2022年湖北省鄂州市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共計30分）1．（3分）實數(shù)9的相反數(shù)等于（）A．﹣9 B．+9 C． D．﹣2．（3分）下列計算正確的是（）A．b+b2＝b3 B．b6÷b3＝b2 C．（2b）3＝6b3 D．3b﹣2b＝b3．（3分）孫權(quán)于公元221年4月自公安“都鄂”，在西山東麓營建吳王城，并取“以武而昌”之意，改鄂縣為武昌．下面四個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．4．（3分）如圖所示的幾何體是由5個完全相同的小正方體組成，它的主視圖是（）A． B． C． D．5．（3分）如圖，直線l1∥l2，點C、A分別在l1、l2上，以點C為圓心，CA長為半徑畫弧，交l1于點B，連接AB．若∠BCA＝150°，則∠1的度數(shù)為（）A．10° B．15° C．20° D．30°6．（3分）生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學(xué)模型．在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型2n來表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，請你推算22022的個位數(shù)字是（）A．8 B．6 C．4 D．27．（3分）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k、b為常數(shù)，且k＜0）的圖象與直線y＝x都經(jīng)過點A（3，1），當(dāng)kx+b＜x時，根據(jù)圖象可知，x的取值范圍是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞18．（3分）工人師傅為檢測該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計了一個如圖（1）所示的工件槽，其兩個底角均為90°，將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時，若同時具有圖（1）所示的A、B、E三個接觸點，該球的大小就符合要求．圖（2）是過球心及A、B、E三點的截面示意圖，已知⊙O的直徑就是鐵球的直徑，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于點E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，則這種鐵球的直徑為（）A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm9．（3分）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的圖象頂點為P（1，m），經(jīng)過點A（2，1）．有以下結(jié)論：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x＞1時，y隨x的增大而減??；⑤對于任意實數(shù)t，總有at2+bt≤a+b，其中正確的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個10．（3分）如圖，定直線MN∥PQ，點B、C分別為MN、PQ上的動點，且BC＝12，BC在兩直線間運動過程中始終有∠BCQ＝60°．點A是MN上方一定點，點D是PQ下方一定點，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24，當(dāng)線段BC在平移過程中，AB+CD的最小值為（）A．24 B．24 C．12 D．12二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共計18分）11．（3分）計算：＝．12．（3分）為了落實“雙減”，增強學(xué)生體質(zhì)，陽光學(xué)校籃球興趣小組開展投籃比賽活動．6名選手投中籃圈的個數(shù)分別為2，3，3，4，3，5，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是．13．（3分）若實數(shù)a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，則+的值為．14．（3分）中國象棋文化歷史久遠．某校開展了以“縱橫之間有智慧攻防轉(zhuǎn)換有樂趣”為主題的中國象棋文化節(jié)．如圖所示是某次對弈的殘局圖，如果建立平面直角坐標系，使“帥”位于點（﹣1，﹣2），“馬”位于點（2，﹣2），那么“兵”在同一坐標系下的坐標是．15．（3分）如圖，已知直線y＝2x與雙曲線y＝（k為大于零的常數(shù)，且x＞0）交于點A，若OA＝，則k的值為．16．（3分）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D、E分別為邊BC、AC上的點，AD與BE相交于點P，若BD＝CE＝2，則△ABP的周長為．三、解答題（本大題共8小題，共計72分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．（8分）先化簡，再求值：﹣，其中a＝3．18．（8分）為慶祝中國共產(chǎn)主義青年團成立100周年，某校舉行了“青年大學(xué)習(xí)，強國有我”知識競賽活動．李老師賽后隨機抽取了部分學(xué)生的成績（單位：分，均為整數(shù)），按成績劃分為A、B、C、D四個等級，并制作了如下統(tǒng)計圖表（部分信息未給出）：（1）表中a＝，C等級對應(yīng)的圓心角度數(shù)為；（2）若全校共有600名學(xué)生參加了此次競賽，成績A等級的為優(yōu)秀，則估計該校成績?yōu)锳等級的學(xué)生共有多少人？（3）若A等級15名學(xué)生中有3人滿分，設(shè)這3名學(xué)生分別為T1，T2，T3，從其中隨機抽取2人參加市級決賽，請用列表或樹狀圖的方法求出恰好抽到T1，T2的概率．等級成績x/分人數(shù)A90≤x≤10015B80≤x＜90aC70≤x＜8018Dx＜70719．（8分）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，且∠CDF＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD．（1）求證：DF＝CF；（2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面積．20．（8分）亞洲第一、中國唯一的航空貨運樞紐——鄂州花湖機場，于2022年3月19日完成首次全貨運試飛，很多市民共同見證了這一歷史時刻．如圖，市民甲在C處看見飛機A的仰角為45°，同時另一市民乙在斜坡CF上的D處看見飛機A的仰角為30°．若斜坡CF的坡比＝1：3，鉛垂高度DG＝30米（點E、G、C、B在同一水平線上）．求：（1）兩位市民甲、乙之間的距離CD；（2）此時飛機的高度AB．（結(jié)果保留根號）21．（8分）在“看圖說故事”活動中，某學(xué)習(xí)小組設(shè)計了一個問題情境：小明從家跑步去體育場，在那里鍛煉了一陣后又走到文具店買圓規(guī)，然后散步走回家．小明離家的距離y（km）與他所用的時間x（min）的關(guān)系如圖所示：（1）小明家離體育場的距離為km，小明跑步的平均速度為km/min；（2）當(dāng)15≤x≤45時，請直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達式；（3）當(dāng)小明離家2km時，求他離開家所用的時間．22．（10分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，P是⊙O的直徑AB延長線上一點，∠PCB＝∠OAC，過點O作BC的平行線交PC的延長線于點D．（1）試判斷PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面積．23．（10分）某數(shù)學(xué)興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究y＝ax2（a＞0）型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點M到定點F（0，）的距離MF，始終等于它到定直線l：y＝﹣的距離MN（該結(jié)論不需要證明），他們稱：定點F為圖象的焦點，定直線l為圖象的準線，y＝﹣叫做拋物線的準線方程．其中原點O為FH的中點，F(xiàn)H＝2OF＝．例如：拋物線y＝x2，其焦點坐標為F（0，），準線方程為l：y＝﹣．其中MF＝MN，F(xiàn)H＝2OH＝1．【基礎(chǔ)訓(xùn)練】（1）請分別直接寫出拋物線y＝2x2的焦點坐標和準線l的方程：，．【技能訓(xùn)練】（2）如圖2所示，已知拋物線y＝x2上一點P到準線l的距離為6，求點P的坐標；【能力提升】（3）如圖3所示，已知過拋物線y＝ax2（a＞0）的焦點F的直線依次交拋物線及準線l于點A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；【拓展升華】（4）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點C將一條線段AB分為兩段AC和CB，使得其中較長一段AC是全線段AB與另一段CB的比例中項，即滿足：＝＝．后人把這個數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點C稱為線段AB的黃金分割點．如圖4所示，拋物線y＝x2的焦點F（0，1），準線l與y軸交于點H（0，﹣1），E為線段HF的黃金分割點，點M為y軸左側(cè)的拋物線上一點．當(dāng)＝時，請直接寫出△HME的面積值．24．（12分）如圖1，在平面直角坐標系中，Rt△OAB的直角邊OA在y軸的正半軸上，且OA＝6，斜邊OB＝10，點P為線段AB上一動點．（1）請直接寫出點B的坐標；（2）若動點P滿足∠POB＝45°，求此時點P的坐標；（3）如圖2，若點E為線段OB的中點，連接PE，以PE為折痕，在平面內(nèi)將△APE折疊，點A的對應(yīng)點為A′，當(dāng)PA′⊥OB時，求此時點P的坐標；（4）如圖3，若F為線段AO上一點，且AF＝2，連接FP，將線段FP繞點F順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得線段FG，連接OG，當(dāng)OG取最小值時，請直接寫出OG的最小值和此時線段FP掃過的面積．2022年湖北省鄂州市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共計30分）1．（3分）實數(shù)9的相反數(shù)等于（）A．﹣9 B．+9 C． D．﹣【解答】解：實數(shù)9的相反數(shù)是：﹣9．故選：A．2．（3分）下列計算正確的是（）A．b+b2＝b3 B．b6÷b3＝b2 C．（2b）3＝6b3 D．3b﹣2b＝b【解答】解：∵b與b2不是同類項，∴選項A不符合題意；∵b6÷b3＝b3，∴選項B不符合題意；∵（2b）3＝8b3，∴選項C不符合題意；∵3b﹣2b＝b，∴選項D符合題意，故選：D．3．（3分）孫權(quán)于公元221年4月自公安“都鄂”，在西山東麓營建吳王城，并取“以武而昌”之意，改鄂縣為武昌．下面四個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：選項A、B、C不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，選項D能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形，故選：D．4．（3分）如圖所示的幾何體是由5個完全相同的小正方體組成，它的主視圖是（）A． B． C． D．【解答】解：該幾何體的主視圖為：一共有兩列，左側(cè)有三個正方形，右側(cè)有一個正方形，所以A選項正確，故選：A．5．（3分）如圖，直線l1∥l2，點C、A分別在l1、l2上，以點C為圓心，CA長為半徑畫弧，交l1于點B，連接AB．若∠BCA＝150°，則∠1的度數(shù)為（）A．10° B．15° C．20° D．30°【解答】解：由題意可得AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA，∵∠BCA＝150°，∠BCA+∠CAB+∠CBA＝180°，∴∠CAB＝∠CBA＝15°，∵l1∥l2，∴∠1＝∠CBA＝15°．故選：B．6．（3分）生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學(xué)模型．在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型2n來表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，請你推算22022的個位數(shù)字是（）A．8 B．6 C．4 D．2【解答】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，∴2的乘方的尾數(shù)每4個循環(huán)一次，∵2022÷4＝505…2，∴22022與22的尾數(shù)相同，故選：C．7．（3分）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法．如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k、b為常數(shù)，且k＜0）的圖象與直線y＝x都經(jīng)過點A（3，1），當(dāng)kx+b＜x時，根據(jù)圖象可知，x的取值范圍是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x＜1 D．x＞1【解答】解：由圖象可得，當(dāng)x＞3時，直線y＝x在一次函數(shù)y＝kx+b的上方，∴當(dāng)kx+b＜x時，x的取值范圍是x＞3，故選：A．8．（3分）工人師傅為檢測該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計了一個如圖（1）所示的工件槽，其兩個底角均為90°，將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時，若同時具有圖（1）所示的A、B、E三個接觸點，該球的大小就符合要求．圖（2）是過球心及A、B、E三點的截面示意圖，已知⊙O的直徑就是鐵球的直徑，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于點E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，則這種鐵球的直徑為（）A．10cm B．15cm C．20cm D．24cm【解答】解：如圖，連接OE，交AB于點F，連接OA，∵AC⊥CD、BD⊥CD，∴AC∥BD，∵AC＝BD＝4cm，∴四邊形ACDB是平行四邊形，∴四邊形ACDB是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm，∵CD切⊙O于點E，∴OE⊥CD，∴OE⊥AB，∴四邊形EFBD是矩形，AF＝AB＝×16＝8（cm），∴EF＝BD＝4cm，設(shè)⊙O的半徑為rcm，則OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，∴r2＝82+（r﹣4）2，解得：r＝10，∴這種鐵球的直徑為20cm，故選：C．9．（3分）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0）的圖象頂點為P（1，m），經(jīng)過點A（2，1）．有以下結(jié)論：①a＜0；②abc＞0；③4a+2b+c＝1；④x＞1時，y隨x的增大而減??；⑤對于任意實數(shù)t，總有at2+bt≤a+b，其中正確的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【解答】解：①由拋物線的開口方向向下，則a＜0，故①正確；②∵拋物線的頂點為P（1，m），∴﹣＝1，b＝﹣2a，∵a＜0，∴b＞0，∵拋物線與y軸的交點在正半軸，∴c＞0，∴abc＜0，故②錯誤；③∵拋物線經(jīng)過點A（2，1），∴1＝a?22+2b+c，即4a+2b+c＝1，故③正確；④∵拋物線的頂點為P（1，m），且開口方向向下，∴x＞1時，y隨x的增大而減小，即④正確；⑤∵a＜0，∴at2+bt﹣（a+b）＝at2﹣2at﹣a+2a＝at2﹣2at+a＝a（t2﹣2t+1）＝a（t﹣1）2≤0，∴at2+bt≤a+b，則⑤正確綜上，正確的共有4個．故選：C．10．（3分）如圖，定直線MN∥PQ，點B、C分別為MN、PQ上的動點，且BC＝12，BC在兩直線間運動過程中始終有∠BCQ＝60°．點A是MN上方一定點，點D是PQ下方一定點，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24，當(dāng)線段BC在平移過程中，AB+CD的最小值為（）A．24 B．24 C．12 D．12【解答】解：如圖，作DL⊥PQ于L，過點A作PQ的垂線，過點D作PQ的平行線，它們交于點R，延長DF至T，使DT＝BC＝12，連接AT，AT交MN于B′，作B′C′∥BC，交PQ于C′，則當(dāng)BC在B′C′時，AB+CD最小，最小值為AT的長，可得AK＝AE?sin60°＝＝2，DL＝＝4，＝6，∴AR＝2+6+4＝12，∵AD＝24，∴sin∠ADR＝＝，∴∠ADR＝30°，∵∠PFD9＝60°，∴∠ADT＝90°，∴AT＝＝＝12，故答案為：C．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共計18分）11．（3分）計算：＝2．【解答】解：∵22＝4，∴＝2．故答案為：212．（3分）為了落實“雙減”，增強學(xué)生體質(zhì)，陽光學(xué)?；@球興趣小組開展投籃比賽活動．6名選手投中籃圈的個數(shù)分別為2，3，3，4，3，5，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3．【解答】解：因為這組數(shù)據(jù)中3出現(xiàn)3次，次數(shù)最多，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是3，故答案為：3．13．（3分）若實數(shù)a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，則+的值為．【解答】解：∵實數(shù)a、b分別滿足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，∴a、b可看作方程x2﹣4x+3＝0的兩個不相等的實數(shù)根，則a+b＝4，ab＝3，則原式＝＝，故答案為：．14．（3分）中國象棋文化歷史久遠．某校開展了以“縱橫之間有智慧攻防轉(zhuǎn)換有樂趣”為主題的中國象棋文化節(jié)．如圖所示是某次對弈的殘局圖，如果建立平面直角坐標系，使“帥”位于點（﹣1，﹣2），“馬”位于點（2，﹣2），那么“兵”在同一坐標系下的坐標是（﹣3，1）．【解答】解：根據(jù)平面內(nèi)點的平移規(guī)律可得，把“帥”向左平移兩個單位，向上平移3個單位得到“兵”的位置，∴（﹣1﹣2，﹣2+3），即（﹣3，1）．故答案為：（﹣3，1）．15．（3分）如圖，已知直線y＝2x與雙曲線y＝（k為大于零的常數(shù)，且x＞0）交于點A，若OA＝，則k的值為2．【解答】解：設(shè)A（x，y），∵點A在直線y＝2x上，且OA＝，∴A點坐標為（1，2），∵點A在雙曲線y＝（x＞0）上，∴2＝k，故答案為：2．16．（3分）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D、E分別為邊BC、AC上的點，AD與BE相交于點P，若BD＝CE＝2，則△ABP的周長為．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∴∠APE＝∠ABP+∠BAD＝∠ABP+∠CBE＝∠ABD＝60°，∴∠APB＝120°，在CB上取一點F使CF＝CE＝2，則BF＝BC﹣CF＝4，∴∠C＝60°，∴△CEF是等邊三角形，∴∠BFE＝120°，即∠APB＝∠BFE，∴△APB∽△BFE，∴＝＝2，設(shè)BP＝x，則AP＝2x，作BH⊥AD延長線于H，∵∠BPD＝∠APE＝60°，∴∠PBH＝30°，∴PH＝，BH＝，∴AH＝AP+PH＝2x+＝x，在Rt△ABH中，AH2+BH2＝AB2，即（x）2+（x）2＝62，解得x＝或﹣（舍去），∴AP＝，BP＝，∴△ABP的周長為AB+AP+BP＝6++＝6+＝，故答案為：．三、解答題（本大題共8小題，共計72分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．（8分）先化簡，再求值：﹣，其中a＝3．【解答】解：﹣＝＝＝a﹣1，當(dāng)a＝3時，原式＝3﹣1＝2．18．（8分）為慶祝中國共產(chǎn)主義青年團成立100周年，某校舉行了“青年大學(xué)習(xí)，強國有我”知識競賽活動．李老師賽后隨機抽取了部分學(xué)生的成績（單位：分，均為整數(shù)），按成績劃分為A、B、C、D四個等級，并制作了如下統(tǒng)計圖表（部分信息未給出）：（1）表中a＝20，C等級對應(yīng)的圓心角度數(shù)為108°；（2）若全校共有600名學(xué)生參加了此次競賽，成績A等級的為優(yōu)秀，則估計該校成績?yōu)锳等級的學(xué)生共有多少人？（3）若A等級15名學(xué)生中有3人滿分，設(shè)這3名學(xué)生分別為T1，T2，T3，從其中隨機抽取2人參加市級決賽，請用列表或樹狀圖的方法求出恰好抽到T1，T2的概率．等級成績x/分人數(shù)A90≤x≤10015B80≤x＜90aC70≤x＜8018Dx＜707【解答】解：（1）抽取的學(xué)生人數(shù)為：15÷＝60（人），∴a＝60﹣15﹣18﹣7＝20，C等級對應(yīng)的圓心角度數(shù)為：360°×＝108°，故答案為：20，108°；（2）600×＝150（人），答：估計該校成績?yōu)锳等級的學(xué)生共有150人；（3）畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到T1，T2的結(jié)果有2種，∴恰好抽到T1，T2的概率為＝．19．（8分）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，且∠CDF＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD．（1）求證：DF＝CF；（2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面積．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，∴OC＝OD，∴∠ACD＝∠BDC，∵∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD，∴∠CDF＝∠DCF，∴DF＝CF；（2）解：由（1）可知，DF＝CF，∵∠CDF＝60°，∴△CDF是等邊三角形，∴CD＝DF＝6，∵∠CDF＝∠BDC＝60°，OC＝OD，∴△OCD是等邊三角形，∴OC＝OD＝6，∴BD＝2OD＝12，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴BC＝＝＝6，∴S矩形ABCD＝BC?CD＝6×6＝36．20．（8分）亞洲第一、中國唯一的航空貨運樞紐——鄂州花湖機場，于2022年3月19日完成首次全貨運試飛，很多市民共同見證了這一歷史時刻．如圖，市民甲在C處看見飛機A的仰角為45°，同時另一市民乙在斜坡CF上的D處看見飛機A的仰角為30°．若斜坡CF的坡比＝1：3，鉛垂高度DG＝30米（點E、G、C、B在同一水平線上）．求：（1）兩位市民甲、乙之間的距離CD；（2）此時飛機的高度AB．（結(jié)果保留根號）【解答】解：（1）∵斜坡CF的坡比＝1：3，DG＝30米，∴＝，∴GC＝3DG＝90（米），在Rt△DGC中，DC＝＝＝30（米），∴兩位市民甲、乙之間的距離CD為30米；（2）過點D作DH⊥AB，垂足為H，則DG＝BH＝30米，DH＝BG，設(shè)BC＝x米，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴AB＝BC?tan45°＝x（米），∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣30）米，在Rt△ADH中，∠ADH＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴x＝60+30，經(jīng)檢驗：x＝60+90是原方程的根，∴AB＝（60+90）米，∴此時飛機的高度AB為（60+90）米．21．（8分）在“看圖說故事”活動中，某學(xué)習(xí)小組設(shè)計了一個問題情境：小明從家跑步去體育場，在那里鍛煉了一陣后又走到文具店買圓規(guī)，然后散步走回家．小明離家的距離y（km）與他所用的時間x（min）的關(guān)系如圖所示：（1）小明家離體育場的距離為2.5km，小明跑步的平均速度為km/min；（2）當(dāng)15≤x≤45時，請直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達式；（3）當(dāng)小明離家2km時，求他離開家所用的時間．【解答】解：（1）小明家離體育場的距離為2.5km，小明跑步的平均速度為＝km/min；故答案為：2.5，；（2）如圖，B（30，2.5），C（45，1.5），設(shè)BC的解析式為：y＝kx+b，則，解得：，∴BC的解析式為：y＝﹣x+4.5，∴當(dāng)15≤x≤45時，y關(guān)于x的函數(shù)表達式為：y＝；（3）當(dāng)y＝2時，﹣x+4.5＝2，∴x＝，2＝12，∴當(dāng)小明離家2km時，他離開家所用的時間為12min或min．22．（10分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，P是⊙O的直徑AB延長線上一點，∠PCB＝∠OAC，過點O作BC的平行線交PC的延長線于點D．（1）試判斷PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面積．【解答】解：（1）PC是⊙O的切線，理由如下：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠OAC+∠OBC＝90°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠PCB＝∠OAC，∴∠PCB+∠OCB＝90°，∴∠PCO＝90°，即OC⊥PC，∵OC是半徑，∴PC是⊙O的切線；（2）在Rt△ACB中，tanA＝，∵tanA＝，∴＝，∵∠PCB＝∠OAC，∠P＝∠P，∴△PCB∽△PAC，∴＝＝＝，∵PC＝4，∴PB＝2，PA＝8，∴AB＝PA﹣PB＝8﹣2＝6，∴OC＝OB＝OA＝3，∵BC∥OD，∴，即，∴CD＝6，∵OC⊥CD，∴＝×3×6＝9．23．（10分）某數(shù)學(xué)興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究y＝ax2（a＞0）型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點M到定點F（0，）的距離MF，始終等于它到定直線l：y＝﹣的距離MN（該結(jié)論不需要證明），他們稱：定點F為圖象的焦點，定直線l為圖象的準線，y＝﹣叫做拋物線的準線方程．其中原點O為FH的中點，F(xiàn)H＝2OF＝．例如：拋物線y＝x2，其焦點坐標為F（0，），準線方程為l：y＝﹣．其中MF＝MN，F(xiàn)H＝2OH＝1．【基礎(chǔ)訓(xùn)練】（1）請分別直接寫出拋物線y＝2x2的焦點坐標和準線l的方程：（0，），y＝﹣．【技能訓(xùn)練】（2）如圖2所示，已知拋物線y＝x2上一點P到準線l的距離為6，求點P的坐標；【能力提升】（3）如圖3所示，已知過拋物線y＝ax2（a＞0）的焦點F的直線依次交拋物線及準線l于點A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；【拓展升華】（4）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點C將一條線段AB分為兩段AC和CB，使得其中較長一段AC是全線段AB與另一段CB的比例中項，即滿足：＝＝．后人把這個數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點C稱為線段AB的黃金分割點．如圖4所示，拋物線y＝x2的焦點F（0，1），準線l與y軸交于點H（0，﹣1），E為線段HF的黃金分割點，點M為y軸左側(cè)的拋物線上一點．當(dāng)＝時，請直接寫出△HME的面積值．【解答】解：（1）∵a＝2，∴＝，故答案為：（0，），y＝﹣；（2）∵a＝，∴﹣＝﹣4，∴準線為：y＝﹣4，∴點P的縱坐標為：2，∴＝2，∴x＝±4，∴P（4，2）或（﹣4，2）；（3）如圖，作AG⊥l于G，作BK⊥l于K，∴AG＝AF＝4，BK＝BF，F(xiàn)H＝，∵BK∥FH∥AG，∴△CBK∽△CFH，△CBK∽△CAG，∴，，∴＝＝，，∴a＝；（4）設(shè)點M（m，m2），∵＝，∴＝2，∴＝2，∴m1＝﹣2，m2＝