)（1），△ABF≌△AEC，∴∠AEC=∠ABF，∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，∴∠AEC+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDM（對頂角相等），∴∠ABF+∠BDM=90°，在△BDM中，∠BMD=180°-∠ABF-∠BDM=180°-90°=90°，∴EC⊥BF．42．如圖：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求證：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。證明：（1）∵BE⊥AC，CF⊥AB∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°∴∠ABM=∠ACN∵BM=AC，CN=AB∴△ABM≌△NAC∴AM=AN（2）∵△ABM≌△NAC∴∠BAM=∠N∵∠N+∠BAN=90°∴∠BAM+∠BAN=90°即∠MAN=90°∴AM⊥AN43．如圖,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求證:BC∥EF在△ABF和△CDE中,AB=DE∠A=∠DAF=CD∴△ABF≡△CDE（邊角邊）∴FB=CE在四邊形BCEF中FB=CEBC=EF∴四邊形BCEF是平行四邊形∴BC‖EF44．如圖,已知AC∥BD，EA、EB分別平分∠CAB和∠DBA，CD過點E，則AB與AC+BD相等嗎？請說明理由在AB上取點N,使得AN=AC∵∠CAE=∠EAN

∴AE為公共,

∴△CAE≌△EAN∴∠ANE=∠ACE又∵AC平行BD∴∠ACE+∠BDE=180而∠ANE+∠ENB=180∴∠ENB=∠BDE∠NBE=∠EBN∵BE為公共邊

∴△EBN≌△EBD∴BD=BN∴AB=AN+BN=AC+BD45、（10分）如圖,已知:AD是BC上的中線,且DF=DE．求證:BE∥CF．證明：

∵AD是△ABC的中線

BD=CD

∵DF=DE（已知）

∠BDE=∠FDC

∴△BDE≌△FDC

則∠EBD=∠FCD

∴BE∥CF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）。ACEDB46、(10分)已知：如圖，AB＝CD，DE⊥AC，BFACEDB求證：．AADECBF證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC∴∠CED=∠AFB=90o又∵AB=CD，BF=DE∴Rt⊿ABF≌Rt⊿CDE（HL）∴AF=CE∠BAF=∠DCE∴AB//CD47、(10分)如圖，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求證：AB=CD∵,∠3=∠4∴OB=OC在△AOB和△DOC中∠1=∠2OB=OC∠AOB=∠DOC△AOB≌△DOC∴AO=DOAO+OC=DO+OBAC=DB在△ACB和△DBC中AC=DB,∠3=∠4BC=CB△ACB≌△DBC∴AB=CD48、(1