/錯(cuò)位相減法的運(yùn)用例1.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿(mǎn)足．（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】解：(１）當(dāng)時(shí),?！撸?，解得.（2）∵①，當(dāng)時(shí),②，∴①②得:③，此式對(duì)也成立?！喈?dāng)時(shí)，④.∴③④得：，即?！嗍且詾槭醉?xiàng),2為公比的等比數(shù)列?！?，即，。例2.已知數(shù)列的前項(xiàng)和（其中)，且的最大值為.（1）確定常數(shù),并求；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和。解：（１）當(dāng)n＝時(shí)，Sｎ=－ｅq＼f(１,２）n2＋kn取最大值，即８＝Sk＝—ｅq\f(1,2）k2+k2＝eｑ＼f(1，2)k2，∴ｋ2＝１6，∴k＝4.∴=ｅq＼f（9，2)-n（n≥2)。又∵ａ1＝S1＝eq＼ｆ（7,2），∴aｎ＝ｅq＼f（9,２）－n。（2)∵設(shè)ｂn＝eq\ｆ（９－2an，2n)＝ｅq\f(ｎ,2n—1),Tｎ=b1+b2＋…+ｂn=1＋ｅq\f（2,2)＋eq\ｆ(3，2２)+…+ｅq\f(n－1,２ｎ-2)+ｅq\f（ｎ,2ｎ－1），∴Ｔn=2Tn-Tｎ＝2＋1＋eｑ\f（1，2)＋…＋eq＼f（1,2n－2）—eq\f（n,２n—1)＝4—ｅq＼f（1,2n—２）-ｅq\f(n，2n－１)＝４—eq\f（n＋2,2n－１）。例3.已知數(shù)列的前項(xiàng)和（其中,為常數(shù)),且（1)求；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和。解:(1）∵，∴當(dāng)時(shí),。則,，.∴=2?！?即，解得=2?！啵?。當(dāng)=1時(shí)，。綜上所述.（2）∵，∴=1\＊GB3①,=2\＊GB3②。=1\*ＧB３①－＝2\*GＢ3②得，，即。例8。已知數(shù)列{aｎ}的前n項(xiàng)和為Ｓｎ，且Sn＝，ｎ∈N﹡，數(shù)列{bn}滿(mǎn)足an=4loｇ2ｂn＋3,n∈N﹡。(1）求an，bn；（2）求數(shù)列{an·bn｝的前n項(xiàng)和Tn.解：（1）由Ｓn=,得當(dāng)ｎ=1時(shí)，；當(dāng)n2時(shí),,n∈N﹡。由an=4lｏg2bn＋３,得,n∈Ｎ﹡。（2）由(１）知，n∈N﹡，∴,.∴?！?，n∈N﹡.數(shù)列—-錯(cuò)位相減法練習(xí)１。已知正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若,且成等比數(shù)列。(Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求。２.在數(shù)列中，,。（1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證:數(shù)列是等差數(shù)列；(３)設(shè)數(shù)列,求的前項(xiàng)和。3.已知數(shù)列前項(xiàng)和．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足，數(shù)列滿(mǎn)足。（1）求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2)求數(shù)列的前項(xiàng)和;4。設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意的N，都有為常數(shù)，且.(1）求證:數(shù)列是等比數(shù)列；(2）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿(mǎn)足，N，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)在滿(mǎn)足（２）的條件下，求數(shù)列的前項(xiàng)和.1.解：（Ⅰ）∵，即,∴，所以，又∵，，成等比數(shù)列，∴，即，解得，或（舍去)，∴,故；（Ⅱ）法１:，∴,①①得,②①②得,∴.法2：，設(shè)，①則，②①②得，∴,∴.２。解：（1)∴數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列，∴?！?分(２)………………３分∴?！?分∴，公差∴數(shù)列是首項(xiàng),公差的等差數(shù)列?！?分（3）由(１）知,?∴.……………………6分∴于是……………10分兩式相減得…………12分∴?！?分3。解：（1）由已知和得，當(dāng)時(shí),……2分又,符合上式。故數(shù)列的通項(xiàng)公式?！?分又∵,∴，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為,…………５分（2)，，…①,……②①-②得，∴.…………１0分4．解:（1）證明：當(dāng)時(shí),,解得．………………1分當(dāng)時(shí)，．……………2分即．∵為常數(shù)，且,∴?！鄶?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列.（2）解：由（1)得，,．……………5分∵，∴,即．∴是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列?！?，即(）?！?