第四節(jié)鏡象法求解靜電場(chǎng)1目的：

學(xué)習(xí)一種求解靜電場(chǎng)的

特殊方法--鏡象法（簡(jiǎn)潔明了）主要內(nèi)容：

一、相關(guān)內(nèi)容回顧

二、鏡象法的基本思想

三、鏡象法應(yīng)用舉例

四、總結(jié)與討論2唯一性定理給出靜電場(chǎng)可以唯一求解的條件唯一性定理：在可均勻分區(qū)的區(qū)域V內(nèi)給定自由電荷分布，區(qū)域V內(nèi)的電場(chǎng)由V的邊界S上的電勢(shì)或者電勢(shì)法向?qū)?shù)唯一地確定。一、相關(guān)內(nèi)容回顧3分離變量法：適用于所考慮的區(qū)域內(nèi)沒(méi)有自由電荷分布的情況，求解拉普拉斯方程。分離變量法（）鏡象法（？）格林函數(shù)法（？）多極矩展開(kāi)法（？）靜電學(xué)的基本問(wèn)題是求滿足給定邊界條件的泊松方程的解。主要方法有四種。5一種重要的特殊情形是：區(qū)域內(nèi)只有一個(gè)或者幾個(gè)點(diǎn)電荷。區(qū)域的邊界是導(dǎo)體或者介質(zhì)。這一個(gè)或者幾個(gè)電荷要在導(dǎo)體界面產(chǎn)生感應(yīng)電荷，或者在介質(zhì)表面產(chǎn)生束縛。二、鏡象法求解靜電場(chǎng)的基本思想6上述特殊情形的泊松方程邊值問(wèn)題，可以采用一種比較簡(jiǎn)潔的特殊方法來(lái)求解。這種方法就是鏡象法。鏡象法的基本思想就是：在求解區(qū)域之外引入象電荷取代感應(yīng)電荷，但不改變求解區(qū)域的邊值關(guān)系和邊界條件?；蛘哒f(shuō)，只要不改變求解區(qū)域的電荷分布、邊值關(guān)系和邊界條件，象電荷可以取代感應(yīng)電荷，象電荷在所考慮區(qū)域產(chǎn)生的電場(chǎng)就是感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。7解電荷：一個(gè)點(diǎn)電荷界面：接地?zé)o窮大導(dǎo)體區(qū)域：上半空間（下半空間電勢(shì)為零）已知界面電勢(shì)為零，滿足唯一性定理的要求，可以確定電勢(shì)。9上半空間的電勢(shì)的特征：導(dǎo)體表面是等勢(shì)面電場(chǎng)線垂直于導(dǎo)體表面點(diǎn)電荷Q使導(dǎo)體表面產(chǎn)生異號(hào)的感應(yīng)電荷Q。整個(gè)電場(chǎng)是由Q和Q共同產(chǎn)生的。電荷分布和電場(chǎng)分布：10設(shè)想在導(dǎo)體板下方與電荷Q對(duì)稱的位置上放一個(gè)假想電荷Q’=Q，然后把導(dǎo)體板抽去。這樣，沒(méi)有改變所考慮空間的電荷分布（即沒(méi)有改變電勢(shì)服從的泊松方程）。Q假想電荷Q’與給定電荷Q激發(fā)的總電場(chǎng)如圖所示。由對(duì)稱性看出，在原導(dǎo)體板平面上，電場(chǎng)線處處與它正交，因而滿足邊界條件。11選Q到導(dǎo)體板上的投影點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)Q到導(dǎo)體板距離為a，有可以看出，引入象電荷取代感應(yīng)電荷，的確是一種求解泊松方程的簡(jiǎn)潔方法。13例2真空中有一半徑為R0的接地導(dǎo)體球，距球心為a（a>R0）處有一點(diǎn)電荷Q，求空間各點(diǎn)的電勢(shì)（如圖）。14解電荷：一個(gè)點(diǎn)電荷界面：導(dǎo)體球面區(qū)域：球面外區(qū)域已知界面電勢(shì)為零，滿足唯一性定理的要求，可以確定電勢(shì)。15在球內(nèi)區(qū)域（所考慮區(qū)域之外）引入象電荷，取代球面上的感應(yīng)電荷，不改變體系方程。球面外區(qū)域電勢(shì)的特征：導(dǎo)體表面是等勢(shì)面電場(chǎng)線垂直于導(dǎo)體表面預(yù)計(jì)電場(chǎng)線如圖所示17不改變邊值關(guān)系和邊界條件的要求為由對(duì)稱性，Q’應(yīng)在OQ連線上?？紤]球面上任一點(diǎn)P（如圖）18因此對(duì)球面上任一點(diǎn)，應(yīng)有只要選Q’的位置使OPQ~OQ’P，則19球外任一點(diǎn)P（如圖）的電勢(shì)為21根據(jù)高斯定理，收斂于球面的電通量為Q’。Q’為球面的總感應(yīng)電荷，它是受電荷Q的電場(chǎng)的吸引而從接地處傳至導(dǎo)體球上的。物理結(jié)果討論：然而|Q’|<Q，由電荷Q發(fā)出的電場(chǎng)線只有一部分收斂于球面上，剩下的一部分發(fā)散至無(wú)窮遠(yuǎn)處。22例3如上例，但導(dǎo)體球不接地而帶電荷Q0，求球外電勢(shì)，并求電荷Q所受的力。23球外任一點(diǎn)P的電勢(shì)為因此電荷Q所受的力等于Q’和球心處的電荷Q0－Q’對(duì)它的作用力F，25過(guò)渡到點(diǎn)電荷相互作用模型吸引力，趨于消失R00物理結(jié)果討論：26兩種方法都是根據(jù)邊值關(guān)系和邊界條件進(jìn)行求解；可解的條件都是唯一性定理所要求的分區(qū)均勻介質(zhì)和邊界條件。2、與分離變量法比較共同點(diǎn)：29不同點(diǎn)：分離變量法鏡象法電荷分布求解區(qū)域沒(méi)有（或者經(jīng)過(guò)變換沒(méi)有）自由電荷分布求解區(qū)域有一個(gè)或者幾個(gè)自由點(diǎn)電荷具體方法分離變量求解拉普拉斯方程求解區(qū)域之外引入象電荷取代感應(yīng)電荷30從前兩節(jié)的例子可以看出，邊值關(guān)系和邊界條件對(duì)于求解電場(chǎng)問(wèn)題具有重要性作用。邊界條件大致有一下幾種類型：1、兩絕緣介質(zhì)界面上，邊值關(guān)系為2、給出導(dǎo)體上的電勢(shì)，導(dǎo)